Кольцо целозначных многочленов для алгебраических торов Текст научной статьи по специальности «Математика»

В силу (4) имеет место соотношение

/ М = /1 (в),

где I = [к : КаЬ], которое доказывает утверждение теоремы.

Библиографический список

1. Хейльброн Х. (-функции и ¿-функции // Алгебраическая теория чисел / под ред. Дж. Касселса, А. Фрелиха. М. : Мир, 1969.

УДК 512.7

А. М. ВОДОЛАЗОВ Кольцо целозначных многочленов для алгебраических торов

В работе [1] при изучении целых моделей для алгебраических торов была введена алгебра

А = {/ е Ор[М-1] | /(ж;) с Жр} , (1)

алгебра А (X = БрвсА) является целой моделью для тора Т = (то есть Т = X 0^).

Алгебра А, рассматриваимая как кольцо, является примером целозначных колец, такие кольца активно изучаются. По теме целозначных колец вышла монография [2]. Одним из главных вопросов изучения является задача определения образующих таких колец и выяснения свойств факторизации в этих кольцах. Они, как оказывается, имеют неоднозначную факторизацию. Свойства нефакториальности в кольцах многочленов изучались в различных работах. Например, в [3] доказывается неоднозначность разложения в Ъри [£], а в работах [2, 4] изучалось кольцо целочисленных полиномов 1Ш(Ж) = {/ е 0[£] | /(Ж) с Ж}.

Сначала мы определим образующие A. Для этого докажем существование многочленов Hn(t) и чисел tn G Zpp, обладающих следующими свойствами:

1) deg Hn = n,

2) Hn G A,

3) Hn(tn) G Zp или (Hn G A).

Сначала построим многочлены Hn при n = ^>(pk) (^ — функция Эйлера).

Лемма. Многочлен

1 P'-r1 Vk - 1

H^)(t) = pak П (t - ^ «к = 1+p + ••• + pk-i = p^--,

i=1, (i,p)=1

принадлежит A и y(pfc}( ) не принадлежит A.

Доказательство

Так как t и i принадлежат Zp, значит имеют место следующие разложения:

t = bo + bip + • • • + bk-ipk-i + bkpk + ... (0 < bo < p - 1, 0 < b < p - 1),

i = a0 + a1p + • • • + ak-1pk-i (0 < a0 < p — 1, 0 < ai < p — 1).

Разность (t - i) делится точно на p1, если bi = ai при i = 0,..., l - 1, а bi = ai. При фиксированном t, когда i пробегает приведенную систему

вычетов по модулю pk S', количество (t - i) в П (t - i), делящихся точно

ieS'

на p1 при l < k, равно (p - 1)pk-(l+1) потому, что для этих i

ao = bo,..., ai-i = bi-i, ai = bi,

aj — произвольные, j > l + 1. Заметим, что если aj = bj j = 0,..., k - 1, то (t - i) делится на pk только для одного i из S' и может делится на

большую степень, если Ьк = • • • = Ьк+То = 0. В результате, П (£ — г) всегда делится на , где

а = к+(р— 1)(к—1)+р(р— 1)(к—2)+^ • -+0—1)рН;/+1)/+^ • 1)рк—21 =

= 1 + p + • • • + pk—1 =

pk - 1 p — 1

Для to = 1 + pk ПгеЗ' (to — i) не делится на pafc+1. Лемма доказана.

Теперь построим числа tn. Числа tn выбираем в порядке возрастания

из приведенной по mod pk+1, а n предполагаем большим ^>(pk). При

n = ^>(pk) + 1 tn = 1 + pk и т.д.

Как и для многочленов при n = ^>(pk), для произвольного n сначала

рассмотрим произведение

—1

П (t — i) П (t — tj). (2)

¿=1 (¿,p) = 1 ^(pfc)<j<n

Определим, на какую степень числа p выражение (2) точно делится. Для n имеем разложение

n = nk^(pk) + nk—1^(pk—1)+-----Ь n^(p) + no n > 0, 0 < n*p, no <p — 1.

При таком n среди чисел i и tj в произведении (2) есть nk приведенных систем вычета по mod pk, у которых цифра при pk равна 0,1,..., nk — 1. Среди чисел, у которых цифра при pk равна nk, имеется nk—1 приведенная система вычетов по mod pk—1, у которых цифры при pk—1 равны

0,1,... , nk—1 — 1 соответственно и т.д. В итоге числа i пробегают nk при-

k

веденных систем по модулю pk, оставшиеся nk—1 приведенных систем по модулю pk—1 и т.д. Значит, из доказательства леммы следует, что (2) всегда делится на pSn, где

sn = nk ak +-----+ n2«2 + n1 .

По построению, tn+1 = (nkpk + • • • + n1p + n0) + 1, подставляем t = tn+1 в (2). Так как nk = 0, то П(tn+1 — j), когда j пробегает любую приведенную систему вычетов по mod pk в (2), делится точно на pafc по лемме.

Аналогично, если какое-то ns = 0, то П(tn+1 — j), когда j пробегает любую приведенную систему вычетов по mod ps в (2), делится точно на pas. Эти рассуждения показывают, что (2) при t = tn+1 не делится на

В итоге мы построили числа tn и многочлены

1 pk—i

H»(t) = П (t—') П (t — tj).

¿=1, (i,p) = 1 )<j <n

Многочлены Hn(t) обладают свойствами 1, 2, 3; более того, Hn(tk) = 0 при k < n.

Теорема 1. Пусть ^>(pk) < n < ^>(pk+1), a

. pk—1

H« = pin П <t — г> П (t—tj

¿=1, (i,p)=1 ^(pk)<j<n

если n = nk^>(pk) + • • • + n1^(p) + no, то sn = nkak + • • • + n1a1, где

1

p—1

A = Zp[t,t—1,H1(t),...,Hn(t),...] .

0 < n < p, ai = ^-j1, при 0 < i < k nk = 0, n0 < p — 1, тогда

Доказательство Произвольная функция /(£) Е 1] имеет вид /(£) = ^пт :

/(£) е А ^ #(£) е А .

Пусть deg #(£) = т. Так как многочлены определены для любой степени й, то

1(£) +-----Ь а0 .

По предположению #(£) Е А, значит для £п Е Zp #(£п) Е Рассмотрим £ = 1. д(1) Е по свойству 3) многочленов Нп(£) Нп(1) = 0 при п > 1.

Следовательно, ао £ Zp. Пусть t = 2, g(2) G Zp, тогда g(2) = апНп (2) + an_iHn_i(2) + ... + а^(2) + ао = aiHi(2) + ао,

Hi(2) G Zp (Яг(2) = 0).

Тогда

а = ао + g(2) Z

ai = _"Н(2ГG Zp.

Пусть аналогично доказано, что а0, ai,..., ak-i G Zp. Докажем, что ak G Zp:

g(tk+i) = (anHn(tk+i) + an_iHn_i(tk+i) + ... + ak+iHk+i(tk+i)) +

+ak Hk (tk+i) + +(ak_iHk_i (tk+i) + ... + aiHi(tk+i) + ао) =

= 0 + ak Hk (tk+i) + bk, bk = ak_iHk_i(tk+i) + ... + aiHi(tk+i) + ао G Zp, по доказанному выше

а = g(tk+i) _ bk Z

ak = tt (+ Г" G Zp, Hk (tk+i)

так как g(tk+i) _ bk G Zp, а Hk(tk+i) G Zp по свойствам многочленов Hk (t). Теорема 1 доказана.

Напомним некоторые определения.

Определение 1. Пусть R - коммутативное кольцо с единицей. Ненулевой и неединичный элемент r G R называется неприводимым в R, если из того, что r = аЬ с а, b G R следует, что либо а, либо b является целой единицей в R (то есть а G R и а^ G R). Представление элемента r G R в виде произведения неприводимых элементов r = si...sn, Si G R, будем называть факторизацией r. Число n неприводимых множителей называется длиной факторизации.

Множество длин L(r) элемента r G R есть множество всех натуральных чисел n таких, что r имеет факторизацию длины n в R.

Кольцо Я называется атомарным, если любой ненулевой неединичный элемент в Я допускает факторизацию в Я.

Атомарная область целостности Я, для которой множество длин каждого ненулевого и неединичного элемента конечно, называется областью ограниченной факторизации.

Кольцо Я называется факториальным, если для каждого ненулевого и неединичного элемента г существует однозначная, с точностью до перестановки и умножения на единичные элементы, факторизация.

Обозначим /п£(жР*}) = Н(£),..., Н(£),... ]

Теорема 2. Кольцо /п£(Ж]р*)) удовлетворяет следующим свойствам, оно:

1) атомарно;

2) является областью ограниченной факторизации;

3) не факториально.

Доказательство

1) Каждый ненулевой многочлен / Е Qp[£] можно единственным образом представить в виде

/ (£)= / П #(*),

«Е/

где #«(£) - неприводимый примитивный полином из к Е ^ и мно-

жество I конечно. Если к > 0, то мы получили разложение на неприводимые. Если к < 0, то или / неприводим в и разложение получено, или множество I разбивается на два подмножества 11 и 12 таких, что каждый /(£) = П«Е/ содержится в Дальше раскладываем каждый многочлен / (£), и на каком-то шаге разложение

закончится, так как на каждом понижаем степень многочлена. 2) Из 1) для любого / Е !п£(жР*')) имеет место представление

f (t)=П g(r = П hj (t) ПSi(i)

pni -L _L j 7 J. _L Pni

¿G/ j = 1 ¿G/ ^

где ^nf - неприводимый полином из Zp^, k G N и множество I конечно. Многочлены hj (t) = p неприводимы в /nt(Z]p*)), для j = 1,... , k. 3) Рассмотрим многочлен

f (t) = Щ+Ь =p(t - j)

P .

Он принадлежит 1nt(Zp0) , так как j = 1,..., p образуют полную систему вычетов. Для f имеются два различных представления на неприводимые в 7nt(zP*)):

f (t) = (t - 1) - j) = (t - (p + 1)) - j).

Теорема доказана.

Для атомарных колец определяются следующие важные понятия.

Определение 2. Если кольцо R является атомарным, то для любого ненулевого неединичного r G R эластичность r определяется следующим образом:

mi

p(r) = sup{—|n, m G L(r)},

а эластичность R —

p(R) = sup {p(r)},

где R1 есть множество ненулевых неединичных элементов R. R называется полностью эластичным, если для каждого рационального числа q > 1 существует некоторый ненулевой неединичный элемент r G R, для которого q = p(r).

Теорема 3. Кольцо /nt(Z]p*)) имеет бесконечную эластичность, то есть

p(/nt(ZM)) = оо.

Доказательство

В работе [3] было доказано, что p(Zpn[t]) = то. Для этого был построен неприводимый полином f (x) и доказана неприводимость полинома fq(x) + pn-1, где q — большое простое число. Для полинома g(x) из формулы

g(t) = (fq (t) + pn-1)2 = fq (t)(fq (t) + 2pn-1)

следует, что разложение слева имеет два неприводимых множителя, а в разложении справа q + 1 — неприводимый множитель. В силу модификации леммы Гензеля [5] два разложения для g(t) можно продолжить на разложение в кольце /nt(zP*)). Наличие двух таких разложений для g(t) и доказывает теорему.

Замечание. В работах [5, 6] было доказано, что p(Int(Z)) = то, и доказана полная эластичность кольца Int(Z).

Библиографический список

1. Kunyvskii B. E., Moroz B. Z., Voskresenskii V. E. On integral models of an algebraic torus // Max-Planck-Institut fur Mathematic. Preprint Series. 2001. Art. 12. 23 p.

2. Cahen P.-J., ChabertJ.-L. Integer-valued polynomials // Mathematical Surveys and Monographs. Providence : Amer. Math. Soc, 1997. Vol. 48.

3. Frei Ch., Frisch S. Non-unique factorization of polynomials over residue class rings of the integers // Comm. Algebra. 2011. Vol. 39, iss. 4. P. 1482-1490.

4. Frisch S. A construction of integer-valued polynomials with prescribed sets of lengths of factorizations // Comm. Algebra. 2012. Vol. 42. P. 184-191.

5. Chapman S. T., McClain B. A. Irreducible polynomials and full elasticity in rings of integer-valued polynomials //J. Algebra. 2005. Vol. 293. P. 184-191.

6. Hasse H. Number theory. Berlin : Springer-Verlag, 2002.