Смешанная задача для дифференциального уравнения с инволюцией и потенциалом специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Дудов, С.И. Об асферичности выпуклого компакта / С.И. Дудов, Е.А. Мещерякова // Математика. Механика: сб. науч. тр. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. - Вып. 11. - С. 24-27.

8. Васильев, Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. - М.: Наука, 1988.

9. Карманов, В.Г. Математическое программирование / В.Г. Карманов. - М.: Наука, 1986.

УДК 517.984

10. Рокафеллар, Р. Выпуклый анализ / Р. Рокафеллар.

- М.: Мир, 1973.

11. Зуховицкий, С.И. Линейное и выпуклое программирование / С.И. Зуховицкий, Л.И. Авдеева. - М.: Наука, 1964.

12. Половинкин, Е.С. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа / Е.С. Половинкин, М.В. Балашов.

- М.: Физматлит, 2004.

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ИНВОЛЮЦИЕЙ И ПОТЕНЦИАЛОМ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

А.П. Хромов

Саратовский государственный университет,

кафедра дифференциальных уравнений и прикладной

математики

E-mail: [email protected]

Для решения некоторой смешанной задачи с инволюцией и вещественным симметричным потенциалом найдено явное аналитическое представление методом Фурье. При этом использованы приемы, позволяющие избегать почленного дифференцирования функционального ряда и накладывать минимальные условия на начальные данные задачи.

Ключевые слова: смешанная задача, инволюция, метод Фурье, классическое решение.

The Mixed Problem for the Differential Equation with Involution and Potential of the Special Kind

A.P. Khromov

Saratov State University,

Chair of Differential Equations and Applied Mathematics E-mail: [email protected]

For the solution of some mixed problem with involution and real symmetrical potential, explicit analytical formula has been found with the use of the Fourier method. Techniques allowing to avoid term-by-term differentiation of the functional series and impose the minimum conditions for initial problem data, are used.

Key words: mixed problem, involution, Fourier method, classical solution.

Рассматривается следующая смешанная задача:

e^rUt (x,t) = u5 (С, t)|{=i-x + q(x)u(x,t),

x e [0,1], t e (-ro,

u(x, 0) = <(x), u(0, t) = 0.

(1) (2)

Предполагаем выполненными следующие условия: 1) в — вещественное число, в = 0, 2) д(х) е С[0,1], ?(х) = д(1 — х), д(х) — вещественная функция; 3) ^ е С1 [0,1] и ^(0) = 0, ^'(1) = 0.

Уравнение (1) представляет собой простейшее уравнение в частных производных, содержащее инволюцию V(х) = 1 — х. Краевые задачи с инволюцией активно исследуются (см., например, работу [1] и библиографию в ней).

Решение задачи (1)-(2) будем искать методом Фурье. Наши предположения позволяют получить классическое решение, т. е. решение, непрерывно дифференцируемое по обеим переменным. Условия на ^(х) являются естественными, так как им удовлетворяют собственные функции порождаемой (1)-(2) краевой задачи. Условия на д(х) снимают многие трудности при исследовании задачи и позволяют дать хорошую структурную форму для решения.

В работе широко используются приемы из [2], позволяющие получить решение, избегая почленного дифференцирования функционального ряда.

1. Согласно методу Фурье положим и(х,£) = у(х)Т(£). Тогда получим следующую задачу на собственные значения для у(х):

y'(1 - x) + q(x)y(x) = Ay(x), y(0) = 0,

(3)

(4)

а для T(t) имеем T(t) = ce

2. Найдем решение задачи (3)-(4). Выполняя в (3) замену x на 1 — x и полагая z(x) = (zi(x), z2(x))T, где z1 (x) = y(x), z2(x) = y(1—x), получим следующую систему уравнений относительно z(x):

Bz'(x) + P (x)z(x) = Az(x), (5)

где В = q^ ' P(x) = diag (q(x), q(1 — x)) = diag (q(x), q(x)).

Верно и обратное: если z(x) = (z1 (x),z2(x))T — решение (5) и z1 (x) = z2(1 — x), то y(x) = z1 (x) есть решение уравнения (3).

Лемма 1. Общее решение системы (5) имеет вид

z(x) = z(x, A) = rv(x, A)c, (6)

где Г = ^ , V(x, A) = diag (u1(x)e-AiX,u2(x)eAiX), u1 (x) = exp ^i J q(t) dt^, u2(x) =

= exp i J q(t) dt^, c = (c1 ,c2)T, ck — произвольные постоянные.

Доказательство. Матрицу B в системе (5) можно привести к диагональному виду с помощью преобразования Г-1 ВГ = D, где D = diag (i, —i) (±i — собственные значения матрицы B), Г — невырожденная матрица, определяемая неоднозначно. В качестве Г выберем матрицу, указанную в условии леммы. Выполнив в (5) замену z = Гг>, v = (v1 , v2)T, придем к системе

v' (x) + P1 (x)v(x) = AD-1 v(x), (7)

где D-1 = diag (—i,i), P1 (x) = D-1 Г-1 P(x)Г = D-1 q(x) (благодаря симметричности q(x) матрица P1 (x) также диагональна).

Система (7) распадается на два уравнения:

v1 (x) — iq(x)v1(x) = —Aiv1 (x), v'2 (x) + iq(x)v2 (x) = Aiv2 (x),

общие решения которых соответственно есть

v1(x) = v1 (x, A) = c1u1 (x)e-AiX, v2(x) = v2(x, A) = c2u2(x)eAiX,

где Uk(x) — функции, определенные в условии леммы, c1, c2 — произвольные постоянные. Записывая решение (7) в матричной форме, придем к (6).

Лемма 2. Общее решение системы (3) имеет вид

y(x) = y(x,A)= c^(x,A), (8)

i

-г / д(Ь) ЛЬ ( ) ..

где ^(ж, А) = и (ж)е 0 еАг(1-х) _ ¿и2(ж)еАг х, с — произвольная постоянная.

Доказательство. Как было показано выше, функция у (ж) = ¿1 (ж) является решением (3), если ¿(ж) = (¿1(ж), ¿2(ж))т удовлетворяет (5) и ¿1(ж) = ¿2(1 _ ж). Отсюда, в частности, получаем условие

¿1 (0)= ¿2(1). (9)

В силу (6) и (9) имеем

с1 и1(0) _ ¿с2и2(0) = _с1ги1(1)е-Аг + с2и2(1)еАг,

или

С1 [и (0) + Ш1(1)е-Аг] = С2 [и2(1)еАг + Ш2 (0)]. (10)

1

-г/ д(Ь) ЛЬ -1

Так как и1 (0) = 1, и2(0) = 1, и2(1) = е 0 = и-1 (1), то из (10) получим

С1 [1 + Ш1(1)е-Аг ] = С2и2 (1)еАг [1 + ¿и (1)е-Аг],

откуда с1 = с2 и2(1)еАг. Тогда у (ж) = (ж) = с1 и1(ж)е Агх _ ¿с2и2 (ж)еАгх = с2^(ж, А), что доказывает (8). □

Лемма 3. Собственные значения краевой задачи (3)-(4) есть

Ап = 2пп + а, п е Ъ, (11)

1

где а = п/2 + / д(£) а соответствующие собственные функции о

Уп(ж) = р(1 _ ж)е2ппг(1-х) _ ф(ж)е2ппгх, (12)

где р(ж) = и2(ж)еагх.

Доказательство. Согласно (4) и (8) для собственных значений имеем уравнение ^(0, А) = 0, корни которого есть (11).

Найдем собственные функции уп(ж) = ^(ж, Ап). Учитывая, что и1 (ж) = ехр < _

^ о

_ д(£) = ехр |а _ i / д(£) = егаи2(1 _ ж) (здесь снова использована симметричность

1-х

а

о

д(ж)), получим уп(ж) = и1 (ж)е-гае2ппг(1-х)ега(1-х) _ iu2(ж)е2ппгхеагх = и2(1 _ ж)ега(1-х)е2ппг(1-х) _ _ iu2(ж)еагхе2ппгх, откуда следует (12). □

3. Исследуем свойства системы уп(ж).

Лемма 4. Функции уп(ж), (п е Ъ) образуют ортогональную систему, полную в Ь2 [0,1]. Доказательство. Обозначим через Ь оператор

Ьу = у'(1 _ ж)+ ?(ж)У(ж), У(0)=0,

собственными функциями которого являются уп(ж). Найдем сопряженный оператор Ь*. Пусть г (ж) е ^[0,1]. Тогда

11 1

(Ьу, ^) = J У'(ж)г(1 _ ж) вж + J д(ж)у(ж)г(ж) вж = у(ж)г(1 _ J у(ж)г'(1 _ ж) вж+

о о о

1 1

+ J д(ж)у(ж)г(ж) вж = у(1)^(0) + у у(ж)(г'(1 _ ж) + д(ж)г(ж)) вж, оо

откуда Ь* г (ж) = ¿'(1 _ ж) + д(ж)г(ж), ¿(0) = 0. Так как д(ж) — вещественная функция, то Ь = Ь* откуда следует ортогональность собственных функций.

Докажем полноту. Пусть / е Ь[0,1] и / ортогональна уп, п е Ъ. Тогда

1 1

(уп, /) = у уп(ж)/(ж) вж = у /(ж) [р(1 _ ж)е2ппг(1-х) _ ф(ж)е2ппгх] вж =

оо 1 11

= I /(1 _ ж)р(ж)е2ппгх вж _ i 17(ж)р(ж)е2ппгх вж = / /(1 _ ж) _ г/Сж^] р(ж)е2ппгх вж = 0.

о 0 0

,2ппгх ~

Отсюда в силу полноты тригонометрической системы {е пгх} имеем

/(1 _ ж) + /(ж) = 0, ж е [0,1]. (13)

Заменим в (13) ж на 1 _ ж и полученное уравнение умножим на ^

/(ж) + i2 /(1 _ ж) = 0. (14)

Сложив (13) и (14), получим, что /(ж) = 0, и лемма доказана. □

Замечание. Из леммы 4 следует, что собственные значения (11) однократны. Лемма 5. Пусть уП(х) = Уп(х)/||уп|| ГУ ■ || — норма в ¿2[0,1]). Тогда уП(х) = 7пУп(х), где константы 7П имеют асимптотику

7п = ^ [1], [1] = 1 + 1

Доказательство. Имеем

1 1

||Уп|| = у Уп(х)уп(х) йх = у р(1 — х)р(1 — х) йх + у р(х)р(х) йх+

0 0 0

1 1

+!ур(1—х)р(х)^"^х—гур(х)р(1—

00

Выполняя в третьем и четвертом интегралах интегрирование по частям и учитывая ограниченность входящих в них экспонент, а также, что ||р(х)|| = 1, получим ||уп||2 = 2 + О(1/п), откуда следует утверждение леммы. □

Лемма 6. Если /(х) е (Бь — область определения оператора Ь в пространстве Ь2 [0,1]), то ее ряд Фурье по системе {уп(х)} сходится абсолютно и равномерно на [0,1]. Доказательство. Ряд Фурье функции /(х) по системе {уп (х)} есть

те те

УпЬП Уп(х) = у00 )у00 (х).

— те —те

Пусть вещественное число не является собственным значением оператора Ь. Положим (Ь — )/ = д (Е — единичный оператор). Тогда / = д, где Дл есть резольвента оператора Ь. Далее,

(Ь — ^0 е)уП = (Ап — Д0 )уП,

откуда У00 = (Ап — Д0У°

Поэтому

(/, уП ) = д, уП ) = (д, уП ) = — (д, уП )•

Ап — Д0

тете

£(/, уП)уП(х) = £ -(д, уП)уП(х).

— те АП —

—те

те

Так как л-—— = О (П), а ^ |(д, уП)|2 < го, то утверждение леммы следует из неравенства Коши -

п —те

Буняковского и равномерной ограниченности у° (х). □

те

4. Из леммы 6 следует, что ряд ^ |сп| сходится. Поэтому функция /0(х) = ^ спе2птх непрерывна

—те

на (—го, го) и периодическая с периодом 1.

Лемма 7. При х е [0,1] имеет место формула

МхН^ЫхН р(1 — х)] • (15)

Доказательство. Согласно лемме 6 при х е [0, 1] имеем

+те +те +те

р(х) = Уп)72Уп(х) = Е СпУп(х) = Е Сп [р(1 — х)е2п™(1—х) — ф(х)е2п™х] ,

—те —те —те

откуда

<?(х) = р(1 — х)/0 (1 — х) — ф(х)/ (х). (16)

и

Отсюда

<р(1 _ ж) = р(ж)/о(ж) _ ¿р(1 _ ж)/о(1 _ ж). (17)

Из (16) и (17) получаем

¿<р(ж) + <р(1 _ ж) = 2р(ж)/о(ж). (18)

Из (18) следует (15). □

Замечание. Функция /о(ж) в силу своей периодичности однозначно определяется на всей оси заданием ее лишь на отрезке [0,1]. Таким образом, /о(ж) определяется не рядом, а по формуле (15).

Лемма 8. Если ^(ж) е С 1[0,1], ^(0) = (1) = 0, то /о(ж) непрерывно дифференцируема на всей вещественной оси.

Доказательство. Из (15) следует, что /0(ж) непрерывно дифференцируема на [0, 1] (в концевых точках имеются в виду односторонние производные). В силу периодичности функция /0(ж) непрерывно дифференцируема всюду на (_го, +го), кроме точек ж = п (п - целое). Покажем, что /о(п _ 0) = /о(п + 0). В силу периодичности функции /о(ж) достаточно установить, что

/о(0 + 0) = /(0 _ 0). (19)

Дифференцируя (18), получим:

V(ж) _ р'(1 _ ж) = 2р'(ж)/о(ж) + 2р(ж)/(ж). (20)

Из (20), условия леммы и соотношений

/о(0) = /о(1), /(1 _ 0) = /(0 _ 0)

имеем

2р'(0)/о(0) + 2р(0)/(0 + 0) = V(0), 2р'(1)/о(0) + 2р(1)/(0 _ 0) = (0),

откуда

2[р'(0) + ¿р'(1)]/о(0) + 2[р(0)/(0 + 0) + ¿^(1)/,'(0 _ 0)] = 0. (21)

Так как р(0) = 1, р(1) = ехр #(£) ега = епг/2 = ¿, и2(ж) = _гд(ж)и2(ж), р'(0) = _г#(0) + iа,

р'(1) = д(1) _ а, а также д(0) = д(1), то р'(0) + ¿р'(1) = 0, и из (21) следует (19). Лемма доказана. □ Замечание. Условие (1) = 0 является естественным, так как ему удовлетворяют все собственные функции.

5. Согласно методу Фурье, решение и(ж, £) задачи (1)-(2) представляется формальным рядом

те те

5>,уП)уП(ж)еАпвгЬ = £ спуп(ж)еАпвгЬ, (22)

— те —те

где сп = (^,уп)тП.

Лемма 9. Ряд (22) сходится абсолютно и равномерно по ж е [0,1] и £ е (_го, го), и для его суммы имеет место формула

те

^ спуп(ж)еАпвгЬ = еавгЬ [р(1 _ ж)/о(1 _ ж + _ ¿р(ж)/о(ж + #)], (23)

где р(ж) = и2(ж)егах.

Доказательство. Сходимость ряда (22) следует из леммы 6. Далее, имеем

5]спуп(ж)еА"вгЬ = ^ сп [р(1 _ ж)е2ппг(1-х) _ ¿р(ж)е2ппгх] еА"вгЬ

-те те

= еавгЬ [р(1 _ ж) ^ Спе2ппг(1-х+вЬ) _ ¿р(ж) ^

-те -те

откуда следует (23). □

те

Теорема. Если ^(х) е С1 [0,1], ^(0) = (1) = 0, д(х) е С[0,1], д(х) = д(1 — х), то классическое решение задачи (1)-(2) существует и имеет вид

и(х, *) = еавй [р(1 — х)/0(1 — х + в*) — гр(х)/(х + в*)], (24)

где р(х) = ехр ^агх — г / #(*) , /0(х) — периодическая с периодом 1 функция, причем на отрезке [0,1]

/0 (х) = 2рх) [г^(х) + ^(1 — х)]. (25)

Доказательство. Как установлено выше, если функцию /0(х), заданную с помощью (25), продолжить периодически с периодом 1 на всю ось, то получим непрерывно дифференцируемую всюду функцию. Проверим теперь, что и(х, *), заданная формулой (24), является решением смешанной задачи (1)-(2).

Сначала покажем, что и(х, *) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1). Имеем в|ти*(х, *) = аеавй [р(1 — х)/0 (1 — х + в*) — гр(х)/ (х + в*)] + +1еавй [р(1 — х)/0(1 — х + — гр(х)/0(х + в*)],

и?(С, *) Й = еавЙ [—р'(1 — С)/0(1 — С + в*) — Р(1 — С)/0(1 — С + в*)—

5=1—х

—гр'(С)/0(С + в*) — гр(С)/0(С + в*)] = еавЙ [—р'(х)/0(х + в*) — р(х)/0(х + в*)—

5=1—х

—гр'(1 — х)/0(1 — х + в*) — гр(1 — х)/0(1 — х + в*)] • Подставляя данные соотношения в (1), получим

е^ | /0(1 — х + в*) [ар(1 — х) + гр'(1 — х) — р(1 — х)д(х)] +/0(х + в*) [—агр(х) + р'(х)+ +гр(х)д(х)]+/0(1 — х + в*) [1 р(1 — х) + гр(1 — х)]+/0(х + в*) [—р(х) + р(а

Последние две квадратные скобки равны нулю. Подставляя явные выражения для p(x) и p'(x), получим, что первая и вторая квадратные скобки также равны нулю, т.е. u(x,t) удовлетворяет уравнению (1).

Далее, при x е [0,1] имеем u(x, 0) = p(1 — x)/0(1 — x) — ip(x)/0(x) = ^(x). Наконец,

u(0, t) = eaeit [p(1)/o(et) — ip(0)/o(в^)] = 0,

т.е. начальное и краевое условие выполнены. Теорема доказана. □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00270) и гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ (проект НШ-4383.2010.1) .

Библиографический список

1. Андреев, А.А. О корректности краевых задач для Междунар. семинара. - Самара, 1998. - С. 5-18.

некоторых уравнений в частных производных с кар- 2. Чернятин, В.А. Обоснование метода Фурье в сме-

лемановским сдвигом/ А.А. Андреев // Дифферен- шанной задаче для уравнений в частных производных

циальные уравнения и их приложения: Тр. 2-го / В.А. Чернятин. - М., 1991. - 112 с.

x