Наилучшее приближение сегментной функции алгебраическим полиномом при наличии ограничений Текст научной статьи по специальности «Математика»

4, Левин Б.Я. Распределение корней целых функций, М,: Гос. изд-во техн.-теор, лит., 1956,

5, Buterin S.A. On inverse spectral problem for non-selfadjoint Sturm — Liouville operator on a finite interval // J, Math, Anal, Appl, 2007, Vol, 335, iss, 1, P. 739-749,

УДК 517.518.82

И.Ю. Выгодчикова

НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ СЕГМЕНТНОЙ ФУНКЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ПОЛИНОМОМ

ПРИ НАЛИЧИИ ОГРАНИЧЕНИЙ

Рассматривается дискретная задача наилучшего равномерного приближения сегментной функции алгебраическим полиномом при наличии ограничений на значения полинома сверху и снизу. Получен критерий оптимальности в форме, сравнимой с известным в теории приближений альтернансом П.Л. Чебышева.

1. Постановка задачи. Пусть n,N - целые числа, n > 0, N > n + 1 T = {to <ti <...<tN} A = (ao,ai,...,an) e Rn+i, pn(A,t) = a0 + a1t + ... + antn. На сетке T заданы сегментные функции Ф(-) и Ф(^): Ф^) = [yi,k; V2,k], У2,к > Vi,k, V(tk) = = [vi,k; V2,k], V2,k > Vi,k,k = 0,N. Обозначим через f (A,tk) = = max {pn (A,tk) - Vi,k,V2,k - Pn (A,tk)} g (A,tk) = max{vi,k - Pn(A,tk), Pn (A,tk) - V2,k}, h (A) = maXk=oNg(A,tk).

Рассмотрим задачу:

p(A) := m^ f(A,tk) —> min . (1)

k=0^N AeD={AeRn+1:h(A)<0}

2. Существование решения. Обозначим

p** = min p (A), Ш (v) = {A e D : p (A) = p**} .

AeD

Рассмотрим задачу о псевдовнутренней оценке [1]:

Ö (A) := mink=oNmin{Pn(A,tk) - v\k; v2ik - Pn(A,tk)} —> maxAeR^+i. (2) Обозначим множество решений задачи (2) через

q = {A e Rn+i : 6 (A) = ö*} , 12

где 5* = maxAeRn+i 5(A).

Теорема 1. 5* > 0 ^^ D = 0.

Доказательство. Пусть A* G Неравепство 5 (A*) > 0 можно записать в видерп(А*,£к) — vi;k > 0, v2,k — pn(A*,tk) > 0 Vk = 0,N. Последнее означает, что A* G D.

Для задачи без ограничений (см., напр., [2]):

p(A) := max f (A,tk) —> min , (3)

k=0,N AgM"+1

положим p* = min i p (A) ^ = {A G Rn+i : p (A) = p*}. Следствием из [1, 3] является

Теорема 2. Для того чтобы |D| = 1, необходимо и достаточно, чтобы задача (2) имела единственное решение и 5* = 0. Далее считаем, что |D| > 1 .

3. Критерий решения. Обозначим через dz (A) субдифференциал функции z (A). Следствием из [3, с. 258] является

Лемма 1. Пусть ^ П D = 0. Для того чтобы вектор A* был решением задачи (1), необходимо выполнение включения:

0n+i С co {dp (A*) ,dh (A*)} . Приведем вспомогательный факт из [2, 4].

Определим па подмножестве TT сетки T многозначное отображение £(•) : TT ^ 2r, образами которого являются некоторые подмножества £(t) из R.

Лемма 2. Для того чтобы

0n+1 G co {£ (t)(1,t,...,tn) : t G TT} ,

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:

1) существует точка ti G T, в которой 0 G £(t);

2) существует селектор n(t) G £(t) и набор упорядоченных чисел tj1 < tj2 < • • • < tjn+2 из множества TT так их, что ^(tj) = 0 и

sign^j) = —signn(tji+i^ г = 1,n + 1.

T

Rf (A) := {tk G T : p (A) = pn (A, tk) — yi,k > У2,k — Pn (A, tk)} ,

RP (A) := {tk G T : p (A) = pn (A, tk) — yi,k < У2,k — Pn (A, tk)} , Rf (A) := {tk G T : h (A) = pn (A, tk) — > — Pn (A, tk)} ,

Я^ (А) := {¿к е Т : Н (А) = рп (А, ¿к) - ^ < ^ - Рп (А, ¿к)} ,

ЯЯ (А) = ЯР (А) и ЯР (А),

Я? (А) := {¿к е Т : р (А) = Рп (А, ¿к) - ух,к = У2,к - Рп (А, ¿к)} ,

Я^ (А) := {¿к е Т : Н (А) = Рп (А, ¿к) - = ^ - Рп (А, ¿к)} . Обозначим через

Я (А) = Я^ (А) и ЯР (А),

Л2 (А) = Я (А) и Я? (А).

Теорема 3. Критерий решения задачи (1). Пусть |В| > 1. Яете-тор А* является решением задачи (1) тогда и только тогда, когда либо А* е ^ П В, либо

Н(А*) = 0 (4)

и выполняется хотя бы одно из условий:

(I) Я£ (А*) = 0, ЯЯ (А*) П Я£ (А*) = 0,

(II) 3 п + 2 точки < ... < С Т такие, что если ¿к е Ях (А*) (Я2 (А*)), то ¿к+1 е Я2 (А*) (Я 1 (А*)) ¿лл к = 0,п + 1.

Доказательство. Пусть ^ П В = 0 А* е ^ (V). Тогда выполняется (4). В соответствии с субдифференциальным исчислением имеем

Г (М,...,*п),если* е Я? (А*), (А ,Г)=\ -(1, ..., ¿п), если £ е ЯР (А*). (5)

Г (1, г,..., г), если г е (А*), дА0(А*,г)=< -(М,...,г), если* е Я? (А*), (6)

[ [-1, 1](1,^,... ^ЛИ^ е Я£ (А*).

Теперь утверждение необходимости теоремы вытекает из лемм 1, 2 и формул (5), (6). Достаточность получается из свойств полинома и рассуждений, аналогичных [1]. Из теоремы 3 и [3] вытекает

Теорема 4. Критерий единственности решения задачи (1).

При ^ П В = 0 для единственности решения задачи (1) необходимо и достаточно выполнения либо условия (II) теоремы 3, либо условия (I) при наличии во множестве (А*) не менее чем (п+1) точек.

Пример 1. Пусть Т = {0 < 1 < 2 < 3} Ф(о) = [1; 2], Ф(1) = [1; 1], Ф(2) = [2; 3], Ф(3) = [0; 0], Ф(0) = [0;5], Ф(1) = [1;5], Ф(2) = [0;5],

Ф(3) = [0; 5] n = 1, v = 1. Решение задачи (1): p\(t) = 2/3 + 1/3t. Решением безусловной задачи является полином pi(t) = 7/3 — 1/3t.

Пример 2. Изменим условие предыдущего примера, лишь положив Ф(0) = [5; 5]. Задача (1) имеет бесконечно много решений p1(t) = 5 + at, a G [—2; —1/3], ts = 0. При этом заметим, что, например, для полинома p1(t) = 5 выполняется уел овне Rh (A*) = 0, но решением задачи он не является.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Выгодчикова И. Ю. О сведении задачи о псевдовнутренней оценке многозначного отображения полиномом к задаче о внешней оценке // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронеж. Зимней мат. шк. Воронеж, 2005. d 62-63.

2. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М, 1990.

3. Выгодчикова И.Ю. О единственности решения задачи наилучшего приближения многозначного отображения алгебраическим полиномом // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2006. Т. 6. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 2. С. 11-19.

4. Дудов С.И. О двух вспомогательных фактах для исследования задач полиномиального приближения // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов, 2007. Вып. 9. С. 22-26.

УДК 514.764

C.B. Галаев, A.B. Гохман

ВНУТРЕННИЕ НЕГОЛОНОМНЫЕ СВЯЗНОСТИ,

СОВМЕСТИМЫЕ С ДОПУСТИМОЙ ПОЧТИ СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ

В статье находятся необходимые и достаточные условия существования внутренних неголономных связностей, совместимых с допустимой почти симплектической структурой.

Пусть D — гладкое распределение коразмерности 1, заданное вместе со своим оснащением D\ на гладком многообразии X размерности n и класса CСледуя В.В. Вагнеру, такое распределение будем называть

n — 1 1

метим, что с некоторыми уточнениями излагаемые в настоящей статье результаты можно обобщить на неголономные многообразия произвольной коразмерности. С точки зрения механики неголономное многообразие интерпретирует линейные неголономные связи, накладываемые на механическую систему [1].