Слоения на распределениях с финслеровой метрикой Текст научной статьи по специальности «Математика»

А. В. Букушева. Слоения на распределениях с финслеровой метрикой

МАТЕМАТИКА

УДК 514.764

СЛОЕНИЯ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ С ФИНСЛЕРОВОЙ МЕТРИКОЙ

А. В. Букушева

Кандидат педагогических наук, доцент кафедры геометрии, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

На гладком многообразии М задается распределение Б с допустимой финсле-ровой метрикой. Пусть Е — слоение, заданное на М. На распределении Б как на гладком многообразии слоению Е соответствует слоение ТЕ, с помощью этого слоения и связности над распределением определяется аналог внешнего дифференциала, применимый к формам специального вида.

Ключевые слова: субфинслерово многообразие, внутренняя связность, почти контактное метрическое пространство, когомологии.

Касательное расслоение к финслерову многообразию богато естественным образом возникающими на нем геометрическими структурами. В последние годы особый интерес вызывает исследование слоений, определяемых на касательных расслоениях [1,2]. С другой стороны, в самое последнее время введено [3] понятие распределения Б с допустимой финслеровой метрикой. По аналогии с касательным расслоением на распределении Б как на гладком многообразии возникают структуры, порождаемые структурами на базе. В частности, как показано в [3], на Б определяется структура почти контактного метрического многообразия. В настоящей работе по аналогии с тем, как это делается в [1], рассматривается слоение, заданное на Б, и изучаются его свойства.

Пусть М — гладкое многообразие нечетной размерности п, Н(М) — С(М)-модуль гладких векторных полей на М. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса С. Для упрощения изложения тензорное поле в дальнейшем иногда называется тензором.

Определим совокупность (£, п) тензорных полей на М, где £ и п вектор и ковектор соответственно так, что п(£) = 1, £) = 0

для всех X, У е Н(М).

Пусть Б — гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формой п, Б± = span(<!;) — его оснащение. В дальнейшем будем полагать, что ограничение формы и = ^п на распределении Б является невырожденной формой. В этом случае вектор £ однозначно определяется из условий п(£) = 1, кеги = 8рап(£), и называется вектором Риба.

Для исследования внутренней геометрии неголономного многообразия и, вообще, для изучения почти контактных метрических структур удобно использовать адаптированные координаты [2,4]. Карту К(ха) (а, в, 7 = 1,..., п) (а, Ь, с, е = 1,..., п - 1) на многообразии М будем называть адаптированной к неголономному многооб-,, ' д

разию Б, если Б^ = span ( —

Нетрудно установить, что любые

© Букушева А. В., 2014

две адаптированные карты связаны между собой преобразованиями вида: -а = жа(жа), -п = = -п (ха, -п).

Пусть Р : ТМ ^ Б — проектор, определяемый разложением ТМ = Б ф Б^, и К(ха) — адаптированная карта. Векторные поля Р(да) = еа = да — ГПдп линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают систему Б: Б = span(ea). Таким образом, мы имеем на многообразии М неголономное поле базисов (еа , дп) и соответствующее ему поле кобазисов (¿жа,#п = + ГП). Адаптированным будем называть также базис еа = да — ГПдп как базис, определяемый адаптированной картой. Заметим, что дпГП = 0.

Распределение Б может рассматриваться как тотальное пространство векторного расслоения (М, Б,п), где п : Б ^ М — естественная проекция. Каждой адаптированной карте К(ха) на многообразии X ставится в соответствие карта К(жа,-п+а) на многообразии Б, где -п+а — координаты допустимого вектора в базисе еа = да — ГПдп. Таким образом, Б есть гладкое многообразие размерности 2п — 1.

Предположим, что на многообразии Б задана функция Ь(-а, -п+а) такая, что выполняются следующие условия:

1) Ь — гладкая положительная функция на Б0 = Б\0;

2) Ь — положительна, однородна, степени 1 относительно слоевых координат;

д 2 Ь2

3) квадратичная форма Ь2а ЬСаСЬ = д п+ад П+Ь СаСЬ положительно определена.

д х д —

Назовем (М, Б^) субфинслеровым многообразием коразмерности 1.

Тензорное поле, заданное на многообразии М, назовем допустимым (к распределению Б), если оно обращается в нуль каждый раз, когда его векторный аргумент принадлежит оснащению Б^, а ковекторный аргумент коллинеарен форме п. Координатное представление допустимого тензорного поля типа (р, д) в адаптированной карте имеет вид: Ь = ¿^'"Ь^еа! ® • • • ® еар ф ¿-Ь! ф ... ® ¿жЬ«.

Рассмотрим Б как пространство векторного расслоения. В этом случае, в частности, Б является гладким многообразием размерности 2п — 1. Как было показано в [5], наличие структуры субфинсле-рова пространства позволяет превратить Б в почти контактное метрическое пространство. А именно определим на многообразии Б почти контактную метрическую структуру (Б^¿(п* о п),Б), полагая <7(£а,еь) = <?(дп+а,дп+Ь) = ^(ва,вь), <7(4 ,д„) = <?(дп+а ,д„) = 0, J ((Га) = дп+а, J (дп+а) = —Га, J(дп) = 0, где Б = п-1(Б), Б = НБ ф УБ, УБ — вертикальное распределение на тотальном пространстве Б, а НБ — горизонтальное распределение, определяемое внутренней нелинейной связностью финслерова типа. Векторные поля (Га = да — ГПдп — Гас-П+Сдп+Ь, дп, дп+а) определяют на Б поле неголономных базисов, а формы (¿ха, = + ГП¿жа,#п+а = ¿-п+аГас-П+Ь¿хс) — соответствующее поле кобазисов. Здесь Гас = дп+е^а, где ^а = ^^ , , £а = 1 оаЬГ ^ д Ь—дхп+с — т^Л

7 Ьс п+с ^ Ь д-п+Ь 4У чдхп+Ьдхс дхЬ /

[4]. Легко показать, что векторное поле дп является полем Риба для почти контактной метрической структуры (Б, <7, ¿(п* оп)). Наличие почти контактной метрической структуры на Б позволяет рассмотреть на этом многообразии дифференциальные формы специального вида. А именно будем называть допустимую (к распределению Б) форму (р + д) — формой, если она может быть отлична от нуля только в тех случаях, когда р ее аргументов принадлежат НБ, а д аргументов — УБ. Если Б = ТМ, то формы такого типа рассматривались, например, в [1]. В нашем случае от форм типа (р,д) требуется больше, чем в [1], ядро заданных таким образом форм должно содержать вектор Риба дп. В этом случае форма типа (р, д) представляет собой допустимую форму к распределению Б. Для того чтобы дифференциал такой формы давал снова допустимую форму, достаточно потребовать, чтобы частные производные от компонент формы вдоль поля Риба обращались в ноль.

Пусть 0°(Б) — кольцо гладких функций на Б и (Б) — модуль допустимых (р, д) форм на многообразии (Б, ¿7). Мы имеем следующее разложение модуля допустимых г-форм на Б:

=Р+д=г (Б).

Локально форма и е (Б) имеет следующее выражение:

и = Шаь' ' арЬ1 '' ' Ь, ^ Л ... Л ^ Л Г+1 Л ... Л .

д

Рассмотрим модуль (р, д)-форм и потребуем, чтобы (иа1...арЬ1...Ь,) = 0.

Л. В. Букушева. Слоения на распределениях с финслеровой метрикой

Вычислим дифференциал

¿0П+а = ^ Л ¿Х + ^ Л ^ •

к<7 к

Пусть ¿01 : (Б) ^ (Б) — отображение на (Б, <7), локально определяемое следующим

образом:

о

¿01 и = •••а161 Ъ" Г+а Л ¿Ж"1 Л • • • Л ¿жар Л Г+1 Л • • • Л •

a

dxn+

Нетрудно проверить, что определение d01 не зависит от выбора адаптированной системы координат. В результате очевидных вычислений получаем d01 = 0.

df

Если f е О0(D), то локально имеем: d01 f = -—— #n+a.

dxn+a

(0, д)-форма называется d01 -точной, если существует форма f е 00'q-1(D) такая, что и = d01 f, и называется d01-замкнутой, если d01u = 0. Продолжая лемму Паункаре на наш случай, замечаем, что локально каждая d01 -замкнутая форма является точной.

Пусть Z0,q(D) — группа d01 -замкнутых (0, д)-форм и B0,q(D) — группа d01 -точных форм. Ясно, что B(D) — подгруппа группы Z0'q(D).

Группы когомологий де Рама, определяемые последовательностью

00(D) ——U О0'1 (D) —— О0'2(D) —— ...,

будем называть v-когомологиями. Здесь d01 (00'q-1(D)) = B0,q(D), Kerd01 = {и е 00,q(D), d01 и = 0} = Z0'q(D), H£(D) = Z0'q(D)/B0'q(D).

Рассмотрим субфинслерово многообразие (M, D,F). Пусть D' С D — инволютивное распределение размерности m2. В дальнейшем индексы изменяются следующим образом: i = 1,...,m1, u = m1 + 1,... ,n — 1, m1 + m2 = n — 1. Среди адаптированных карт выберем такие, что D' = span(du). Пусть F — слоение, определяемое распределением D . Любые две адаптированные карты связаны преобразованиями вида

xi — xi (xM xu — xu (xi xu) xn — xn (xi xu xn)

tt/ - tt/ I tAJ J у tAJ - tAJ I tAJ ^ tAJ J ^ tAJ tAJ I tAJ у tAJ <j tAJ J •

Соответствующие локальные координаты на многообразии D примут вид (xi n+u). За-

'' » / d \ дадим инволютивное распределение D равенством D = span eu, ——— . Инволютивность рас-

\ dxn+u у

пределения D позволяет ввести в рассмотрение слоение FD таким образом, чтобы TFD = D . Будем говорить, что слоение F совместимо с финслеровой структурой на D, если в локальных

1 d 2F 2

координатах в окрестности точки (xa,xn+a) е D компоненты guv = - n+ud являются эле— dx dx

d^a

ментами невырожденной матрицы. Кроме того, функции Ga удовлетворяют отношению ——— = 0.

d dxn+u

Таким образом, eu = ——.

dxu

Для уточнения форм типа (p, q), определенных выше, и для определения нового аналога внешнего дифференциала введем в рассмотрение пространства H= span(eu), HD = L1 ф Hи L = span(^), где & = ё — tu^u.

Для вычисления коэффициентов tu используются следующие равенства:

g(fi, ¡V) = <7(ii — tUeU, ¡V) = <7(ii, ¡v) — tug(e"U, ¡V) = 0.

Следующая цепочка импликаций позволяет получить явное выражение для tu:

giV — tv guv =0 ^ giv — tv guv = 0 ^ giv gvw — tU^W =0 ^ tw = giv gVW.

Векторные поля на TD, локально заданные как = ё—tu£u, ri = dn+i —tudn+u, ортогональны {eu} f d ]

и < ——— > относительно метрики g, где {tu} есть решение системы giv — tvguv = 0.

[ dxn+^

Математика 249

Таким образом, всякое векторное поле X е Г(ТО) имеет следующее разложение:

= X аеа + Xп д„ + X П+адп+а = Л ^г + Л + Л П дп + Л п+*дп+г + Л П+идте+и = = X* Т + (XЦ + ^их г)ТЦ + X пдп + х п+гтг + (X п+Ц + Xп+г )дп+и.

Базис (Т, ТЦ, дп, Т,дп+Ц) адаптирован к и к вертикальному слоению. Обозначим через Т± ортогональное к Т#"о распределение относительно метрики Сасаки - Финслера д.

Введем в рассмотрение следующие векторные поля: вертикально-касательные, горизонтально-касательные, вертикально-трансверсальные, горизонтально-трансверсальные. Первые два типа векторных полей являются вертикальными и горизонтальными компонентами сечения Т#"о соответственно. Два других типа — вертикальными и горизонтальными компонентами сечения Т. Для введенных совокупностей векторных полей будем использовать соответственно следующие обозначения: V ^о, Н , V х ^о, Н х .

Таким образом, О = Нх^в 0 Но 0 Ох 0 Vо 0 V^в. Локально Н= врап(т), Н= 8рап(еЦ), Ох = врап(дп), Vх= врап(т^), V= врап(дп+Ц).

Кобазис, двойственный базису (Т, ТЦ, дп,Т, дп+Ц), имеет вид (¿Х, , #п+г, п"), где = + + ¿"¿Х, = #п+и + #п+г.

(0, д)-форму ш назовем (0, 5, £)-формой, если 5 +£ = q, и она отлична от нуля только в том случае, когда 5-аргументов в Vхи ¿-аргументов в V.

Обозначим пространство (0, 5,£)-форм через тогда

о0'^ (О) = О0"^(О).

В результате действия дифференциала ¿01 на (0,5, £)-форму

ш = ап ...^ ...ЦГ+*1 Л ... Л Л п"1 Л ... Л п"4

получаем:

¿01 ш = Тг(аг1..Лв)0п+ Л Г+*1 Л ... Л Л п"1 Л ... Л п"4 +

о

+ (—1)в ^"^Ц1 г+г1 Л... Л Л пЦ Л пЦ1 Л... Л п"4. Используя полученное выражение, определим следующий аналог внешнего дифференциала:

так, что

да ■

¿0 0 1Ш = (-1)' -и* Г+г1 Л ... Л 0п+г* Л п" Л п"1 Л ... Л п"4.

дхп+Ц

Из

равенства = 0 следует ¿0 0 1 = 0. Назовем фактор-группу

Н^ (О) = Я 0'0'д (О)/£°'°'д (О)

группой V, ¿-когомологией на О. Здесь ^0,0'д(О) = {ш е О0,0,5(О),^0'0,1 ш = 0} — множество ¿^д -замкнутых (0,0, q)-форм. Множество В0'0'q(О) = ¿с^од(О0,5-1 (О)) называется множеством ¿^д -точных (0, 0, q)-форм.

Имеем следующие включения:

Я0«(О) П О0,0,5(О) С Z0'0'q(О), В(О) П о0,0,5(О) С В0,0,5(О).

Аналогом леммы Пуанкаре для оператора ¿^д является следующая теорема. Теорема 1. Пусть ш — ё0у0у1-замкнутая (0,0, Ь)-форма. Для каждой открытой области и е О существует 7 е О00*-1 (и) такая, что ш = ¿^д7.

Доказательство. Рассмотрим (0,0,£)-форму: ш = аЦ1 п"1 Л ... Л п"4. Из равенства ¿^дш = 0 следует = Т(аи1...ц)0п+г Лп"1 Л ... Лп"4, ¿01 ш = 0(шо^0п+1,.. .,0п+г).

Воспользуемся тем, что оператор ¿0,1 удовлетворяет лемме Пуанкаре. Тогда найдется такая (0, £ — 1)-форма что

ш = ¿0Д1 ^(шо^ 0п+1,...,0п+г).

Т. А. Волковая. Синтез в полиномиальном ядре двух аналитических функционалов

Пусть 7 — (0,0,1 — 1)-компонента Тогда имеем следующее равенство:

и = ¿0,0,17 + Мп+г ,

где мп+г — (0,£ — 1)-форма. Получим и = ¿0)0)17, поэтому каждая ¿0)0)1 -замкнутая является локально ¿0)0Д-точной. □

Библиографический список

1. Manea A. Cohomology of foliated Finsler manifolds // Bulletin of the Transilvania University of Brasov. Ser. III : Mathmatics, Informatics, Physics. 2011. Vol 4(53), № 2. P. 23-30.

2. Bejancu A., Farran H. R. Finsler geometry and natural foliations on the tangent bundle // Reports on Math. Physics. 2006. Vol. 58, № 1. P. 131-146.

3. Vaisman I. Cohomology and differential forms. N. Y. : Marcel Dekker Inc., 1973.

4. Букушева А. В., Галаев С. В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финслеровой метрикой // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 3. С. 17-22.

5. Galaev S. V. Contact structures with admissible Finsler metrics // Physical Interpretation of Relativity Theory : Proc. of Intern. Meeting. Moscow, 4-7 July 2011. Moscow : BMSTU, 2012. Р. 80-87.

Foliation on Distribution with Finslerian Metric A. V. Bukusheva

Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., Saratov, 410012, Russia, [email protected]

A distribution D with a admissible Finsler metric is defined on a smooth manifold X. Let F be a foliation on X. On the distribution of D as on a smooth manifold foliation F corresponds to the foliation TF. Using this foliation and connection over distribution we define analog exterior derivative. Exterior differential forms is applied to a special form.

Key words: sub Finslerian manifold, interior connection, almost contact metric space, cohomology.

References

1. Manea A. Cohomology of foliated Finsler manifolds. Bulletin of the Transilvania University of Brasov. Ser. III : Mathmatics, Informatics, Physics, 2011, vol. 4(53), no. 2, pp. 23-30.

2. Bejancu A., Farran H. R. Finsler geometry and natural foliations on the tangent bundle. Reports on Math. Physics, 2006, vol. 58, no. 1, pp. 131-146.

3. Vaisman I. Cohomology and differential forms. New York, Marcel Dekker Inc., 1973.

4. Bukusheva A. V., Galaev S. V. Almost Contact Metric Structures Defined by Connection over Distribution with Admissible Finslerian Metric. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2012, vol. 12, iss. 3, pp. 17-22 (in Russian).

5. Galaev S. V. Contact structures with admissible Fins-ler metrics. Physical Interpretation of Relativity Theory : Proc. of Intern. Meeting. Moscow, 4-7 July 2011, Moscow, BMSTU, 2012, pp. 80-87.

УДК 517.5

СИНТЕЗ В ПОЛИНОМИАЛЬНОМ ЯДРЕ ДВУХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИОНАЛОВ

Т. А. Волковая

Преподаватель кафедры математики, информатики и методики их преподавания, Кубанский государственный университет, филиал в г. Славянске-на-Кубани, [email protected]

Пусть п — целая функция минимального типа при порядке р =1, п(В) — соответствующий дифференциальный оператор. Максимальное п(^)-инвариантное подпространство ядра аналитического функционала называется его С[п]-ядром. С[п]-ядром системы аналитических функционалов называется пересечение их С[п]-ядер. В статье описаны условия, при которых С[п]-ядро двух аналитических функционалов допускает синтез по корневым элементам оператора п(^).

Ключевые слова: спектральный синтез, дифференциальный оператор бесконечного порядка, инвариантные подпространства, подмодули целых функций.

© Волковая Т. А., 2014