CC BY
21
Для произвольного Hn проверка свойств 1)-3) аналогична, надо только упорядочить элементы множества Tn.
Так же доказываются свойсва 1)-3) для многочленов Gn(ж). Из этого и следует утверждение теоремы.
Мы рассмотрели одномерные торы, разложимые и норменные для пераз-ветвленных расширений. Существуют 9 различных неизоморфных двухмерных торов. Часть из них является прямыми произведениями разложимых и норменных одномерных торов, что сводит изучение таких торов к полученным нами результатам.
Библиографический список
1. Kunyvskii В. Е., Moroz B.Z., Voskresenskii V.E. On integral models of an algebraic torus // Max - Planck - Institut fur Mathematic. Preprint Series 2001 (12).
2. Воскресенский B.E., Фомина Т.В. Целые структуры в алгебраических торах// Изв. РАН: Сер. матем. 1995. Т. 59, №5. С. 3-18.
3. Popov S.Yu., Voskresenskii V.E. Galois lattices and reduction of algebraic tori.//Communications of Algebra. №9, 2001. P. 213-223.
4. Водолазов A.M. Целые модели разложимых алгебраических торов бесконечного типа // Современные проблемы алгебры, теории чисел и функционального анализа: Межвуз, сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, Вып. 1. 2003. С. 14-23.
УДК 515.51
И.Ю. Выгодчикова
ОБ УСЛОВНОЙ ЗАДАЧЕ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ СЕГМЕНТНОЙ ФУНКЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ
ПОЛИНОМОМ
Рассматривается задача наилучшего равномерного приближения сегментной функции алгебраическим полиномом при наличии ограничения на значение полинома в одном узле сетки. Получен критерий оптимальности в форме, сравнимой с известным в теории приближений альтернансом П.Л. Чебышева.
Пусть n, N — целые числа, n > 0 N > n + 1, T = {to <t1 < ... < tN}, A = (a0, a\,..., an) £ Rn+1, pn(A, t) = a0 + ait + ... + antn. На сетке T задана сегментная функция Ф(-), Ф(^) = [у1,к;y2,k], причем y2,k > y1,k,k = 0,N. Обозначим через fi (A,tk) = Pn (A,tk) - yi,k, /2 (A,tk) = У2,k - Pn (A,tk), f (A, tk) = max {fi (A, tk), /2 (A, tk)}•
Рассмотрим следующую задачу:
p(A) := max f (A,tk) —> min, (1)
k=0,N A£D
D = {A £ Rn+1 : pn (A, ts) < v} , (2)
где Ьа Е Т V Е Я.
Доказано [1], что М ^А^ = | А Е Кп+1 : р (А) < р ^А^ | непусто, замкнуто и ограничено при любом А Е Кп+1. Такими же свойствами обладает М (А) П О при А Е О. Отсюда ввиду непрерывности целевой функции вы-
текает существование решения задачи (1), (2). Обозначим р* = min^ р (A),
Ш = {A Е Rn+1 : р (A) = р*}, р** = min Р (A) Ш (v) = {A Е D : р (A) = р**}.
Очевидно, чтобы множество A* Е Rn+1 принадлежало множеству Ш (v), необходимо выполнение одного из условий:
а)ШП D = 0, A* Е Ш П D,
б) Ш П D = 0,pn (A*,ts) = v и достаточно выполнения условия а). Далее считаем Ш П D = 0. В таком случае имеем
р (A) >р*> m := max У2,к - Ш, VA еШ (v). (3)
k=0,N 2
Приведем очевидный факт.
Лемма 1. Пусть n > 1 x0 < ... < xn+1? Pn(A,Xi} = 0 i = l,n и существуют l Е 1,n + 1 z Е (x/-i; x/} такие, что (—l}1 (A,z} < 07 mo (—1)Vn (A, ж} < 0 при любом x Е (xi—1; х^}7 i = 1, n + 1.
Теорема 1. Пусть ^ П D = 0. Вектop A* Е Rn+1 принадлежит множеству ^ (v} тогда и только тогда, когда
pn (A*,ts} = v (4}
и выполняется хотя бы одно из условий:
(I) р (A*} = 0, где 0 = max [y2is — v, v — yM} ,
(II) 3 n + 1 точки A := {tq0 < ... < tqn} С T\ } такие, что р (A*} = (A*,tqk}7 есл n z (tqk} - чети о, р (A*} = f1 (A*,tqk }7 есл n z (tqk} - нечетно,
для k = 0,n, где через z (tqk} обозначено количество точек множества A, расположенных на интервале (ts,tqk} при ts < tqk или (tqk,ts} при ts > tqk.
n=0
но, считаем n > 1. Пусть A* Е ^ (v} и условие (I) не выполняется. Тогда
р (A*} >0. (5}
Рассмотрим множество S := {tk Е T\ {ts} : f (A*,tk} = р (A*}}. Ввиду (5) S = 0. Из (3) вытекает, что f1 (A*,t} = f2 (A*, t} для любо го t Е S. Будем говорить, что в точке t Е S действует функция j тел и f (A*, t} = fj (A*, t}. Разобъем множество S на следующие друг за другом под множества {Si}W=1, на каждом из которых действует только одна из функций f1 (f2}. Если допустить, что w > n + 1, то мы получим условие, из которого вытекает, что
A* Е Ж [1]. Последнее противоречит предположению Ж П D = 0. Следовательно,
w < n + 1. (6)
2. Пусть Oi = maxt, Oi = mint, i = 1,w. Покажем, что не существует
t£Si tESi
индекса r E 1, w — 1 такого, что
Or <ts < Or+1. (7)
Допустим, (7) выполняется. Для определенности считаем, что на множестве Sr действует функция f\. Возьмем xi Е (в%; Oi = 1,r — 1 U r + 1, w — 1, xr = ts и, если w < n + 1 xi > tN, i = w, n. Используя лемму 1, нетрудно показать, что для вектора Ae, определяемого равенствами pn (Ae,xi) = pn (A*,xi) i = 1,n, pn [Ae,Or) = pn (A*,Or) — e, при малом e > 0 будет выполняться неравенство
р (Ae) <р (A*), (8)
A*
3. Пусть Or < ts < Or, ^^и ^^^м в лотках множества Sr действует функция Если w = n + 1, выбираем по одной точке из каждого множества разбиения, из них формируем множиство Д, и тем самым поиучаем (II). Пусть w < n -е 1. Возьмем Xi Е (0г; вг+1), i = 1,r — 1, Xr Е (Or; ts), Xr+i E (t
xi+i E (Oi; O+) i = r + 1, w — 1, и, есл и w < n, xi > tN, i = w + 1, n. Далее берем малое e > 0 и решаем относительно Ae ^^стему pn (Ae, xi) = pn (A*, xi), i = 1, щ pn (Ae,ts) = pn (A*, ts) — e, приходим к противоречию с (8).
4. Есл и Or < ts < Or и в точках множества Sr действует фун кция /1? берем xi Е (Oi; O+), i = 1,r — 1, xi—i E (Oi; O+), i = r + 1, w. Ввиду (6) выбрано
n
к противоречию с (8).
5. Случаи ts < tqo ми ts > tqn рассматриваются аналогично п.З. Достаточность. Имеем ^ П D = 0 и выполняется (4).
A
творяющего равенству pn (A,ts) = v имеем р (A) > f (A,ts) = O = р (A*),
A*
2. Пусть справедливо условие (II) теоремы. Рассмотрим сначала случай tqo <ts < tqn. Тогда найдется l такое, что tqi <ts < tqi+i) причем в точках tqi и tqi+1 фун кция f2. Допустим, что
A** Е Ж (v), A** = A*. (9)
Тогда pn (A**,ts) = v, откуда, учитывая (4), получаем
pn (A** — A*,ts) = 0. (10)
Если в точке tqj действует фун кция /ь то pn (< pn ес-
ли же в точке tqj действует /2, то pn (Л**, tj > pn (Л*,^.). Тогда ввп-ду (II) pn (Л** — Л*, t) обращается в ноль та каждом интервале (tqj; tqj+1), j = 0, l — 1,j = l + 1,n — 1. Отсюда и из (10) вытекает, что полином pn (Л** — A*,t) имеет n нулей, Следовательно, полином dt(Л* — A**,t) имеет n — 1 нулей в точках, отличных от ts.
3. Ввиду п.2 и (9) на интервале (tqi; tqi+1) полином pn (Л** — Л*, t) имеет пулевое значение лишь при t = ts, в остальных точках значение полинома положительно, как и в точках tqi и tqi+1, где действует функция /2. Следовательно, в точке ts этот полином достигает локального минимума, поэтому dtPn (Л* — ^**,ts) = 0. Учитывая предыдущий пункт доказательства, получаем, что полином dtPn (Л* — Л**, t) имеет n пулей, что противоречит (9).
4. При ts < tqo или ts > tqn из (10), (II) сразу получаем, что полипом pn (Л** — Л*, t), имеет n + 1 пулей, что невозможно. Теорема доказана.
Пример 1. Пусть T = {0 < 1 < 2 < 3} Ф(0) = [1; 2], Ф(1) = [1; 1], Ф(2) = [2; 3], Ф(3) = [0; 0], n = 1, s = 1, v = 1. Решение задачи (1), (2), pi(t) = 2/3 + 1/3t, удовлетворяет условию (II). Решением безусловной задачи является полином pi(t) = 7/3 — 1 /3t.
Пример 2. Пусть T = {0 < 1 < 2} Ф(0) = 2 Ф(1) = 3 Ф(2) = 2 n =1, s = 1, v = 1. Задача (1), (2) имеет бесконечно много решений p1(t) = 1 — а + at, а Е [—1; 1], выполняется условие (I). Решение безусловной задачи (Чебышева) p1(t) = 5/2 [2].
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Выгодчикова И.Ю. О наилучшем приближении дискретного мультиотображения алгебраическим полиномом// Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 25-28.
2. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М,: Наука, 1972.
УДК 517.984
A.B. Голубь
ТЕОРЕМА РАВНОСХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Рассмотрим интегральный оператор
Г ö(x)
Л/(x) = / (t)dt, J0
