Обоснование метода Фурье в смешанных задачах с инволюцией Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.95,517.984

ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ В СМЕШАННЫХ ЗАДАЧАХ С ИНВОЛЮЦИЕЙ

М. Ш. Бурлуцкая, А. П. Хромов

Воронежский государственный университет, кафедра математического анализа

* Саратовский государственный университет,

кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики E-mail: bmsh2001 @mail.ru, KhromovAP@info.sgu.ru

В работе исследуется смешанная задача для дифференциального уравнения первого порядка с инволюцией. Приводится обоснование применения метода Фурье на основе полученных уточненных асимптотических формул для собственных значений и собственных функций соответствующей спектральной задачи. Использованы приемы, позволяющие преобразовать ряд, представляющий формальное решение по методу Фурье, и доказать возможность его почленного дифференцирования. При этом на начальные данные задачи накладываются минимальные требования.

Ключевые слова: смешанная задача, инволюция, метод Фурье, классическое решение, асимптотика собственных значений и собственных функций, система Дирака.

Substantiation of Fourier Method in Mixed Problem with Involution

M. Sh. Burlutskaya, A. P. Khromov*

Voronezh State University, Chair of Mathematical Analysis

* Saratov State University,

Chair of Differential Equations and Applied Mathematics E-mail: bmsh2001 @mail.ru, KhromovAP@info.sgu.ru

In this paper the mixed problem for the first order differential equation with involution is investigated. Using the received specified asymptotic formulas for eigenvalues and eigenfunctions of the corresponding spectral problem, the application of the Fourier method is substantiated. We used techniques, which allow to transform a series representing the formal solution on Fourier method, and to prove the possibility of its term by term differentiation. At the same time on the initial problem data minimum requirements are imposed.

Key words: mixed problem, involution, Fourier method, classical solution, asymptotic of eigenvalues and eigenfunctions, Dirac system.

При решении смешанных задач для уравнений в частных производных методом Фурье при обосновании равномерной сходимости ряда, представляющего решение, и рядов, полученных из него почленным дифференцированием, приходится накладывать завышенные требования на начальные данные задачи. Избежать этой проблемы впервые удалось А. Н. Крылову [1], предложившему прием, который он назвал методом ускорения сходимости рядов Фурье и им подобных. Этот прием заключался в том, что из исследуемого ряда выделялся ряд простейшего вида с медленной сходимостью, но сумма которого явно вычислялась, следовательно, можно было непосредственно судить о ее гладкости. Оставшийся ряд уже имел достаточно большую скорость сходимости для того, чтобы его можно было продифференцировать почленно нужное число раз, и получающиеся ряды уже равномерно сходились. Развивая прием А. Н. Крылова, В. А. Чернятин [2] изучил ряд смешанных задач (для волнового

уравнения, уравнения теплопроводности, уравнения Шредингера), так что в результате требования гладкости начальных данных в методе Фурье не имеют никакого завышения и становятся естественными.

В данной работе, используя идеи А. Н. Крылова, В. А. Чернятина, приводится решение, полученное методом Фурье, следующей смешанной задачи:

1 ди(х, £) ди(С,£)

+ д(х)и(х,£), х е [0,1], £ е (-го, го), (1)

вг д£ дС

и(0, £) = 0, и(х, 0) = <р(х), (2)

где в — вещественное число, д(х) е С 1[0,1] и вещественна, ^(х) удовлетворяет естественным условиям ^(х) е С1 [0,1] и ^(0) = ^'(1) = 0. Решение ищется в классе функций непрерывно дифференцируемых по обеим переменным в полосе [0,1] х (-го, +го).

Решение задачи (1)-(2) в случае симметричного потенциала (#(х) = д(1 — х)) получено в [3]. В общем случае эта задача рассматривалась в работах М.Ш. Бурлуцкой и А. П. Хромова [4,5]. В данной работе обосновывается применение схемы, изложенной в [4,5], на базе полученных уточненных асимптотических формул для собственных значений и собственных функций соответствующей (1)-(2) спектральной задачи:

у'(1 — х) + д(х)у(х) = Ау(х), У(0) = (3)

Для удобства читателя в работе приводятся некоторые результаты из [5].

1. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ЗАДАЧИ (3)

Обозначим через Ь оператор

Ьу = у'(1 — х)+ ?(х)У(х), У(0)=0,

порождаемый задачей (3).

Приведем задачу (3) к задаче в пространстве вектор-функций размерности 2. Положим г(х) = (г1 (х),г2(х))т, где г1 (х) = у(х), г2(х) = у(1 — х). Тогда из уравнения (3) получим векторно-матричное уравнение:

Вг'(х) + Р (х)г(х) = Аг(х), (4)

„ / 0 — 1 \ , ( д(х) 0 \ где В = , Р(х) = , (х) = г2(1 — х). Более того, справедливо следу-

V 1 0 ) V 0 ^(1 — х) /

ющее утверждение [5, лемма 12].

Лемма 1. Число А является собственным значением, а у(х) — собственной функцией краевой задачи (3) тогда и только тогда, когда г(х) = (г1(х), г2(х))т = (у(х),у(1 — х))т является ненулевым решением системы (4) с краевыми условиями:

¿1 (0) = 0, ¿1 (1/2) = ¿2 (1/2). (5)

Нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения.

(1 — г \ -1 рк (г) лг

, Н(х) = diag(h1 (х),Л2(х)), где Ни(х) = е 0 , к = 1, 2,

—г 1 /

р1 (х) = —р2(х) = — [д(х) + д(1 — х)]. Замена г(х) = ГН(х)и(х), где и = (и1,и2)т, приводит систему (4) к виду

и'(х) + ^(х)и(х) = АБи(х), (6)

52 (х) = 2 [?(1 — х) — д(х)]е

0 92(х^ „ (х) = 1 х) „(х)]е* [0д(г) х д(г) лг] 51 (х) 0 — [I д(г) / д(г) <гг]

где Б = diag(—г, г), ф(х) = ( ^ ), д1 (х) = 2[?(1 — х) — #(х)]е

М. Ш. Бурлуцкая, Л П. Хромов. Обоснование метода Фурье в смешанных задачах с инволюцией Замечание. Легко проверить, что функции Нк(х) удовлетворяют соотношению

1

г / д(Ь) ЛЬ

Н1(х) = в 0 Н2(1 - х). (7)

Для удобства обозначим д = —Хг. Тогда XI = дБ, где I = diag(1, —1) и уравнение (6) примет

вид

и'(х) + ((х)и(х) = дI и(х). (8)

Уравнение (8) представляет собой двумерное уравнение Дирака. Для общего решения этого уравнения известна следующая асимптотическая формула:

и(х,д) = и(х,д)в^хс, и(х,д) = Е + О (д-1) , (9)

где Е — единичная матрица 2 х 2, с = (с1, с2)т — произвольный вектор, матрица-функция О(д-1) регулярна1 в полуплоскостях Ие д > 0 и Ие д < 0 при |д| достаточно больших. В статье [6] приводится описание нового элементарного метода получения формулы (9). Этот метод позволяет достаточно просто найти уточненные асимптотические формулы для решения уравнения (8), а именно справедливо утверждение (см. [7]).

Теорема 1. Если Ие д > 0, qj (х) е С1 [0,1], то для общего решения уравнения (8) имеем следующую асимптотическую формулу:

и(х,д) = и (х,д)в^° хс, где и(х,д) = (и^ (х, д))г^=1)2, с = (с1 ,с2)т — произвольный вектор и

1

72

иц (х,д) = 1 + 2^1 ql (^2(г) йг + О (^Д^ ,

о

и12(х,д) = 2д ^2(х) — q2(1)в-2^1-х) + I в2^х-Ь)q2(г) ^ + О ,

и21 (х,д) = — 2д (х) — ql(0)в-2»x — I в-2»(х-Ь)^(г) ^ + ,

х

и22 (х,д) = 1 — 2д ! ql (г) йг + о .

о

Аналогичный результат может быть получен при Ие д < 0.

Всюду, далее, для определенности будем считать, что Ие д > 0, соответственно Ие Хг < 0 (противоположный случай рассматривается аналогично). По лемме 2 имеем:

¿1 (х) = с1в>лх [Н1 (х)иц(х) — гН2 (х)и21 (х)]+с2в-^х [Н1 (х) и 12 (х) — гН2 (х)и22 (х) , (10)

Х2(х) = с1 в^х [—гН1(х)иц (х) + Н2 (х)и21 (х)]+с2в-^х [—¿Н1 (х)и12 (х) + Н2 (х)и22(х)]

(здесь для удобства аргументы Х и д у соответствующих функций опущены). Из краевых условий (5) получим следующее уравнение для собственных значений:

иц (0) — ги21 (0) и12 (0) — ги22 (0)

в^ [н2 (|) и21 (2)— гН1 (!) ии (2)] в-^ [Н2 (2) и22 (2)— гН1 (2) и12 (2)]

=0. (11)

Для получения простейших асимптотических оценок собственных значений используем сначала и^ из формулы (9). Обозначая [1] = 1 + О (1/д), имеем

икк(х,д) = [1], и^(х,д)= О , к,] = 1, 2, к = ]. (12)

'Под регулярностью понимается аналитичность функции внутри области и непрерывность на границе.

Поэтому уравнение (11) примет вид

[1] —г[1] + О( ¿)

е* [—Л1 (2) [1]+ О(¿)] е-* [й^ (1) [1] + о(¿)]

= 0.

й2 (1/2) -¿/«(г) лг -¿/«(г) лг

Отсюда, учитывая, что , . , = е 0 , получим е^ = —ге 0 [1], откуда й1(1/2)

Ри = — ( 2 + I | г - 2ттш + 0(1//х)

и О (1/д) = О (1/п). Вычисляя теперь Аи = гди, придем к следующему утверждению.

Теорема 2. Для собственных значений Аи задачи (4)-(5) имеют место асимптотические формулы:

Аи = АП + О ^ , п = ±по, ±(по + 1),..., (13)

П 1

где АП = 2пп + а, а = — + / #(£) п0 — некоторое достаточно большое натуральное число. При 20

этом собственные значения, достаточно большие по модулю, простые.

Для того чтобы получить более тонкие оценки для собственных значений, воспользуемся в уравнении (11) значениями и^ (1/2) и и^ (0), вычисленными по уточненным формулам из теоремы 1 при р = . Всюду далее через а будем обозначать различные константы, не зависящие от п (из конечного

те

набора констант), через аи — такие константы, что ^ |аи|2 < го.

-те

Лемма 3. Для любого целого числа к, любой функции в(х) е С[0,1] и р = ±1 имеем:

е^ = а + О^П) , (14)

о

1

е2р^гв(£) ей = аи + О (!) ,

е2^"г5(£) еЙ = аи + О (Щ) •

о

Доказательство. Учитывая, что е0(1/и) = 1 + О (1), получим

е^™ = е-2п&т-Ыг+о(1/и) = е-| 1 + О | 1||

V \п) )

(15)

аи + О( 1 ). (16)

откуда следует (14). Далее,

1/2 1/2 1/2 / е2^™г^(£) ей = / е-4пигге-2аЙе°(1/и) в(£) ^ = / е-4птге-2агг^(£)

оо

1/2 1 + / ^п) е-4пигге-2аггв(£) ей = 1 / е-2птге-аЙ^2) ей + О (Щ) = аи + О ^ 1

оо

Здесь первое слагаемое, обозначенное аи, есть коэффициент Фурье непрерывной функции Ь(х) = = ^ е-агхз ^х) по тригонометрической системе |е2птх} на отрезке [0,1] (в силу неравенства Бесселя

|аи|2 < го), а во втором интегральном слагаемом использовали ограниченность подынтегральных

-те

функций. Аналогично

1 1 J е2^г5(£) ей = У е-4птге-2агг^(£) ^ + О (Щ) = с2и + ^Щ) , оо

где {с2и} — подпоследовательность коэффициентов Фурье непрерывной функции Ь(х) = е-2агхз(х), и следовательно, выполняется (16).

Аналогично доказываются (15), (16) при р = —1. □

Далее, из леммы 3 и оценки

1 1 '1 + О ту = ^ + О Ш = а+О Ш,

2ппг V V п / / 2ппг V п2 / п V п

следует

Лемма 4. Для значений функций и^ (х,ди) из теоремы 1 справедливы следующие асимптотические формулы:

ии (0) = 1 + ^^ ' «12(0) = а + ОТ + , и22 (0) = 1 + О(ф) , «21 (0)= О(-1) ,

иИ Т1« =1 + а + О Т, и,2 Т1« = а + + О Т^

2 п п2 2 п п п2

и22 Т1« =1 + ^ + О Т^ , и21 Г!) = " + + О Т^

2 п п2 2 п п п2

(для удобства аргумент опускаем).

Теорема 3. Для собственных значений Аи задачи (4)-(5) имеют место уточненные асимптотические формулы:

Аи = Аи + - + — + , п = ±по, ±(по + 1),..., (17)

п п п2

где Аи определяется так же как и в теореме 2.

Доказательство. Используя в уравнении (11) оценки из леммы 4, получим

е-2Л2 Т2« (1 + ^ + - + О Т-1«« = ге2й Т1« (1 + а + ^ + о Т-I

2 п п п2 2 п п п2

и, следовательно,

. -г/9(г) Л/ а а^ -п/2г-2пиг-^ д(г) Лг а + ОТ +°(Т2)

е^ = —ге 0 1+---Ъ — + О ^ = е 0 е .

п п п2

Поэтому для имеем следующую уточненную асимптотическую формулу:

о а аи 1 Ди = — Аи г +---1---Ь О -2 ,

п п п2

откуда следует (17). □

Перейдем к исследованию асимптотики собственных функций задачи (3). В силу леммы 1 собственная функция, отвечающая значению Аи, есть уи(х) = г1 (х, Аи), где г1(х, Аи) определена соотношением из (10), и, следовательно,

уи(х) = С1 [Й1 (х)е-Л™гхиИ (х,Ди) — ¿Й2(х)е-Л™ гхи21(х, Ди)]+ ^

+ С2 [Й1(х)еЛ™гхи12(х, Ди) — гЙ2(х)еЛ™гхи22(х, Ди)] .

Теорема 4. Для собственных функций оператора Ь имеют место асимптотические формулы: уи(х) = у°(х) + ^п) , п = ±по, ±(по + 1), ..., где уП(х) = еЛ™г(1-х)Л2(1 — х) — геЛ™гхЛ2(х), функция Л2(х) та же, что и в лемме 2.

Доказательство. Воспользуемся оценками (12) и полученной из них асимптотикой (13) для собственных значений.

Из (18) и краевого условия уп (0) = 0 имеем

с1 [и11 (0) — ги21 (0)] + с2 [и 12 (0) — ги22 (0)] = с1 [1] — гс2 [1] = 0,

откуда с1 = с2г[1]. Положим с2 = 1, тогда с1 = г[1]. Так как в Лпгх = в Хпгх[\], вЛпгх = вЛ™гх[1], то из (18) и (12) получим

Уп(х)= г[1]в-хпгх[Н1 (х)[1] — гН2(х)О ^ ] + вЛ-гх [Н1 (х)О^ — гН2(х)[1]] =

= гв-хпгх [1]

Н1(х)+ О -

+ вЛпгх [1]

—гН2(х)+ О -1 п

= г (в-ЛпгхН1 (х) — вЛпгхН2(х)) + О -

Положим уП(х) = г {в х°гхН1 (х) — вхПгхН2(х)^ . Из (7) следует, что

Тогда

Н1 (х) = в в 0 Н2(1 — х) = —гваг Н2 (1 — х) = —гвЛпг Н2 (1 — х).

уП (х) = в-ЛПгх вЛПгН2(1 — х) — гвЛП гхН2(х) = вЛп г(1-х) Н2 (1 — х) — гвЛПгх Н2 (х),

откуда следует утверждение теоремы. □

Чтобы получить более тонкие оценки для собственных функций, используем уточненные оценки (17) для собственных значений и асимптотики из теоремы 1.

Теорема 5. Для собственных функций оператора Ь имеют место уточненные асимптотические формулы:

Уп (х) = уП (х) + &1п(х) + &2п (х) + О

где уп (х) определяется так же как в теореме 4, и

1

п = ±по, ±(по + 1),...,

П1п(х) = - [Ь(х)в-Л°пгх + Ь(х)вЛПгх + Ь(х)апв-ЛПгх + Ь(х)апвЛПгх],

П2п(х) = П [Ь(х)1 в-^^йг + Ь(х) ! вЛпгЬ¿(^^)

оо

х х

+Ь(х) [ вЛПгЬйг + Ь(х) [ в-ЛПгЬ42(Л йг]

о

о

(через Ь(х) обозначаем различные непрерывные функции из некоторого конечного набора). Доказательство. Из (18) и краевого условия уп (0) = 0, используя оценки из леммы 4, имеем

с1

1 + О

1

+ с2

а ап

—г +---1--

пп

+О

1

= 0,

откуда

с1 = гс2

п

1 + - + — + О

пп

п2

(19)

Так как в

±Лп гх = в±Лп гх

а ап 1

1 +— х +--х + О —- , то по теореме 1 получим

п п п2

в-Л" гхиц(х, дп) = в-ЛП гх [1 + - х + — х) [1 +

а_п п

пп2

2

п

х

х

2

2

п

п

= е-Л° гх

1 + М + -п кхЛ+ о( 12

п п п2

еЛпи22(х, д) = еЛТ(1 + а х + аи Л Л + М) + о( 1

п п п

= ел"'ж Л + М + ь(х')« + О Т^« ,

п п п2

(20)

(21)

е-Л"гхи21 (х, д) = е-Л°°гх ( 1 + -х + ^ х ^^ + а е2Л°°гх + ° [ е2Л°°г(х-г) (£) ¿Л +О

\ п п / V п п п ^ /

о

X

п п п 1 п2

0

1

еЛ™гх и12 (х, д) = еЛ°гх (1 + -х + ^ х)( ^ + ° е2Л°°г(1-х) + ° / е-2Л°°г(х-г) «2(£) ^+0 \пп/\пп п у /

х

1

= М еЛ°™ гх + а е-Л°™ + а [ е-Л°*(х-2г) ^ + ^ П .

п п п ] \п2/

Далее

х х х

'еЛ°°г(х-2г) 51 (£) й = Ц еЛ>«1 (^) ¿т = Ц е-Л°°гг«1 (^ й + Ц еЛ°гЧ(^) -х о о

1

1

е-Л™г(х-2г)«2(£) = е-Л™гх / е2Л°гг«2(£) — е-Л°г(х-2г)«2(£) =

= «ие-Л°гх + 2 / е-Л° гг«2 (^) <Й + Ц еЛ°™гг«2(^) ^

Поэтому

е-Л"гхи21(х,д) = ^ е-Л°гх + аеЛ™<х + ° [ е-Л°°гг«1(—) п п п У 4 2 у

о

а Г Л0 гг . ,х — £ ч , ^ / 1 +- е °ггдЦ^г- + О -п ^ 4 2 у

о

Ь(х) „Л° гх . а „-Л° гх . аи _л0 гх , а

еЛ"гхи12(х,д) = ^ еЛ°гх + - е-Л°гх + ^ е-Л°°гх + - е-Л°°гг«2(

п п п п 2

о

Л0 гг

' (х + ^

+п е ° «Н 2

+ О

1

(22)

(23)

Полагая с2 = 1 и подставляя (19)-(23) в (18), получим утверждение теоремы. □

2. ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ

Обозначим через Ss область, полученную из А-плоскости удалением всех чисел вида пп + а, п 1

(п е й), а = — + / вместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого

2о

радиуса 5.

Так же как в [5] доказывается следующее утверждение.

1

2

п

1

2

п

х

х

х

х

х

х

2

х

а

2

п

Теорема 6. Если f (x) е C1 [0,1], f (0) = 0, то

lim \\f (x) - Sr(f,x)\\^ =0,

r—y^o

где Sr (f,x) = — J R\f dA — частичная сумма ряда Фурье функции f по собственным и

\\\=Т

присоединенным функциям оператора L.

Так как L самосопряженный оператор, то по теореме 6 получим

Лемма 5. Система {yn(x)} является ортогональной и полной в L2[0, 1], и \\yn\\2 = - + O (1/n), где \\-\\ — норма в L2[0, 1].

3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОРМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Идеи А. Н. Крылова и В. А. Чернятина мы реализуем следующим образом. Ряд Е, представляющий формальное решение рассматриваемой задачи по методу Фурье, мы берем в виде

Е = So + (Е — Ео), (24)

где Е0 — ряд, являющийся решением некоторой специальной эталонной задачи, а S0 — сумма этого ряда, которая явно вычисляется. В свою очередь, Е — Е0 представляется в виде суммы двух составляющих, одна из которых — конечная сумма, а вторая — ряд, составленный из разностей соответствующих членов рядов Е и Е0, причем этот ряд и ряды, получающиеся из него почленным дифференцированием, сходятся равномерно. Это последнее обстоятельство, а также то, что S0 есть решение эталонной задачи, позволяет весьма просто убедиться, что Е = S0 + (Е — Е0) и есть классическое решение исходной задачи при минимальных требованиях гладкости начальных данных. В качестве эталонной задачи мы берем задачу (1)-(2), где q(x) заменяется на

q0(x) = —(q(x) + q(1 — x)). Функция q0(x) является симметричной: q0(x) = q0(1 — x). Такая задача рассматривалась в статьях [3, 5], где ее решение дается явной формулой. Соответствующий оператор обозначим L0:

L0 y(x) = y'(1 — x)+ q0 (x)y(x), y(0) =

Собственными значениями и собственными функциями этого оператора являются АП и уП(x) из теорем 2 и 4 (см. [3]).

4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ (1)-(2)

Согласно методу Фурье формальное решение задачи (1)-(2) имеет вид

U(x,t) = —— (Rxp(x))eXßitdA + £ —2 (v,yn) Уп(x)eXnßit, (25)

2nlJ=r \£\>r \\Уп \\

где г таково, что при |АП| > г все собственные значения простые. Представим ряд (25) в виде (24), где

Е0 = Е уП(Ф^-'

п=-ж II УП\

Для суммы $о ряда Ео справедливо утверждение (см. [3])

Лемма 6. Если у(х) е С1 [0,1], у(0) = у'(1) = 0, то имеет место формула

Бо = еа/3и[р(1 - х)/о(1 - х + 01) - гр(х)/о(х + 01)], (26)

где /о (х) — непрерывно дифференцируемая на всей оси функция, периодическая с периодом 1, и

1 д(^) сН П 1

/о(х) = ^-Г-Т [у-р(х) + у(1 - х) при х е [0,1]; р(х) = е 0 , а = - + / д(1) <И. ¿р(х) 2 о

Далее, положим

£ — Ео = и1(х, £) + и2(х, £),

где

и1(х,£) = — / ((ДЛ — Д) ^(х)) еЛвгМА,

и2(х, £) =

|Л™|>Г

|Л|=г (^,уи )

Ууи

2и

уи(х)е

Л™ вгг

^ уи(х)еЛ°™в-1|уи II2

(27)

(28)

ДЛ — резольвента оператора Ьо. Лемма 7. Имеет место формула

и2 (х, £) = У^

|Л™|>Г

(д, уи) уи(х)еЛ™вгг (д, уи) уи(х)еЛ°вгг

и Аи

КI2 А»

+

|Л™|>г

(Я2,уи) у»(х)еЛ°вгг

11 у» II2 (Аи )2 '

(29)

где д = Ь^, = д — Ьо д2 = Ьо(здесь из области определения оператора Ьо, так как д(х) е С 1[0,1]).

Доказательство. Из тождества Гильберта имеем:

Длд

^ = — А +—, ^ , дЛ(Ьоу) _ ^ , ДЛ(д — д1) _

ДЛ ^ = —т +

= — А + ?о.

А

Тогда

—^ + ДЛ^ — ДЛ^. = — ^ + ДЛ^ + д1 — ДЛд2

А + А А А + А + А2 А2

(ДЛ — яЛ)д д1 ДЛ д2 дл^ — ДЛ^ = Л А Л; — А2 + 2

А

А2

и (29) следует из представления слагаемых в (28) через интегралы от резольвенты по контурам

достаточно малого радиуса с центрами в Аи. □

а

Лемма 8. Если д(х) е С[0,1], то (д, Ц») = — = 1,2). Доказательство. Утверждение леммы для ] = 1 очевидно. Далее,

Ь(х) ¿х / еЛ°гг«1 (= / еЛ°гг / 6(х)«^¿х = а»,

2

2

и, аналогично рассмотрев остальные слагаемые в 02и, получим, что и (д, 02и) = . □

Лемма 9. Ряды в (29) и ряды, полученные из них почленным дифференцированием по х и £, равномерно сходятся по х е [0,1] и £ е [—А, А], где А > 0 и любое.

Доказательство. Согласно неравенствам Коши - Буняковского и Бесселя ряды ^ ,,|(д у»^ , и

£

1(д, у о )1 11у оII - |А»|

Уу»У ■1А»1

сходятся, откуда следует равномерная сходимость рядов в (29). Рассмотрим ряд

£

|Л™|>Г

(д, у») у» (х)еЛ°вгг — (д,у°) уо (х)еЛ°°вгг

Цу»II Аи

ЦуоI2 А»

(30)

Используя асимптотические формулы для А , у (х), имеем:

(д, у») у'п(х)еЛ°вгг (д, у») (у°(х))'еЛ™вгг

Цу

А

Цуо I2 А»

+ (д,у»)о( -

1

о

о

о

Поэтому ряд, полученный почленным дифференцированием по х ряда (30), имеет следующее пред-

ставление:

£

| А„ | >r

(g,yn - у0) (у0(x))/eA°

Ily0 II2 An

+ (g, Уп) O

(31)

В силу леммы 8 (g, yn — y°) = an/n, где а 2 < го. Отсюда следует равномерная сходимость первого ряда в (31). Для второго слагаемого в (31) она очевидна. Аналогично доказывается равномерная сходимость ряда, полученного из (30) почленным дифференцированием по t. Для второго слагаемого в (29) утверждение леммы очевидно. □

Основным результатом работы является следующее утверждение

Теорема 7. Если q(x) вещественна, q(x) е C1 [0,1], ^(x) е C 1[0,1], ^(0) = (1) = 0, то классическое решение задачи (1)-(2) существует и имеет вид

u(x, t) = u1 (x, t) + u2 (x, t) + S0(x, t),

где u1 (x,t), u2(x,t) определены по формулам (27), (28), а S0(x,t) — по формуле (26).

Доказательство. В силу лемм 6 и 9 u(x,t) дифференцируема по обеим переменным. Легко проверяется, что u(x,t) удовлетворяет условиям (2). Докажем, что u(x,t) удовлетворяет (1). Обозначим составляющие в (27), (28) через ukj-, т.е. u1 = u11 — u12, u2 = u21 — u22. Тогда очевидно, что

U11 + U21 = u, U12 + U22 = So • Обозначим через Du следующее дифференциальное выражение:

(32)

Du =

1 du(x,t) du(C,t)

вг dt

dC

{=1-x

Тогда имеем

Du = Du1 + Du2 + DS0 = Du11 — Du12 + Du21 — Du22 + DS0

(33)

Но Duj-1 = q(x)uj1, Duj2 = q0(x)uj2 (j = 1, 2), DS0 = q0(x)S0. Поэтому из (32) и (33) получаем

Du = q(x)uu — q0 (x)u12 + q(x)u21 — q0 (x)u22 + q0(x)S0 =

= q(x)[un + u21 ] — q0(x)[u12 + u22 — S0] = q(x)u(x,t) — q0(x) ■ 0 = q(x)u(x,t). Теорема доказана.

□

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00270) и гранта Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ (проект НШ-4383.2010.1).

Библиографический список

1. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах. Л., 1950. 368 с.

2. Чернятин В. А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных. М., 1991. 112 с.

3. Хромов А. П. Смешанная задача для дифференциального уравнения с инволюцией и потенциалом специального вида // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2010. Т. 10. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 4. С. 17-22.

4. Бурлуцкая М.Ш., Хромов А. П. О классическом решении смешанной задачи для уравнения первого поряд-

ка с инволюцией // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2010. № 2. С. 26-33.

5. Бурлуцкая М.Ш., Хромов А. П. Классическое решение для смешанной задачи с инволюцией // Докл. РАН. 2010. Т. 435, № 2. С. 151-154.

6. Хромов А. П. Об асимптотике решений уравнения Дирака // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж. зимней мат. шк. Воронеж, 2011. С. 346-347.

7. Бурлуцкая М. Ш. Уточненные асимптотические формулы решений системы Дирака // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж. зимней мат. шк. Воронеж, 2011. С. 53-54.

1

n