К определению степени нелинейности дискретной функции на циклической группе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.719.325

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ СТЕПЕНИ НЕЛИНЕЙНОСТИ ДИСКРЕТНОЙ ФУНКЦИИ НА ЦИКЛИЧЕСКОЙ ГРУППЕ1

А. В. Черемушкин

Предлагается аддитивный подход к определению степени нелинейности дискретных функций, заданных на циклической группе. Показано, что степень нелинейности конечна, если и только если порядок группы есть степень простого числа; найдены верхние оценки степени нелинейности. Показано, что для полиномиальных функций над кольцом Ърп степень нелинейности функции совпадает с минимальной степенью многочлена, задающего эту функцию.

Ключевые слова: дискретные функции, степень нелинейности.

В работе [1] предложен аддитивный подход к определению степени нелинейности функции на основе свойств конечных производных. Его суть заключается в следующем. Для функций ^ : О ^ Н, у которых на множествах О и Н заданы структуры абелевых групп, производная по направлению ДaF, а € О, функции ^ определяется равенствами

Д«^ (х) = ^ (х + а) — ^ (х),

где х € О. Степенью нелинейности функции ^ : О ^ Н (обозначается ^ ^) называется минимальное натуральное число т, такое, что

Д«1 ... Дат+1 ^(х) = О

при всех а1,... , ат+1, х € О. Если такого числа т не существует, то полагаем й ^ = то.

В случае элементарных абелевых р-групп степень нелинейности функции рп-знач-ной логики полностью определяется свойствами операции сложения. Поэтому при любом способе задания на этой группе операции умножения так, чтобы в результате получилось поле из рп элементов, степень нелинейности функций инвариантна по отношению к выбору операции умножения.

В случае произвольных абелевых групп вопрос о свойствах параметра й ^ остается открытым. В данной работе изучается случай циклических групп.

Показано, что параметр й ^ в случае, когда на множестве аргументов и значений заданы структуры циклических групп, может принимать конечные значения, только когда порядки групп являются примарными числами.

Теорема 1. Если ^ : От ^ Н, где О и Н — циклические группы порядков д ^ 2 и к ^ 2 соответственно, причем й ^ < то, то при некотором простом р ^ 2 выполнены равенства д = рп и к = рк при некоторых п ^ 1 и к ^ 1.

Следующая теорема показывает, что введенное выше «аддитивное» определение степени нелинейности корректно и параметр й ^ принимает конечное значение для любой функции, заданной на циклических группах примарного порядка.

Теорема 2. Если ^ : От ^ Н*, О = Zpn, Н = Zрк, р > 2, п ^ 1, к ^ 1, т ^ 1, £ ^ 1, и ^ = (^1,... , ^*), где Fi : От ^ Н, 1 ^ г ^ £, — соответствующие координатные функции, то

й F = max{dl Fi : 1 ^ г ^ £} ^ т(рп — (к — 1)(р — 1)рп-1 — 1).

1 Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ НШ №6260.2012.10.

Преимущество данного подхода к определению степени нелинейности заключается в том, что он полостью определяется свойствами только операции сложения. Вместе с тем в случае циклических групп, в отличие от элементарных абелевых групп, вопрос о способе выбора операции умножения представляется не таким однозначным. Если естественным образом рассматривать циклические группы примарного порядка как аддитивные группы колец вычетов с имеющимися в них операциями умножения, то определение степени нелинейности через степень многочлена является неудобным, так как не всякая функция F может быть задана многочленом (или набором многочленов координатных функций). Полиномиальные функции над кольцом вычетов, то есть функции, которые могут быть заданы многочленом над этим кольцом, составляют относительно малую долю функций [2, 3]. Следует отметить, что для полиномиальных функций над кольцом Zpn степень нелинейности функции совпадает с минимальной степенью многочлена, задающего эту функцию.

Теорема 3. Если F : Gm ^ G — полиномиальная функция над кольцом G = Zpn, р > 2, n ^ 1, m ^ 1, и P (xi,... xn) Е Zpn [#1,... xn] —многочлен минимальной степени, задающий эту функцию, то степень нелинейности совпадает со степенью многочлена P(#i,. . .#n):

dl F = deg P.

Из определения степени нелинейности с очевидностью вытекает Теорема 4. Если G и H — циклические р-группы примарного порядка и R — подгруппа в G, то для степеней нелинейности функции F : G ^ H и её ограничения на подгруппу R, F|r : R ^ H, выполнено неравенство dl (F|R) ^ dl F.

Подробное изложение представленных результатов можно найти в [4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Черемушкин А. В. Аддитивный подход к определению степени нелинейности дискретной функции // Прикладная дискретная математика. 2010. №2(8). С. 22-33.

2. Keller G. and Olson F. Counting polynomial functions (mod pn) // Duke Math. J. 1968. V. 35. P. 835-838.

3. Chen Z. On polynomial functions from Zni x Zn2 x ... Znr to Zm // Discrete Math. 1996. V.162. P. 67-76.

4. Черемушкин А. В. Аддитивный подход к определению степени нелинейности дискретной функции на циклической группе примарного порядка // Прикладная дискретная математика. 2013. №2(20). С. 26-38.

УДК 621.391: 519.728

ЭКОНОМНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕДООПРЕДЕЛЁННЫХ ДАННЫХ

И ДИЗЪЮНКТИВНЫЕ КОДЫ1

Л. А. Шоломов

Предложены экономные представления недоопределённых данных, позволяющие полностью восстанавливать исходные данные. Установлена их связь с дизъюнктивными кодами, получены оценки длины представлений.

Ключевые слова: представление недоопределённых данных, дизъюнктивный код, свободная от покрытий матрица.

1 Работа поддержана ОНИТ РАН по программе фундаментальных исследований.