CC BY
11
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
КЛАСИФИКАЦИЯ ПУТЕЙ В ПСЕВДОГАЛИЛЕЕВОЙ
ГЕОМЕТРИИ
1 2 Муминов К.К. , Садритдинова З.И.
Email: Muminov661@scientifictext.ru
1Муминов Кобилжон Кодирович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра функционального анализа и алгебры, Национальный университет Узбекистана; 2Садритдинова Зульфия Исраиловна - кандидат физико-математических наук, доцент,
кафедра высшей математики, Ташкентский государственный технический университет, г. Ташкент, Республика Узбекистан
Аннотация: хорошо известно, что группы симметрий в механике Ньютона и в принципе относительности Галилея существенно отличаются от групп движений в евклидовом пространстве. Поэтому теория инвариантов движений в механике не вытекает непосредственно из теории инвариантов движений в евклидовом пространстве. В настоящей работе решается задача об эквивалентности путей, лежащих в конечномерном пространстве Галилея. Устанавливается конечная повреждаемость дифференциального поля всех дифференциальных рациональных функций, инвариантных относительно действия псевдогалилеевых преобразований. С помощью найденного конечного базиса трансцендентности этого дифференциального поля доказываются необходимые и достаточные условия, обеспечивающие эквивалентность путей.
Ключевые слова: линейное пространство, псевдогалилевая преобразованная, регулярный путь, группа.
CLASSIFICATION OF WAYS IN A PSEUDOGALIUM GEOMETRY
12 Muminov K.K.1, Sadritdinova Z.I.2
'Muminov Kobilzhon Kodirovich - Doctor of physical and mathematical sciences, Professor, DEPARTMENT OF FUNCTIONAL ANALYSIS AND ALGEBRA, NATIONAL UNIVERSITY OF UZBEKISTAN; 2Sadritdinova Zulfiya Israilovna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences,
Associate Professor, DEPARTMENT OF HIGHER MATHEMATICS, TASHKENT STATE TECHNICAL UNIVERSITY, TASHKENT, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: it is well known that the symmetry groups in Newtonian mechanics and, in principle, Galilean relativity differ significantly from the groups of motions in Euclidean space. Therefore, the theory of invariants of motions in mechanics does not directly follow from the theory of invariants of motions in Euclidean space. In this paper, we solve the problem of equivalence of paths lying in a finite-dimensional Galilean space. The finite damageability of the differential field of all differential rational functions that are invariant with respect to the action of pseudo-Galilean transformations is established. With the help of the found finite transcendence basis of this differential field, necessary and sufficient conditions are proved that ensure the equivalence of paths. Keywords: linear space, pseudo-halite transformed, regular put, group.
УДК: 512.745,512.628,514.125
1. Введение. Пусть X - четерехмерное линейное пространство над полем действительных чисел Я и пусть С! (4, Д ) - группа всех обратимых линейных преобразований пространства X. Два пути х (£) и у (£) , £ 6 (0, 1 ) , лежащие в X, называются О - эквивалентными при действии подгруппы О группы С! (4, Д ) , если дх (£) = у (£) для некоторого д 6 С и всех £ 6 ( 0, 1 ) .
При решении задач об эквивалентности путей относительно действия линейных групп, С с С! (4, Д ) наряду с традиционными методами дифференциальной геометрии, в последние годы активно используются методы теории инвариантов, с помощью которых изучаются дифференциальные поля всех инвариантных дифференциальных рациональных функций для путей и описываются конечные рациональные базисы этих полей. Знание этих базисов позволяет давать эффективные критерии для О - эквивалентности путей, лежащих в X. Такой подход, например, дал возможность установить легко проверяемые достаточные условия для О -эквивалентности путей, в случае когда О есть ортогональная, симплектическая, псевдоортогональная или специальная псевдоортогональная группа (обзор этих результатов см., например, в [5]).
Одним из важных примеров неевклидовых геометрий является псевдогалилеевая [3] геометрия, для которой группу всех обратимых линейных преобразований пространства X, составляют псевдогалилеевы преобразования сохраняющих метрику псевдогалилеевого пространства. В настоящей работе устанавливаются необходимые и достаточные условия обеспечивающие эквивалентность путей, лежащих в X, относительно действия группы псевдогалилеевых преобразований.
2. Предварительные сведения. Пусть Д 4- четерехмерное векторное пространство над полем действительных чисел, и пусть группа всех обратимых линейных преобразований в . Зафиксировав в стандартный базис 4 = (1 , 0, 0, 0) , 12 = (0 , 1 , 0, 0) , 13 = (0, 0, 1 , 0) , 14 = ( 0, 0, 0, 1 ) элементы из Д 4 будем представлять в виде 4-мерных вектор-столбцов х = {х;} 4= а преобразования
в виде - матриц , где , , . При этом,
действие в отождествляется с обычным умножением матрицы на
вектор-столбец х 6 Д 4 (запись д х).
Рассмотрим в = { а2 + %3 + %4 %2 , %3 , 6Д} = Д 4 билинейную форму
и соответствующую этой форме псевдоевклидовую метрику р(х,у;) = 7 (>2 - х2)2 - (Уз - хз )2 - (у - х4) 2, где х = {х} 4= 2 , у = {У;} 4=2 6 Д 4.
Псевдоортогональная подгруппа в определяется
равенством , где - транспонированная матрица к
/10 о \
д, / = I 0 - 1 0 I . Ясно, что О(1 ,2 ) = {д 6 С! (3,Д) : < дх,ду >=< х,у > для \0 0 -1/ любых .
Определим в Д 4псевдометрику Галилея < (х,у) , х = {х;}4= 1 , у = {у;}4= 1 6 Д4, полагая в случае и
< (х,у) = 7 (х2 - У2) 2 - (хз - уз ) 2 - (у* - х4) 2 , если хх = ух. Пару (Д 4,<<) будем называть четерехмерным псевдогалилеевым пространством и будем обозначать
через 1Г4 .
Положим = { а1€1: 6 Д } и = {% €2 + % €3 + а4€4, % , % , а4 6 Д }. Ясно, что
4
^ Ф Ц. = Д 4, при этом (х,у) = 0 для всех х 6 у6 71 где (х, у) = ^ у1
1=1 .
Рассмотрим в С! (4, Д ) подгруппу С4 = {д 6 С! (4, Д ) : д= д = Если
а = (д у) и=1 6 С4, то д ^ = {у1( 0 , 0 , 0 } 6 ии и поэтому д х ; = (д = О I = 2 , 3 , 4. Таким образом, матрица д 6 С4 обязательно имеет вид Л
при
&2 gl3 ^4 ^
0 g23 g24
0 g32 g33 g34
0 ^2 g43 g44 У
?11
Ф 0.
а
Рассмотрим множество ГО ( 1 , 2 ) всех тех д 6 С4 преобразования на подпространство
для которых д 11 = + 1 и сужение есть псевдоортогональное
преобразование, т.е.
(д 22 5 23 032 533 042 043
6 О (1,2 ) .
Таким образом
Г
(ЯУ) 6 0(1,2)}.
Ясно, что для любых х,у 6 Д 4и д 6 ГО ( 1 , 2 ) верны равенства с? (д х, ду) = с? (х,у) . Утверждение 1. Множество ГО (1 , 2 ) есть подгруппа в С! (4, Д ) .
Доказательство. Пусть д , Й6ГО ( 1, 2 ) , т.е. д = ( ду) 4,;=^ к=( к у) 4,;=1 где д ■! = ^022 023 д2А\
6 0(1,2),
Л?
6 О(1,2).
Тогда
=
Г± 1 а12 а13 а Л а14
0 а22 а23 а24
0 а32 а33 а34
V 0 а42 а43 а44 У
0>\ /«22 «23 «24
0 а32 азз а34
-1/ \а42 а43 а44
при
этом,
Следовательно д к 6 ГО ( 1, 2 ).
Осталось показать, что д" 1 6 ГО (1, 1 ) , для любого д = (ду) 4,;=1 6 ГО (1, 2 ).
Если g =
± 1
0 0 0
/Ь,
gl2
g22
g32
g42 Ъп-
gl3
g 23 g33
ЪпА
Л
g14
g24
g44 У
Г ± 1 ^ Ь
е ГO(1,2), то g-1 =
± 1
0 0 0
Ь 22 Ь 23 Ь 2 Ь32 Ь33 Ь3 Ь 42 Ь 43 Ь 44 У
. Элементарное вычисление показывает, что В Г/В = /.
Пусть
\Ь42 ^ Ь43 Ь44/
Это означает, что Г . Следовательно, Г есть подгруппа в .
Группу ГО ( 1 , 2 ) будем называть группой псевдогалилевых преобразованний пространства 1Г3.
Обозначим через Д [х1,х2,х3,х4] - алгебру всех многочленов над полем Д от счетного числа переменных х(т), т = 0, 1 ,. . . ,х(0)) = хь ¿ = 1 , 2 , 3 ,4. Положим й(х(т)) = х(т+1 , с? (Я) = 0 , для всех I = 1 , 2 , 3 ,4, т = 0, 1 ,. . ., Я 6 Д. Отображение с? однозначно продолжается до дифференцирования 5 в алгебре Д [х1, х2 , х3 , х4] , наделяя эту алгебру структурой дифференциального кольца [4]. Обозначим через Д < поле частных для кольца , т.е. является
полем всех рациональных функций от тех переменных х(т), т = 0, 1 ,. . ., I = 1 ,2 , 3 , 4. Согласно теореме 1.1. из [4], до дифференцирования на поле Д < х1х2 ,х3 ,х4 > , превращая это поле в дифференциальное поле (сокращенно сС - поле).
Элементы из сС - поля называют ё - рациональным функциями и записывают в виде / < х > = / < х1,х2 ,х3,х4 > где х = {х,} 4= ^ Если О - подгруппа в С! (п, Д) и / < дх > = / < х > для всех д 6 С, то ё - рациональным функция / < х > называется О -инвариантной. Множество всех О инвариантных ё - рациональных функций обозначается через Д < х1,х2,х3,х4 > с. Известно, что Д<х1,х2 ,х3 ,х4 > с является дифференциальным подполем в дифференциальном поле Д < х1,х2 ,х3 ,х4 > [7].
Набор элементов {/,•} ™ 1сД<х1,х2 ,х3 ,х4 > с, т 6 Л/, называется конечной системой образующих дифференциального поля , если любой
элемент может быть получен из множества применением
конечного число раз операций сС - поля Д < х1,х2 ,х3 ,х4 > с. В этом случае говорят, что набор ест - рациональный базис - поля .
Известно следующее описанию d - рациональных базисов дифференциальных полей .
Теорема 1. ([1], теорема 2). В ё - поле Д < х^^ ,х2 ,х3 > 0 ( 1,2 1 следующие ё -многочлены являются его образующими: < х, х > и < х ', х ' > , < х'', х '' > .
Путем в называют вектор-функцию , у которой все
координатные функции являются бесконечно дифференцируемыми.
Производная г-го порядка от пути х ( £) = {х, ( £) ^ ^ есть вектор-функция х (г)( £ ) =
|х/(г)( £) | , где х(г)(£) -г-ая производная координатной функции х, (£) , £ 6 ( 0 , 1 ) , у =
1 , 2 , 3 , 4 , г = 1 , 2 ,. . . Ясно, что х (г)( £) также является путем при каждом г = 1 , 2 ,. . .
Пусть G - подгруппа группы С! (4, Д ) . Два пути х ( £) и у ( £) называются G -эквивалентными, если существует такой элемент , что для всех
. Ясно, что в этом случае, , ,
Для каждого через обозначим матрицу
(Х1 Х1 х1\ х2 х2 х2 .
Путь называется регулярным, если определитель не равен нулю
при всех .
Известны следующие необходимые и достаточные условия - эквивалентности регулярных путей и , описываемые с помощью матриц и , в
случае, когда есть групп .
Теорема 2. Два регулярных пути х ( £) и у ( £) лежащие в Д 3, является О ( 1 , 2 ) -эквивалентными в том и только в том случае, когда верны равенства
(М (х(£) ) )" ' (х (£) ) = (М (у (£)) )" 1М' (у (£)) ; (1)
Мг (х (£) ) / М (х (£) ) = Мг (у (£) ) / М (у (£) ) . (2)
для всех .
В следующей теореме приводится известный критерий О ( 1 , 2 ) - эквивалентности регулярных путей из Д 3.
Теорема 3. Два регулярных пути х ( £) и у ( £) , заданные в Д 3, являются О ( 1 , 2 ) -эквивалентными тогда и только тогда, когда
х2 ( 0 - х22 ( 0 - х| ( о = у2 ( о - у22 ( о - у| ( о (3)
(х; ( о) 2 - (х2 ( о ) 2 - ( х3( о) 2 = (у; ( о ) 2 - (у2( о ) 2 - (у3( о ) 2 (4)
(х2 (О ) 2 - (х2 (О ) 2 - ( х3( о ) 2 = (у; (о ) 2 - (у2 (О ) 2 - (у3 (о ) 2 (5) для всех .
Основные результаты. Следующая теорема дает явный вид дифференциального рационального базиса в d - поле Д < х1 , х2 , х3 , х4 > Г 0 ( 1'2 ).
Теорема 4. В d - поле Д < х1 ,х2,х3 ,х4 > Г 0 ( 1 2 ) следующие d - многочлены
фО (х1 ' Х2 >х3 ' Х4) = х2 - х3 - х4 (6)
ф 1 (Х1 ,Х2,Х3,Х4) = (Х;) 2 - (Х;) 2 - (Х;) 2 (7) ф 2(Х1 ,Х2 ,Х3 ,Х4) = (х;)2 - (х;)2 - Сх^2 (8) | (Х1 ,Х2 ,Х3 ,Х4) = Х1 (9) образуют ё - рациональный базис.
Доказательство. Используя доказательство теоремы 2.1.1. из [5, глава 2, § 2] получим, что любая Г О ( 1 , 2 ) - инвариантная d - рациональная функция есть отношение двух Г О ( 1 , 2 ) - инвариантных d - многочленов. Поэтому для доказательства теоремы достаточно установить, что любой Г О ( 1 , 2 ) - инвариантный d - многочлен выражается через d - многочлены ф О, ф 1( ф 2 и | с помощью конечного числа операций d - поля Д < х1 ,х2 ,х3 ,х4 > Г 0 ( 1 2 Каждый d - многочлен р ^ , х2 , х3 , х4) 6 Д < х1 , х2 , х3 , х4 > Г 0 ( 1 2 есть конечная сумма мономов вида <?(х1,х2,х3,х4) = (х
1 ■■■х1
с)ф(х2,х3,х4)
где 0 < I 1 <,х2 < • • • < Iи ф (х2,х3 ,х4 ) - d - многочлен от переменных х2 ,х3 ,х4. Положив
г (х^ = х( ' 1 ). . . х( ( к), (10)
имеем, что
. (11)
Таким образом каждый d - многочлен р ^ ,х2 ,х3 ,х4) 6 Д < х1 ,х2 ,х3 ,х4 > Г 0 ( 1 2 ) имеет вид
т
I Г (
р (х1 ,х2,х3 ,х4)=^=1 -ф (х2 ,х3 ,х4) (12)
где г(хО имеют вид (10), фх (х2,х3 ,х4) 6 Д < х2 ,х3 ,х4 > , 5 = 1 ,. . ,,ш.
Пусть Г , где и . Поскольку
д= = ^1, то 5{х1 ,х2,х3,х4} = {х! ,У2 ,У3 ^4} , где {У2 ,У3-У4} = & {У2 -У3-У4}.
Используя Г О (1 , 2 ) - инвариантность d - многочлена Р ^ ,х2 ,х3 ,х4) , согласно (12), получим, что
т
IГ, (*,)
*=1 -ф5 С*^^^ = р (х1 ,х2 ,х3 ,х4) = р (д{ х 1 ,х2 ,х3 ,х4}) =
т т
= Р (>1 ,У2-У3-У4) = 1 " ( 1) - фх (У2 -У3 ' У4) = 1 * ( 1) - фХ №2 -х3 ,х4}) (13) Поскольку равенство (13) верно для любых значений , то
при каждом . Следовательно,
для всех .
Согласно теореме 1, d - многочлены фх (х2 ,х3 ,х4) , 5 = 1 ,. . выражаются через многочлены (6), (7), (8) с помощью конечного числа операций d - поля
Д < х2,х3 ,х4 > 0 ( 1 2 Д < х1,х2,х3 ,х4 > Г 0 ( 1 2 ).
Поэтому из равенств (12) следует, что d - многочлен р ^ ,х2 ,х3 ,х4) 6 Д < х1,х2 ,х3 ,х4 > Г0 ( 1,2 ) выражается через многочлены (6), (7), (8), и (9) с помощью конечного числа операций d - поля Д<х1,х2 ,х3 ,х4 > Г 0 ( 1 2 ). Это означает, что система (6), (7), (8), (9) есть конечный d - рациональный базис в d - поле Д <
х1 ,х2,х3 ,х4 > Г0 ( 12
Рассмотрим произвольный путь х ( £) = {х; ( £) } 4= 1; £ 6 ( 0 , 1 ) в псевдогалилевы пространстве Г4. Будем говорить, что путь х ( £) является регулярными, если
(Х2 Х2 Х2 \
х3 х; х3 I ^ 0 при всех £ 6 ( 0 , 1 ) .
Х4 Х4 Х4 /
Предположим, что и два регулярных пути, и пусть существует такое д = (д у) 6 Г О ( 1 , 2 ) , что у ( £) = д х ( £) , £ 6 ( 0 , 1 ) . Так как д 11 = ± 1 , д = 0 для всех и , то
д{ х 1 ( £) ,0 , 0 , 0 } = { ± х1 ( £) ,0 , 0 , 0 } ,
5{0,х2(О,Х3(О,Х4(О} = {0,г2(с),г3(с),г4(с)}.
Поэтому
у (0 = {у1(0,у2(0,уз(0,у4(0} = 5{х1(0,х2(0,х3(0,х4(0} = 5{±х1(0,о,о,о} + +5{О,х2(0,Х3(0,Х4(0} = {х^О, 0,0,0} + {0,22(О,23(О,24(О} =
{х1 ( £) ^2( £) , ^3 ( £) ,24 ( £) } ,
в частности,
У1 ( О = ± х1 ( £) ■ (14)
Кроме того, из включения , в силу теоремы 2, следуют равенства
М " 1 (х (£) ) М ' (х (£) ) = М " 1 (у (£) ) - М ' (у (£) ) (15)
и
М т (х ( £) ) / М (х ( £) ) = М т (у ( £) ) - /М (у ( £) ) (16) /х2(0 х2(0 х2(0\
для всех , где .
\х4(о х4(о х;со/
Следующая теорема является вариантом теоремы 2 для групп Г .
Теорема 5 Два регулярных пути х ( £) и у ( £) является Г О ( 1 , 2 ) - эквивалентными тогда и только тогда, когда выполнены равенства (14), (15), (16).
Доказательство. Пусть путь и Г - эквивалентны, т.е. существует
такое Г , что для всех . Как было
показано перед формулировкой теоремы 5, условия (14), (15), (16) автоматически выполняются.
Пусть теперь выполнены условия (14), (15), (16). Из теоремы 2 и условий (15), (16) вытекает существование такого
/522 923 924\
н =1 д3 2 д3 3 д3 4 I 6 о ( 1 ,2 ) ,
4542 043 944/
для которого .
Если
(± 1 0 0 0
0
g 22 g32 g42
0
g 23 g33 g 43
0
g 24 g34 g 44 У
(tfy) U=i = 3 = то 5 6 GL(4, Д) , g^ = Uv g Vl = (gy) fJ=2 6 О (1 , 2 ) . Это означает, что g 6 Г О (1 , 2 ) , при этом, согласно (14),
(± 1 0 0 0 1 ( Xi(t) Л
0 g 22 g23 g 24 X2 (t)
0 g32 g33 g34 X3(t)
l0 g 42 g43 g 44 У v X4(t) у
1 (± *i(') 1 У 2 (t)
У3(^ ) _ l У4 (t)
(± yi(t) 1
У 2 (t) y3(t) У4 (t)
5({x1(t),x2(t),x3(t),x4(t)}) = ' ± X1(t)
S 22x2 (t) + S 33X3(t) + S 42 X4(t) S 32X2 (t) + S33X3(t) + S43X4 (t) _ lS42X2 (t) + S43X3 (t) + S44X4 (t),
для всех t 6 (0, 1 ) .
Непосредственно из теорем 3 и 5 вытекают следующие необходимые и достаточные условия для Г О ( 1 , 2 ) - эквивалентности регулярных путей.
Теорема 6. Регулярные пути х ( t) и у ( t) являются Г О ( 1 , 2 ) - эквивалентными, в том и только в том случае, когда выполнены условие (14) и равенства
(х2(0)2 - (х3(0)2 - (х4(0)2 = (у2(0)2 - (у3 (О)2 - (у4(0)2-
(х2( t) ) 2 - (хз (t) ) 2 - ( х4 ( t) ) 2 = (у2( t) ) 2 - (уз (t) ) 2 - (у4 ( t) ) 2 (17)
(х2(о)2 - (^(о)2 - (*;со)2 = (уКо)2 - (уз(о)2 - (у;со)2
для всех .
Список литературы /References
1. Муминов К.К., Гаффоров Р.А. Эквивалентнтность путей относительно действия специальной псевдоортогональной группы // Узбекский математический журнал, 2010. № 4. С. 135-141.
2. Муминов К.К., Гаффоров Р.А. Образуюшие диффернциального поля инвариантных рациональных функций конечного числа путей относительно действия специальной псевдоортогональной группы // ДАН РУз, 2011. № 4. С. 12-13.
3. РозенфельдБ.А. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969. 548 с.
4. Капланский И. Введение в дифференциальную алгебру. М.: ИЛ, 1959. 86.
5. Муминов К.К., Чилин В.И. Эквивалентность кривых в конечномерных векторных пространствах. LAP LAMBEPT Academic Publishing. Германия, 2015. 122 с.
6. Муминов К.К., Гаффоров Р.А. Эквивалентность путей относительно движений в псевдоевклидовом пространстве // Uzbek Mathematical journal, 2011. № 4. Р. 142-149.
7. Хаджиев Дж. Приложение теории инвариантов к дифференциальной геометрии кривых. Ташкент: ФАН, 1998. 136 с.
