Аддитивный подход к определению степени нелинейности дискретной функции на циклической группе примарного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

2013 Теоретические основы прикладной дискретной математики №2(20)

УДК 519.719.325

АДДИТИВНЫЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ СТЕПЕНИ НЕЛИНЕЙНОСТИ ДИСКРЕТНОЙ ФУНКЦИИ НА ЦИКЛИЧЕСКОЙ ГРУППЕ ПРИМАРНОГО ПОРЯДКА1

А. В. Черемушкин

Институт криптографии связи и информатики, г. Москва, Россия

E-mail: avc238@mail.ru

Предлагается подход к определению степени нелинейности дискретных функций, заданных на циклической группе примарного порядка. Найдены верхние оценки степени нелинейности. Показано, что для полиномиальных функций над кольцом Zpn степень нелинейности функции совпадает с минимальной степенью многочлена, задающего эту функцию.

Ключевые слова: дискретные функции, степень нелинейности.

Введение

В работе [1] предложен аддитивный подход к определению степени нелинейности функции на основе свойств конечных производных. Его суть заключается в следующем. Для функций F : G ^ H, у которых на множествах G и H заданы структуры абелевых групп, производная по направлению AaF, а Е G, функции F определяется равенствами

AaF (x) = F (x + а) — F (x),

где x Е G. Степенью нелинейности функции F : G ^ H (обозначается dl F) называется минимальное натуральное число m, такое, что

Aai ... Aam+1 F (x) = 0

при всех ai,... , am+i, x Е G. Если такого числа m не существует, то полагаем dl F = то.

В [1] показано, что в случае элементарных абелевых р-групп степень нелинейности функции рп-значной логики полностью определяется свойствами операции сложения. Поэтому при любом способе задания на этой группе операции умножения так, чтобы в результате получилось поле из рп элементов, степень нелинейности функций инвариантна по отношению к выбору операции умножения.

В случае произвольных абелевых групп вопрос о свойствах параметра dl F остается открытым.

В данной работе изучается случай циклических групп. Показано, что параметр dl может принимать конечное значение только в случае, когда циклические группы являются р-группами при некотором р ^ 2 (теорема 1). Для случая примарных циклических групп найдены верхние оценки степени нелинейности (теоремы 2 и 3) и показано, что для полиномиальных функций над кольцом Zpn степень нелинейности функции совпадает с минимальной степенью многочлена, задающего эту функцию (теорема 6).

1 Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ НШ №6260.2012.10.

1. Вспомогательные утверждения

В дальнейшем потребуются следующие свойства биномиальных коэффициентов. Лемма 1. Пусть ^р{к} —максимальная степень числа р, делящая число к. Тогда при 1 ^ к ^ рп справедливо равенство

^ {Ск )} = п — ^р{к}’

( рП

Доказательство. Рассмотрим числитель и знаменатель выражения для (

Л1

рп\ рп(рп — 1) ■ ... ■ (рп — к + 1)

" 1-2-...-к '

Нетрудно видеть, что при 1 ^ і ^ к — 1 выполнено равенство ^р{рп — і} = ^р{і}. рп\ 1 (рп

к) I РЛ ~к

Поэтому ир \ ( > = ир \ — > = ир{п} — ^р{к} = п — ^р{к}.

В частности, минимальное значение при 1 ^ к ^ рп — 1 достигается для к = *рп :, 1 ^ ^ р — 1, и равно

"• {(£■)}="• {(,--)}='■

Лемма 2. При всех 2 ^ к ^ п и 1 ^ ^ р — 1 справедливо равенство

грк-.) = Ср*-2) ^ рк )•

Доказательство. Имеем

рк ) _ рк(рк — 1) ■ • • • ■ (рк — ра) ■ • • • ■ (рк — грк_1 + 1) _

чірк-1/ 1 ■ 2 ■ ... ■ ра ■ ... ■ (ірк-1 — 1)ір^-1

__р(рк — 1)(рк — 2) ■ ... ■ (рк-1 — а) ■ ... ■ (рк — ірк-1 + 1)

1 ■ 2 ■ ... ■ а ■ ... ■ (ірк-1 — 1)і

(mod рк).

Заметим, что в знаменателе все сомножители, не кратные р, являются обратимыми элементами кольца Zpn. Каждому сомножителю вида ра соответствует в числителе

сомножитель вида рк — ра, 1 ^ а < ірк-1 — 1. Всего сомножителей, кратных р, ров-

• к— 2 но ірк 2.

Представим теперь последнюю дробь в виде произведения двух сомножителей, в первый из которых включим все сомножители числителя и знаменателя, взаимно простые с р, а во второй — все кратные р, разделив каждый из них на р:

(рк — 1)(рк — 2) ■ ... ■ (рк — ірк-1 + 1) рк-1(рк-1 — 1) ■ ... ■ (рк-1 — ірк-2 + 1)

1 ■ 2 ■ ... ■ (ірк-1 — 1) 1 ■ 2 ■ ... ■ (ірк-2 — 1)ірк—2

Осталось заметить, что для каждого і, лежащего в интервале 1 ^ і ^ ірк-1 — 1 и взаимно простого с р, выполняется сравнение

к

р^і ^ — = —1 (modрк). іі

Таким образом,

pk ) _ (—1)(—2) ■ ■ ■ ■ ■ (—ipk-i + 1) (р‘-1 ) - (—1),p‘-1-ip*-2 (р‘-‘ ) (modpk).

ipk-i/ 1 ■ 2 ■ ... ■ (ipk-i — 1) \ipk-2J \ipk-2

При p > 2 или при p = 2 и k > 2 число ipk-i — ipk-2 = ipk-2(p — 1) является чётным. При p = k = 2 имеем Г J — Г ) (mod 22). ■

21

Следствие 1. При всех 2 ^ k ^ n и 1 ^ i ^ p — 1 справедливы сравнения

ipt)=G;j) <mod pk-j >. 1«j«k -1,

в частности,

i^-J = (pi <modp).

Доказательство. Достаточно показать, что при 3 ^ k ^ n выполнено сравнение

ppk-i) = £,-) <mod pk-i).

Имеем

^-i) = (Ppk-2)(mod pk)•

Ppk-2) = (ppk-з)(mod pk-1).

Осталось заметить, что если а — b (modpk), то а — b (modpk-i). ■

Аналогично лемме 2 доказывается

Лемма 3. При 1 ^ k ^ n, 1 ^ r ^ p — 1 и 1 ^ i ^ p — 1 справедливо равенство

pk — rpk-i) _ (pk-i — rpk-2) k

ppk-i J = v ppk-2 J p).

Следствие 2. При всех 2 ^ k ^ n, 1 ^ r ^ p — 1 и 1 ^ i ^ p — 1 справедливы

сравнения

(pk "ЛГ) = (pk-;-kjri) (modpk-j), 1 < j < k — 1,

в частности, ) ( )

pk rpk- i p r

p—pk- )=(p —)(modp).

Доказательство проводится аналогично.

Следствие 3. При всех 2 ^ k ^ nr и 1 ^ i ^ p — 1 выполняется сравнение

M-tV-'-') --‘>'(p — ‘) " "”odp).

Доказательство. С учётом предыдущего следствия достаточно показать, что

(— 1)г^Р . ^ ■ 1 (modp).

Воспользуемся индукцией по i. При i =1 сравнение очевидно. Если доказано, что

(-1)t-1(j_ ^ ■ 1 (modp^

то с учётом (i,p) = 1 получаем

‘-Ч' _') _ ■='_»'(: _ ,‘)Е^_ ■ ■■_'>( ^+0 ■»■

Следствие доказано. ■

2. Сведение к случаю примарных циклических групп

Покажем, что параметр dl F в случае, когда на множестве аргументов и значений заданы структуры циклических групп, может принимать конечные значения только тогда, когда порядки групп являются примарными числами.

Теорема 1. Если F : Gm ^ H, где G и H — циклические группы порядков g ^ 2 и h ^ 2 соответственно, причём dl F < то, то выполнены равенства g = pn и h = pk при некоторых простом p ^ 2, натуральных n ^ 1 и k ^ 1.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай m =1. Пусть p — простой делитель числа h и F'(x) = F(x) (mod p), x Є G. Представим значения функции F в виде вектора (F'(1),... , F'(g — 1), F'(0)). Действие производной Д1 на функцию F' можно представить как умножение вектора значений на матрицу А над полем Zp, где

/ —1 0 .. . 0 1

1 —1 .. . 0 0

A= 0 1 .. . 0 0

0 0 .. ■ —1 0

V 0 0 .. ■ 1 —1

В этой матрице сумма строк равна нулю. Характеристический многочлен матрицы A над полем Zp равен

Xa(A) = |А — AE| = Л ((_1)g-1(A + 1)g-1 + (—1)g-2) = (_1)g-1A((A + 1)g-1 — 1) =

= (_1)g-1 A (A“_1 + (g) AS"2 + (g) AS"3 + + (g _ 2) A + (g _ 1)) ■

При g = pn все биномиальные коэффициенты в записи характеристического многочлена равны нулю по модулю p (лемма 1). Поэтому Xa(A) = (—1)g-1Ag (modp) и граф линейного преобразования с матрицей A содержит один единичный цикл в точке (0, 0,... , 0), а все остальные векторы лежат на подходах к этому циклу (см., например, [2]). Отсюда следует, что последовательность производных Д^1, i = 1, 2,... , всегда сходится к нулю.

Если же g не является примарным числом вида pn, то среди биномиальных коэффициентов в записи характеристического многочлена найдутся не сравнимые с нулем по

модулю р. Поэтому характеристический многочлен Xa(A) не равен (— 1)g-1Ag (modр) и в графе линейного преобразования с матрицей A есть циклы, отличные от единичного в точке (0, 0,..., 0). Следовательно, последовательность значений производных при соответствующих значениях аргумента является периодической и степени производной A^F никогда не обратятся в нуль.

Теперь легко видеть, что число h также должно быть примарным. Если оно составное, то, проводя аналогичные рассуждения для делителей числа h, отличных от р, убеждаемся, что сходимость к нулю не будет иметь места.

Пусть теперь m > 1. Если для функции от m переменных последовательность производных сходится к нулю, то и для функций от одной переменной, полученных фиксацией всех переменных, кроме одной, также выполнено это свойство. Поэтому, в силу доказанного выше, порядок группы G должен быть примарным числом. ■

Заметим, что теорему 1 можно сформулировать в более общем виде.

Теорема 1;. Если F : G1 х • • • х Gm ^ H1 х • • • х Ht, где G^ и Hj — циклические группы, 1 ^ i ^ m, 1 ^ j ^ t, причём dl F < то, то найдётся простое число р ^ 2, такое, что |Gj | = pni и |Hj | = pkj при некоторых щ ^ 1, 1 ^ i ^ m, kj ^ 1, 1 ^ j ^ t.

Доказательство по сути остается неизменным.

3. Оценка параметра dl(F) для функций на примарных

циклических группах

Пусть на множестве аргументов и значений произвольной функции F : G ^ H задана структура циклической абелевой р-группы примарного порядка: G = Zpn и H = Zpk, р ^ 2, n, k ^ 1. Покажем, что параметр dl F принимает конечное значение.

Теорема 2. Если F : G ^ H, G = Zpn, H = Zpk, р ^ 2, то

dl F ^ рп + (k - 1)(р - 1)рп-1 - 1.

Доказательство. Так как производная суммы функций равна сумме производных, то достаточно рассмотреть случай, когда функция F принимает единственное ненулевое значение. Пусть F(1) = • • • = F(рп — 1) = 0 и F(0) = 1. Рассмотрим последовательность производных

A„F, A^F = A„A„F, A^F = A„A„A„F, ...

Сначала рассмотрим случай a = 1. Соберём значения производных в табл. 1 для р =2 и табл. 2 для р > 2 (все значения в таблицах приводятся по модулю рк).

Имеем при 0 ^ i ^ рп — 1

A{F(рп - i) = (-1)i+j j mod рк.

При i = рп значение A1 F(0) равно 2 при р =2 и нулю при р > 2.

Из таблиц и из леммы 1 следует, что производная Ap F является первой, для которой все значения принадлежат идеалу pZpk. Сформулируем свойства элементов в строке с номером рп более точно:

1) р значений, соответствующих значениям аргумента вида ipn-1, 0 ^ i < р, лежат в pZpk;

2) р2 - р значений, соответствующих оставшимся значениям аргумента вида ip”'-2, 0 ^ i < р2, лежат в р^pk;

Таблица 1 Значения производных Д\Р для случая р = 2

Значения производных Д^ для случая р > 2

3) р3 — р2 значений, соответствующих оставшимся значениям аргумента вида ірп-3, 0 ^ і < р3, лежат в p3Zpk, и т.д.;

4) рп-1 — рп-2 значений, соответствующих оставшимся значениям аргумента вида ір, 0 ^ і < рп-1, лежат в рп-1Ърк;

5) остальные (р — 1)рп-1 элементов лежат в рпЪрк.

Из лемм 1-3 следует также, что для других строк выполнены следующие свойства:

1) через каждые р шагов в строках с номерами, кратными р, стоят производные, у которых все значения кратны р, за исключением тех, которые соответствуют аргументам вида ір, 0 ^ і < рп-1;

2) через каждые р2 шагов в строках с номерами, кратными р2, стоят производные,

2 п — 2

у которых все значения кратны р2, за исключением рп 2 значений, соответствующих аргументам вида ір2, 0 ^ і < рп-2, лежащих в Zpk, и рп-1 — рп-2 значений, соответствующих оставшимся значениям аргумента вида ір, 0 ^ і < рп-1, лежащих в pZpk, и т. д.;

3) через каждые рп-1 шагов в строках с номерами, кратными рп-1, стоят производные, у которых все значения кратны рп-1, за исключением тех, которые соответствуют аргументам вида ір, 0 ^ і < рп-1.

Покажем, что все значения Др 1)р ^ лежат в р2Ърк.

Для этого представим функцию Др Е в виде суммы Д1 Е = Е0+Е\, где функция Е0

грПЪ _________________________________________ -■

отличается от Др Е тем, что у неё значения в точках х = ірп , і = 1,... ,р — 1, те же, а остальные равны нулю. В этом случае все значения функции Е1 лежат в р2Ърк.

Рассмотрим значения функции Е0.

С помощью леммы 2 и следствия из неё можно сводить изучение значений элементов по модулю р*-1, стоящих в строке с номером р*, 1 ^ і ^ п, на местах с номерами р*-1, 2р*-1, ..., (р — 1)р*-1, р*, к рассмотрению элементов, стоящих в строке с номером р*-1 на местах с номерами р*-2, 2р*-2, ..., (р — 1)р*-2, р*-1, и т. д.

Тем самым фактически для изучения значений элементов таблиц по модулю р, стоящих в строках с номерами ір*-1, 1 ^ і ^ п, 0 ^ і ^ р — 1, можно редуцировать табл. 2, уменьшив её в рп-1 раз до размера р х р, и изучить поведение ненулевых по модулю р значений в строках с номерами і, 0 ^ і ^ р — 1. Пример, иллюстрирующий вид табл. 2 для случая р = 5 и п = к = 2, приведён в табл. 3.

Таблица 3 Значения производных для случая р = 5 и п = к = 2

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1 1 24

2 1 23 1

3 1 22 3 24

4 1 21 6 21 1

5 1 20 10 15 5 24

6 1 19 15 5 15 19 1

7 1 18 21 15 10 4 7 24

8 1 17 3 19 20 19 3 17 1

9 1 16 11 16 1 24 9 14 9 24

10 1 15 20 5 10 23 10 5 20 15 1

11 1 14 5 10 5 13 12 20 15 20 11 24

12 1 13 16 5 20 8 24 8 20 5 16 13 1

12 1 12 3 14 15 13 16 9 12 10 11 22 13 24

14 1 11 16 11 1 23 3 18 3 23 1 11 16 11 1

15 1 10 5 20 15 22 5 15 10 20 3 10 5 20 15 24

16 1 9 20 15 20 7 8 10 20 10 8 7 20 15 20 9 1

17 1 8 11 20 5 12 1 2 10 15 23 24 13 20 5 14 17 24

18 1 7 3 9 10 7 14 1 8 5 8 1 14 7 10 9 3 7 1

19 1 6 21 6 1 22 7 12 7 22 3 18 13 18 3 24 19 4 19 24

20 1 5 15 10 20 21 10 5 20 15 6 15 20 5 10 21 20 10 15 5 1

21 1 4 10 20 10 1 14 20 15 20 16 9 5 10 5 11 24 15 5 15 21 24

22 1 3 6 10 15 16 13 6 20 5 21 18 21 5 20 6 13 16 15 10 6 3 1

23 1 2 3 4 5 1 22 18 14 10 16 22 3 9 15 11 7 3 24 20 21 22 23 24

24 1 1 1 1 1 21 21 21 21 21 6 6 6 6 6 21 21 21 21 21 21 1 1 1 1

25 0 0 0 0 20 0 0 0 0 10 0 0 0 0 15 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0

26 0 0 0 20 5 0 0 0 10 15 0 0 0 15 10 0 0 0 5 20 0 0 0 0 0

27 0 0 20 10 20 0 0 10 5 10 0 0 15 20 15 0 0 5 15 5 0 0 0 0 0

28 0 20 15 10 5 0 10 20 5 15 0 15 5 20 10 0 5 10 20 20 0 0 0 0 0

29 20 20 20 20 20 10 10 10 10 10 15 15 15 15 15 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0

30 0 0 0 0 15 0 0 0 0 5 0 0 0 0 15 0 0 0 0 20 0 0 0 0 20

31 0 0 0 15 10 0 0 0 5 20 0 0 0 15 10 0 0 0 20 5 0 0 0 20 5

32 0 0 15 20 15 0 0 5 15 5 0 0 0 0 15 0 0 20 10 20 0 0 20 10 20

33 0 15 5 20 10 0 5 10 15 20 0 0 0 0 15 0 20 15 10 5 0 20 15 10 5

34 15 15 15 15 15 5 5 5 5 5 15 15 15 15 15 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

35 0 0 0 0 15 0 0 0 0 10 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20

36 0 0 0 15 10 0 0 0 10 15 0 0 0 5 20 0 0 0 0 0 0 0 0 20 5

37 0 0 15 20 15 0 0 10 5 10 0 0 5 15 5 0 0 0 0 0 0 0 20 10 20

38 0 15 5 0 10 0 10 20 5 15 0 5 10 15 20 0 0 0 0 0 0 20 15 10 5

39 15 15 15 15 15 10 10 10 10 10 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 20 20 20 20 20

40 0 0 0 0 20 0 0 0 0 20 0 0 0 0 20 0 0 0 0 20 0 0 0 0 20

41 0 0 0 20 5 0 0 0 20 5 0 0 0 20 5 0 0 0 20 5 0 0 0 20 5

42 0 0 20 10 20 0 0 20 10 20 0 0 20 10 15 0 0 20 10 20 0 0 20 10 20

43 0 20 15 10 5 0 20 15 10 5 0 20 15 10 5 0 20 15 10 5 0 20 15 10 5

44 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Рассмотрим кратные производные для функции, полученной в результате такого редуцирования. Пусть

pR(i) = F0(ipra-1) = Д1 F(ipn-1) mod p2, 1 ^ i ^ p — 1,

где R : Zp ^ Zp — функция, полученная в результате редуцирования.

Воспользуемся также следующей очевидной леммой.

Лемма 4. Для любой функции F : G ^ G, G = ZM, M > 2, удовлетворяющей условию

M-1

^ F(x) = 0 (mod M),

ж=0

существует функция F* : G ^ H, такая, что Д^* = F.

Доказательство. Используя равенства F(x) = F*(x +1) — F*(x), 0 ^ x ^ M — 1, составим систему уравнений в Zm для значений функции F*:

F *(1)= F *(0) + F (0),

F *(2)= F*(1) + F (1),

F*(M — 1) = F*(M — 2) + F (M — 2),

M1

F*(0) = F*(M - 1) + F(M - 1) = F*(0) + E F(x).

ж=0

Теперь, выбирая произвольное значение F*(0), можно однозначно вычислить все остальные значения функции F*. ■

В силу леммы 4 можно считать, что сама функция R является производной некоторой функции R*. Так как для любой функции от одной переменной по модулю р её производная степени р равна нулю, то

A1-1R = A1R* = 0 mod р.

Это означает, что Д1

pn+(p-1)pn

F (x) = 0 mod p2 при всех x Є Zpn. (Другой способ

доказательства этого факта основан на следствии 3. Если увеличить на 1 значения функции в точках грп-1, то получаются значения, кратные р, причем значения последующих производных в этих точках не изменятся. Поэтому через рп шагов все значения будут кратны р2.)

Для рассмотренного выше примера из табл. 3 для рп = 25 функция R и её производные приведены в табл. 4.

Таблица 4 Значения производных функции К

случая p — 5 и n —

x 1 2 3 4 0

R* 0 4 1 4 0

R 4 2 3 1 0

Д \R 3 1 3 4 4

Д 1R 3 2 1 0 4

Д1 R 4 4 4 4 4

Д1 R 0 0 0 0 0

pn+(p- 1)pn

Теперь строка значений функции Д1 ными рассмотренной выше строке значений Д1 F:

F обладает свойствами, аналогич-

1) р значений, соответствующих значениям аргумента вида ipra-1, 0 ^ i < р, лежат в p2Zpk;

2) р2 - р значений, соответствующих оставшимся значениям аргумента вида ipn—2,

0 ^ i < р2, лежат в p3Zpk;

3) р3 -р2 значений, соответствующих оставшимся значениям аргумента вида ipn—3,

0 ^ i < р3, лежат в p4Zpk, и т.д.;

4) рп—2 - рп—3 значений, соответствующих оставшимся значениям аргумента вида ip2, 0 ^ i < рп—2, лежат в рп—-^k;

5) остальные рп - рп—2 элементов лежат в pnZpk.

Аналогично рассуждая, получаем, что все значения Ap +2(p 1)p F лежат в р3Zpk, и т. д. Таким образом, при

N = рп + (к - 1)(р - 1)рп-1 для всех x G Zpn выполнено равенство

Af F(х) = 0 mod рк.

Теперь рассмотрим случай произвольной последовательности кратных производных. При 1 < а ^ рп - 1 равенство A^F = 0 mod рк также остается справедливым. Это вытекает из следующей леммы.

Лемма 5. Для любой функции F : Zm ^ Zm и любого 1 < a < M справедливо равенство

AaF (х) = A1 Г a-) F (х + i)

\г=0

Доказательство вытекает из очевидного равенства

а— 1

F(х + а) - F(х) = Е (F(х + i + 1) - F(х + i)).

¿=0

Рассмотрим кратную производную Aai Aa2 ... AaN F для произвольной последовательности a1, a2 ... , а^ G Zpn. Очевидным следствием леммы 5 является

Лемма 6. Для любой функции F : ZM ^ ZM и любых 1 < a^ < M, 1 ^ i ^ N, справедливо равенство

ai —1 aN — 1

AaiAa2... AaNF(x) = £ ... £ ANF(x + i1 + ... + if).

ii=0 ¿n =0

Из леммы 6 вытекает, что при N = рп + (к - 1)(р - 1)рп—1 все кратные производные степени N обращаются в нуль. Следовательно, dl F ^ рп + (к - 1)(р - 1)рп—1 - 1. ■

Перейдём теперь к случаю нескольких переменных.

Теорема 3. Если F : G1 х • • • х Gm ^ H, Gj = Zpn, 1 ^ i ^ m, H = Zpk, р ^ 2, то

m

dl F ^ E(рп - (к - 1)(р - 1)рп4—1 - 1).

¿=1

Доказательство. Рассмотрим случай m =2. При всех a1 ,a2 G Zpn имеем A(ai ,a2)F (X1,X2) = A(ab0)F (X1,X2 + a2) + A(0,a2) F (X1,X2 ).

Пользуясь леммой 5, получаем при всех а2, &1, Ь2 € Ърп

(«1-1 «2-1 \

Д(1,0) Е Р(XI + *,Х2 + а2) + А(0,1) Е Р(Х1,Х2 + 3)

г=0 ,=0 у

= А21,0)Н1,0(х1 , х2) + А(1,0) А(0,1)Н1,1 (х1 , х2) + А20,1)Н0,1 (х1 , х2)

при некоторых функциях Н10, Н^ и Н01.

Следовательно, каждую кратную производную степени N

А(а11),«21)) ••• А(«1М),«2^ })Р (х1 , х2) можно преобразовать к виду

N

Е А(1,0) А(0—)Рг^—г(х1, х2)

г=0

при некоторых функциях —г, 0 ^ г ^ N.

Для того чтобы все кратные производные обратились в нуль, достаточно, чтобы число г было больше, чем р”1 + (к — 1)(р — 1)р”1—1, или число ^ — г) — больше, чем р”2 + (к — 1)(р — 1)р”2—1. Значит, при

N = (р”1 + (к — 1)(р — 1)р”1—1 — 1) + (р”2 + (к — 1)(р — 1)р”2—1 — 1) + 1

все производные будут равны нулю. Отсюда в случае т = 2 справедлива оценка

а1 р ^ (р”1 + (к — 1)(р — 1)р”1—1 — 1) + (р”2 + (к — 1)(р — 1)р”2—1 — 1).

т

В общем случае имеем оценку й Р ^ Е (р” + (к — 1)(р — 1)р”4—1 — 1). ■

г=1

Теорема 4. Пусть Р : С1 х • • • х Ст ^ Н1 х • • • х Н*, где С = , Н = ,

1 ^ г ^ т, 1 ^ 3 ^ ¿; р ^ 2; т ^ 1; £ ^ 1. Если Р = (Р1,... , Р*), где р — соответствующие координатные функции р : С1 х • • • х Ст ^ Н,, 1 ^ 3 ^ ¿, то

т

d1 Р = тах d1 р ^ Е ( р” +

КК* г=1 \

Доказательство вытекает из определения параметра d1 и теоремы 3.

Следствие 4. Если Р : Ст ^ С*, где С = йрп, р ^ 2, т ^ 1, £ ^ 1, то

d1 Р ^ т(р”+(п—1)(р—1)р”—1 — 1) = т(р”п—р”—1(п—1) —1) = т ^р” ^ — 1^ .

Преимущество данного подхода к определению степени нелинейности заключается в том, что он полностью определяется свойствами только операции сложения. Так, например, из определения степени нелинейности легко вытекает

Теорема 5. Если С и Н — циклические р-группы примарного порядка и Я — подгруппа в С, то для степеней нелинейности функции Р : С ^ Н и её ограничения на подгруппу Я, Р|д : Я ^ Н, выполнено неравенство d1 (Р|д) ^ d1 Р.

^ тах к, — 1 ) (р — 1)р” 1 — 1

4. Полиномиальные функции

В случае циклических групп, в отличие от элементарных абелевых групп, вопрос

0 способе выбора операции умножения представляется не таким однозначным. Если естественным образом рассматривать циклические группы примарного порядка как аддитивные группы колец вычетов G = Zpn и H = Zpk с имеющимися в них операциями умножения, то определение степени нелинейности через степень многочлена является неудобным, так как не всякая функция F может быть задана многочленом (или набором многочленов координатных функций). Полиномиальные функции над кольцом вычетов, то есть функции, которые могут быть заданы многочленом над этим кольцом, составляют относительно малую долю функций (см., например, [3, 4]). Покажем, что для полиномиальных функций над кольцом Zpn степень нелинейности функции совпадает с минимальной степенью многочлена, задающего эту функцию.

Теорема 6. Если F : Gm ^ G — полиномиальная функция над кольцом G = Zpn, p ^ 2, n ^ 1, m ^ 1, и P(xi,... xn) Е Zpn [xi,... xn] —многочлен минимальной степени, задающий эту функцию, то степень нелинейности совпадает со степенью многочлена P(xi,.. . x„):

dl F = deg P.

Доказательство. Как известно [3], многочлен минимальной степени, задающий функцию F, определён однозначно и может быть записан в виде

р (xi,... x„) = е Е p* (xiiК... (xii К,

i^il<. . . i+a(ji)+. . .+a(j;)<m

где (x)j = x(x — 1)... (x — i + 1), a(j) = max{t : j! = 0 (mod p*)}, причём все коэффициенты bj1 ' ' К являются целыми числами, удовлетворяющими условию 1 ^ bj1 ' ' К ^ p — 1. Из свойств факториальной степени следует, что при всех 1 ^ ii < ... < i ^ n и

1 + a(ji) + ... + a(j) < m

dl (xii )ji ... (xii К = ji + ... + j = deg (xii )ji ... (xii К.

Поэтому

dl F ^ maxj + ... + j)} = deg P,

где максимум берется по всем одночленам, входящим в запись многочлена P(xi,... xn).

Докажем, что имеет место равенство. Пусть j' j p*(xii)ji ... (xi;j —один из одночленов максимальной степени. Для него выполняется

К... К К: . pi(x*i )ji... (x*i К = bji . . p*^... i! =0 (mod pn).

Здесь через e* обозначен вектор (0,... 0,1, 0,... , 0), в котором единица стоит на i-м месте, соответствующем переменной x*.

Покажем, что все остальные одночлены после взятия производной Ак ... Ак обратятся в нуль. Если 6Ц ' ' '|ssk pk(xkl )qi ... (xks )qs —другой одночлен максимальной степени, ji + ... + j = qi + ... + qs, для которого

К . . . j KiKsk pk (xkl )qi . . . (xks )qs = 0 (mod pn^

то для наборов переменных должно выполняться включение {ii,... , ii} С {ki,... , ks}, так как иначе взятие производной по несущественной переменной даст нулевое значение. Кроме того, чтобы производная не обращалась в нуль, должны выполняться

неравенства j ^ qh, 1 ^ h ^ /, но это противоречит тому, что одночлены различны. Поэтому

К... К F(x) = К'К* p*ii!...^! =0 (modpn)

откуда окончательно получаем dl F = ji + ... + j = deg P. ■

В заключение рассмотрим псевдополиномиальный способ задания функций над кольцом вычетов, в котором вместо факториальных степеней используются биномиальные коэффициенты. Рассмотрим целочисленные функции

x\ x(x — 1) ■ ■ ■ (x — i + 1)

при г € {1, • • •, п — 1}, х € й. При г = 0 полагают ^ ) =1. При 0 ^ а ^ Ь ^ п — 1 имеют место соотношения

гЬ а

Е {-lW'V6) =

г=а V«/ V*/

где ^аь — символ Кронекера. Если рассматривать функцию Р : й” ^ й” как целочисленную Р : й ^ й, принимающую конечное число ненулевых значений в точках

0,1,... , п — 1, то из данных соотношений вытекает справедливость разложения функции Р : й” ^ й”

n-1 1 x

с коэффициентами вида

F{x) = Е h{i) *

i=0 \ *

h{*)= EF {a){-W *

a=i V a

называемого разложением Ньютона функции Р (см., например, [5]).

Для конечной разности А1Р(х) = Р(х + 1) — Р(х) над Ъ справедливы равенства

О=(, :,)■ ”«3«■

Поэтому набор коэффициентов Л-(г), 0 ^ г ^ п — 1, также можно рассматривать как целочисленную функцию, причём значение Л,(г) совпадает со значением г-й конечной производной над й функции Р в точке х = 0:

й(г) = А^Р (0).

Для случая нескольких переменных разложение Ньютона строится аналогично:

”— 1 / ''У*\ / '"У*

*'1 \ / хт

Р(х1, • • • ,хт) = Е ^(¿1, • • • , ¿тД •

гь...,гт=0 \г1/ V гт

где

Л,(гь • • • ,гт) = Ае11 • • • А^т / (0, • • •, 0), г1, • • • ,гт € {0, • • • ,п — 1},

ег = (0, • • •, 0,1,0, • • •, 0) — вектор, г-я координата которого равна 1, 1 ^ г ^ т.

Здесь наблюдается кажущееся противоречие с рассмотренным выше подходом, так как максимальная степень нелинейности функции в целочисленном представлении равна п — 1 (для случая одной переменной), в то время как степень нелинейности

этой же функции над кольцом вычетов может оказаться значительно превосходящей число n — 1. Различие в значениях степени нелинейности объясняется тем, что действия оператора Ai на множестве целочисленных функций и функций над кольцом вычетов отличаются. Например, над Z имеем

*■ С) - ('+')—С) - (i—,)■

в то время как над Zn имеем

4 /x\ fix + 1 mod n\ ix\\

(i) = (( i ) "U) mod n’ 0 * i ^ n " 11

причём при x = n — 1 получаются разные выражения. Например, при n = 25 и x = 24 имеем ( ) ( ) ( ) ( )

A'0= (”) — (i) = (Э ■ 5 — 4 ■ ''m”d25.■

в то же время, если аргументы приводить по модулю 25, то

А‘ (5) (24) = (5) — (24) = 0 — 4 ■ 21 (mod 25).

Более подробно о разложении Ньютона можно прочитать, например, в [5].

ЛИТЕРАТУРА

1. Черемушкин А. В. Аддитивный подход к определению степени нелинейности дискретной функции // Прикладная дискретная математика. 2010. №2(8). С. 22-33.

2. Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра. Учебник в 2-х т. Т. II. М.: Гелиос АРВ, 2003.

3. Keller G. and Olson F. Counting polynomial functions (mod pn) // Duke Math. J. 1968. V. 35. P. 835-838.

4. Chen Z. On polynomial functions from Zni x Zn2 x ... Znr to Zm // Discrete Math. 1996. V.162. P. 67-76.

5. Davio M., Deschamps J. P., and ThayseA. Discrete and switching functions. Budapest: Academiai Kiado, 1974.