CC BY
61
2013 Теоретические основы прикладной дискретной математики №4(22)
УДК 512.714
ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НАД ПРИМАРНЫМИ КОЛЬЦАМИ
А. В. Карпов
Национальный исследовательский Томский государственный университет, г. Томск,
Россия
E-mail: karpov@isc.tsu.ru
Изучаются вопросы обращения перестановочных многочленов над примарным кольцом Zpk, где p — простое и k > 1. Устанавливаются необходимые и достаточные условия того, что два перестановочных многочлена являются взаимно обратными по модулю pk. Доказывается рекуррентная формула для нахождения обратного перестановочного многочлена по модулю pk на основе известного обращения по модулю p2. Предлагается метод построения пар взаимно обратных
k «-»«.»
многочленов по модулю p на основе одной такой пары.
Ключевые слова: перестановочные многочлены, примарные кольца, полиномиальные перестановки.
Введение
Рассматриваются многочлены с целыми коэффициентами от одной переменной. Каждый многочлен f (x) индуцирует соответствующую функцию f : Z ^ Z, значения которой можно рассматривать по разным модулям п, т. е. f /п : Zn ^ Zn. Многочлен f (x) называется перестановочным по модулю п (над Zn), если соответствующая ему функция f /п : Zn ^ Zn является биективной. Многочлен g(x) называется обратным к f (x) по модулю п, если для любого целого с выполняется g(f (с)) = с (mod n). При этом многочлены f (x) и g(x) называются взаимно обратными по модулю п (над Zn).
Изучение перестановочных многочленов как таковых было начато в 1863 г. [1]. История развития этой области до 1922 г. освещена в [2]. Наиболее полный обзор современных и не только результатов, связанных с перестановочными многочленами над конечными полями, приведён в [3]. Вопросы, связанные с представимостью функций k-значной логики полиномами, в наиболее общем виде обсуждаются в [4]. В настоящее время появляются работы, связанные с перестановочными многочленами специального вида и их обращением [5-9], а также с различными прикладными вопросами, в том числе с применением перестановочных многочленов в криптографии и теории кодирования [10, 11]. Изучается строение группы перестановочных многочленов над конечным целочисленным кольцом [12].
В [13] приведен критерий перестановочности над произвольным кольцом классов вычетов целых чисел, из которого видно, что ключевым является случай примарных колец Zpk, о котором и пойдёт речь далее.
1. Построение взаимно обратных многочленов
Исследование перестановочных многочленов над примарными кольцами начато в [14] для случая p =2. Изучение некоторых частных случаев можно найти в [15]. В общем случае перестановочные многочлены над кольцами Zpk рассматриваются в [13], откуда известен следующий
Критерий перестановочности над Zpk. Целочисленный многочлен является перестановочным над кольцом Zpk тогда и только тогда, когда он является перестановочным над полем Zp и его производная не обращается в ноль в Zp.
Из приведённого критерия видно, что перестановочный над Zp2 многочлен является
k
перестановочным и по всем примарным модулям pk и что задача построения перестановочных над Zpk многочленов сводится к построению перестановочных над полем Zp многочленов /p(x) и многочленов /0(x), индуцирующих нулевую по модулю p функцию, таких, что /p(x) + /0(ж) не имеет корней в Zp.
Далее предлагается метод построения пар взаимно обратных многочленов по модулю pk на основе одной такой пары.
Пусть /p(x) и gp(x) —взаимно обратные многочлены по модулю pk. Следующая теорема позволяет обратить многочлен /(x) = /p(x) + /о(ж), используя известное обращение gp(x), при дополнительных ограничениях на /о(ж).
Теорема 1. Пусть многочлены /p(x) и gp(x) —взаимно обратные по модулю pk, а многочлены /0(x) и /0 (x) индуцируют нулевые функции по модулям рГк/21 и pLk/2J соответственно. Тогда обратным к / (x) по модулю pk является многочлен
g(x) = gp(x) - /o(gp(x))gpp(x)-
Доказательство. Выберем произвольный x Є Zpk и рассмотрим суперпозицию
g(/(x)) = gp(/(x)) - ЛЫ/(x))) gp(/(x))- (i)
'-----v-----' p
(*)
Так как /(x) = /p(x) + /o(x) и /o(x) = 0 (mod p^k/21), то gp(/(x)) = gp(/p(x) + /о(x)) = = gp(/p(x)) + /0(x)gp(/p(x)) (mod pk), gp(x) —обратный к /p(x) над Zpk, следовательно,
gp(/(x)) = x + /^0(x)gp(/p(x)) (mod pk)- (2)
Подставляя (2) в (*) выражения (1), получаем
/0(gp(/(x))) = /^0(x + /0(x)gp(/p(x))) = /0(x) + /0(x)/0(x)gp(/p(x)) (mod pk)-Так как /(x) = 0 (mod pLk/2j), то второе слагаемое в правой части последнего равен-
k
ства равно нулю по модулю pk и
/0(gp(/(x))) = /(x) (mod pk)- (3)
Далее заметим, что gp(/(x)) = gp(/p(x)) + /0(x)gp;(/p(x)) (mod pk), а значит, ввиду /о (x) = 0 (mod pk), с учётом (3) получим
/0(gp(/(x)))gp(/(x)) = /0(x)gp(/p(x)) (mod pk)- (4)
Подставляя (2) и (4) в (1), получаем
g(/(x)) = x + /^0(x)gp(/p(x)) - /^0(x)gp(/p(x)) = x (mod pk)-
Так как x — произвольный, то g(x) является обратным к /(x) над Zpk. ■
Пример 1. Построим на основе теоремы 1 обратный многочлен к многочлену /(x) = 2x + 2x2 — x4 + x6 + 3x8 + 3x10 + x12 по модулю 27. Многочлен /p(x) = 2x линеен, и обратный к нему над Z27 равен gp(x) = 14x. В этом случае
/0(x) = 2x2 — x4 + x6 + 3x8 + 3x10 + x12
и вместе со своей производной он индуцирует нулевые функции по модулям 9 и 3 соответственно. Многочлен / (x) удовлетворяет условиям теоремы 1, и обратный к нему найдём как
g(x) = gp(x) — /0(gp(x))gp (x) = 14x + 20x2 + 11x4 + 4x6 + 3x8 + 21x10 + 22x12. Многочлен g(x) индуцирует перестановку
(1,14, 7, 26,13, 20,19, 23, 25, 8, 3, 2,10,5,16,19, 22,11)(3, 6, 21,15,12, 24)(9,18), которая, как видно, является обратной к
(1,11, 22,17,16, 5,10, 2, 4,8, 25, 23,19, 20,13, 26, 7,14)(3, 24,12,15, 21, 6)(9,18),
индуцированной / (x).
Помимо порождения целого класса взаимно обратных по модулю pk многочленов из одной пары взаимно обратных, теорема 1 позволяет свести задачу обращения /(x) над Zpk к задаче обращения /p(x) = /(x) — /0(x) над Zpk, которая может оказаться проще. Так, в примере 1 многочлен /2(x) имеет достаточно сложную форму, но в силу того, что /p(x) линеен, обратить его оказывается несложно.
2. Условия на взаимно обратные многочлены, формула подъёма
Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия того, что два многочлена являются взаимно обратными.
Теорема 2. Пусть многочлен /(x) —перестановочный по модулю pk. Тогда многочлен g(x) является обратным к /(x) по модулю pk, если и только если выполняются следующие два условия:
1) для любого целого x выполняется
//(x)g/(/(x)) = 1 (mod pLk/2j); (5)
2) g(x) обращает /(x) в pl"k/21 различных по модулю pl"k/21 точках.
Доказательство. Необходимость. Второе условие выполняется очевидным образом. Покажем, что выполняется условие 1. Для этого зафиксируем произвольный x Є Zpk, придадим ему приращение h = pTk/21. Тогда h2 = 0 (mod pk) и разложение g(/(x + h)) по степеням h принимает вид
g(/(x + h)) = g(/(x)) + h//(x)g/(/(x)) (mod pk). (6)
Так как g(x) является обратным к /(x) над Zpk, то (6) можно переписать в виде
h = h//(x)g/(/(x)) (mod pk),
откуда делением обеих частей на h получаем (5), и условие 1 выполняется в силу произвольности выбранного x.
Достаточность. Очевидно, что из рГк/21 различных по модулю рГк/21 точек путём прибавления к ним слагаемых pl"fc/2ll, где l Е {0,1,... ,p^fc/2J — 1}, можно получить все элементы Zpk. Следовательно, так как выполняется условие 2, произвольный элемент кольца Zpk можно представить в виде x+pTfc/2ll, где x такой, что g(/ (x)) = x (mod pk), а l Е {0,1,...,pLfc/2j — 1}. Тогда g(/ (x + pl"fc/2ll)) = x + pTfc/2ll/ '(x)g (/(x)) (mod pk), что, в силу условия 1, эквивалентно g(/(x + p^fc/2ll)) = x + p^fc/2ll (mod pk). Так как x + pl"fc/2li — произвольный элемент кольца Zpk, то g(x) — обратный к /(x) многочлен над Zpk. ■
В ходе исследования было замечено, что многочлен g(x), удовлетворяющий условию 1 теоремы 2, скорее всего, оказывается перестановочным. Можно также отметить, что, судя по примерам, перестановки, порождаемые взаимно обратными по модулю многочленами, коммутируют по модулю pfc+1.
Далее излагается метод обращения целочисленного многочлена, перестановочного по всем примарным модулям pn. Обращение осуществляется рекурсивно, начиная с известного обращения по модулю при произвольном k > 1.
Понадобится
Следствие 1. Пусть многочлены /(x) и g(x) — взаимно обратные по модулю . Тогда имеет место равенство
g(/(x)) = x + h0(x) (7)
где многочлены ho(x) и h0(x) индуцируют нулевые функции по модулям и pLfc/2j соответственно.
Доказательство. Так как g(x) является обратным к /(x) над Zpk, то их суперпозиция — тождественная функция, а значит, g(/(x)) = x + h0(x) и h0(x) = 0 (mod ) для всех x Е Zpk. Из этого же следует, что выполняется условие 1 теоремы 2, а значит, [g(/(x)]' = g'(/(x))/'(x) = 1 = 1 + h0(x) (mod p^fc/2j) для произвольного x Е Zpk. ■
Следующая теорема позволяет «поднимать» обратный по модулю многочлен до обратного по модулю Lfc/2J.
Теорема 3. Пусть многочлен /(x) —перестановочный над Zpk, g. (x) —обратный к / (x) над Zpk, k > 1. Тогда обратным к /(x) по модулю pfc+Lfc/2j является многочлен
gfc+Lfc/2j(x) = 2gfc (x) — gfc (/(gfc (x))). (8)
Доказательство. Используя (7), равенство (8) можно переписать в виде gfc+|_fc/2j(x) = (x) — h0(gk(x)). Выберем произвольный x Е Zpk и рассмотрим суперпозицию gfc+|fc/2j(/(x)) = (/(x)) — h0(gfc(/(x))). Так как ^(x) = (/(x)) — x, получаем
gfc+|_fc/2j(/(x)) = x + h0(x) — h0(x + h0(x)). Далее h)(x + h0(x)) = h0(x) + h0(x)h0(x) и, в силу следствия 1, слагаемое h0(x)h0(x) обращается в ноль по модулю pfc+Lfc/2j при любом x Е Zpk. Окончательно получаем gk+|fc/2j(/(x)) = x + h0(x) — h0(x) = x (mod pfc+Lfc/2j), что, в силу произвольности выбранного x, и доказывает теорему. ■
Пример 2. Рассмотрим многочлен /(x) = x3 + x. Над Zg он индуцирует перестановку (1, 2)(4, 5)(7, 8) и, как видно, является обратным к самому себе. Над Z27 /(x) индуцирует следующую перестановку:
(1, 2,10,11,19, 20)(4,14)(5, 22)(7, 26, 25,17,16, 8)(13, 23),
и над Z27 себя уже не обращает. По теореме 3 найдём обратный к /(x) над Z27 многочлен. Используем (8), где g2(x) = /(x). Найдём g3(x) = 2/(x) — /(/(/(x))):
g3(x) = x — x3 + 18x5 + 3x7 + 6x11 + 6x13 + 24x15 + 15x19 + 21x21 + 18x23 + 18x25 — x27.
Перестановка, индуцируемая полученным g3(x):
(1, 20,19,11,10, 2)(4,14)(5, 22)(7, 8,16,17, 25, 26)(13, 23),
обратна к перестановке, индуцированной /(x).
Теорема 3 позволяет свести задачу обращения заданного перестановочного многочлена /(x) по модулю pk к задаче обращения /(x) по модулю р2. Таким образом, имея известное обращение по модулю р2, по формуле (8) можно обратить заданный многочлен по модулю pk для произвольного k.
Заключение
Рассмотрение вопросов перестановочности над конечным целочисленным кольцом сводится к случаю колец классов вычетов целых чисел по примарным модулям p..
Теорема 1 даёт метод построения пар взаимно обратных по модулю p. перестановочных многочленов на основе одной такой пары, а также позволяет в некоторых случаях существенно упростить обращение. Формула (8) сводит задачу обращения по модулю pk к обращению по модулю р2 с последующим «подъёмом» решения, осуществляемым с модуля рк на модуль pfc+Lfc/2j. Получены необходимые и достаточные условия того, что два перестановочных многочлена являются взаимно обратными по модулю p. (теорема 2).
Краткое изложение представленных результатов можно найти в [16].
ЛИТЕРАТУРА
1. Hermite С. Sur les fonctions de sept lettres // C. R. Acad. Sci. Paris. 1863. V. 57. P. 750-757.
2. Dickson L. E. History of the Theory of Numbers. Carnegie Institute, Washington, D. C., 1923. V. 3.
3. ЛидлР., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Т. 1, 2. М.: Мир, 1988.
4. Мещанинов Д. Г. Метод построения полиномов для функций k-значной логики // Дискретная математика. 1995. Т. 7. №3. С. 48-60.
5. Caceres A. and Colon-Reyes O. Some criteria for permutation binomials. Preprint. University of Puerto Rico at Humacao, 1997.
6. Akbary A. and Wang Q. On some permutation polynomials over finite fields // Intern. J. Math. Math. Sci. 2005. V.2005. Iss. 16. P. 2631-2640.
7. Diaz-Vargas J., Rubio-Barrios C. J., Sozaya-Chan J.A., and Tapia-Recillas H. Self-invertible permutation polynomials over Zm // Intern. J. Algebra. 2011. V. 5. No. 23. P. 1135-1153.
8. Ryu J. and Takeshita O. Y. On quadratic inverses for quadratic permutation polynomials over integer rings // IEEE Trans. Inform. Theory. 2006. V. 52. Iss.3. P. 1254-1260.
9. Wu B. and Liu Z. The compositional inverse of a class of bilinear permutation polynomials over finite fields of characteristic 2 // arxiv.org/abs/1301.0070. January 2013.
10. Varadharajan V. Cryptosystems based on permutation polynomials // Intern. J. Computer Math. 1988. V. 23. Iss. 3-4. P. 237-250.
11. Sun J. and Takeshita O. Y. Interleavers for turbo codes using permutation polynomials over integer rings //IEEE Trans. Inform. Theory. 2005. V. 51. Iss. 1. P. 101-119.
12. Frisch S. and Krenn D. Sylow p-groups of polynomial permutations on the integers mod pn // arxiv.org/abs/1112.1228. December 2011.
13. Li S. Permutation polynomials modulo m // arxiv.org/pdf/math/0509523.pdf. February 2008.
14. Rivest R. L. Permutation polynomials modulo 2w // Finite Fields and Their Applications. 2001. No. 7. P. 287-292.
15. Singh R. P. and Maity S. Permutation polynomials modulo pn // eprint.iacr.org/2009/ 393.pdf. 2009.
16. Карпов А. В. Обращение перестановочного многочлена над примарным кольцом // Меж-дунар. конф. «Алгебра и логика: теория и приложения». Тез. докл. Красноярск: СФУ, 2013. С. 60-61.
