CC BY
22
2. Galaev S. V. Extension of the interior connection of a nonholonomie manifold with a Finsler metric // UEL : http://arxiv.org/abs/1103.4337,
3. Вагнер В. В. Геометрия (n — 1)-мерного неголономного многообразия в n-мерном пространстве // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М, : Изд-во Моск. ун-та, 1941. Вып. 5. С. 173-255.
4. Galaev S. V. The Intrinsic Geometry of Almost Contact Metric Manifolds // UEL : http://arxiv.org/abs/1107.5532.
5. Blair D. E. Eiemannian Geometry of Contact and Svmpleetie Manifolds. Birkhauser, Boston, 2002.
УДК 517.984
М. Ш. Бурлуцкая, А. П. Хромов
АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ РЕШЕНИЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
В статье предложен новый элементарный метод получения асимптотических формул для решения двумерного уравнения Дирака. Используя этот метод, получены уточненные асимптотические формулы решений при больших значениях спектрального параметра. Рассматривается следующая система Дирака:
у'(х) + Р (х)у (х) = АDy(x), (1)
где у(х) = (у^х),у2(х))т (Т - знак транспонирования), yj € С1 [0,1],
Р(х) = ^ ^ 0х) ^ )' D = ^ 0 ' ^ ^ С 1[0,1], А - комплексный
параметр.
Р(х) у(х)
ные функции) слагаемое Р(х)у(х) уничтожается известной подстановкой. В векторном случае этого, вообще говоря, сделать нельзя. Здесь используется метод, называемый Ь-диагонализацией: с помощью определенной подстановки слагаемое Р(х)у(х) не уничтожается, но делается сколь угодно малым (имеет оценку О (Л))- Этот метод, описанный, например, у И. М. Раппопорта [1], позволяет получить для общего решения уравнения (1) следующую асимптотическую формулу:
у(х, А) = (Е + О (А-1)) вЛЛсс, (2)
где Е - единичная матрица 2 х 2 с = (сьс2)т - произвольный вектор, матрица-функция О (А-1) регулярная 1 в полуплоскостях Ие А > 0
и
111од регулярностью понимается аналитичность функции внутри области и непрерывность на границе.
Ие Л < 0 при |А| достаточно больших. Формула (2) имеет важное значение при изучении спектральных свойств соответствующих операторов и в различных приложениях.
В данной статье предлагается новый простой элементарный метод доказательства формулы (2), используя который получаются уточненные асимптотические формулы решений системы (1) при больших значе-| Л|
Фурье смешанных задач с инволюцией, порождающих уравнение вида (1) [2].
Отметим, что Р(ж) может быть произвольной матрицей с непрерывно дифференцируемыми компонентами^-(ж), г,] = 1, 2. Легко показать,
X X
( \ л- ( ^ лЛ ( \
что замена у(ж) = ат^е 0 (г,е 0 аг^и(ж) приводит к уравнению с матрицей рассматриваемого вида.
1. Приведем описание нового элементарного метода, с помощью которого можно получить (2). Для проведения различных оценок будет использоваться утверждение, легко следующее из формулы интегрирования по частям.
Лемма 1. Если Ие А > 0 и д(ж) е С:[0,1]; то
е-2Лтд(т) (т = О (Л-1е-2Л*) , / е2Лтд(т) (т = О (Л-1 е2Лх) . (3)
Система (1) в покомпонентной записи имеет вид
у1 (ж) - ЛУ1(ж) = -д^Ыж), (4)
у2 (ж) + ЛУ2(ж) = -д1(ж)у1(ж). (5)
Проинтегрировав (4), (5) и выполнив замену (ж) = у1(ж)е-ЛХ "&>2(ж) = = у2(ж)еЛх, получим
х
^(ж) = с1 - ^ е-2Л^2(^2(^) (6)
о
х
^2(ж) = с2 - ^ е^ВД^ВД (£. (7)
о
Чтобы построить фундаментальную матрицу решений системы (6), (7), найдем две пары линейно независимых решений.
15
х
х
Пусть для определенности ИеЛ > 0. Выполним подстановку (7) в (6): (ж) = с1 - с2 / е-2Лгд2(£) а + / е2Л^ (£)(£) а / е-2Лтд2(т) (т. (8)
0 0 4
Полагая с1 = 1 с2 = 0 и учитывая (3), получим ^1(ж) = 1 + О (Л-1) отсюда и из (7) эд2(ж) = О (Л-1е2Лх).
Далее, положим с2 = 1 и подставим (6) в (7). Тогда
х
м2(ж) = 1 - / е2Л4д1(^)
0
г
С1 - / е 2Лтд2(т)^(т) (т
0
,2Лг^ | Г „-2Лг^ ЛЛ Г „2Лт,
а =
1 - с^ е2Лгд1(^) + / е-д2(^2(^) / е2Лтд1(т) (т. о о г
ж
Положим ^>(ж, Л) = / е2Лгд1(^) Тогда / е2Лтд1(т) (т = ^>(ж, Л) - Л)
о г
и
х
эд2(ж) = 1 - ^(ж, Л)
С1 - / е-2^^)^) а
о
х
/ е-^'дзМа^М«, Л) Л.
(9)
о
По лемме 1 ^>(ж,Л) = О(Л-1е2Лх). Поэтому, пол агая с1 = 1
= / е-2Лгд2(^)^2(^) а и снова учитывая оценки (3), из (9) получим, что о
1
М2(ж) = 1 ^ У О (Л-1) м2(£) (£.
о
1
Отсюда и>2(ж) = 1 + О (Л-1). Тогда ^1(ж) = / е-2Лгд2(^)^2(^)(^ = = О (Л-1е-2Лх).
Выполняя обратную замену, придем к следующему утверждению.
Теорема 1. При д^(ж) е С 1[0,1] фундаментальная матрица решений системы (1) имеет асимптотическое представление
-1))
У (ж, Л) = (Е + О (Л-1)) е
2. Используя описанный в п. 1 метод, получим уточненные асимп-
| Л|
Теорема 2. Если ИеА > 0 Щ(х) € С 1[0,1]7 то для общего решения уравнения (1) имеем, следующую асимптотическую формулу:
у(х, А) = и(х,А)вЛЛхс,
где и(х, А) = (и^(х, А))^=1,27 с = (с1,с2)т - произвольный вектор и
X
иИ(х, А) = 1 + 2Л I ^(¿Ы*) + О ,
0
и12(х, А) = («2(х) - «2(1)е-2Л(1-х) + ] е2Л(х-^)^2(*) + О (^) «21 (х, А) = -(51 (х) - «1(0)е-2Лх - ] е-2Л(х-г)«1 (£) + О ()
х
М22(х, А) = 1 - 2Л / ^(¿Ы*) ^ + О .
Доказательство. Получим уточненные асимптотические формулы для решений системы (6), (7). Константы выбираем так же, как в п. 1.
( ) с1 = 1 с2 = 0
^1(х) = 1 + О (А-1) . Подставляя теперь эту оценку в правую часть (8), получим
х
^1(х) = 1 +/ б2Л^(£) е-2Лт«2(т) (т+ о г
+ ] е2Лг«1(£)О (А-1) а ] е-2Лт«2(т) (т.
0 4
О А-2
е-2Ат 52 (т) (т = - <й(т)
х+2,/е-2Лт «2 (т) (т,
г
то
^1(х) = 1 + 2Л / «1 (^)«2(£ ) М - 2Л / б2Л(г-х)«1(^)«2(^) (* + 2Л 0 2Л 0
+ 2Л ] е2Лг«1 (¿) а ] е-2Лт«2 (т) (т + О (А2) =
о г
х
= 1 + 2А ] «1 (^)«2(£) + О (А2) .
х
х
Подставляя теперь это выражение в (7), получим
х г г
^(ж) = - } е2Лгд1 1 + 2ЛI д1(т)д2(т) (т + О (£)
а =
оо
- 1 е2Лгд1 (¿) а - ^ 1 е2Лгд1 (£) } д1(т)д2(т) (т + О (^) е2Лх 0 0 0
2Л
е2Лхд1(ж) - д1 (0) - / е2^(¿) М +О е2Лх.
Отсюда для решений системы (4), (5) имеем
У1(ж) = (ж)еЛх = ( 1 + 2Л / д^Ы*) ^ + О (Л2 ) I еЛх,
2Л
У2(ж) = ^(ж)е-Лх = -— д1(ж) - д1(0)е-2Лх - е2^-^(*)
еЛх+
+О Ш
(10)
2) Положим теперь в (6), (7) с1 = / е-2Лгд2(£)эд2(£) (£, с2 = 1. Тогда
0
по доказанному в п. 1 из (9) имеем
^(ж) = 1 - ^(ж,Л)у е-2^^)^) а-у е-2^^)^)^, Л) (11)
х 0
И
справедлива оценка и>2(ж) = 1 + О (Л ^. Подставим эту оценку в (11)
^(ж) = 1 - р(ж, ЛИ е-д2(^) - р(ж, Л) / е-2Лгд2(£)О (Л-1) (£-
- е-2Лгд2(%(£, Л) а - е-2Лгд2(^)О (Л-1) Л) (12)
х
х
1
х
1
1
х
х
Далее имеем
] е-2Лг«2(£М£, А) а = ] е-2Лге2Лт^(т) (т
] е-2Лг«2(;) {2А[«1 (Ф2Л - «1(0)] - 2а ] е2Лт«1 (т) (Л
п ^ п ■>
а =
2Л
] ^(¿мо + о (А2).
О А-2
этому из (12)
^2(х) = 1 - 2а I «1 (^)«2(£) + О (АЛ .
(13)
Подставим (13) в (6):
]1 ]1
1 / е-2Лг«2(^) «1(т)«2(т) (т + О (А2) / е-2Лг«2(^) (I.
2Л
(14)
Выполняя в первом интеграле интегрирование по частям, во втором -замену порядка интегрирования и применяя оценки (3), получим из (14)
^(х) = 2А
«2(х)е-2Лх - «2(1)е-2Л + / е-2Лг«2(*) &
2Л
.-2Лг „/
+ оШ е-2Ах.
Таким образом из (15) и (13):
(15)
у1(х) = ^1(х)бЛх =
1
2а
«2(х) - «2(1)е2Л(х-1) + е2Л(х-г)«2(*)
е-Лх+
+О Ш е-Ах,
у2(х) = «>2(.х)е Ах =
1 - 2А /+ О (А?
Лх
1
х
1
1
х
Из (10) и (16) следует утверждение теоремы. □
Аналогичный результат может быть получен при ИеЛ < 0.
Постановка задачи и результаты п. 1 принадлежат А. П. Хромову, а результаты п. 2 - М. Ш. Бурлуцкой.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1001-00270), гранта Президента РФ (проект ПШ-ЩЗ.2010.1 ).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Раппопорт И. М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Киев : Изд-во АН УССР, 1954. 258 с.
2. Бурлуцкая М. Ш., Хромов А. П. О классическом решении смешанной задачи для уравнения первого порядка с инволюцией // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Физика. Математика. Воронеж, 2010. № 2. С. 26-33.
УДК 512.7
А. М. ВОДОЛАЗОВ
АЛГЕБРЫ ЦЕЛОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ РАЗЛОЖИМЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОРОВ
Пусть к - поле р-адических чисел, О - кольцо целых р-адических чисел, Т - алгебраический к-тор. Для построения целых моделей алгебраических торов в работах [1, 2] введена алгебра
А = {/ е к[Т] | /(Ц) с О} ,
где Ц* - максимальная компактная подгруппа группы Т(к). В работе [1] было замечено, что эта алгебра имеет бесконечный набор образующих и поставлен вопрос о нахождении всех образующих для разложимых торов Т = С^. Для разложимых торов образующие были найдены в работе [3]. Кроме алгебры просто целозначных функций, представляет интерес изучение ее различных подалгебр. В частности, для построения анализа на алгебраических торах надо рассматривать функции, целозначные вместе со своими разделенными или конечными разностями. Эти алгебры определяются как
А{г} = {/ е к[Т] | /(Ц) с О, Ф/(Ц, ж) е А{г-1}}
и
АИ = {/ е к[Т] | /(Ц) с О, М е и* Д/(ж) е Аг-1]}
20
