Смешанная задача для простейшего гиперболического уравнения первого порядка с инволюцией Текст научной статьи по специальности «Математика»

funktsii. T. II: Funktsii Besselya, funktsii paraboliches-kogo tsilindra, ortogonal'nye mnogochleny [Higher transcendental functions. Vol. II: Bessel functions, parabolic cylinder functions, orthogonal polynomials]. Translated from the English by N. Ja. Vilenkin. Second edition, unrevised. Spravochnaya Matematicheskaya Biblioteka [Mathematical Reference Library]. Moscow, Nauka, 1974. 295 p. (in Russian).

7. Aldashev S. A. The correctness of the Dirichlet problem Y^K 517.95; 517.984

in the cylindric domain for one class of multi-dimensional elliptic equations. Vestnik, Quart. J. of Novosibirsk State Univ. Ser. Math., mech., inform., 2012, vol. 12, iss. 1, pp. 7-13 (in Russian).

8. Aldashev S. A. The correctness of the Dirichlet problem in the cylindric domain for equation Laplase. Izv. Saratov. Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2012, vol. 12, iss. 3, pp. 3-7 (in Russian).

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПРОСТЕЙШЕГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ИНВОЛЮЦИЕЙ

М. Ш. Бурлуцкая1, А. П. Хромов2

1 Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, Воронежский государственный университет, ЬтвИ2001 @таН.ш

2Доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, KhromovAP@info.sgu.ru

Исследуется смешанная задача для дифференциального уравнения первого порядка с инволюцией в потенциале и с периодическими краевыми условиями. Получены уточненные асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций соответствующей спектральной задачи, на основе которых проводится обоснование применения метода Фурье. Использованы приемы, позволяющие избежать исследования равномерной сходимости почленно продифференцированного формального решения по методу Фурье и получить классическое решение при минимальных требованиях на начальные данные задачи.

Ключевые слова: смешанная задача, инволюция, метод Фурье, классическое решение, асимптотика собственных значений и собственных функций, система Дирака.

В данной работе методом Фурье решается следующая смешанная задача с инволюцией:

ди(х,Ь) = ди(х,Ь) + д(ж)и(1 - х,ь), X е [0,1], г е (-го, го), (1) дЬ дх

и(0,Ь) = и(1,Ь), (2)

и(х, 0) = ф(х), (3)

где q(x) — комплекснозначная функция из С1 [0,1] такая, что #(0) = #(1), функция ф(х) удовлетворяет естественным минимальным требованиям: ф(х) е С1 [0,1], ф(0) = ф(1), ф'(0) = ф'(1).

Как ив [1, 2], где также рассматривается простейшая смешанная задача с инволюцией при производной их(х,Ь), применяя идеи А. Н. Крылова [3] и В. А. Чернятина [4], мы избегаем исследования равномерной сходимости почленно продифференцированного формального решения по методу Фурье. Это позволяет получить классическое решение задачи при минимальных требованиях на ф(х).

1. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

1. Введем оператор Ь:

ЬУ = 1[У] = у'(х) + #(х)У(1 - х) У(0) = У(1)-

Рассмотрим соответствующую спектральную задачу Ьу = Ау:

у'(х) + #(х)у(1 - х) = Ау(х) (4)

y(0) = y(1). (5)

Осуществим переход от системы (4)-(5) к системе Дирака. Положим z(x) = (zi(x),z2(x))T (T — знак транспонирования) и рассмотрим систему

Bz' (x) + P (x)z(x) = Az (x), (6)

Л 0 \ ( 0 q(x)\

где B =^o . P<x)= _ x) oj " Z1 (X)= Z2(1 - X)-

Лемма 1. Если y(x) есть решение уравнения (4) и z(x) = (z1 (x),z2(x))T, где z1 (x) = y(x), z2(x) = y(1 — x), то z(x) удовлетворяет системе Дирака (6) и условию

zi(1/2) = Z2 (1/2). (7)

Обратно, если z(x) удовлетворяет (6)-(7), то y(x) = z1 (x) удовлетворяет уравнению (4).

Доказательство. Пусть y(x) есть решение уравнения (4). Тогда очевидно, что z(x) удовлетворяет системе (6)-(7). Запишем систему (6) покомпонентно:

z1 (x) + q(x)z2 (x) = Az1(x), (8)

—z2 (x) + q(1 — x)z1 (x) = Az2 (x). (9)

Заменив в (8)-(9) x на 1 — x, придем к системе

z1 (1 — x) + q(1 — x)z2 (1 — x) = Az1(1 — x), —z2 (1 — x) + q(x)z1(1 — x) = Az2 (1 — x),

из которой, положив u(x) = (u1 (x), u2(x))T, где u1 (x) = z2(1 — x), u2(x) = z1 (1 — x), получим:

—u2 (x) + q(1 — x)u1 (x) = Au2(x), u1(x) + q(x)u2(x) = Au1 (x).

Далее

U1 (1/2) = z2(1/2) = z1 (1/2) = U2(1/2).

Таким образом, u(x) и z(x) удовлетворяют одной и той же системе уравнений и u(1/2) = z(1/2). Значит, u(x) = z(x), откуда, в частности, z2(x) = z1 (1 — x). Поэтому из (8) получаем:

z1 (x) + q(x)z1 (1 — x) = Az1 (x).

Лемма доказана. □

Из леммы 1 очевидным образом следует утверждение

Лемма 2. Число A является собственным значением, а y(x) — собственной функцией оператора L тогда и только тогда, когда z(x) = (z1(x),z2(x))T = (y(x),y(1 — x))T является ненулевым решением системы (6) с краевыми условиями:

z1 (0)= z1 (1), z1(1/2) = z2 (1/2). (10)

2. Представим систему (6) в виде

z' (x) + Q(x)z(x) = ADz(x), (11)

(0 q(xA

, D = B-1 = diag(1, —1). Тогда (см. [2]) имеет место:

—q(1 — x) 0 )

Теорема 1. Для общего решения системы (11) справедлива асимптотическая формула:

z(x, A) = U(x, A)eADxc, (12)

где и (ж, Л) = Е + О (1/Л), Е — единичная матрица, с = (^ , с2 )т — произвольный постоянный вектор. Матрица О (1/А) регулярна по Л в каждой из полуплоскостей Яв Л ^ —Н, Яв Л ^ Н (Н — любое фиксированное положительное число), и оценка О(-) равномерна по х.

Теорема 2 (уточнение теоремы 1). Если Яв Л > —Н, то для и(х, Л) = (м^ (х))1 в формуле (12) справедливы асимптотические формулы:

X

ми (х) = 1 + У д1(£)ф2(£) л« + О

0

М12(х) = 2А ^(х) — 42(1)в-2Л(1-Х) + I в2Л(х-^)^2(«) л«^ + ,

М21 (х) = — -А (х) — 41 (0)е-2Лх — I е-2Л(х-г)51 («) ^ + ,

х

М22 (х) = 1 — -А У 51 («)52(«) Л + О ,

0

где 52(х) = д(х), (х) = —д(1 — х), О (1/Л2) регулярны при больших |А| и оценки О(-) равномерны по х.

Аналогичные формулы справедливы и при Яв Л < Н. Доказательство. Представим (6) покоординатно в виде

М (х) — Лм1(х) = —52 (х)м2(х), (13)

«2 (х) + Лм2(х) = —(х)м1(х). (14)

Полагая ш1(х) = и1(х)е-Лх, эд2(х) = м2 (х)еЛх, из (13) и (14) получим:

х

Ш1(х) = с1 ^ у е-2Лгд2(«)^2(«) л«, (15)

0

х

Ш2(х) = с2 ^ У е2Лг(«)ш1 («) л«. (16)

0

Выполним подстановку (16) в (15):

х х х

(х) = С1 — с^ е-2Л^2 («) л« ^У е2Лг 51(«)^1 («) Л^е-2Лт 52 (т) Лт. (17)

о о г

Полагая в (17) с1 = 1, с2 =0 и учитывая, что

х х

[ е-2Лт52 (т) лт = О (Л-1 е-2Лг) , [ е2Лтд(т) ¿т = О (Л-1е2Лх) , (18)

получим ад1(х) = 1 + О (Л ^, а отсюда из (16) ш2(х) = О (Л 1е2Л^. Далее, положим с2 = 1 и подставим (15) в (16). Тогда

и>2 (х) = 1 — р(х, Л)

х

-2Лг

С1 — е-52 («)^2 («) л«

х

+ У е-2Лг52(«)^2(«Ж«, Л) л«, (19)

0

1

где ^(х, Л) = / е2Лг(«) л« = О (А 1 е2Лх). Полагая теперь в (19) с1 = / е 2Лг^2(«)^2(«) л«, получим, 0 ( ) ( ) 0

что эд2(х) = 1 + О (Л-1), а тогда (х) = О (Л-1 е-2Лх). Отсюда, в частности, легко следует теорема 1.

Теперь дадим уточнение (х) и ад2(х). В случае с1 = 1, с2 = 0 обозначим (х) = ад11(х), (х) = и>21 (х). Имеем:

х

е-2Лт#2(т) ¿г = е-2Лт#2(т) + ^ I е"2Ат#2(т) ¿т.

2А

х1

-2Лт„ '

* 2А

Тогда, подставляя найденную асимптотику для (х) = (х) в (17) при с1 = 1, с2 =0, получим:

х х

Ш1(х) = 1 - [ в2ЛЧ(Ь) ¿Ь / е-2Лт#2(т) ¿т + О (А-2) . (20)

Так как

х х

,2Л*„ /,\ т, / -2Лт.

е2Л*#1(Ь) ¿Ь / е-2Лт#2(т) ¿т =

х х х

/е2Л*#1(Ь)[-2Ае-2Лх#2(х) + 2Ае-2Л*#2(Ь)] ¿Ь +2А/^(Ь)/е-2Лт#2 0 0 *

х х т

= О (А-2) + 2А / #1(Ь)#2(Ь) ¿Ь + 2А / е-2Лт#2(т) ¿т | е2Л*#1 (Ь) ¿Ь =

0 0 0

х

= 2а/ #1(Ь)#2(Ь) ¿Ь + О (А-2) ,

0

то из (20) получаем:

х

Ш1(х) = 1 - 2а I #1 (Ь)#2 (Ь) ¿Ь + О (А-2) . (21)

0

Подставим (21) в (16) при с2 = 0:

х

^2 (х) = Ш21 (х) = - I е2Л*#1 (Ь) ¿Ь + О (А-2е2Лх) = 0

х

= - 2А [е2Лх#1 (х) - #1 (0) - | в2ЛЧ(Ь) ¿Ь] + О (А-2е2Лх) .

0

Аналогичные формулы получаются для ад1(х) = (х) и эд2(х) = ш22 (х) при втором выборе с1 и с2. Образуем матрицу ^(х, А) = (^(х))2. Тогда матрица и(х, А) = вЛВх^(х, А)в-ЛВх — искомая. □ 3. Получим асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций оператора Ь.

Теорема 3. Собственные значения оператора Ь, достаточно большие по модулю, простые и для них справедливы асимптотические формулы:

Ап = 2пп + О ( — ) , п = ±п0, ±(п0 + 1),..., \п)

где п0 — некоторое достаточно большое натуральное число.

Доказательство. По теореме 1 имеем для ¿(х) = г(х, А) = (г1(х),г2(х))т:

¿1 (х) = С1 ип (х)еЛх + С2 и12 (х)е-Лх, ¿2 (х) = С1 и21 (х)еЛх + С2 и22 (х)е-Лх.

Так как ¿1(1) = ¿2(0), то отсюда в силу краевых условий (10) получаем:

[иП(0) - и21 (0)]С1 + [и12(0) - и22 (0)] С2 = 0,

х

[ип(1/2) — «21(1/2) еЛ/2 С1 + [«12(1/2) — «22(1/2)] е-Л/2С2 = 0 Следовательно, уравнение для собственных значений имеет вид

«11 (0) — «21 (0) «12 (0) — «22 (0) [«11 (1/2) — «21 (1/2)]еЛ/2 [«12 (1/2) — «22(1/2)]е-Л/2

=0,

откуда еЛ = 1+ О(1/А). □

Теперь с помощью теоремы 2 дадим более точные асимптотики собственных чисел. Всюду в дальнейшем через а будем обозначать различные константы, не зависящие от п (из конечного набора

те

констант), через ап такие константы, что ^ |ап|2 < го.

—те

Лемма 3. Для любого целого числа к, любой функции в(х) е С[0,1] и р = ±1 имеем:

е&Л„

= а + О ( -

п

е2рЛ"г5(«) <И = а- + ^п) ' ;2рЛ"г5(«) л« = а- + О(П) .

Эта лемма аналогична лемме 3 из [2].

Лемма 4. При А = Ап имеют место следующие асимптотические формулы:

«11 (0) = 1 + О

«22 (0) = 1 + О

/п\ а I ап

«12 (0) = - +--•

пп

«21(0) = О

1

[Л 1 . ап

«1Ч "

«22 ( 2 I = 1 + а + О( —

. . а а-

«12 ~ = - + —, 2) п п

а а-«21 - = - + —. 2 п п

Теорема 4. Для собственных значений Ап имеют место уточненные асимптотические формулы:

Ап = 2пп +---1---, п = ±п0, ±(п0 + 1),... .

пп

Лемма 4 и теорема 4 есть дословное повторение соответствующих результатов из [2]. Далее, для собственных функций получим сначала грубую асимптотику.

Теорема 5. Для собственных функций оператора Ь имеют место асимптотические формулы:

У-(х) = е

2—пгх

+О

п = ±по, ±(по + 1), . . . ,

где оценка О(-) равномерна по х е [0,1].

Доказательство. В силу леммы 2 собственные функции есть уп(х) = г1(х,Ап) = с1«11 (х)еЛпх + + с2«12(х)е-Лпх, где с1 и с2 связаны соотношением (0, Лп) = ¿2(0, Лп). Отсюда имеем:

С1 [«11 (0) — «21 (0)] = С2 [«22 (0) — «12(0)].

(22)

Так как «11 (0) — «21 (0) = 1 + О(1/п2), «22(0) — «12(0) = 1 + О(1/п), то (22) перейдет в с1[1 + О(1/п2)] = с2[1 + О(1/п)], откуда, полагая с2 = 1, получим с1 = 1 + О(1/п) и поэтому

У-(х) =

1+О

«11 (х)еЛ"х + «12(х)е

— Лпх _ е2—пгх +

□

1

2

2

2

п

п

1

п

1

1

п

п

Теперь получим уточненные формулы для собственных функций.

Теорема 6. Для собственных функций уп(х) оператора Ь имеют место уточненные асимптотические формулы:

у-(х) = в2-™х + Пщ(х) + 02„(х) + о(-У ,

где

П1п(х) = 1 [б(х)в-2ппгх + 6(х)в2ппгх + 6(х)а„е-2ппгх + 6(х)а„в2ппгх], п

х х

П2п(х) = П [Ь(х) У е2-пй#2 (¿Ь + Ь(х) | е-2-™*#2 ¿Ь],

0

оценки О(^) равномерны по х е [0,1], а через Ь(х) обозначаем различные непрерывные функции из некоторого конечного набора. Доказательство. Имеем:

у„(х) = С1 ип(х)вЛ"х + С2и12 (х)е Лпх

а а

где с2 = 1, с1 определяется из (22). Тогда по лемме 4 из (22) имеем с1 = 1 +---1—-. Далее,

пп

иц (х) = 1 + -Ь(х) + О ( -1

2

е±Л„х _ е±2ппгх

1а 1 + - Ь(х) + — Ь(х)

пп

+ О\-1

п2

Поэтому получим:

С1 иц(х)вЛ™х = ^ 4 Л ~ / 1

1 + 1 Ь(х) + — Ь(х)

пп

+ О, 2

п2

Далее, по теореме 2 имеем:

и12 (х)в"= 2А ( #2 (х)в-Л"х - #2 (1)в-2Л™ вЛ™х + I вЛ™ (х-2^2 (Ь) ¿Ь I + О 2 )

Так как -1 = а + О (-1 ),то

2А п п2

1 „ \„-Л„х Ь(х) -2ппгх , /П / 1 I #2(1) -2Л„ „Лпх Ь(х) „2пп^х , / 1

2А #2 (х)в-Л"х = е-2ппгх + О — , ^ в-2Л™вЛ"х = в2ппгх + О ( — 2А п п 2А п

Далее,

Но

1 1

у еЛ„(х-2*)#2(Ь) ¿Ь = у е2-™(х-2*)#2(Ь) ¿Ь + О (^п) ,

хх 1 1 х

у е2-пг(х-2*)#2(Ь) ¿Ь = I е2-пг(х-2*)#2(Ь) ¿Ь - I е2-пг(х-2*)#2 (Ь) ¿Ь =

х00

х

= а-в2ппгх - у е2-пг(х-2*)#2(Ь) ¿Ь. 0

х х

в2-пг(х-2*)#2(Ь) ¿Ь = I в2-пгт#2 (ху1) ¿т + 1 в-2-пгт#2 ¿т.

1

Значит,

«12(х)е-Л™х = ^ е-2ппгх + ^ е2ппгх + — Ь(х)е2—пгх+ п п п

х х

+М у е'2пП'т52 I) лт + М | е-2пП'т«2 ¿т + О . □

О о

4. Теперь нам надо провести аналогичные исследования для сопряженного оператора Ь*. Теорема 7. Оператор Ь* имеет вид

Ь* г = —г' (х) + д(1 — х)г(1 — х), ¿(0) = ¿(1). Рассмотрим спектральную задачу для Ь*:

—г'(х) + д(1 — х)г(1 — х) = Лг (х), г (0) = г (1).

Отсюда получаем:

г' (х) + р(х)г(1 — х) = дг(х), г(0) = г(1),

где р(х) = — д(1 — х), д = —Л. Таким образом, получим схожую с исходной спектральную задачу, но теперь вместо д(х) берем р(х) и вместо Л берем д = —Л. Поэтому справедливы следующие факты.

Теорема 8. Для собственных значений д— имеют место асимптотические формулы:

а ад— = 2ппг +---1--, п = ±п0, ±(п0 + 1), . . . .

пп

Теорема 9. Для собственных функций (х) оператора Ь* имеют место асимптотические формулы:

г-—(х) = е2ппгх + О , п = ±п0, ±(п0 + 1),..., и уточненные асимптотические формулы:

„2—пгх ~ ' 4 ~ ' 4 — ' 1

г-—(х) = е гх + 01-(х) + О 2—(х) + О

где

01-(х) = - [Ь(х)е-2—пгх + Ь(х)е2—Пгх + Ь(х)а—е-2ппгх + Ь(х)а—е2—пгх] ,

х х

02— (х) = п [Ь(х)1 е2п^р2 (^^ л« + Ь(х) У е-2—^р2 (^^ л«],

00

р2(х) определяется так же, как и д2(х), только вместо д(х) берем р(х) = — д(1 — х). Учтено также, что Л— = —Лп.

Теорема 10. Если /(х) е С1 [0,1], /(0) = /(1), то

Ит ||/(х) — 6у(/,х)Уте = 0,

г^те

где £г (/, х) = — /лл — частичная сумма ряда Фурье функции / по собственным функ-

7Гг |Л|=г

циям оператора Ь, ДЛ = (Ь — ЛЕ)-1 — резольвента оператора Ь.

Этот результат получается переходом к системе Дирака с учетом того, что для последней краевые условия регулярны по Биркгофу.

п2

2. КЛАССИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ

По методу Фурье формальное решение задачи (1)-(3) имеет вид

и(ж,С) = -2- / (Ялр)(ж)еЛ¿А + £ (^Ц. Уп(х)вЛп(23)

2П |Л/=Г |Л„ |>г п)

где г > 0 фиксировано и таково, что при |Ап| > г все собственные значения простые.

Появление интеграла в (23) вызвано тем, что нумерация собственных значений Ап привязана к их асимптотике (т. е. главный член асимптотики есть 2ппг) и поэтому некоторое конечное число собственных значений с малыми модулями не занумеровано.

Выполним преобразование этого решения согласно приемам А. Н. Крылова и В. А. Чернятина. 1. Рассмотрим простейшую смешанную задачу, т.е. задачу (1)-(3) при д(ж) = 0:

, и(0, С) = и(М)=0, и(ж, 0) = р(ж). (24)

от дж

Общее решение дифференциального уравнения по методу характеристик есть и(ж, С) = F(ж + С), где ^(ж) — произвольная функция из С1 (-го, +го). Из граничных и начальных условий имеем: F(ж + С) будет решением задачи (24) тогда и только тогда, когда р(ж) е С 1[0,1],

р(0) = р(1), р'(0) = р'(1) (25)

и ^(ж) = ^(ж + 1), причем ^(ж) = р(ж) при ж е [0,1]. Условия (25) обеспечивают гладкость ^(ж) и, тем самым, однозначную разрешимость задачи (24).

Теперь решим задачу (24) по методу Фурье. Формальное ее решение есть

те

и0 (ж, с) = /(р,е )е е • (26)

— те

Из условий на р(ж) следует, что ряд ^ (р, е2ппгх)е2пп*5 сходится абсолютно и равномерно на всей

— те

оси, его сумма F(£) равна ) при £ е [0,1] и F(£) = F(£ + 1). Из условий (25) получаем, что F(£) е С1 (-го, +го), и решение (24) есть

и0 (ж,С) = F (ж + С). (27)

Представим теперь (26) в виде

ио(ж,С) = -2^1 (ЯДР)(ж)еЛ¿А + ^ (^,е2ппгх) в2™е2ппг*, (28)

|Л|=Г |2ппг|>г

где ЯД = (^о - АЕ) —1, Х0 = X при д(ж) = 0. Из (23), (27), (28) получаем следующее важное представление формального решения (23).

Теорема 11. Для формального решения (23) имеет место формула

и(ж, С) = и0 (ж, С) + и1 (ж, С) + и2 (ж, С), (29)

где и0(ж, С) есть (27) при F(ж) е С1 (-го, +го), F(ж) = F(ж + 1) и F(ж) = р(ж) при ж е [0,1],

И1 (ж,С) = -2^1 ((Ял - ЯЛ) р) (ж)еЛ¿А, (30)

|Л|=г

(уп7 П)

и2(ж, с) =

| Л„ | >г

(31)

2. Покажем, что ряд (31) и ряды, получающиеся из него почленным дифференцированием по х и сходятся абсолютно и равномерно по х е [0,1] и всем « е [—А, А] при любом А > 0. Лемма 5. Для «2 (х,«) имеет место формула

«2 (х,«) = £1 +£2,

где

£1 = Е

|Л„ | >г |2—пг| >г

(у, г-—) у—(х)еЛ™г (0, е2—пгх)е2—™(х+г)

(у— )(Л— — Д0) 2пП — Д0

(02 е2—пгх)е2—пг(х+г)

£2 = Т ,

2 ^ (2пП — Д0 )2

и суммирование ряда £2 идет по тем же п, что и ряда £1, д0 не является собственным значением операторов Ь и Ь0, у = (Ь — Д0Е02 = (Ь0 — Д0Е)уь 01 = у — (Ь0 — Д0Е

Доказательство. Имеем ^ = ДДоу. Тогда (Ь — ЛЕ= у+(д0 — Л)^. Отсюда ^ = ДЛу +(д0 — А)ДЛ^ и, значит,

Дл р =-г--т. (32)

д0 — Л д0 — Л

Так как = д(х)^(1 — х), д(х) е С 1[0,1], д(0) = д(1), то е (из области определения Ь0). Следовательно, у2 непрерывна, поэтому

„0 ДЛ(Ь0 — д0 Е ^ ДЛ (У — £1) , Д0 51 Дл Р =-г--л-=-г--л— =-г--г +

д0 — Л д0 — Л д0 — Л д0 — Л д0 — Л д0 — Л д0 — Л

Но

Д0 у = Д0 Д0 у = Д£оу2 — д0у2 = 31 1 Д0 у ДЛу1 = ДЛДиоу2 = ---7- = --Т — "-ТД Лу2.

Отсюда получаем:

ДЛ ^ = — + — т^т^ ДЛ ^. (33)

д0 - Л д0 - Л (д0 - Л)2 (д0 - Л)2 Обозначим 7— = {Л| |Л — 2ппг| = 5}, где 5 > 0 достаточно мало, п — номер из суммы £1. Тогда, используя (32) и (33), получаем:

г- — ) у—(х)еЛ™1 , 2—пг^ 2—пг(х+4) 1 [ Т)0, Л /„Л „Лг

—(У—7^—5--(^,е ) — — (х)е лл =

7™

= — Г ((Дл — ДЛ)у) (х)еЛг лл — Г (Д0аО (х)еЛг ^ = 2пг У Л — д0 У (Л — д0)2

7™ 7™

(у, ) у—(х)еЛ™г (у, е2—пгх) е2—пг(х+г) + (у2, е2—пгх) е2—пг(х+г) ^

(у—, г-—)(Л— — д0) (2пП — д0) (2пП — д0)2

Лемма 6. Если /(х) е С[0,1], то О^ = а—/п, у = 1, 2. Эта лемма аналогична лемме 8 из [2].

Теорема 12. Ряд в (29) и ряды, полученные из него почленным дифференцированием по х и « сходятся абсолютно и равномерно по х е [0,1] и « е [—А, А] при любом А > 0.

Доказательство. По лемме 5 надо изучить ряды £1 и £2. Согласно неравенствам Коши-Буня-

|(у, г-—)| |(у,е2—пгх )|

ковского и Бесселя ряды —--—-г и --г сходятся, откуда следует абсолютная и

|(у— ,г-—)| |А— — д01 |2пп — д0| равномерная сходимость рядов £1 и £2. Абсолютная и равномерная сходимость продифференцированного по х и « ряда £2 очевидна. Рассмотрим почленно продифференцированный по х ряд £1. По теореме 9 (у,г-—) = (у,е2—пгх) + а—/п. Далее, у— (х) = 2ппге2—пгх + О(1), (у—, ) = 1 + О(1/п), А— — д0 = (2пП — д0)[1 + О(1/п2)], е Л= е2—ПЙ + О(1/п). Поэтому

(у, г-—) у— (х)еЛ™г = 2пП (у,е2—П*х) е2—П*(х+г) + О /а— (у— )(Л— — д0) (2пП — д0) ^п

и, тем самым, почленно продифференцированный по х ряд £ сходится абсолютно и равномерно. Аналогичный факт имеет место и в случае почленного дифференцирования ряда £1 по Ь. □

3. Теперь докажем основной результат.

Теорема 13. Если д(х) е С1 [0,1], д(0) = д(1), р(х) е С1 [0,1], р(0) = р(1), р'(0) = р'(1), то классическое решение задачи (1)-(3) существует и имеет вид (23).

Доказательство. Очевидно, что правая часть (23) удовлетворяет граничным и начальным условиям. Докажем, что и(х,Ь) удовлетворяет уравнению (1). Введем в рассмотрение оператор

^ ди(х,Ь) ди(х,Ь)

дЬ дх

Представим и(х, Ь) в виде

и(х, Ь) = «о (х, Ь) + и1 (х, Ь) + £ + £2. Отсюда следует, что и(х,Ь) непрерывно дифференцируема по х е [0,1] и Ь е [-го, го]. Далее имеем:

Du = Duo + Dui + D£i + D£2 = q(x)

+ D£i.

Но

( \

-~Ь / ^^)(1 - х)еЛ'^

V |Л|=г )

= £ ^(уп(х)вЛ™*) =

^ (уп,г_п) Лп - До

= *(х) £ ^^ Уп(1 - х)вЛ™' = 5(х) £ (^Ц Уп(1 - х)вЛ"*,

^ (Уп, г_п) Лп - До ^ (Уп, )

т. е. Ди(х, Ь) = д(х)м(1 - х, Ь). Теорема доказана. □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-00238). Библиографический список

1. Бурлуцкая М. Ш., Хромов А. П. Смешанные задачи 3. Крылов А. Н. О некоторых дифференциальных урав-для гиперболических уравнений первого порядка с ин- нениях математической физики, имеющих приложения волюцией // Докл. РАН. 2011. Т. 441, № 2. С. 151-154. в технических вопросах. М.; Л. : ГИТТЛ, 1950. 368 с.

2. Бурлуцкая М. Ш., Хромов А. П. Обоснование метода Фурье в смешанных задачах с инволюцией // Изв. 4. Чернятин В. А. Обоснование метода Фурье в сме-Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. шанной задаче для уравнений в частных производных. Информатика. 2011. Т. 11, вып. 4. С. 3-12. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1991. 112 с.

Mixed Problem for Simplest Hyperbolic First Order Equations with Involution

M. Sh. Burlutskaya1, A. P. Khromov2

1 Voronezh State University, 1, Universitetskaya pl., 394006, Voronezh, Russia, bmsh2001 @mail.ru 2Saratov State University, 83, Astrahanskayastr., 410012, Saratov, Russia, KhromovAP@info.sgu.ru

In this paper investigates the mixed problem for the first order differential equation with involution at the potential and with periodic boundary conditions. Using the received refined asymptotic formulas for eigenvalues and eigenfunctions of the corresponding spectral problem, the application of the Fourier method is substantiated. We used techniques, which allow to avoid investigation of the uniform convergence of the series, obtained by term by term differentiation of formal solution on method of Fourier. This allows to get a classical solution with minimal requirements on the initial data of the problem.

Key words: mixed problem, involution, Fourier method, classical solution, asymptotic form of eigenvalues and eigenfunctions, Dirac system.

References

1. Burlutskaya M. Sh., Khromov A. P. Initial-boundary Value Problems for First Order Hyperbolic Equations with Involution. Doklady Mathematics [Doklady Akademii Nauk], 2011, Vol. 84, no. 3, pp. 783-786.

2. Burlutskaya M. Sh., Khromov A. P. Substantiation of Fourier Method in Mixed Problem with Involution. Izv. Sarat. Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2011, vol. 11, iss. 4, pp. 3-12 (in Russian).

3. Krylov A. N. O nekotoryh differencial'nyh uravnenijah matematicheskoj fiziki, imejushchih

prilozhenija v tehnicheskih voprosah [On Some Differential Equations of Mathematical Physics Having Application to Technical Problems]. Moscow, Leningrad, GITTL, 1950. 368 p. (in Russian). 4. Chernyatin V. A. Obosnovanie metoda Fur'e v smeshannoj zadache dlya uravnenij v chastnykh proizvodnykh [Justification of the Fourier method in the mixed boundary value problem for partial differential equations]. Moscow, Moscow Univ. Press, 1991, 112 p. (in Russian).

УДК 514.133

ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ ПЛОСКОСТИ Н

Л. Н. Ромакина

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, romakinaln@mail.ru

На гиперболической плоскости Н положительной кривизны в модели Кэли-Клейна исследованы параболические параллелограммы. Проведена их классификация, получены метрические соотношения между величинами углов и выражения длин ребер через меры углов при вершинах.

Ключевые слова: гиперболическая плоскость Н положительной кривизны, плоскость де Ситтера, параллелограмм, параболический параллелограмм.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования различных фигур гиперболической плоскости Н положительной кривизны в проективной модели Кэли-Клейна возрастает в связи с развитием теории разбиений данной плоскости [1-3] и необходимостью построения теории многогранников трехмерного гиперболического пространства положительной кривизны, являющегося проективной моделью трехмерного пространства де Ситтера (см., например, [4-8]) и содержащего, в частности, плоскости типа Н.

В работе [9] введены в рассмотрение параллелограммы гиперболической плоскости Н положительной кривизны. Как и на евклидовой плоскости, параллелограммом плоскости Н называем че-тырехвершинник, противоположные стороны которого параллельны. Параллельными в паре на плоскости Н могут быть либо две гиперболические прямые, либо гиперболическая и параболическая прямые. Поэтому все параллелограммы плоскости Н можно отнести к трем типам. Параллелограмм называем гиперболическим, если все его стороны гиперболические. Если параллелограмм содержит одну (две) параболическую сторону, называем его параболическим (бипараболическим). Гиперболические параллелограммы исследованы в работе [9]. В данной статье продолжим начатое исследование и рассмотрим параболические параллелограммы. Покажем, что положение на абсолюте точек сторон определяет три инвариантных относительно фундаментальной группы С плоскости Н класса параболических параллелограммов. Для параллелограммов каждого класса определим типы углов и найдем метрические соотношения, связывающие меры ребер и меры углов при вершинах параллелограммов.

Основные понятия и формулы, используемые в работе, введены в статьях [9, 10] и монографии [11]. Напомним некоторые определения.

Каждый угол между смежными сторонами параллелограмма будем называть углом при вершине данных сторон, указывая при необходимости его тип. Угол при вершине параллеограмма назовем внутренним, если он содержит противоположную вершину параллелограмма. Угол, смежный с внутренним углом при вершине, назовем внешним углом параллелограмма при данной вершине.