Звуковой удар от самолета при полете в спокойной атмосфере Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Том IV

19 7 3

№ 2

УДК 534.83 : 629.735.33

ЗВУКОВОЙ удар от самолета ПРИ ПОЛЕТЕ В СПОКОЙНОЙ АТМОСФЕРЕ

Ю. Л. Жилин

Рассматривается случай полета самолета по произвольной траектории в атмосфере с переменными температурой и давлением при отсутствии ветра. Показано, что коэффициенты затухания возмущений от самолета при заданном состоянии атмосферы зависят только от четырех параметров подобия, характеризующих режим полета и положение наблюдателя, воспринимающего звуковой удар, относительно трассы полета. Приведены результаты систематических расчетов для стандартной атмосферы, и показано, что в широком диапазоне изменения параметров подобия влияние двух из них можно с большой точностью выделить в явном виде.

Исследование звукового удара существенно упрощается в случае полета самолета в спокойной атмосфере, в которой скорость ветра равна нулю, а температура и давление являются непрерывными функциями от высоты над поверхностью земли у. В этом случае траектория каждого луча лежит в соответствующей вертикальной ПЛОСКОСТИ, проходящей через вектор «о (я — единичный вектор внешней нормали к поверхности фронта, индекс „0“ здесь и в дальнейшем обозначает параметры на высоте полета К). Поэтому при заданном распределении скорости звука в атмосфере и заданной высоте полета каждая траектория зависит только от одного параметра подобия — величины «о у, или эффективного числа М, равного

Здесь ^ — угол Маха, <« — угол наклона траектории полета самолета («)>0 при наборе высоты), 0 — угол между двумя плоскостями, проходящими через вектор скорости самолета, одна из которых

вертикальна, а другая проходит через вектор п0. При горизонтальном полете самолета эффективное число М совпадает с числом М

(1)

где

п0у = єіп р. эт со — соэ [і сое ш сое 6.

(2)

полета в плоскости б — 0, т, е. для характеристического луча, траектория которого лежит в вертикальной плоскости, проходящей через вектор скорости самолета. Отсюда следует, что эффективное число М равно действительному числу М горизонтального полета

некоторого самолета, у которого в плоскости б = 0 вектор га0имеет такой же наклон к линии горизонта, как и в рассматриваемом случае. В нижней полусфере под самолетом при ш<0 число Мэф больше, а при меньше числаМ полета; при увеличении угла 9

эффективное число М также уменьшается. h:,, :

В спокойной атмосфере изменение по высоте составляющих

вектора п описывается уравнениями

n'ly) - a-{y)-7i n%(vу—1—дЧу>'

«ш- а, «о. 1

где п' — проекция вектора п на горизонтальную плоскость, а знак пу совпадает со знаком и0у, если луч не отразился от неоднородностей атмосферы. Составляющие вектора «о:

п,й х = sin fi cos си + cos sin (о cosrB, n0z = cos f* sin 6,

где ось x_ направлена вдоль проекции скорости самолета на горизонтальную плоскость. . . : У,

В слое атмосферы между высотами у и h отражения луча не происходит при условии 1 ■1 "

Мэф МЭф min = <?шахМо> I 1 (^)

где атах — максимальная скорость звука в рассматриваемом слое атмосферы. При помощи соотношений (1)—(3) можно для заданного распределения скорости звука в атмосфере и заданного режима полета самолета вычислить угол бшах, определяющий ширину зоны на поверхности земли, подвергающейся воздействию звукового удара. : ; г ; :

В случае спокойной атмосферы уравнения луча записываются

в виде Дг (у) = —■It ( V) и Д| — Г, (у), где Дг (у) — проекция траек-

. . «О • ■ ■ ■ • - - у . •

тории луча на плоскость _у = О, Д£ — время распространения луча с высоты h до высоты у.

" Интегралы Ii{y) и 1[(у), а также необходимый в дальнейшем интеграл 12(у) выражаются следующим образом:

(4)

h у h у h у

Эти интегралы всегда положительны как в нижней, так и в верхней полусферах и при заданном распределении скорости звука в атмосфере зависят только от у, h и числа Мэф.

Приведенные выше соотношения полностью описывают траектории характеристических лучей в спокойной атмосфере и позволяют решать различные задачи по определению зон, подвергающихся воздействию звукового удара. В частности, ширину этой зоны можно вычислить при помощи соотношений

д;<0)=*,|.,,т„ыт, ' <5)

где компоненты вектора по при заданном режиме полета вычисляются при 6 = 0шах, функция Д 1(Н) зависит только от распределения скорости звука в атмосфере и высоты полета. Уравнения (5) позволяют вычислить координаты крайних точек линии пересечения с поверхностью земли элементарного обратного конуса Маха, выпущенного с траектории полета самолета в некоторый момент времени.

На фиг. 1 приведен график функции Д 1{И) для стандартной атмосферы. Из этого графика следует, что если при трасса полета сверхзвукового самолета проходит на расстоянии

примерно 73 км от некоторого населенного пункта, то этот пункт не подвергается воздействию звукового удара при любом режиме полета. Это расстояние может быть существенно уменьшено, если ограничиться каким-либо конкретным диапазоном режимов полета.

Отметим, что вычисление интегралов(4) сводится к элементарным функциям в случае, когда температура атмосферы является непрерывной кусочно-линейной функцией от высоты над поверхностью земли (например, в случае стандартной атмосферы). Пусть в некотором слое атмосферы скорость звука равна

а2=ао*(1 + е*.У)»

где а0к и ей— постоянны для рассматриваемого слоя. Тогда

Нк 30Мэф <Р*+1 — п + ^ ?А+1 - *1п п '

Лй+1

эф

Д/Р:

ЛА+1 **«

°0 )

?*+■1 — Тд ека1к

2

•2с§1

?* + !

(6)

где <рй = 2 агсвШ пу (Лй). Интегралы (4) можно вычислить при помощи формул (6), суммируя соответствующие соотношения по всем слоям атмосферы между у и /г (при этом под у и /г нужно понимать соответственно нижнюю или верхнюю границу первого или последнего слоя).

Из результатов работы [1] следует, что зависимость избыточного давления р от времени t при звуковом ударе определяется уравнениями

х > (^2 + ^1X^2 — *11) = 2 Г /ч*),

1)2 — Я

’11

(7)

где безразмерная функция пропорциональная функции Уитхэ-ма [2], равна

= А ф (-)( ф = |_^=- йх.

о

Здесь т) и л: — расстояние от носка эквивалентного тела вращения вдоль его оси, отнесенное к характерной длине самолета I; 5 — площадь поперечного сечения эквивалентного тела вращения для данной азимутальной плоскости (меняющейся от луча к лучу),

отнесенная к характерной площади 50 = —, где ^ — М2—1,

У — полная подъемная сила, <7—скоростной напор. В формулах (7) коэффициенты А, ^1 и &2, зависящие только от состояния атмосферы и режима полета, характеризуют затухание возмущений от самолета. В случае спокойной атмосферы эти коэффициенты для падающих на поверхность земли возмущений можно вычислить при помощи следующих формул [1]:

А, =

М1/2

«00 РОО ( Рэф + °2)

1/2 _________________________________

7~уТ ’ = М«о ’ ^эф =^МэФ '

: М3/2

2ро Мэф Рэф I иооу 0 7) К (0).

*+1 ^2ф+а2 V'2 У к,л „ ,/гГ Чу

2пУ~2 ^ ^(^оРоМэф рэф ) 12 уI ' ^ ^ а° фпуУар\Пу!(у) I ’

Л

I (\,\ Л. гт2 1 /«Л Т( 1Л V I — у /1-(-У) ^ ^') 1 (°)

Г (У) = (1 - о*) Л (У) + а* /2 (.у), /О) = 1Чу)-1

/1 (0) /2 (0)

(8)

где х — отношение удельных теплоемкостей, р — плотность; индексом „00“ обозначены соответствующие параметры на поверхности земли. В формулах (8) безразмерные параметры о и 7 равны

Рэф С032 ш БШ2 0

сов2 <0 БШ2 I

- ________Рэф {§2 И- Л (0) Ь (0)_/-*-*• д0 бш2 ц> Мэф йщ\ ,д>

^М2ф/'(0)(1 — совЗов^б) \^Л° ~~ Рэф81п*(* аь)>

где g — ускорение самолета. Параметр а, так же как и эффективное число М, зависит от числа М полета самолета и углов ш и 6.

Безразмерный параметр характеризует влияние ускорения самолета и градиента температуры воздуха на траектории полета самолета. При приведении этого параметра к безразмерному виду в качестве характерной была взята величина к0, введенная в работе [1]. При к поверхности земли приходит луч, коснувшийся

каустики на некоторой высоте над поверхностью земли (фокусировка возмущений над поверхностью земли); при 7 = 1 фокусировка возмущений возникает на поверхности земли.

Из уравнений (7) при некоторых предположениях относительно функции Р (т\) следует, что при £ оо устанавливается асимптотическая картина возмущенного движения — Ы-образная волна. Параметры Ы-образной волны можно найти из формул

(10)

где Др — перепад давления в падающей на поверхность земли Ы-образной волне, Д£—ее полупериод, Ф0 — абсолютный максимум функций Ф (т]),

2 ГП1/2

= к

к у ) —М1/4

2к VI ^/2

У

аоо Роо

а о

М1/4

ао (РЭф+ °2)

1/2

'Іф+о*

Ро рэф _ 1/2

ао Ро Мэф рэф

(11)

В спокойной атмосфере нет преимущественного горизонтального направления, поэтому уменьшается на единицу число параметров подобия по сравнению со случаем слоистой атмосферы с горизонтальным ветром. Из уравнений (8) и (11) видно, что при заданном состоянии атмосферы величины /г1/М1/2, А/М3/2, 1гр М1/4 и к1 М1'4 зависят только от четырех параметров подобия: /г, Мэф, 7 и а, характеризующих режим полета самолета и положение наблюдателя, воспринимающего звуковой удар, относительно трассы полета.

Рассмотрим более простые модели атмосферы.

В спокойной изотермической атмосфере с переменной плотностью вектор п=п0 и траектории лучей являются прямыми линиями. В этом случае интегралы (4)

/, (у) = а, Ну), /; (У)=^, и = ^р^Пу),

Рэф

где /(у) = 1р^-|А—у | — длина луча. При этом параметр 7 (9)

Рэф

7 = ^4*(0), (12)

ао Р

Из этой формулы следует, что при одинаковом значении скалярного произведения (£•«о) влияние ускорения самолета увеличивается при уменьшении чисел М И Мэф и увеличении высоты полета.

В случае изотермической атмосферы коэффициенты затухания (8) и (11) выражаются следующим образом:

М роо

1/2

(0) I 1 - 7 I J

2 У 2

iyi

k =

У.+ 1 м3/2 I ]4 (°) I 1/1 (0) У

27г/2 а!

Ро /2 у i ’

ао Роо

*(»+i) Ум Pol (1 -- 7) /4 (°) I г3,2(0).

1/2

1 al Lit У 2

1/2

(13)

где

/4 (у) = J

[р I (Л — .у) (ft - | Л —_v j 7) |]1/2

Из формул (13) видно, что в случае спокойной изотермической атмосферы параметр о выпадает из числа параметров подобия. Это объясняется тем, что в такой атмосфере поверхность фронта обладает осевой симметрией относительно вектора скорости самолета. При этом эффективное число М не входит непосредственно в формулы (13): влияние числа Мэф(т. е. углов ш и 6 в комбинации с числом М) сказывается через длину луча /(0).

Формулы (13) для случая однородной атмосферы можно привести к виду

м

2| 1-7|/(0)

1/2

iVi

»+1м” 2L vm г

к=

У 2 Ро «о

пУ 2 На\ У Г.

/|7'

vyi '

1

kt=

я(*+ i)V”M 11 - 71i\ (7)

(*+1)УТ -4(7)

VI (0)"

/3/2 (0) 1/2

1/2

(14)

7ip0 Уж уп\

" ~ л/---“ —

В этих формулах величина /4(7) равна arsh г —7 при 7<0,

arcsln V7 при0<7<1 и + arch при 7>-1. Соотношения

(14) находятся в полном соответствии с результатами работ [2J и [3].

Приведем результаты расчетов на ЭВМ коэффициентов kp и kt для стандартной атмосферы*. В формулы (11) для этих коэффициентов входит зависящий от всех четырех параметров подобия интеграл /4, который в случае стандартной атмосферы не выражается через элементарные функции и должен быть найден численно. Поэтому есть практический смысл в получении различных приближенных универсальных зависимостей коэффициентов затухания от параметров подобия.

На фиг. 2 и 3 для случая а = 7 = 0 приведена зависимость от высоты полета h и числа Мэф перепада давления Д/?М1/4 и полупе-

* В случае стандартной атмосферы интегралы и /2 можно вычислить при ПОМОЩИ соотношений (6). Поэтому вычисление коэффициентов и 62 (8) не вызывает никаких затруднений. Коэффициент k можно вычислить по формуле

/fe2 М2 Д2 V

k=—-------2.—1__., если известно значение коэффициента kt (коэффициент kt

2 nyi

также можно выразить через kp и kt).

рибда- Д£М1/4 для падающей на поверхность земли Ы-образной волны от некоторого условного самолета. При расчете этих параметров по формулам (10) для условного самолета было принято У = 10тс, 1=\0м и Ф0=1- Как видно из фиг. 3, полупериод Ы-образной волны слабо зависит от числа Мэф и в основном определяется высотой полета. Приведенные данные характеризуют зависимость коэффициентов и й* от Н и Мэф и могут быть очевидным образом пересчитаны для самолета другой размерности.

На фиг. 4 для случая о = 0 показано влияние параметра ч

(числитель и знаменатель в каждой формуле вычисляются при одинаковых значениях /г и Мэф).

Пунктирные линии на фиг. 4 соответствуют однородной атмосфере, заштрихованные области — различным режимам полета самолета в стандартной атмосфере. Расчеты были проведены в

следующем диапазоне изменения параметров подобия: 5 кж</г< <30л:л4; 1,2<Мэф<3,2; — 0,8 <.7 <0,8. Из приведенных на фиг. 4 данных вытекает, что зависимость относительных коэффициентов кр и к{ от параметра подобия 7 является универсальной и близкой к соответствующей зависимости для однородной атмосферы, что объясняется удачным выбором величины 70 — характерного значения параметра 7 [1]. Отсюда следует, что при прочих равных условиях относительное влияние ускорения самолета на коэффициенты кр и к{ в стандартной атмосфере можно с большой точностью учесть при помощи формул (14) для однородной атмосферы, в которых под параметром 7 нужно понимать параметр подобия (9) для _ неоднородной атмосферы. При этом для малых значений 17 [ с большой ТОЧНОСТЬЮ МОЖНО Принять ^ ~ (1 — Т)_1/20 — е) и 1 + е. где е = 7/12. Для сравнения на фиг. 5, взятой из работы [4], показано влияние на амплитуду Ы-образной волны тангенциальной перегрузки самолета gx при горизонтальном полете на высоте А =15 км в зависимости от числа М полета. _

Из фиг. 4 следует также, что влияние параметра 7 на коэффициенты /г(н к(к~ $} незначительно и для рассчитанного диапазона изменения параметров не превышает соответственно 11 и 24%. Это обстоятельство позволяет сделать вывод о том, что при прочих равных условиях эпюра избыточного давления при звуковом

ударе деформируется главным образом вдоль оси давления, если при полете самолета с ускорением остается неизменной подъемная сила. В противном случае деформация эпюры избыточного давления связана не только с изменением коэффициентов затухания, но и с деформацией эквивалентного тела вращения.

На фиг. 6 для случая 7 = 0 представлен диапазон влияния параметра а на относительные коэффициенты

Г _(^м1/у0 н Т' (**м1/Уо

р (^М’/\=0 * (kt м1/4)з_0 •

Заштрихованные области соответствуют указанному выше диапазону

высот полета и чисел Мэф. Как видно из фиг. 6, влияние параметра а на коэффициент kt незначительно и не превышает 4% при з=1, а влияние на коэффициент kp более существенно. Независимость коэффициента kt от параметра о позволяет получить хорошую количественную оценку влияния этого параметра на интеграл /4(0), из которой следует:

~k ~\[ ^эф °___________^___________ П5\

P~V Йф (1-°2)А(0) + ^/2(0) •

Здесь подкоренное выражение равно единице при а = 0. Эта формула справедлива в такой же степени, в какой коэффициент kt не

зависит от параметра а.

Отмеченные выше особенности влияния параметров у и о объясняются тем, что для нижней полусферы под самолетом подынтегральное выражение для /4 быстро падает с уменьшением у благодаря увеличению плотности атмосферы и величины 1'(у). Поэтому при небольших значениях | к | интеграл /4 слабо зависит от этого параметра *, а влияние параметра а поддается хорошей приближенной оценке, результат которой выражается формулой (15).

Так как стандартная атмосфера близка к изотермической, то при помощи соотношений (13) и (14) можно получить различные приближенные формулы, учитывающие влияние параметров h и МЭф. Однако такие формулы, как правило, приводят к существенным погрешностям расчета при больших высотах полета и малых значениях числа Мэф (см., например, работы [4] и [5]).

* Это означает, что влияние параметра f в приближении геометрической

акустики и в теории звукового удара примерно одинаково при малых значениях | y |.

Приведенные выше результаты позволяют проводить расчеты звукового удара при полете самолета по произвольной траектории в Широком диапазоне режимов.

Отметим, что в настоящей работе при приведении площади поперечного сечения эквивалентного тела вращения к безразмерному виду в качестве характерной была взята величина-у-. Если

в качестве характерной площади взять площадь миделя самолета S0, то во всех приведенных выше формулах величину Y нужно „ 5П а

положить равной .

ЛИТЕРАТУРА

1. Жилин Ю. Л. О звуковом ударе. „Ученые записки ЦАГИ\ т. II, № 3, 1971.

2. W h 11 h a m Q. В. The behavior of supersonic flow past a body

of revolution, far from the axis. Proc. Roy. Soc., ser. A., vol. 201,

No 1064, 1950.

3. Pao P. S. Supersonic bangs. Aeron. Quart, vol. 7, pt. 1 and 2,

1956.

4. Жилин Ю. Л. Влияние компоновки самолета, режима его полета и состояния атмосферы на интенсивность звукового удара. Труды ЦАГИ, вып. 1094, 1967.

5. Kane Е. I. Some effects of the nonuniform atmosphere on the

propagation of sonic booms. Journ. Acoust. Soc. Am, vol. 39, № 5, 1966.

Рукопись поступила 4jVIIl 1971 г.