CC BY
19
3, Широков А. П. Пространства над алгебрами и их применения // Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения / ВИНИТИ, М,, 2002, Т. 73, С. 135-161.
4, Вишневский В. В. Интегрируемые аффинорные структуры и их плюральные интерпретации // Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения / ВИНИТИ. М., 2002. Т. 73. С. 5-64.
5, Кручкович Г. И. Гиперкомплексные структуры на многообразиях, I // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М,, 1972. Т. 16. С. 174-201.
УДК 514.764
А. В. Букушева, С. В. Галаев, И. П. Иванченко
О ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ СВЯЗНОСТЬЮ НАД РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ С ФИНСЛЕРОВОЙ МЕТРИКОЙ
Вводятся понятия внутренней и продолженной связности над гладким распределением D контактной структуры с допустимой финслеро-вой метрикой. С помощью продолженной связности на распределении D как на тотальном пространстве векторного расслоения определяется и исследуется методами внутренней геометрии неголономного многообразия почти контактная метрическая структура.
Введение. В работе R. Mirón [1] было положено начало исследованию геометрии финслеровых векторных расслоений, являющихся естественным обобщением касательных расслоений многообразий с финсле-ровой метрикой. Финслерово векторное расслоение характеризуется заданием на тотальном пространстве векторного расслоения класса линейных связностей, специальным образом ассоциируемых с некоторой инфи-нитезимальной связностью. В работе [2] было введено понятие гладкого D
новой точки зрения взглянуть на проблематику финслеровых векторных расслоений. В работе [2] связность над распределением была названа внутренней связностью распределения, там же было дано определение продолженной связности и определена процедура, позволяющая при дополнительных предположениях перейти от внутренней связности к некоторой продолженной связности. В нашем случае продолженная связность является инфинитезимальной связностью в векторном расслоении (D, п, X), где D - гладкое распределение контактной структуры с допустимой финслеровой метрикой [2]. Мы покажем, что распределение
10
О с допустимой финслеровой структурой наделяется внутренней (вообще говоря, нелинейной) и продолженной связностями. В этом случае на распределении О естественным образом определяется почти контактная метрическая структура, свойства которой в значительной степени определятся геометрией распределения О. В работе получены инвариантные характеристики некоторых классов почти контактных метрических структур, возникающих па распределении О.
1. Связности над распределением. Под внутренней линейной связностью в неголономном многообразии О [3] понимается отображение V : Г О х Г О ^ Г О, удовлетворяющее следующим условиям:
1)'^/1и1+/2«2 = ¡1V* + ¡2 ^, 2) V/V = f '¿и + (и/К
где Г О модуль допустимых векторных полей. Коэффициенты линейной связности определятся из соотношения Vеавъ = ГсаЬес.
Кручение внутренней линейной связности Б по определению полагается равным Б(X, У) = 'хУ — X — Р[X, У]. Таким образом, в адаптированных координатах [4] мы имеем Б<СЬ = ГссЬ — ГСс. Так же как и связность в объемлющем пространстве, внутренняя связность может быть определена заданием горизонтального распределения над пространством некоторого векторного расслоения. В случае внутренней связности в качестве такого расслоения выступает тройкад = (О, п, X), где п : О ^ X - естественная проекция. Для того чтобы задать связность над распределением О, необходимо предварительно ввести па О структуру гладкого многообразия, которая задается следующим образом. Каждой адаптированной карте К(ха) на многообразии X ставится в соответствие карта К(ха, хп+а) та многообразии О, где хп+а - координаты допустимого вектора в базисе ес = да — ГПдп.
Говорят, что задана связность над распределением О, если распределение О = п—^О), где п : О ^ X - естественная проекция, разбивается в прямую сумму вида О = НО 0 УО, где VО - вертикальное распределение па тотальном пространстве О. Таким образом, задание связности над распределением эквивалентно заданию объекта ОС^a,Xп+а) такого, что НО = 5рап(бс), где ес = дс—ГПдп — ОСдп+ь. В работе [2] было введено понятие продолженной связности. Продолженная связность получается из внутренней связности с помощью равенства ТО = НО 0 УО, где НО С НО. По существу, продолженная связность является связностью в векторном расслоении. Будем называть продолженную связность естественным продолжением связности над распределением, если НО = НО 0 Брап(дп). Заметим, что векторное поле дп задано глобаль-
но на всем многообразии О. Использование внутренней и продолженной связпостей дает возможность по-новому охарактеризовать уже известные почти контактные метрические пространства [5].
Теорема 1 ([4]). Контактная метрическая структура является нормальной тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: Ь^р = 0 V р, где V - внутренняя метрическая связность.
Теорема 2 ([4]). Почти комплексная структура р интегрируема тогда и только тогда, когда выполняется равенство V1р = 07 где V1 - естественное продолжение связности V.
Проводя необходимые вычисления, получаем:
[еa, О,] = дп + Щь дп+^
[еа, дп] = дпГПдп + сдп0ъасдп+ь, (1)
[еa, дп+Ь] = GCaЬдn+c,
где Ща = 2(в[ьОС] — О^Сц.з) ж дпГпа соответственно первый и второй
тензоры кривизны Схоутена. Если определить распределение НО равенством НО = НО 0 Брап(и)^ где и = дп — Опдп+а, Оп(ха, Vс) = = иЬа(ха)Я'^ь(ха, Vе), то равенства (1) перепишутся в виде [еа, еь] = 2шаьи + +каьдп+с, [еа, и] = дпГпи + КСпЛ, где Кь и К^ определяют тензор кривизны Вагнера [3].
2. Допустимые финслеровы структуры и почти контактные метрические структуры на гладком распределении Предположим, что на многообразии О задана функция Ь(ха, хп+а) такая, что выполняются следующие условия:
1. Ь - гладкая положительная функция на О0 = О\0;
2. Ь однородна степени 1 относительно слоевых координат;
3. Квадратичная форма Ь2а,ь^а^ь = дхПд+с^дхП+ь положительно определена.
Назовем функцию Ь(ха, хп+а) допустимой финслеровой метрикой, а пару (О, Ь) - контактным финслеровым распределением. Допустимым финслеровым тензорным полем типа (р, д)) назовем морфизм £ : О0 ^ ^ Тр(Х) такой, что 1(х) Е Тф^(X), где Тр(X) - расслоение тензоров типа (р, д) на многообразии X. Непосредственно проверяется, что объект даь(ха, хп+с) = 2дхп+адхп+ь = 1 Р.а.ь является допустимым финслеровым тензорным полем. Покажем, что с каждым контактным финслеровым распределением ассоциируется некоторая внутренняя и соответствующая ей продолженная связность. Как следует из изложенного выше,
12
для задания внутренней и продолженной связностей необходимо задать объект внутренней связности Ga(xa, xn+a), а также задать разложение TD = HD 0 VD, где HD С HD. Имеет место
Теорема 3 ([2]). Для распределения D с допустимой финслеровой метрикой существует единственная продолженная метрическая связность такая, что выполняется условие Ga.c = G^ b.
В процессе доказательства теоремы, в частности, доказывается, что продолженная метрическая связность порождается распределением HD = HD 0 Span(u). Если на многообразии X задана допустимая
D
даемая распределением HD = span(ea), где ea = da — — Gbacxn+c3n+b,
Gbc = Gb • c = dn+bdn+cG% Ga = gab(dcL2bxn+C — ebL2), gab = 1
Определим на многообразии D допустимое к распределению D поле аффинора J, полагая J(ea) — dn+a, J(dn+a) — —ea. С помощью равенств g(uh, vh) = g(uv) = g(u, v), g(uh,vv) = ^^e g - допустимая финсле-
D
метрика. Учитывая равенство g(J(u), J(v)) = g(u, v), получаем следующую теорему.
Теорема 4. üapa допустимых структур (J, g) определяет на мно-D
Найдем условия, при которых допустимая почти комплексная струк-J
зии D поле неголономного базиса (e, dn, dn+a). Используя равенства (1) и теорему 2, убеждаемся в справедливости следующей теоремы:
J
смой тогда и только тогда, когда выполняются следующие равенства:
R°ab = 0, dnGa = 0.
D
рическая структура (g, J, D, e, A) A = n ◦ n*, e = dn.
Теорема 6. Почти контактная метрическая структура является квазисасакиевой тогда и только тогда, когда тензоры кривизны Схо-утена обращаются в нуль.
Доказательство. Прямым вычислением проверяется, что фундаментальная форма структуры имеет вид Q = gabdxa Л On+b. После вычисления ее дифференциала, убеждаемся в справедливости теоремы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Mirón R. Techniques of Finsler geometry in the theory of vector bundles // Acta Sci. Math. 1985. № 49. P. 119-129.
2. Galaev S. V. Extension of the interior connection of a nonholonomie manifold with a Finsler metric // UEL : http://arxiv.org/abs/1103.4337,
3. Вагнер В. В. Геометрия (n — 1)-мерного неголономного многообразия в n-мерном пространстве // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М, : Изд-во Моск. ун-та, 1941. Вып. 5. С. 173-255.
4. Galaev S. V. The Intrinsic Geometry of Almost Contact Metric Manifolds // UEL : http://arxiv.org/abs/1107.5532.
5. Blair D. E. Eiemannian Geometry of Contact and Svmpleetie Manifolds. Birkhauser, Boston, 2002.
УДК 517.984
М. Ш. Бурлуцкая, А. П. Хромов
АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ РЕШЕНИЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
В статье предложен новый элементарный метод получения асимптотических формул для решения двумерного уравнения Дирака. Используя этот метод, получены уточненные асимптотические формулы решений при больших значениях спектрального параметра. Рассматривается следующая система Дирака:
у'(х) + Р (х)у (х) = АБу(х), (1)
где у(х) = (у1(х),у2(х))т (Т - знак транспонирования), yj Е С1[0,1},
Р(х) = ^ д 0{х) 920х^ > О = ^ 0 ' 9j Е С 1[0,1}, А - комплексный
параметр.
В случае подобного скалярного уравнения (если Р(х), у(х) - скалярные функции) слагаемое Р(х)у(х) уничтожается известной подстановкой. В векторном случае этого, вообще говоря, сделать нельзя. Здесь
Ь
деленной подстановки слагаемое Р(х)у(х) не уничтожается, но делается сколь угодно малым (имеет оценку О Этот метод, описанный, например, у И. М. Раппопорта [1], позволяет получить для общего решения уравнения (1) следующую асимптотическую формулу:
у(х, А) = (Е + О (А-1)) вХВхС) (2)
где Е - единичная матрица 2 х 2, с = (със2)т - произвольный вектор, матрица-функция О (А-^ регулярная 1 в полуплоскостях Ие А > 0
и
111од регулярностью понимается аналитичность функции внутри области и непрерывность на границе.
