Кольцо целозначных p-адических многочленов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.7

А. М. Водолазов

КОЛЬЦО ЦЕЛОЗНАЧНЫХ P-АДИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ

В последнее время вопросы факторизации и неоднозначная факторизация в кольцах многочленов изучалась в различных работах. Например, в [1] доказывается неоднозначность разложение в Zpn[ж], а в работах [2, 3] изучалось кольцо целочисленных полиномов Int(Z) = = {f е Q[x] | f (Z) с Z}.

В нашей работе мы изучаем свойства факторизации кольца

Int(Zp) = {f е Qp[x] | f (Zp) с Zp}

целозпачпых р-адических полиномов, где р - простое число, Qp - поле р-адических чисел, а Zp - кольцо целых р-адических чисел. Напомним необходимые определения.

Определение 1. Пусть R - коммутативное кольцо с единицей. Ненулевой и неединичный элемент r е R называется неприводимым в R, если из того, что r = ab с a,b е R следует, что либо а, либо b является целыой единицей в R (то есть а е R и а-1 е R). Представ-r е R

r = s1...sn, si е R, будем называть факторизациейг. Число n неприводимых множителей называется длиной факторизации.

Множество длин L(r) элемента r е R есть множество всех натуральных чисел n таких, что r имеет факторизацию длины n в R. R

RR

R

каждого ненулевого и неединичного элемента конечно, называется областью ограниченной факторизации. R

r

перестановки и умножения на единичные элементы, факторизация.

Теорема 1. Кольцо Int(Zp) удовлетворяет следующим свойствам, оно:

1) атомарно

2) является областью ограниченной факторизации;

3) не факториально. Доказательство

1) Каждый ненулевой многочлен f £ Qp[x] можно единственным образом представить в виде

f (x) = pk П 9i (x), i£l

где gi(x) - неприводимый примитивный полином из Zp[x], k £ Z и множество I конечно. Если k > 0, то мы получили разложение на неприводимые полиномы. Если k < 0, то ил и f неприводим в Int (Zp) и разложение получено, или множество I разбивается на два подмножества Ii и I2 таких, что каждый fj(x) = pkj\\ieI, gi(x) содержится в Int(Zp). Дальше раскладываем каждый многочлен fj (x), и на каком-то шаге разложение закончиться, так как на каждом понижаем степень многочлена.

2) Из 1) для любого f £ Int(Zp) имеет место представление

f (x)= Pk П ^ = ]П hj (x) П g-px•

i£l j=l i£l F

гДе ^pnr _ неприводимый поли ном из Int( Zp), k £ N и мпожес тво I конечно. Многочлены hj (x) = p неприводимы в Int(Zp), для j = 1,..., k.

3) Рассмотрим многочлен

f (x) = nS(x-j).

p

Он принадлежит Int(Zp), так как j = 1,... ,p образуют полную систему f

в Int(Zp):

f (x) = (x - 1)np:l(x ~ j' = (x - (p + 1)) np=l(x ~ j) .

pp

Теорема доказана.

Для атомарных колец определяются следующие важные понятия. Определение 2. Если кольцо R является атомарным, то для любого ненулевого неединичного r £ R эластичность r определяется следующим образом:

mi

p(r) = sup{ — |n,m £ L(r)}, n

R

p(R) = sup {p(r)},

r£R1 18

где R1 есть множество ненулевых неединичных элементов R. R называется полностью эластичным, если для каждого рационального числа q, большего 1, существует некоторый ненулевой неединичный элемент r Е R, для которого q = p(r).

Теорема 2. Кольцо Int(Zp) имеет бесконечную эластчность, то есть

p(Int(Zp)) = то.

Доказательство. В работе [3] было доказано, что р(Zpn[x]) = то. Для этого был построен неприводимый полином f (x) и доказана неприводимость полинома fq(x) + pn-\ где q - большое простое число. Для полинома g(x) из формулы

g(x) = (fq (x) + pn-1)2 = fq (x)(fq (x) + 2pn-1)

следует, что разложение слева имеет два неприводимых множителя, а в разложении справа q + 1 неприводимый множитель. В силу модификации леммы Гензеля [4] два разложения для g(x) можно продолжить на разложение в кольце Int(Zp). Наличие двух таких разложений для g(x) и доказывает теорему.

Замечание.В работ,ах [5, 4] было доказано, что p(Int(Z)) = то, и доказана полная эластичность кольца Int(Z).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Frei Ch., Frisch S. Non-unique factorization of polynomials over residue class rings of the integers // Comm. Algebra. 2011. Vol. 39. P. 1482 - 1490.

2. Cohen P. J., Chabert J. L. Integer-valued polynomials // vol. 48 of Mathematical Surveys and Monographs, Amer. Math. Soe,, 1997.

3.Frisch S. A construction of integer-valued polynomials with prescribed sets of lengths of factorizations // Comm. Algebra. 2012. Vol. 42. P. 473 - 481

4.Has.se H. Number theory. Berlin : Springer-Verlag. 2002.

5. Chapman S. Т., McClain B.A. Irreducible polynomials and full elasticity in rings of integer-valued polynomials // J. Algebra. 2005. Vol. 293. P. 595 - 610.