CC BY
46
_____УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том V 1974
№ 2
УДК 534.83:629.735.33
УСЛОВИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ФОКУСИРОВКИ ПРИ ЗВУКОВОМ УДАРЕ
Ю. Л. Жилин
В работе показано, что при звуковом ударе фокусировка может вызываться двумя различными причинами. В первом случае возникновение фокусировки связано с маневром самолета и градиентом параметров атмосферы на высоте полета. Во втором случае фокусировка возникает при отражении луча и связана с неоднородностью атмосферы вдоль его траектории (атмосферная фокусировка). Для возникновения атмосферной фокусировки необходимо выполнение трех условий, поэтому это явление представляется маловероятным, что подтверждается экспериментальными данными.
В геометрической акустике при фокусировке возмущений избыточное давление обращается в бесконечность, и тем самым нарушается основное предположение теории о малости возмущений. Однако эксперименты показали, что теория довольно хорошо предсказывает момент возникновения фокусировки, например, при разгоне самолета в прямолинейном полете [1]1 Поэтому имеет смысл в общем случае полета самолета в неоднородной атмосфере проанализировать условия, при которых на поверхности земли возникает фокусировка при звуковом ударе.
Рассмотрим полет самолета вдоль произвольной траектории в слоистой атмосфере с горизонтальным ветром, все параметры которой зависят только от высоты над поверхностью земли. Введем декартову систему координат, связанную с поверхностью земли; ось у направим вертикально вверх, оси х, г расположим в плоскости земли; через п обозначим единичный вектор внешней нормали к поверхности фронта. Изменение составляющих этого вектора по высоте вдоль траектории некоторого фиксированного луча определяется следующими уравнениями
Л'=-£_Л'; п2у = \—п>2. а%{у) = а0 — Ьюп!о\ ^v=■v - г>0, (1)
где п' — проекция вектора п на горизонтальную плоскость; а — скорость звука; V — скорость ветра (в работе индекс „0“ относится
к значениям соответствующих параметров на высоте полета самолета А, индекс „00“ — на поверхности земли).
Величина п0у равна
п0у = sin (х sin ш — cos u cos ш cos 0,
где (i —угол Маха; ш — угол наклона к горизонту вектора V—скорости самолета относительно частиц воздуха (ю>0 при наборе высоты); 0 — угол между двумя плоскостями, проходящими через
вектор V, одна из которых перпендикулярна поверхности земли, а другая проходит через вектор п0.
При фокусировке возмущений обращается в нуль площадь сечения поверхности фронта элементарной лучевой трубкой г. С точностью до несущественного для дальнейшего анализа множителя [2]
г~\пу1{у)\, (2)
где
/(У) “ (1 - з2) А (У) + =2 /2 (У) + 2 О VI - а’ /, (у)
У
А (у) = «о J
а , a(l0bv)2 а* ' п2у а1
dJL- I (v\ —а3 Г й dy ■
, Ь\У) а0 J , 3 пу ’
У
м V) = а2 Í а (/°А^ ■
Is (У) % J з
COS |Х Sin U) + sin |J. COS OJ cos f
COS 0) sin 1
COS ¡i. Sin <o-fsin ¡J. COS U) COS в I у l_n2 УI — COS2 to sin2 (
"bytg2!*
00 [1 — COS2 OJ sin2 6]
gn 0-
a0 sin2 to I daQ
n0 y sin [A
dh
■ n.
dv о 0 dh
(3)
В этих формулах вектор /0 лежит в горизонтальной плоскости и имеет составляющие вдоль осей х и г, равные п0г и — п0 х соответственно; ^ — ускорение самолета в выбранной системе координат; параметр о зависит от углов р, « и 0; параметр -у характеризует влияние ускорения самолета и локального градиента параметров атмосферы на траектории полета.
Из формулы (2) видно, что на поверхности земли фокусировка возникает в двух случаях: при /(0) = 0 или п00у = 0. Первое условие выполняется при некотором значении параметра 7, равном 70> где
(1-о*) А (0) + а2 /2 (0) + 2 а У \ - а-" /3 (0)
То = ас
Л (0) /2 (0) — /I (0)
(4)
Величина 70 всегда больше нуля, так как числитель и знаменатель в правой части последней формулы всегда положительны. При заданном распределении скорости ветра и температуры воздуха в атмосфере -[о зависит от четырех параметров подобия: к,
пау> 0 и угла V, характеризующего направление вектора п'0 относительно некоторого выбранного горизонтального направления (например, направления ветра на некоторой высоте). Если заданы распределения скорости ветра и температуры воздуха в атмосфере, высота полета самолета и вектор его скорости, то параметр принимает разное значение для каждого луча, попадающего на поверхность земли.
Зафиксируем траекторию некоторого луча, попадающего на поверхность земли, и будем менять значение параметра 7. Предположим, что отношение
(1 - 32) Л (у) _|_ а2 /2 (у) + 2 о УТ^13 (у)
принимает минимальное значение на поверхности земли (это отношение пропорционально {¡г— у)~112 для спокойной изотермической атмосферы). Тогда при т>То фокусировка возмущений происходит в атмосфере между поверхностью земли и высотой полета самолета, и к поверхности земли приходит луч, отразившийся от каустики; при т^То фокусировка происходит на поверхности земли, при 7<Ло фокусировка вдоль траектории данного луча отсутствует.
Рассмотренный вид фокусировки связан с маневром самолета и градиентом параметров атмосферы на высоте полета самолета. Другой вид фокусировки возникает при
«оо у = 0 (5)
и связан с отражением луча от неоднородностей атмосферы вблизи поверхности земли. Однако выполнения только одного условия (5) еще недостаточно для возникновения фокусировки, так как при этом произведение /(0) п00у становится неопределенным и может оказаться отличным от нуля. Для раскрытия этой неопределенности перейдем в формулах (3) от переменной интегрирования у к переменной пу. Дифференцируя формулу (1) для пу, имеем
пуйп,= -с(у)йу, с(у) = п^--(1у а
а
При отражении луча (5) функция с равна
с{ 0)= | п’0
а00 йч\
а2 (0) ¿у у = 0
у) =а -Ь
и щ
где щ — функция состояния атмосферы.
Будем считать, что функция состояния атмосферы имеет на поверхности земли острый максимум и с (0)^0; случай пологого максимума не представляет практического интереса, так как соответствующий луч приближается к поверхности земли бесконечно долгое время. ,
После этого интегралы (3) запишем в виде
«О у
(0) = а0 J
«00 у
1 +
(/qAp)»
1 2 пгуа%
а
са±
dtiy\
"О у
п0 у
,м~аг° /
Сй* -V "00 у У
л00 у
a(l0Av) drt-y cal Пу
Отсюда видно, что подынтегральные выражения имеют неин-тегрируемые особенности при выполнении условия (5). Разложим эти интегралы в ряд по параметру п00у при /г00у-> 0.
Интегралы (6) имеют следующий структурный вид
g-
“У
f
/ (х) dx
xt
где els s2 — const.
Предположим, что функция f(x) вблизи нуля разлагается в ряд Тейлора. Ограничиваясь двумя первыми членами разложения, получим следующее точное соотношение
g-
dx+^-^4- f (0) In
в котором интеграл принимает конечное значение при = 0. Отсюда при б! -► 0
^==ф_/'(0)1п|е1|+Л + 0(е1),
где
л = J/с*)—/(0) xf (о) ш + т 1п| £21; о (в!) _ ГМ. £i.
Легко убедиться, что для интегралов (6) первая производная /' (0) равна нулю в силу условия (5). Поэтому в разложениях этих интегралов по параметру п00у отсутствуют логарифмические члены. При этом
А (0)
а(1<Ау)г
cal
—+ Лі -f- О («00 у);
оо “со у 3
ш-
/з(0) =
cal .
оо «оо у
+ Л2 + 0 («ооу)',
а (¿о А^) cal
оо «оо у
+ Аг + О (геоо у)-
В этих формулах о
11 = а„ ] (а —
у а*+ (¿0 Ди)2
г°ш 1
— с
а (10 Д^)2 ) йу а (/о Ди)2
са1 00 ] 4 са3 *
Д()
00 «О у
а 1 лу а «2 а0
са3 оо! пу са3 ^ * 00 л0у
Л3 = а*
а(10Ьи)
я (/0 Ду) а(10Ау) До
са3 оо) пу са3 и' * 00 л0 у
Вместо формулы (3) для 1(у) при _у = 0 и га.
00 у
0 имеем
/(0)
{ [а0 а + (70 Д^)оо]2 _
00
а0
■ [а* А1 + Л2 (/„ Д-у)^ - 2 а0А3(10 Дг>)00] + О (п09у) .
Переходя в формуле (2) к пределу при /г00у-> 0, получим
г— Иш |«00у/(0)
”оо у^°
са3
[а0 о + V 1 - а2 (/„ Д*>)00]2 -
00
[«2 л! + Л 2 (/0 А — 2 а0 Л з (/0 Дг>),
00]
Здесь возможны два случая.
Если ^ ф 0, то фокусировка возникает при значении параметра 7, равном
То
________До [яр д ~Ь1 — °2 ( ¿о А^)ооР
ао ( А) А ^оо — 2 йд Л3 (/0 Аи)оо
Эта формула является предельным случаем формулы (4) при условии (5). В этом случае фокусировка также связана с маневром самолета и градиентом параметров атмосферы на траектории полета самолета и отличается от рассмотренной выше тем, что сопровождается отражением луча от неоднородностей атмосферы.
Если 7 = 0, то фокусировка возникает при условии
или
(,1о Ар)«)
1^" ао "Н (^о
(7)
оо
В этом случае фокусировку можно назвать атмосферной, так как она связана только с отражением луча от неоднородностей атмосферы.
Для возникновения атмосферной фокусировки необходимо выполнение трех условий: ге00у=0, 7 = 0 и параметр а должен удов-
летворять уравнению (7). Отметим, что параметр при атмосферной фокусировке обращается в нуль. .
Отсюда следует, что атмосферная фокусировка является, по-видимому, довольно редким явлением. Это подтверждается экспериментальными данными, приведенными в работе [3]. В этой работе на высотной башне (высотой порядка 460 м) были исследованы явления, связанные с отражением лучей от неоднородностей атмосферы при полетах сверхзвукового самолета. В результате экспериментов оказалось, что существенное увеличение перепада давления (примерно в три раза по сравнению с номинальным) при отражении лучей от каустики наблюдалось только в одном из примерно сорока полетов.
Если (/0Аг;)00 = 0, то атмосферная фокусировка возникает при 6 = 0. В частности, при полете самолета с постоянной скоростью в изотермическом слое спокойной атмосферы фокусировка может возникнуть только на линии пересечения вертикальной плоскости, проходящей через вектор скорости самолета, с поверхностью земли.
ЛИТЕРАТУРА
1. Wanner М. J. С. Essais mirage IV. Aircraft engine noise and sonic boom, AD 697190, AGARD C. P. № 42, 1969.
2. Жилин Ю. Jl. О звуковом ударе. .Ученые записки ЦАГИ“, т. И, № 3, 1971.
3. М a g е i е г i D. J., Н i 11 о n D. A., H и с k е 1 V., H е n d е rson H. R.,
Me. L е о d N. J. Measurements of sonic boom signatures from flights at cutoff Mach number. Third conference on sonic boom research, NASA SP—255, 1970.
Рукопись поступила 14¡III 1973 г.
