Теорема равносходимости разложений по собственным функциям интегрального оператора специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

Если в точке tqj действует фун кция /ь то pn (A**,tqj) < pn (A*,tqj), если же в точке tqj действует /2, то pn (A** , tj > pn (A*,tqj). Тогда ввп-ду (II) pn (A** — A*, t) обращается в ноль та каждом интервале (tqj; tqj+1), j = 0, l — 1,j = l + 1,n — 1. Отсюда и из (10) вытекает, что полином pn (A** — A*,t) имеет n нулей. Следовательно, полином dtpn (A* — A**,t) имеет n — 1 нулей в точках, отличных от ts.

3. Ввиду п.2 и (9) на интервале (tqi; tqi+1) полином pn (A** — A*, t) имеет нулевое значение лишь при t = ts, в остальных точках значение полинома положительно, как и в точках tqi и tqi+1, где действует функция /2. Следовательно, в точке ts этот полином достигает локального минимума, поэтому dftpn (A* — A**,ts) = 0. Учитывая предыдущий пункт доказательства, получаем, что полином dtpn (A* — A**,t) имеет n пулей, что противоречит (9).

4. При ts < tqo или ts > tqn из (10), (II) сразу получаем, что полипом pn (A** — A*,t) имеет n + 1 пулей, что невозможно. Теорема доказана.

Пример 1. Пусть T = {0 < 1 < 2 < 3} Ф(0) = [1; 2], Ф(1) = [1; 1], Ф(2) = [2; 3], Ф(3) = [0; 0], n =1 s = 1 v = 1. Решение задачи (1), (2), pi(t) = 2/3 + 1/3t, удовлетворяет условию (II). Решением безусловной задачи является полином p1(t) = 7/3 — 1 /3t.

Пример 2. Пусть T = {0 < 1 < 2} Ф(0) = 2 Ф(1) = 3 Ф(2) = 2 n =1, s = 1 v = 1. Задача (1), (2) имеет бесконечно много решений p1(t) = 1 — а + at, а G [—1; 1], выполняется условие (I). Решение безусловной задачи (Чебышева) p1(t) = 5/2 [2].

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Выгодчикова И.Ю. О наилучшем приближении дискретного мультиотображения алгебраическим полиномом// Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 25-28.

2. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М,: Наука, 1972.

УДК 517.984

A.B. Голубь

ТЕОРЕМА РАВНОСХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Рассмотрим интегральный оператор

Г ö(x)

A/(x) = / (t)dt,

J о

где 9(х) = 2к—1 — х при х Е [1; П] и к = 1, п. Функция 9(х) является инволюцией, то есть 9(9(х)) = х и имеет разрывы первого рода.

В данной статье, в отличие от работы [1], где рассматривается оператор

в(х)

Л/(х) = I Л(х,г)!(№, 0

9(х) = 1 — х при х Е [0; 1], 9(х) = | — х при х Е [|; 1], для получения теоремы равносходимости не требуется предполагать существование Л-1. Имеют место следующие теоремы.

Теорема 1. Если у = Я\(Л)/(х) = (Е — ХЛ)—1Л/(х), то

V '(х) = ХБу (х) + В Ф(х), (1)

Роу(0) + Р — Ъ(1/п) = 0, (2)

где V(х) = ^(х),... и(х))Т, V2k—l(x) = у (к—1 + х), V2k(х) = у — х), к = 1,п Ф(х) =_(/1(х),...,/2 и(х))Т, /2к—1(х) = / (к—1 + х), /2 к (х) = = / (П — х)7 к = 1,п; х Е [0; -1] .Матрица В размерное ти 2п х 2п име-

еш „еной остальные элементы - нули.

Постоянные матрицы Ро и Р1 размерное ти 2п х 2п имеют компоненты

Р01,2 = 1 Р02к+1,2к-1 = 1 к =1,П — 1 р02к,2к = 1 к = 2,П Р12,1 = 1 Р12к-1,2к-1 = = Р12к2к-2 = — 1 к = 2,п, остальные элементы — нули.

Теорема 2. Если v(x) удовлетворяет системе (1), (2) и соответствующая однородная система имеет только нулевое решение, тоЯ\(Л) существует и

Я\(Л)/(х) = ^2к—1(х — (к — 1)/п), х Е [(к — 1)/п; к/п], к = 1,п}.

Теорема 3. Если v(x) удовлетворяет теореме 1, то Н(х) = Г—1v(x) удовлетворяет системе

К(х) = \БН(х) + Г—1В Ф(х), (3)

и (К) = РоГН(0) + Р1Щ1/П), (4)

где Б = Г—1ВГ = diag(i, —г,... ,г, —г), Г — неособая матрица, у которой

на главно, Зиагона^ стоят 6л0т остальные элементы раены

нулю.

Лемма 1. Для решения ^(ж, А) задачи (3), (4) имеет, место формула

1/п

Л(ж,А) = -У(ж,А)А-1(А^У их(д(ж,Ь,А))ДО) (Ь + длОД,

о

где У (ж, А) = diag (вЛгх, е-Лгх,..., вЛгх, е-Лгх) — матрица размерности 2пх х2п; А(А) = и (У (ж, А)); иж(-) означает, что условие и по переменной ж; д(ж, ¿А) = diag(gl(ж, ¿А),... ,д2п(ж, ¿А))7 д2к+1(ж,ЬА) = —£(Ь, ж)вЛг(х— д2к(ж, ¿А) = £(Ь, ж)е—Лг(х—к = 1,п7 здесь £(ж,Ь) = 1 при Ь < ж и £(ж,Ь) = 0

1/п

при Ь > ж £(ж) = Г-1ВФ(ж); дЛф(ж) = / д(ж, Ь, А)ф(Ь)

о

Лемма 2. det А(А) = (гвЛг/п, ге—Лг/п)п.

Будем считать далее, что Ие Аг > 0. Обозначим через комплексную А-плоскость с удаленными вместе с ^-окрестностью нулями det А(А) и собственных значений краевых задач

у/(ж) = ±гАУ(ж), У(0) = У(1/п).

Лемма 3. Если £ Е (0; 1/2п); то для любой /(ж) Е Ь[0,1] в области Ss имеет место соотношение

lim

г—>оо

j [^(ж,А) — и(ж, А)] (А

|Л|=г

—£ 0,

где и(ж, А) удовлетворяет задаче и'(ж) = АЛм(ж) + ^(ж)7 и(0) = и (Щ).

Теорема «равносходимости». Для любой функции /(ж) Е Ь[0,1] и любого £ Е (0; 2п) имеет место соотношение

п

lim < >

г

I к=1

тах ^г(ж, /) — ^г(ж, /)| > = 0,

, J ) г\

£+ х< £

п — — п

где Sг (ж,/) — частичная сум,м,а, ряда Фурье по со бет,венным, и присоединенным функциям, оператора А для тех характеристических чисел Ак, для которых |Ак| < г, оу(ж,/к) — частичная сумма ряда Фурье по системе

1 е2пкп«х I функции д(ж) на отрезке ж Е [0,1/п]; /к(ж) = / (^Щ1 + ж)7

^ п_ ^ к=—то

к = ж Е [0; 1].

Работа выполнена при, финансовой поддержке РФФИ (проект 06-0100003).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Голубь A.B., Хромов А.П. Теорема равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с инволюцией, допускающей разрывы // Изв. Сарат, ун-та, 2007, Т. 7, вып. 2, С, 5-10,

УДК 517.51

Е.В. Гудошникова

КОНСТРУКЦИИ ЛИНЕИНЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ И ИХ АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА

Рассмотрим функции g(z) и ), удовлетворяющие следующим услови-

ям:

(А) g(z) и ^(z) аналитические в круге |z| < а и принимают положительные значения на [0; а];

(В) на [0; а] хф'(x) < ф(х);

(С) числа ao,n = g(0)n и ак,и =

1 d

k-1

k!dzk-1

g(z*Kz)k

k = 1, oo

неотрицательны. В работе [1] было показано, что в этом случае функция

z=0

x(z) =

z^(z) g'(z)

z) - z^'(z) g(z)

монотонно возрастает, следовательно, существует обратная ей функция и ^(х) > 0.

По теореме Лагранжа [2] имеет место представление

o

g(x)= g(0) +

k=i

x

ф(х)

ak,i,

xg(x)

откуда легко видеть, что g'(z) > 0. Обозначим у(х) = —-—— .

х'(х)д'(х)

Для / : К ^ К рассмотрим последовательность операторов:

оо

Ln(f;x) =

g(z(x))n

f

k=0

k

n

ak.

z(x)

*Kz (x))

Отметим, что частными случаями этой последовательности являются операторы Бернштейна, Баскакова, Саса-Миракьяна, Каталина и многие другие.

k

k

1

n