CC BY
0АЛГЕБРАИК СТРУКТУРА КЕНГАЙТМАСИ. АЛГЕБРАИК СТРУКТУРАЛАРНИ ГОМОМОРФИЗМИ ВА ИЗОМОРФИЗМИ
*Таджиматова Хосиятхон Ботиржон кизи, 2Анварова Сайёрахон Акмалжон кизи,
2Хошимова Дилфузахон Рафикжон кизи
^укон давлат педагогика институти укитувчиси, 2^укон давлат педагогика институти
талабаси
ORCID: 0009-0000-4127-8226
https://doi.org/10.5281/zenodo.13895005 Аннотация. Агар бирор G тупламда бир ёки бир неча амаллар аницланган булса, G тупламни бу алгебраик амал(лар) билан биргаликда алгебра структура (тизим) дейилади. Демак, группа, %алца, жисм, майдон, чизицли фазо, алгебра тушунчалар алгебраик структураларнинг %ар хил куринишларидир. Калит суз: группа, %алца, жисм, майдон, чизицли фазо, алгебра.
КИРИШ.
Агар G c G алгебраик структура ташкил этса, у холда G ни G нинг кисм структураси, ёки G структура Gx нинг кенгайтмаси хам деб номланади.
Масалан, Z ва R тупламлар оддий кушиш амалига нисбатан группалар булиб, Zc R муносабат хам уринли, яъни Z группа R группанинг кисм группасидир, уз навбатида R эса Z группанинг кенгайтмаси хам деб номланади. Худди шунингдек, Z ва R тупламлар оддий кушиш ва купайтириш амалларига нисбатан халка ташкил этиб, Z халка R халканинг кисм халкаси, ёки R хдлка Z халканинг кенгайтмасини ташкил этади.
АДАБИЁТЛАР ТАХЛИЛИ:
XIX асрнинг урталаридан бошлаб, алгебрада ихтиёрий алгебраик амалларни урганиш масалалари пайдо булди. XX асрнинг бошларида Д. Гильберт, Э. Штейниц, Э. Артин ва Э. Нетер каби математиклар асарлари таъсирида ихтиёрий алгебраик амаллар билан биргаликда алгебра структураларни урганиш алгебранинг асосий масаласига айланди ва хозир хам шундай булиб колмокда.
Алгебранинг хозирги замон математикасидаги адамияти нихоятда катта. Умуман, хозирги замон математикаси куп булимларининг "алгебраиклашиши" кучайиб бормокда. Математика бошка булимлари масалаларининг алгебра тилига утказилиши, уларни ечиш учун нихоятда унумли булган формал алгебраик хисоблашларни татбик килишга имкон беради.
ТАХЛИЛЛАР ВА НАТИЖАЛАР.
Агар G туплам * амалига нисбатан, Gx эса ° амалига нисбатан группа ташкил этиб, G группани Gx группага утказувчи p: G ^ G акслантириш учун p(a * b) = р(а) ° p(b)тенглик G группанинг ихтиёрий а,Ь элементлари учун уринли булса, у холда p акслантиришни гомоморф акслантириш ёки гомоморфизм дейилади. Бунда
p(G) = {х eGj | 3a е G, p(a) = х }
тупламни G группанинг гомоморф тасвири (образи) дейилади.
Узаро бир кийматли булган р: G ^ Gx гомоморф акслантиришни эса изоморф акслантириш дейилади. Бу холда G ва G i группаларни изоморф группалар дейилади.
К ва Ki тупламлар хдлка ташкил этган х,олда р: K ^ Kx акслантириш учун
р(а + b) = р(а) + p(b)~\ ва р(а ■ b) = р(а) -р(Ъ) J (2)
(3)
шартлар бажарилса, р акслантиришни гомоморф акслантириш дейилади. (2)
тенгликни чап томонидаги + ва ■ К хдлкадаги, унг томонидаги + ва ■ амаллари эса Ki хдлкадаги амаллар эканлигига ахдмият бериш керак.
Чизикли фазо ва алгебраларнинг гомоморфизми ва изоморфизмлари х,ам, юкоридаги таърифлардагидек тегишли узгартириш киритиш оркали аникланади.
Масалан р: L ^ Lx - акслантириш L ва Lx чизикли фазолар уртасидаги гомоморфизм булиш учун
р(х + у) = р( х) + р(у)\ р(Лх) = Лр х) \
шартларни каноатлантириши керак. р: Л ^ Lx акслантириш Р майдон устида берилган алгебралар уртасидаги изоморф акслантириш учун
Р(х + У) = Р( х) + р(у)
р(Л ■ х) = Лр(х) >• (4) шартлар бажарилиши керак. Р(х ■ У) = Р(х) ■р(У)
Бу ерда х,ам (3) ва (4) тенгликларнинг чап томонидаги + ва ' ва л скалярга купайтириш амаллари L тупламдаги, унг томонидаги + ва ' амаллари эса L даги амаллардир.
Мисоллар.
1 Z -бутун сонлар туплами ва М2 (Z) -иккинчи тартибли бутун элементли барча матрицалар туплами оддий кушиш ва купайтириш амалларига нисбатан хдлка ташкил этади. Z хдлка М2 (Z) халканинг кенгайтмасини буладими?
гк 0
Ечиш: Z тупламдан олинган хар кандай к бутун сон оркали хосил килинган
0 0
куринишдаги матрица М2 (Z) хдлкага тегишли. Агар шартли равишда к =
кабул килсак, Z с М2 (z) муносабат бажарилади ва
гк + n 0Л
а 0Л
0 0
деб
к +n =
\
00
к ■n =
(к ■ n 0 ^
0 0
у
тенгликлар бажарилади, яъни к сон билан унинг бошка куриниши булган
0
у
матрица бир хил хусусиятларга эга булади. Демак, М2 (Z) халка Z халканинг кенгайтмаси
булади. Ундан ташкари, M2(z) да Z га тегишли булмаган,
'к 0 v0 0у
куринишда булмаган
элементлар хам мавжуд, яъни Z Ф M2 (z)
2 R хакикий сонлар туплами оддий кушиш амалига нисбатан, О дан фаркли барча хакикий сонлар туплами эса купайтириш амалига нисбатан группа ташкил этади. Агар p: R ^ R акслантиришни p(x) = 3 х тенглик билан аникласак, а) p акслантриш гомоморф буладими? в) p акслантриш изоморф буладими? в) p (R)-гомоморф тасвирини куринг.
Ечиш. а) p(x + y) = 3х+y = 3х • 3y = p(x) -p(y) Демак p гомоморф акслантириш булади.
в) Агар х Ф y бажарилса p(х) Ф p(y) хам бажарилади. Лекин p акслантириш узаро бир кийматли булмайди, чунки R группадаги манфий элементларга p акслантириш ёрдами утадиган хакикий сон мавжуд эмас. Демак, p -изоморфизм булмайди.
с) p: R ^ R -гомоморф акслантириш тасвирини курамиз. y(х) = 33 тенгликдан 3х > 0 эканлиги келиб чикади. Демак, p: R ^ R+ -барча мусбат сонлар тупламидан иборат булиши мумкин. Охирги хулосани исботлаш учун хар кандай а е R+ мусбат сонга p акслантириш ёрдамида утадиган R группанинг элементи мавжудлигини курсатиш етарли. Бунинг учун 3х = а тенгламани х га нисбатан ечиш керак.
Демак, х = log3 а е R булиб, p(х) = а тенглик бажарилади. Шунинг учун, p(R) = R+ тенглик уринли.
АДАБИЁТЛАР:
1. Назаров Р.Н.,Тошпулатов Б.Т., Дусумбетов А.Д. Алгебра ва сонлар назарияси.Т., Укитувчи. I - кисм, 1993 й., II - кисм, 1995 й. (укув кулланма).
2. Hojiev J.X. Faynleyb A.S. Algebra va sonlar nazariyasi kursi, Toshkent, «O'zbekiston», 2001y.
3. Sh.A.Ayupov, B.A.Omirov, A.X.Xudoyberdiyev, F.H.Haydarov, Algebra va sonlar nazariyasi, Toshkent "Tafakkur bo'stoni" 2019, 295 b. (o'quv qo'llanma)
4. D.S.Malik, John N.Mordeson, M.K.Sen, Fundamentals of Abstract Algebra, 1997, P. 636.
5. Булажак укитувчининг умуммаданий компетенциясини ривожлантириш жараёнининг назарий модели. Таджиматова Х,осиятхон Ботиржон кизи.2023у
6. АЛГЕБРАИК СТРУКТУРАЛАР ВА УЛАРНИНГ РАНГИ ХАСИДА.
7. Таджиматова X.B, Мухиддинова У. B. https://j ournals.researchp arks.org/index.php/IJIE
