Алгебры многочленов Погорелова октаэдральных групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

Серия «Физико-математические науки» Том 23 (62) № 2 (2010), с. 124-131.

УДК 517.968.7

О. И. Рудницкий, И. А. Романенко

АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОВ ПОГОРЕЛОВА ОКТАЭДРАЛЬНЫХ ГРУПП

Исследованы алгебры Р°т многочленов Погорелова октаэдральных групп От, порожденных отражениями на унитарной плоскости. Найдены степени образующих алгебры Р°46 многочленов Погорелова группы О46.

Ключевые слова: многочлены Погорелова, октаэдральных групп, порожденных отражениями, степени образующих алгебры.

Введение

Данная статья является продолжением начатого в [2] изучения строения алгебр Р° многочленов Погорелова конечных унитарных групп О, порожденных отражениями, в случае, когда алгебра Р° не совпадает с алгеброй I° инвариантов группы О. В настоящей заметке изучено строение алгебры многочленов Погорелова для октаэдральных групп, порожденных отражениями на унитарной плоскости и2.

Постановка задачи Как ив [1], многочлены Погорелова группы О — это формы вида

Р2Г(Х) = £ (Х,ав)2г, г > 1, аес

где х = х1ё1 + х2ё2, в — единичный вектор нормали (с началом О) одной из осей, отражения а относительно которых порождают группу О; ё!, ё*2 — ортонормиро-ванный базис и2, определяющий прямоугольную декартову систему координат с началом О.

На унитарной плоскости и2 существуют следующие конечные унитарные группы, порожденные отражениями: тетраэдральные — Тт, октаэдральные — От и икоса-эдральные — 1т (т — число отражений, содержащихся в группе) [4].

Строение алгебры РТт для тетраэдральных групп Тт изучено в [2]. Данная статья посвящена изучению алгебр Р°т многочленов Погорелова октаэдральных групп От.

В работе [1] установлено, что, в случае октаэдральных групп От, алгебра многочленов Погорелова Р°т совпадает с алгеброй 1°т инвариантов группы От для всех т = 46. При этом, найдены все образующие алгебр Р°т = 1°т (т = 46).

Цель настоящей заметки — построить образующие алгебры Р°46 многочленов Погорелова группы О46.

Доказана следующая

Теорема. Степени образующих алгебры Р°46 равны 24, 48, 72, 96.

Доказательство теоремы

Группа О46 порождается тремя отражениями 01, 02, 03 второго, третьего и четвертого порядков относительно осей с уравнениями

14 ж1 — ег>3ж2 = 0, + = 0

и Ж1 = 0 соответственно; здесь

\/3 — -3 у/3 + -3

= -^-, ^2 =

л/6

л/2 — -2

^3 = ---, ^4 =

л/6 ' \/2 + л/2

2 ' 2 '

П — первообразный корень восьмой степени из единицы, е = у—1 [4].

Отметим, что отражения 01 и 02 порождают группу симметрий О28, 01 и 03 — группу О3о, а 02 и 03 — группу О34 [3]. Порядок группы равен 576. Она содержит 18, 16 и 12 отражений ворого, третьего и четвертого порядков соответственно. Показатели группы т1 = т2 = 24 [4].

Множество 0,? распадается на три О46 - инвариантных подмножества: £1, состоящего из векторов

(в1 ± е^)

£2 £3

из векторов

из векторов

л/2

шУ (^ег + е^п ^е?) ; У [v4ëi + е^е.,-) , П/V (е ± пе?),

где I = 1, 8, £ = 1, 3, Н = 1, 4, г, ^ = 1, 2 (г = j), ш — первообразный корень третьей степени из единицы, V — первообразный корень шестнадцатой степени из единицы.

(г = 1, 2, 3).

Обозначим через Р2^ 46 = ^ (X,?)24

«esi

С точностью до постоянного множителя они имеют вид

Р2(41)046 = 102 5(ж?4 + х24) + 10626(Ж?°Ж4 + ж^0) + 735471(ж}6ж8 + ж^6) + +2704156ж}2Ж22 ,

Р2(42)046 = 193(ж24 + ж24) - 147246(ж20ж4 + ж4ж2°) + 735471(ж16ж8 + ж^6) --386308ж12ж22,

Р2(3)046 = 593(ж24 + ж24) + 196098(ж2°ж4 + ж1ж2°) - 334305(ж16ж2 + ж?ж26) + +2704156ж12ж22.

В качестве образующих алгебры /°46 могут быть взяты, например, формы

РТ22 _ р(1)°46 + р(2)°46 и р046 _ р(1)°46 + р(2)°46 + р(3)°46 р24 _ р24 + р24 и р24 _ р24 + р24 + р24 .

Любой элемент Р^^6 € р°46, г > 1 представим в виде многочлена подходящей степени от образующих Р2422 и Р2°46, то есть

г+1 . _ 1

Р^6 _ * (рТ", Р2°446) _ Е Л" (Р2Т22)Г (Р2°44^. (1)

.=1

Числа Хг. определяются из равенства (1), как равенства многочленов от переменных ж» (г _ 1, 2).

Используя равенство (1), будем последовательно представлять инвариант Р°46 € Р°46, £ > 1, в виде многочлена подходящей степени от форм Р246 (1 < г < £):

Р2°446 _ * (рОГ6) _ Е * П(Р2°44г6Г _

Пг=0,* г

^Пг =*

/г+1 ^ . . . N пг

Е * (Р°440 П1 П Е (РТ2^ Г+1-г (Р24

Пг=0,* г=1 \г=1 /

53 г^пг =*

г

Е * (Р2046)П1 П ( Р("Л, . . . , Пгг+1) П ЛПГ X

Пг =0,* Г=1 V пг4=0,Пг г=1

53г-Пг =* г+1

г пг;=Пг

¿=1

г+1 г+1 ч

( Т ) (г + 1)Пг- £ »•Пг! ( ^ ) £ ¿•Пн-Пг \ X (Р^) ¿=1 (Р2°446 ) ¿=1 I _

r+1

Е j Е Пр("ri,...,nrr+i^а:

nr=0,t

Ernr =t r+1

r J] nri=n

i=1

r=1

nr

r 1, . . . , "rr+1) I I "ri

nri=0,nr r=1 i=1

r

r+1

/ ^ \ E (r+1)nr - E inr

x (P2T22J r=A i=1

Л+1

^ \ E E »•nri -nr +n1 p°46 I r=1 \ i=1

P24 ^

/ r+1

£ j £ П P (nr1,...,nrr+1) П A

V nri=0,nr r=1 i=1

nr=0,t E>nr =t r+1

r E nri=n

i=1

r=1 /r+1

™ \ t- E E inri-nr |-n1

x (P2422l r=Ai=1

/ P°46^\ r = A i=1

Г24 j

E (+ ¿•nri-nr )+n1 '

где j = 1, s(t) при s(t) =

t- £ fc nfc fc>r

^ 1 , если r > 1,

nr =0

1 , если r = 1

P(nr1, . . . ,nrr+1) =

Таким образом,

P

O46

24t

(nr1 + ... + nrr+1)! nr1! ■... ■ nrr+1!

£ j ^П p(n

v nri=0,nr r=1

r1 ,

r+1

i) П Anr

nr=0,t

E>nr =t r + 1

,«rr+1 Л I A„ x

г=1

nri = nr

i=1

r=1

/r+1 \ /r+1 \

/ „ \t- E E »•nri -nr -n1 , \ E E ¿•nri-nr

|p^22 j r=1\i=1 / ( P°46 Jr=Ai = 1 /

E É ¿•nri-nr +n1

(2)

Сравнивая равенства (1) (при г = £) и (2), получим равенство многочленов от форм РТ422 , Р2°46 .

Приравняв соответствующие коэффициенты при одинаковых одночленах в правой и левой частях равенства, получим систему £ + 1 уравнений относительно ?(£) неизвестных V?.

Столбцы матрицы этой системы образованы коэффициентами в пра-

вой части равенства (2) при соответствующих одночленах вида ^Р^22^ (р°46) у

х

х

х

неизвестных ^. При этом, пусть порядок строк матрицы соответствует возрастанию степени а образующей рм22.

При Ь = 2 получим несовместную систему трех уравнений с одним неизвестным, расширенная матрица которой имеет вид

/ 1 А23 \

0 Л22 V 0 Л21 )

Следовательно, форма Р846 не выражается через форму Рм46.

Если Ь = 3, то получим несовместную систему четырех уравнений с двумя неизвестными, расширенная матрица которой имеет вид

( 1 А23 А34 ^

0 А22 А33

0 А21 А32

\ 0 0 А31 у

Следовательно, форма Р°246 не представима в виде многочлена третьей степени от форм Р2446 и Р4°846 .

При Ь = 4 имеем несовместную систему пяти уравнений относительно четырех неизвестных с расширенной матрицей

1 А23 А34 А2 А23 А45 \

0 А22 А33 2А22А23 А44

0 А21 А32 А22 + 2 А21А23 А43

0 0 А31 2А21А22 А42

0 0 0 А2 А21 А41 /

Следовательно, форма Pgg46 не представима в виде многочлена четвертой степени от форм P2O46, P4O46 и P7O46.

Если t = 5, получим совместную систему шести уравнений относительно шести неизвестных с расширенной матрицей

/ 1 А23 А34 А223 А45 А23 А34 А56 \

0 А22 А33 2А22А23 А44 А23А33 + А22А34 А55

0 А21 А32 А22 + 2 А21А23 А43 А23А32 + А22А33 + А21А34 А54

0 0 А31 2А21А22 А42 А23А31 + А22А32 + А21А33 А53

0 0 0 А221 А41 А22А31 + А21А32 А52

V 0 0 0 0 0 А21А31 А51 /

Следовательно, форма Р"12о6 выражается через формы Р446, ре46, Р7246 и Р9646. Отметим, что, в каждом из рассмотренных случаев, числа

А« = 0 (t = 2, 3, 4).

(3)

Для каждого следующего значения Ь количество строк матрицы А(4+1)Х8(£) увеличивается на 1, а количество столбцов (слагаемых в равенстве (2)) — более, чем на 1. Поэтому Ь + 1 < при Ь > 5.

Покажем, что любой элемент Р2446 € Р°46 (Ь > 5) представим в виде (2) при г = 1, 4. Для этого методом математической индукции докажем, что ранг матрицы А(4+1)х^) (Ь > 5, г = 1,4) равен Ь + 1.

При Ь = 5 нетрудно убедиться в том, что ранг матрицы АбХб равен шести.

Предположим, что при Ь = к ранг матрицы А(^+1)Х5(к) равен к + 1, и докажем, что при Ь = к + 1 ранг матрицы А(к+2)Х5(^+1) равен к + 2.

Элемент Р°4к+1) имеет степень на 24 большую, чем элемент Р^б. Поэтому его можно представить в виде

Р204к+1) = Р24кР2°446 + V (Р4°84

О46 Т)046

Р

72

р046 \ Р96 I

где форма Р24к имеет тот же вид относительно форм Р2°46, Р4°46, Р7246 и Р^б46, что

и элемент Р24"к6 относительно этих же форм. Тогда, на основании (2),

Р О46

Р24(к+1)

Е

№

Е г^гаг=к

Е П Р (пг1,

Г=1

^ — 0,Пг

г+1

У 1 пгг—п ¿=1

Г=1

гг, \ к" 12 ( 12 i•nr¿ -Пг ) -П1 Рт22 \ г=1\¿=1

Р24

Г+1

,Пгг+1) П

г=1

РГ=1

Р24

Е ( Е п-г^ +«4+^

+

+

Е

гаг=0,к+1 Е Г^гаг=к+1

г

г=1

Е П РКъ

г+1

, пгг+1

)П л

^ nг¿ — 0,ПГ

г+1

¿=1

Г=1

г + 1

Г=1

„ \ к+1- Е Е »•"■Н-™г

РТ 22 \ г=1\¿ = 1

Р24

г=1

г + 1

\ Е Е »•"■Н-™г

р^46 \ г=1 \¿=1

Р24

где I = 1, «(к), т = «(к) + 1, «(к + 1).

В первых «(к) столбцах матрицы А(^+2)Х5(к+1) элементы, соответствующие

т /г+1 \

(к + 1)-й степени образующей Р2422, равны нулю, так как ^ I ^ г ■ п™ — пг I > 0.

г=1 \ г=1 )

Значит, в матрице А(^+2)Х5(к), образованной этими столбцами, (к+2)-я строка будет нулевой. Тогда, по предположению, гапдА(к+2)Х5(к) = к + 1. Следовательно, среди «(к) столбцов ровно к + 1 линейно независимых.

х

г

X

X

X

В остальных в (к + 1) — в (к) столбцах элементы (к + 2)-й строки будут отличны от нуля (см.(3)). Поэтому, добавив любой из этих столбцов к к + 1 линейно независимым столбцам, получим к + 2 линейно независимых столбцов. Таким образом, = к + 2.

Следовательно, любой элемент р2°46 ^ Р°46 (^ — 5) представим в виде многочлена подходящей степени от форм Р2446, Ре46, Р7246 и Р9646, то есть

р04б _ / р046 р046 р046 р046 \ {д \

Р244 = ^ уР24 , Р48 , Р72 , Р96 ^ • (4)

Алгебра Р°46 многочленов Погорелова группы О46 порождается многочленами степеней 24, 48, 72, 96, а формы Р2046, Р4046, Р7046 и Р9046- ее образующие.

Теорема доказана.

Отметим, что формы Р2446, Р°846, Р7246, Р°46 не являются алгебраически независимыми. Действительно, между образующими алгебры Р°46 имеются сизигии, то есть существуют многочлены

/1(21,22,23) = ап-г6 + Й122422 + 0132^23 + Й14 2222 + 015212223 +

3 2 + 01623 + 22 ,

/2(21,22,23,24) = Я>2126 + Й222422 + Й232323 + 024 222| + Й252224 +

3

+ 026212223 + 02723 + 2224,

такие, что подстановка 21 = Р2°46, 22 = Р4°46 , 23 = Р7246, 24 = Р9646 обращает их тождественно в ноль.

Значения коэффициентов а^ (г = 1, 2, ] = 1, 7), найденные из соответствующего равенства (4), здесь не приведены из-за их громоздкости. Например, коэффициент 011 имеет вид:

_468198532513568854520345044886896935661013933936007809666547915706059239161174504598013770308906316 а11_ 11262022626602494809105663582908985079392573672484364948121064906561842075825441745693875

Вывод

В работе продолжено исследование строения алгебр многочленов Погорелова конечных унитарных групп С, порожденных отражениями, в случае, когда алгебра Рс не совпадает с алгеброй инвариантов группы С. Получено решение указанной задачи для октаэдральных групп От унитарной плоскости. А именно: найдены степени образующих алгебры Р°46 многочленов Погорелова группы О46.

Список литературы

[1] Рудницкий О.И. Алгебраические поверхности с конечными группами симметрий в унитарном пространстве. - Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. - Минск: БГУ, 1990. -11 с.

[2] Рудницкий О.И., Романенко И.А. О специальных инвариантах тетраэдральных групп, порожденных отражениями на унитарной плоскости // Ученые записки ТНУ им. В.И. Вернадского. - 2006. - T.19(58),N1. - с. 29 - 37.

[3] Crowe D.W. Some tow-dimensional unitary groups generated by three reflections // Can. J. Math. - 1961. - 13. - P. 418 - 426.

[4] Shephard G.C., Todd J.A. Finite unitary reflection groups // Can. J. Math. - 1954. - 6, N2. - P. 274 - 304.

Алгебри многочлешв Погорелова октаедральних груп

Дослгдженг алгебри POm многочленгв Погорелова октаедральних груп 0m, що породженг вгддзеркаленнями на унгтарног площинг. Знайденг степенг твiрних алгебри P°46 многочленгв Погорелова групи 046.

Ключов1 слова: многочлени Погорелова, октаедральних груп, породжеш вщдзер-каленнями, степеш тв1рних алгебри.

Algebras of polynomials Pogorelov of the octahedral groups

The algebras POm of the Pogorelov ро^потгаЬ of the octahedral groups Om generated by reflections on the umtary plane are mvesUgated. The degrees of a generators of the algebra P°46 of the Pogorelov polynomials of the group 046 are found.

Keywords: Pogorelov polynomials, octahedral groups, reflection groups, degrees of a generators of the algebra.