О некоторых классах распределений с финслеровой структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

/л Ь Ь /-»

Легко видеть, что ((а*) -< 1 -< (72 -< ... -< Оп-1 -< (п = (((а1)*). Пусть / - композиция гомоморфизмов /п, /п-1,..., /2- Согласно лемме 2 имеем /—1(^) = к < к для всякой вершины V € V(((¿-1) такой, что V = т(С¡-1) = ¿-1 ). Отсюда следует, что /-1(^) = к2к3 ... кп для

всякой вершины V € V(((а*)) такой, что V = т(С(а*)) = ои£(С(а*)). Таким образом, согласно лемме 2 имеем I = к2к3... кп, следовательно, Рг(1) С Рг[1,к]. Лемма 3 доказана.

Пусть I - простое число такое, что I € Рг[1,к]. Предположим, что , к к ,

((а*) о (((а*)1 = ((а*), тогда ((а*) -< (((а*)1), следовательно, по

лемме 3 I € Рг[1,к], что противоречит сделанному предположению. Таким образом, система тождеств (1)-(6) ((1)-(б) и (7)) не эквивалентна никакой своей подсистеме, следовательно, многообразие Var{о, V} ^аг{о, V, с}) не является конечно базируемым. Теорема 3 доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений е операцией идентификации неподвижной точки// Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвузов, сб. науч. тр.. 2010. С. 90-98

2. Бредихин Д. А., Попович, А. В. Об упорядоченных полугруппах отношений с операцией идентификации неподвижной точки// Вестник Саратовского технического университета. 2011. №4. вып. 1. С. 52-56.

УДК 514.764

А. В. Букушева

О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ С ФИНСЛЕРОВОЙ СТРУКТУРОЙ

В статье исследуются специальные классы распределений с финсле-ровой структурой [1]. В соответствии с уже ставшим классическим подходом к изучению собственно финслеровых пространств (фундаментальная функция задана на всем касательном расслоении финслерова пространства), от финслерова многообразия переходят к его касательному расслоению с метрикой Сасаки - Финслера [2]. В случае субфинслерова пространства [3] вместо касательного расслоения удобно использовать его подрасслоение — распределение с финслеровой структурой. Существенным отличием использования подрасслоения является нечетность размерности многообразия, на котором осуществляются основные построения. В этом случае на распределении с финслеровой структурой естественно определить почти контактную метрическую структуру — аналог структуры многообразия с метрикой Сасаки - Финслера [4].

Пусть X ^гладкое многообразие нечетной размерности и, Е(Х)-Ож(Х)-модуль гладких векторных полей на X. Рассмотрим на многообразии X четверку (В,ц,£, В1), где В ^гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формой п В1 = Браи(^) — его оснащение. Карту К(ха) (а, в, у = 1, ...,и) (а, Ь,с, е = 1, ...,и — 1) на многообразии X будем называть адаптированной к неголономному многообразию В, если В1 = Брап(-г^п)•

На многообразии X имеем неголономное поле базисов (еа, дп) и соответствующее ему поле кобазисов ((ха, 0п = ((хп + Г'п(ха). В дальнейшем ограничимся рассмотрением исключительно адаптированных координат с условием £ = дп ( см. [1]). Адаптированным будем называть также базис еа = да — ГПдп как базис, определяемый адаптированной картой.

Предположим, что задана связность над распределением В ( см. [1]), т.е. распределение В = п—1(В) разбивается в прямую сумму вида В = НВ 0 У В где У В — вертикальное распределение па тоталь-

В

лентно заданию объекта Саъ(ха,хп+а) такого, что НВ = Браи(еа), где £а = да — Гпадп — Оьадп+ъ ( см. [1]). Внутренняя линейная связность определяет связность над распределением, если положить Оа(ха,хп+а) = Гас(ха)хп+с. Для координатного представления объектов, заданных на ВВ тированной картой ( см. [1]).

Проводя необходимые вычисления, получаем

[^ъп £ъ] = 2^Ьа дп + ЯЪъ дп+с, [^ъп дп\ = дnGbaдn+b, [^ъп дп+ь] = (1)

где ЯЬа = еьСа — еаОЬ и дпОа соответственно первый и второй тензоры кривизны Схоутена [5].

В задана функция Ь(ха, хп+а) такая, что выполняются следующие условия:

1. Ь - гладкая положительная функция па В0 = В\0;

2.Ь - положительно однородна степени 1 относительно слоевых координат;

3. Квадратичная форма Ь2а.ь£а£ь = дхп+аЬдхп+ъ£а£ь положительно определена.

В0 В

Ь(ха, хп+а) допустимой фпнслеровой метрикой, а пару (В, Ь) - распределением с финслеровой структурой или фиснлеровым распределением.

(В, Ь)

циируются некоторая внутренняя и соответствующая ей продолженная

связности. Для задания внутренней и продолженной связностей необходимо задать объект внутренней связности Са(жа, жп+а), а — задать разложение ТЛ = НЛ 0 УЛ, где НЛ с НЛ.

Если на многообразии X задана пара (Л, £), то в Л возникает внутренняя связность, порождаемая распределением НЛ = 5рап(ба), где ба = да — ВД — Жп+сдп+Ь, = • с = дп+6дп+с^а? = да6(ад26жп+с - в6Ь2), дао = 1 ( см. [1]).

Теорема 1. Пусть — распределение с финслеровои струк-

турой и (!), П,д,дп) - соответствующая почти контактная метрическая структура, тогда ненулевые коэффициенты связности Леви-Чивита метрики д представимы в следующем виде:

a) Г0О = ^6, ГП+С = (-ССб + 2Щ,

b) ГС = — 1 д I д гп+с = С с

b) г п+ап+6 2да6|*д , гп+ап+6 Са6,

c) г^п+6 = (Сса +1 дс^адеб),гп++6 = 2дс*(ад*),

гп+аЬ = дс*(дп+адб*) - 2 д^деа), гп+а6 = 1 д^, (2)

е) Гпа = 2д (дпда6 — 2^а6), Гп+ = — Гап = — 2дп^а,

па ^ 2^ У^адао ^а^^-па -1- ап 2 п^а?

ап = 2д (дпд

с _ гс _

пп+а г п+аа 2д (дпи*)д6а, г пп+а г п+аа

Гап = 2 дс6(дпда6 +

/) Гпп+а = Гп+аа = 2д (дп^*)д6а, Гпп+а = Гп+аа = 2д (дпда*),

где

1 „ с*

a) = 1 дс (еадо* + ё6д*а— ^

b) Сасо = 1 дс*(дп+*дао),

c) да6|* = е*да6 - ^^а - ^<^6. (3)

Доказательство. Связность Леви — Чивита V определяется по формулам

2д(У XXУ, £) = XX(д(у, £)) + У(д(у, XX)) - £(д(Х, У))+

+)([Х у], £) - д([у, £, X) + д([у, XX], У), (4)

Х,у,£ е Г(ТЛ). Прямым вычислением, используя (1), (4), получим

д(^ еа о» = 1(еадо*+ё6д*а- б"*дао),д(У б6,дп+*) = 2(-дп+*дао+яа6дс*).

Из (За) и (ЗЬ), следует (2а). Аналогично получаются (2Ь-2£). □ Назовем (Л, распределением Ландсберга, если выполняется равенство ^Ос = С0с и распределением Бервальда, если = 0. На многообразии Б определим два эндоморфизма Н и ] следующим образом:

h(xu) =h (P о n)(xu); j(xu) =v (P o n*)(xu), где u g Dx, G TU(D). Имеет место

Теорема 2. Яа пространстве распределения с финслеровой метрикой существует и при том единственная внутренняя связность V, удовлетворяющая условию Vh = Vj = 0.

Доказательство теоремы сводится к непосредственному вычислению

V

V

ном случае распадаются на три блока R S, P, соответствующие в классическом случае первому, второму и третьему тензорам кривизны Кар-тана соответственно. Назовем полученные тензоры тензорами кривизны типа Картана. Таким образом, заключаем, что справедливы следующие теоремы:

Теорема 3. Финслерово распределение (D, L) есть распределение Ландсберга, если ее третий тензор кривизны типа Картана равен нулю.

Теорема 4. Всякое пространство Бервальда является пространством Ландсберга.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Галаев С. В. О продолжении внутренней связности неголономного многообразия с финслеровой метрикой // Механика. Математика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2011. Вып. 13. С. 25-28.

2. Bejancu A., Farran Н. R. Finsler geometry and natural foliations on the tangent bundle // Reports on Mathematical Physics. 2006. Vol. 58, № 1. P. 131-146.

3. Clelland J. N., Moseley C. G. Sub-Finsler geometry in dimension three // Differential Geometry and its Applications. 2006. Vol. 24, № 6. P. 628-651.

4. Букушева А. В., Галаев С. В., Иванченко И. П. О почти контактных метрических структурах, определяемых связностью над распределением с финслеровой метрикой // Механика. Математика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2011. Вып. 13. С. 10-14.

5. Вагнер В. В. Геометрия (n — 1)-мерпого неголономного многообразия в n-мерном пространстве // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1941. Вып. 5. С. 173-255.

6. Reinhart В. L. Foliated manifolds with bundle-fike metric // Annals of Math. 1959. Vol. 69, № 2. P. 119-132.