Некоторые особенности распространения звукового удара в неоднородной атмосфере Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

______ 197 5

№ 4

УДК 534.83:629.735.33

НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКОВОГО УДАРА В НЕОДНОРОДНОЙ АТМОСФЕРЕ

Ю. Л. Жилин

Сформулированы условия, при которых зона на поверхности земли, подвергающаяся воздействию звукового удара при установившемся полете самолета, может быть ограничена, многосвязна или не-ограничена, а ее отдельные участки могут подвергаться неоднократным звуковым ударам. Показано, что при исследовании геометрии зоны необходимо учитывать слой атмосферы толщиной порядка не менее 2 — 3 высот полета самолета. Показано также, что задача об определении поперечных размеров зоны в приближении геометрической акустики в общем случае является некорректной, так как незначительные изменения в распределении параметров атмосферы могут привести к существенному изменению ширины зоны.

При распространении звука в неоднородной атмосфере происходит значительное искривление траекторий лучей и их отражение от некоторых слоев атмосферы. Это обстоятельство объясняет ряд интересных акустических явлений, наблюдавшихся при различных взрывах, артиллерийской стрельбе и извержениях вулканов [1, 2]. При экспериментальных исследованиях распространения звука от этих источников систематически отмечались случаи, когда зона слышимости оказывалась многосвязной (т. е. зоны слышимости чередовались с зонами молчания), а на ее отдельных участках звук воспринимался неоднократно. Наблюдались также случаи, когда лри артиллерийских обстрелах звук распространялся на большие расстояния, измеряемые сотнями километров (при обстреле Антверпена в 1914 г. канонада была слышна в Тироле на расстоянии около 700 км).

Эти явления получили теоретическое объяснение в работе [1], в которой было подробно изучено распространение лучей в неоднородной атмосфере. В настоящей работе эта теория применяется к исследованию распространения звукового удара в неоднородной атмосфере в целом и показывается, что при звуковом ударе могут иметь место явления, совершенно аналогичные указанным выше.

1. Рассмотрим случай установившегося полета самолета в слоистой атмосфере с горизонтальным ветром. Введем декартову •систему координат, связанную с поверхностью земли. Ось у направим вертикально вверх, а ось х — вдоль проекции на горизонтальную плоскость вектора скорости самолета V относительно частиц

воздуха. Будем считать, что температура воздуха в атмосфере и скорость ветра являются непрерывными функциями от высоты, а соответствующие производные от этих параметров кусочно-непрерывны. В этом случае [1] вектор единичной внешней нормали it к поверхности фронта вдоль траектории фиксированного луча остается все время параллельным вертикальной плоскости S(v), проходящей через вектор «0; здесь V — угол между осью л: и плоскостью S(v) (фиг. 1; индекс „0“ относится к значениям соответствующих параметров на высоте полета самолета h). При этом изменение по высоте составляющих вектора п можно определить из следующих уравнений [3]

«2 = 1—ге'2; » = —«„; а* = а0 — {v — v0)n'o, (1)

Я*

где а и v — скорость звука и скорость ветра, п'—проекция вектора я на горизонтальную плоскость. Обозначим через 8 угол наклона вектора п к горизонту ^--------

Тогда [1]

пх = cos v cos 8, ray = sin§, пг = sin v cos S.

Так как вектор ti0 нормален элементарному конусу Маха, ось

которого совпадает с вектором V, то диапазон изменения углов v и 80 ограничен. При горизонтальном полете самолета

-(f и

где 1* — угол Маха.

Изменение угла 8 по высоте описывается следующим уравнением [1]:

cos 8 =------^^2------, (2)

a0 — (v — v0) cos 80

V ‘nQ

эквивалентным первому из уравнений (1). Здесь v = ——=^cosv-[-

I «о I

+ vz sin v — проекция скорости ветра на плоскость S(y).

Так как при горизонтальном полете самолета

cosvcos80 = sin[i, (3)

то уравнение (2) можно еще записать в виде

cos 8 =---------------, (4)

V cos v — v + v0

где V=\V\.

Пусть в некоторый момент времени самолет находится над началом координат; качественно исследуем траектории лучей, которые начинаются в этот момент времени на траектории полета самолета. Если состояние атмосферы и режим полета самолета заданы, то траектория каждого луча зависит только от одного параметра— угла v; при этом для каждого значения угла v от траектории полета отходят два луча, один из которых (80<0) направлен вниз,

а другой (80 > 0) направлен вверх. Уравнения траекторий лучей запишем в виде

Г vx + a с( а s*

cos ч cos i sin б

dy\

Г vz + a sir .) a si:

sin Ь

dy;

(5)

здесь угол 8 и дифференциал йу всегда имеют одинаковый знак, так как

-^- = азтЗ, (6)

где S — время распространения луча в атмосфере.

Из уравнения (2) следует, что вдоль траектории луча должно выполняться условие

а(у)=—---------->cos80, (7)

ао + ^ — %

где -r\ — a-\~v— функция состояния атмосферы [1], зависящая от распределения в атмосфере скорости звука, скорости ветра и угла V. _

Заметим, что функция а (у) зависит не от абсолютных значений скорости звука и скорости ветра, а от относительного изменения в атмосфере функции состояния. Поэтому даже незначительная неоднородность атмосферы оказывает существенное влияние на распространение лучей [1—2]-Физический смысл условия (7> заключается в том, что луч проникает только в те слои атмосферы, для которых начальный угол

наклона вектора п удовлетворяет этому условию для всех промежуточных слоев и, наоборот, не проникает в те слои, в которых: нарушается условие (7). В последнем случае происходит отражение-луча при его приближении к соответствующим слоям атмосферы. При отражении луча в подынтегральных выражениях уравнений (5) появляется особенность, которая может оказаться неинтегрируе-мой. Это может соответствовать безграничному увеличению ширины зоны на поверхности земли, подвергающейся звуковому удару. Отражающие слои атмосферы определяют качественную картину возможных траекторий лучей в неоднородной атмосфере.

' Из условия (7) следует, что в отражающих слоях атмосферы функция состояния достигает максимума. Предположим, что в некоторой плоскости S(v) функция состояния достигает абсолютного максимума на высоте y = hi('i) под траекторией полета самолета и на высоте y = h2(y) над траекторией полета самолета. Введем по-

фиг. 1

ложительные углы 80 (у), 8, (V) и 82 (у), определяемые следующими условиями.

СОЭ 80 :

совЗ^а^), соз82=:а(/!2).

На фиг. 2 показаны зависимости 80=1р80(у); 80=^~8,(у) и 80 = = 82(у). Рассматриваются только положительные значения углов V (т. е. только половина лучей, отходящих от траектории полета самолета). Для простоты предполагается, что соответствующие кривые имеют по одной точке пересечения при N = V! и V = Ч/2.

При помощи фиг. 2 условие (7) можно сформулировать следующим образом.

Лучи, отходящие от траектории полета самолета вниз (В0 <С 0), достигают поверхности земли приу-^! и отра-

а.)

Фиг. 3

жаются в верхние слои атмосферы при Лучи, отходящие от

траектории полета самолета вверх (8„>0), проникают в верхние слои атмосферы при и отражаются вниз при Даль-

нейшее поведение отраженных лучей будет рассмотрено несколько ниже.

2. Остановимся на поведении лучей, отходящих от траектории полета самолета вниз, при углах V, близких к V,, в узком слое атмосферы, примыкающем к высоте — Разложим угол 82 в

ряд Тейлора относительно точки у = и у =■ в которой 8 = 0. Из формулы (4), оставляя члены только первого и второго порядка малости относительно м — и у-—ки имеем

8 =+ У2[А + В±(у — к,) + С±(у-

(В)

Углы 5! и 52 всегда существуют, так как а (А) = 1.

где

А =- v (v _ Vl) - (1 + 2 i/2)-Lv- -3)2 ;

]

К Sin V + V — l/g _ а ’

здесь точками обозначены производные по V, а штрихами — по у; выражения в квадратных скобках вычисляются при ч = ч1 и у, стремящихся к А, сверху (индекс „ + “), или у, стремящихся к кх снизу (индекс если соответствующие производные по у от парамет-

ров атмосферы терпят разрыв при у — к1. Заметим, что второй член в выражении (9) для коэффициента А всегда отрицателен; поэтому величина V положительна, так как лучи при проникают в

нижние слои атмосферы.

Рассмотрим три типичных случая.

I. Пусть функция состояния атмосферы имеет острый максимум при у = кх и ч = ух [т. е. в плоскости 5^) а' + г/'<0 при У%НХ иа' + ^>0 при >»</?!]. Отбрасывая в формулах (8) и (9) малые более высокого порядка малости, имеем

где коэффициент /?!>0 при y'^-hl и Вх < 0 при у ^,hx\ коэффициент Ах непрерывен при переходе высоты y — hx.

При этом коэффициент при v<Vj, Л!<0 при v>vt и

Ах — 0 при v = vj. Отсюда следует, что луч, соответствующий углу v = Vj, разветвляется на высоте y = hx. В этом случае траектории лучей в рассматриваемом узком слое атмосферы выглядят следующим образом [фиг. 3, а; на фиг. 3 изображены проекции траекторий лучей на вертикальную плоскость, перпендикулярную вектору скорости самолета; предполагается, что в уравнениях (5) сумма (vz + asinvcos8)>0 при у — hx и v = vj. Tраектория луча АВ (v = vx) разветвляется в точке В(у = /гху, одна ветвь ВС отражается в верхние слои атмосферы, другая ветвь (ВС) проникает в нижние. Лучи, соответствующие углам v<Vj, проникают в нижние слои атмосферы, а лучи, соответствующие углам v>vb отражаются вверх на высотах, несколько превосходящих y = hx\ при этом образуется огибающая BD и возникает зона DBC' (заштрихованная на фиг. 3, а область), в которую не проникают лучи. Подставляя (10) в уравнение (6) и интегрируя, получим при у^>Нх

где время ? выбрано из условия: у = кх-\-Ы1 при £ = £0> а знак перед выражением в правой части совпадает со знаком угла 8 (10).

(10)

_ -Кг^ + В+ДЛ) +\/Г2[А1 + В+{у-кх)]

(11)

аВ?

При _у</ц (для лучей, соответствующих углам v<v], и луча

ВС)

, е — 1/ + V 2 И! + ^ (у — Ьх)}

? 40----------------------------------------------------------------> (.1^)

аВл

•’1

где время £0 выбрано из условия: у = кх при 5 = |0.

Так как коэффициенты /?+ и не равны нулю, то из этих формул следует, что все лучи находятся ограниченное время в рассматриваемом слое атмосферы и интегралы (5) сходятся. Этот случай имеет место, например, в стандартной атмосфере, если рассматривать только ее часть, не превосходящую высоту полета современного сверхзвукового самолета. При этом зона воздействия звукового удара ограничена в поперечном направлении благодаря тому, что характеристические лучи преодолевают слой атмосферы, в котором функция ее состояния достигает максимума, за ограниченное время.

II. Пусть функция состояния атмосферы имеет при _у = Л 1 и у = -»1 максимум в виде полочки [т. е. в плоскости 5 К) а' + г>'<^0 при у^Ьх и а'V'= а" + V" = 0 при у^А^. В этом случае поведение траекторий лучей над плоскостью у = А, описывается уравнениями (10) и (11), а при вместо (10) и (12) имеем

8 =- /2 (V, - V) И2- + В- (у - А,)].;

аВ2 ~уг—

V

где

При этом траектории лучей в рассматриваемом узком слое атмосферы выглядят следующим образом (фиг. 3, б). Луч АВ (у =^) за конечное время достигает высоты у = Л1 в точке В и также разветвляется в этой точке: одна ветвь (ВС) отражается в верхние слои атмосферы, а другая ветвь (ВС') остается в горизонтальной плоскости у = Л2. Лучи, соответствующие углам у^>уи отражаются в верхние слои атмосферы на высотах, превышающих у= при этом также образуется огибающая ВЭ и возникает зона ВВС, в которую не проникают лучи. Качественное отличие этого случая от предыдущего заключяется в том, что часть лучей, проникающих в нижние слои атмосферы ^<>1), в силу второго из уравнений (13) при V V! остаются в рассматриваемом узком слое атмосферы сколь угодно длительное время. Поэтому интегралы (5) расходятся и эти лучи распространяются в поперечном направлении на неограниченное расстояние.

Этот случай имеет место, например, в атмосфере, которая отличается от стандартной только тем, что к поверхности земли прилегает узкий изотермический слой. При этом зона воздействия звукового удара неограниченна в поперечном направлении.

III. Пусть функция состояния атмосферы имеет при у — ^н v = v1 пологий максимум, т. е. в плоскости 5(у,) а' 4-г>' = 0 и а" +

—}-1)"<[0 при у—Нх. В этом случае угол 8 можно вычислить по формуле (8), в которой

Л Л О ®' + I»' Т , ч а" + V"

А = А,; В =-----------^------(V - V,); с =--------.

Для простоты предположим, что коэффициенты В и С непрерывны при переходе через высоту у = Л,. Тогда, интегрируя уравнение (6), получим при

2С{у-к1) + В + 2УС\А + В(у-111) + С(у-11&\

-----7=^ 1п

а У2С

2С ДА + В + 2 УС [А + ВЛИ + С ДА2] и при у <; к

2С(у-Ь,) + В + 2УС [А + В(у — кх) + С (у — А])2

■&0=-------1п

аУ2С

В + 2 У АС ,

здесь время £0 выбрано из тех же условий, что и в формулах (11) и (12) соответственно. Как следует из приведенных выше уравнений, случай III качественно отличается от случая II тем (фиг. 3, в), что луч АВ (V = достигает высоты у — асимптотически при £-*оо. При этом как среди лучей, отражающихся в верхние слои атмосферы, так и проникающих в нижние слои, имеются такие, которые остаются в рассматриваемом узком слое атмосферы неограниченное время. Поэтому эти лучи также распространяются в поперечном направлении на неограниченное расстояние. Это имеет место, например, в стандартной атмосфере, если скруглить профиль температуры вблизи поверхности земли.

Приведенный анализ показывает, что задача об определении ширины зоны, подвергающейся звуковому удару при полете сверхзвукового самолета, является некорректной задачей в рамках постановки геометрической акустики: небольшие изменения в распределении параметров атмосферы в ее отражающих слоях могут привести к значительному изменению ширины зоны. Отсюда следует, что ширина зоны существенно зависит от способа интерполяции параметров атмосферы вблизи максимумов функции состояния. Если, например, распределение параметров атмосферы интерполировать достаточно гладкими функциями, имеющими непрерывную первую производную, то ширина зоны окажется всегда неограниченной за исключением случая, когда в плоскости 5(-^) острый абсолютный максимум функции состояния достигается на поверхности земли. Только в последнем случае при резком градиенте функции состояния вблизи поверхности земли расчеты ширины зоны воздействия можно считать достоверными.

3. Перейдем к рассмотрению дальнейшего поведения лучей после однократного отражения от нижнего или верхнего слоев атмосферы (фиг. 2). Это поведение определяется соотношением между углами V, V, и v2. Так, при определенных условиях часть лучей, отразившись от верхнего слоя атмосферы, может проникнуть на поверхность земли или отразиться от нижних слоев обратно. В первом случае зона воздействия может оказаться многосвязной, т. е. зоны слышимости звукового удара могут чередоваться с зонами молчания и ее отдельные участки могут подвергаться неоднократным звуковым ударам, т. е. зоны слышимости могут пересекаться. Во втором случае часть лучей распространяется в боковом направлении от трассы полета самолета, оставаясь все время в слое атмосферы, заключенном между двумя горизонтальными плоскостями

у — Н1 и у = к2. Из этой зоны только единичные лучи могут проникать в более высокие или низкие слои атмосферы, если на ее границах функция состояния имеет острый максимум. Аналогичным образом лучи, отразившиеся от нижнего слоя атмосферы, могут проникнуть в ее более высокие слои у^>Н2 или, отразившись обратно, остаться в указанном слое.

Эта картина существенно усложняется, если на некоторых высотах в слое функция состояния атмосферы достигает

условного максимума. В этом случае происходит дополнительное отражение лучей, соответствующих малым по абсолютной величине углам 80. Однако вопрос о попадании луча на поверхность земли, проникновении его в более высокие слои атмосферы или распространении его в боковом направлении в слое конечной ширины окончательно решается теми слоями атмосферы, в которых функция состояния достигает абсолютного максимума соответственно над и под траекторией полета самолета.

В табл. 1 в зависимости от соотношения между углами V, и у2 сформулированы условия, определяющие поведение лучей в атмосфере в целом. Физически эти случаи отличаются тем, что в первом случае в плоскостях 8(у), где абсолютный мак-

симум функции состояния под траекторией полета самолета больше, чем над ней, во втором случае в плоскостях 5^), где

V,, абсолютный максимум под траекторией полета, наоборот, меньше, чем над ней.

На фиг. 4 для случая II изображены проекции траекторий лучей на вертикальную плоскость, перпендикулярную вектору скорости самолета [у^О; предполагается, что в плоскостях 5ОМ и функция состояния атмосферы имеет острый абсолютный максимум; при этом в слое атмосферы Ьг<Су <Л2 нет промежуточных относительных максимумов функции состояния]. Как видно в зону

Таблица 1

N | I II

Соотношение между углами 41 и ч2 *1>^2

Лучи проникают в верхние слои атмосферы у>Л2 8о<0 | v1<v<v2 —

80>0 ^1<^2 ^ < ^2

Лучи распространяются в слое атмосферы Л1^.у^/12 5о==0

Лучи попадают на поверхность земли 8о<0 *<>1

50>0 — ч2 < V < VI

АВ на поверхности земли попадают лучи, отходящие вниз от траектории полета самолета; зона ВС является зоной молчания, так как в эту зону лучи не попадают; в зону СО попадают лучи, отходящие вверх от траектории полета самолета, отразившиеся от верхних слоев атмосферы. В зону, лежащую правее точки О, попадают те единичные лучи из распространяющихся в слое атмосферы <_у</г2 в боковом направлении, которые разветвляются, отражаясь от горизонтальной плоскости у — кг (например, луч г на фиг. 4).

На фиг. 4 не изображены траектории лучей, отразившихся от поверхности земли (например, в зонах АВ и СО). Часть этих лучей снова возвращается на поверхность земли после отражения от неоднородной атмосферы и этот процесс продолжается до бесконечности. Поэтому в случае II ширина многосвязной зоны воздействия неограниченна даже тогда, когда функция состояния имеет острые максимумы, а ее отдельные участки могут подвергаться неоднократным звуковым ударам.

Лучи, попадающие в зону АВ и СО, проходят разное расстояние в атмосфере прежде, чем попасть на поверхность земли. Представляется очевидным, что с увеличением длины луча интенсивность звукового удара должна уменьшаться (этот эффект усиливается тем, что интенсивность звукового удара в верхней полусфере над самолетом может быть меньше, чем в нижней, благодаря разному влиянию подъемной силы). Однако при увеличении длины луча возрастает вероятность фокусировки, связанной с незначительными маневрами самолета и градиентами параметров атмосферы на высоте полета. Благодаря этому интенсивность звукового удара на периферийных участках зоны может в отдельных случаях возрастать.

Если высота верхнего отражающего слоя атмосферы у = й2 сравнима с высотой полета самолета, то интенсивность звукового удара в зонах АВ и СО будет одинакового порядка. Поэтому при исследовании распространения звукового удара в неоднородной атмосфере необходимо учитывать слой атмосферы высотой порядка не менее 2 — 3 высот полета самолета.

Отметим, что температура атмосферы земли на высотах порядка 150000 м превышает 1000К. Этот горячий слой атмосферы, отражающий значительную часть лучей обратно к поверхности земли, может оказать существенное влияние на распространение звукового удара от летательных аппаратов при полетах на больших высотах. При исследовании распространения лучей в верхние слои атмосферы земли необходимо учитывать разреженность, а также то обстоятельство, что избыточное давление может оказаться сравнимым с давлением в невозмущенной атмосфере благодаря значительному падению плотности.

В случае II распространение лучей в неоднородной атмосфере может происходить более сложным образом, чем это изображено на фиг. 4. Например, если в слое атмосферы /г<у<Л2 имеются относительные острые максимумы функции состояния атмосферы,

Фиг. 4

то многосвязность зоны, подвергающейся звуковому удару, может увеличиться; если в плоскости 5^) функция состояния имеет пологий максимум или максимум в виде полочки, то ширина зоны становится неограниченной, а ее отдельные участки подвергаются неоднократным звуковым ударам.

В зависимости от вида абсолютных максимумов функции состояния в плоскостях 5^) и 5(7г) и относительных максимумов в слое атмосферы /г<0<й2 зона на поверхности земли, подвергающаяся звуковому удару, может быть ограниченной или неограниченной. Эта зависимость приведена в табл. 2 для случая, когда в слое атмосферы /г<у</г2 нет относительных максимумов функции состояния и не учитываются лучи, отразившиеся от поверхности земли.

Таблица 2

Соотношение между углами и Ч2 Зона слышимости ничена огра- Зона слышимости не ограничена

<->** п*** ИЛИ ^

ч1>^2 5*, $2 или с** ^2 о1 или или Ь2

В табл. 2 символы 5^, 5^* и Б*** соответственно означают острый максимум, максимум в виде полочки или пологий максимум в плоскости 5(уй), где к=\, 2; в случае II единичные лучи проникают на поверхность земли на сколь угодно больших боковых удалениях от трассы полета самолета.

В работе не рассмотрен вопрос о том, как изменяется интенсивность звукового удара поперек зоны воздействия. Представляется очевидным, что с увеличением длины луча интенсивность звукового удара должна уменьшаться. Однако при увеличении длины луча возрастает вероятность фокусировки, связанной с незначительными маневрами самолета и градиентами параметров атмосферы на высоте полета. Поэтому интенсивность звукового удара на периферийных участках зоны может в отдельных случаях возрастать.

В заключение отметим, что в реальной атмосфере отражение лучей может быть вызвано дополнительными факторами, которые не учитываются уравнениями (4) — (6). Например, слой облаков, находящийся над траекторией полета самолета, также может отражать лучи обратно к поверхности земли.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ч и б и с о в С. В. О времени пробега звукового луча в атмосфере. „Изв. АН СССР“, Серия геогр. и геофиз., 1940, № 1.

2. Блохинцев Д. И. Акустика неоднородной движущейся среды. ОГИЗ, 1946.

3. Жилин Ю. Л. О звуковом ударе. „Ученые записки ЦАГИ\ т. II, № 3, 1971.

Рукопись поступила 14/111 1972 г.