О звуковом ударе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И

Том II

197 1

№ 3

УДК 534.83:629.735.33

О ЗВУКОВОМ УДАРЕ

Ю. Л. }Килин

Теория затухания возмущений в неоднородных средах с произвольной эпюрой начального избыточного давления применяется для исследования звукового удара от самолета при полете в неоднородной атмосфере вдоль произвольной траектории.

Подробно рассмотрен случай полета самолета в слоистой атмосфере с горизонтальным ветром. Получены выражения для коэффициентов, учитывающих влияние состояния атмосферы и режима полета самолета, и показано, что эти коэффициенты зависят только от пяти параметров подобия.

1. При исследовании затухания возмущений на больших расстояниях от места их возникновения обычно предполагается [1]— [10], что ширина области возмущенного движения мала по сравнению с характерными радиусом кривизны фронта и расстоянием, на котором существенно изменяются параметры невозмущенной стационарной среды. При этом предположении распространение возмущений происходит квазиодномерно вдоль характеристических лучей.

Рассмотрим распространение малых возмущений вдоль траектории некоторого фиксированного луча. Введем характеристическую переменную у), принимающую постоянное значение на каждой расходящейся характеристической поверхности. Для определенности будем считать, что г) = х^0, где у —некоторая положительная постоянная для каждого луча, а X — расстояние, отсчитываемое от поверхности фронта по внутренней нормали к нему (индекс *0“ относится к параметрам в некоторый начальный момент времени Е = £0, где I—время распространения возмущений вдоль луча). Пусть при £ = £0 задано начальное распределение избыточного давления

Р—Ро(Ч) или задана функция р(у\)= -^° аналогичная извест-

V ао Ро

ной функции Уитхэма [2], [3]. Тогда, интегрируя линеаризованные относительно возмущений уравнения движения газа в поле массовых сил, можно получить закон затухания избыточного давления р[ 4]:

(1.1)

]

где

1 I -

L (с) = exp -к- J (a div n + x; div v + n (ny) v\ dt (1.2)

Z So

Здесь а и p — скорость звука и плотность; х—отношение удельных

теплоемкостей, v—скорость невозмущенной среды, п—внешняя

нормаль к фронту; divt' — удвоенная средняя кривизна фронта. Формула (1.1) имеет место в рамках приближения геометрической акустики, в котором пренебрегают влиянием амплитуды возмущений на скорость их распространения. Последнее обстоятельство несправедливо на больших расстояниях от места возникновения возмущений, где это влияние приводит к существенным нелинейным эффектам [1].

Влияние нелинейных эффектов может быть учтено в первом приближении при помощи метода Пуанкаря—Лайтхилла—Го (ПЛГ) аналогично тому, как это было сделано в работах [2] и [3] для случая однородной среды. В этом приближении остается справедливой формула (1.1), однако для получения эпюры избыточного давления необходимо уточнить положение каждой характеристической поверхности т] = const относительно фронта, учитывая возмущенное движение газа, известное из решения в приближении геометрической акустики. Попутно необходимо учитывать в первом приближении по 'к изменение параметров среды поперек области возмущенного движения газа [7], [8].

Уточненное уравнение семейства характеристических поверхностей т] = const записывается в виде [10]

(1.3)

где

5о £о

Функция / характеризует расхождение характеристических поверхностей в приближении геометрической акустики (F = 0), вызванное поперечными градиентами параметров невозмущенной среды, функция <|>— дополнительное расхождение, связанное с влиянием амплитуды возмущений на скорость их распространения. Уравнения (1.1) и (1.3) описывают затухание избыточного давления в первом приближении по методу ПЛГ. Из этих уравнений следует, что в областях с положительным градиентом начального избыточного давления характеристические поверхности сгущаются и при увеличении % пересекаются. После этого непрерывное движение газа становится неоднозначным и в среде возникают ударные волны.

В рассматриваемом движении на ударных волнах малой амплитуды должны выполняться следующие соотношения [10]:

t\ - Л=4 Оч» ~ Ч); + Ъ) (ъ - ъ) = 2 / , (1.5)

где F2 = F(-Ht) и /71 = /?(т)1). Первое из этих уравнений выражает геометрическое условие пересечения двух характеристических поверхностей. Второе уравнение является следствием того, что скорость распространения ударной волны равна среднему значению

скорости звука до и после ударной волны. Геометрический смысл этого уравнения заключается в том, что заштрихованные области на фиг. 1 имеют одинаковую площадь. Соотношения (1.5) нужно рассматривать как систему уравнений, которая при заданном значении \ позволяет найти и т]2. После этого положение ударной волны относительно фронта можно определить при помощи уравнения (1.3), а избыточное давление непосредственно до и после ударной волны—при помощи уравнения (1.1).

Отметим, что во второе из уравнений (1.5) не входят параметры невозмущенной среды. Это означает, что порядок возникновения ударных волн, их число и порядок их пересечения и исчезновения целиком определяются функцией Р(-ц). Влияние неоднородности среды сводится к масштабному эффекту, т. е. согласно первому из уравнений (1.5) одна и та же качественная картина осуществляется на том или ином расстоянии от места возникновения возмущений в зависимости от функции Р(щ).

Уравнения (1.1), (1.3) и (1.5) позволяют построить эпюру избыточного давления при любых если известна функция (т)).

Из этих уравнений можно получить асимптотические формулы для амплитуды Др и полупериода М Ы-образной волны:

ДФ

Ар-.

Fd.fi,

V.

(1.6)

где ч\о равно тому значению у, при котором интеграл в первой формуле достигает абсолютного максимума.

Х3

Вдоль кривой р (к) вычислим интеграл §рйк, пропорциональ-

^1

ный импульсу избыточного давления. Используя уравнения (1.1) и (1.3), можно получить

Ха

(1.7)

/V ар

Если ?)! и т)., соответствуют двум характеристическим поверхностям, пересекающимся с ударной волной, то из уравнений (1.5)

Ха

следует, что jpdl = 0. Это уравнение было получено Л. Д. Ландау [1] как условие, определяющее положение слабой ударной волны в простой волне.

Если р^^ — р^), то вместо (1.7) имеем

а

Л = х]^. (1.8)

Это уравнение имеет место в приближении геометрической акустики и в первом приближении по методу ПЛГ при непрерыв-

з

ном движении газа. Из условия Л. Д. Ландау следует, что оно-справедливо также и в том случае, когда между характеристическими поверхностями ^ = 7)] и т] = т)2 возникают ударные волны. Уравнение (1.8) выражает условие инвариантности левой части, справедливое до тех пор, пока одна из этих характеристических поверхностей не встретится с ударной волной. В частности, при

7), = — ОО И 7)2 = 7]0

* ^-о Чо

7(1'9)

где Х0=/Х7)0.

Формула (1.9) имеет место при любых значениях £, так как характеристическая поверхность т) = т)0 никогда не пересекается с ударными волнами. С помощью формулы (1.9) можно непосредственно вычислить максимальный положительный (или отрицательный) импульс избыточного давления, не зная самой эпюры.

2. При применении изложенной выше теории для исследования: звукового удара необходимо установить зависимость функции Г (у) от формы самолета, т. е. перейти от сложного трехмерного поля возмущений, которое имеет место вблизи самолета, к квази-одномерному полю на больших расстояниях от него. Для этого выделим в атмосфере две области возмущенного движения.

В первой области, непосредственно примыкающей к траектории полета, будем пренебрегать нелинейными эффектами, а также влиянием ускорения самолета и неоднородности атмосферы. Предполагая, что поперечные размеры этой области достаточно велики,, для вычисления функции (т)) воспользуемся асимптотической картиной, известной из линейной теории. Если в системе координат, связанной с самолетом, ось % проходящую через его носок,, направить вдоль вектора скорости набегающего потока, то

где Ф (т), 0) равно функции Уитхэма, умноженной на 2я; г—расстояние от оси т); &—угол между плоскостью симметрии самолета и плоскостью, проходящей через ось т) и касающейся начального участка траектории луча. Функция Ф(т], 9), пропорциональная потенциалу возмущенной скорости, равна:

Ф(у), &)= I йх,

где 5(х, 0) — площадь поперечного сечения эквивалентного тела: вращения; V) и х—расстояния от носка эквивалентного тела вращения. Функции 5 {х, 9) и Ф(т), 0) зависят от интенсивности источников, диполей и мультиполей, описывающих решение задачи обтекания в линейной теории [11].

Введем характерную площадь поперечного сечения 50 и характерную длину I эквивалентного тела вращения; тогда

5 _ _ _ _ _

Ф=-7^Ф(г|> &) и т) = /т), где Ф и т) — безразмерные величины. Так

VI

как звуковой удар от сверхзвукового пассажирского самолета

Д^=ЛР(—) , (2.2)

существенно зависит от подъемной силы, то удобно положить ЙУ

50 = — , где У —- подъемная сила, <7— скоростной напор.

Я

Характерные размеры второй области существенно превышают размеры первой, и здесь необходимо учитывать нелинейные эффекты и неоднородность атмосферы. Так как в масштабах этой области величины £0 и г равны нулю, то в соотношениях (1.1), (1.3), (1.5)—(1.9) нужно заменить функции /% I и ф соответствую^ щими величинами с индексом „1“, определенными следующим образом: ____ ___

Л — Р /г, I, = Ш. УйГ, ♦,= ■/$ ит • (2.1)

После этого параметры падающей И-образной волны можно представить в виде

^У/2- Д*_Л1®0_',/2

VI) ' ч V}

.где Ф0 — абсолютный максимум функции Ф(т), 0) при заданном значении д. Коэффициенты 1гр и в неподвижной относительно земли системе координат равны:

1 (_а»з_Г (2.3)

1*1 \ 7гМф11/^а0р0 / а \теМ|/а0р0/

где

^__ а + юп

а0 “Ь по

Уравнения (1.1), (1.3) и (1.5) при & = сопз1 записываются в виде

Р = кх~Р 6); ? = £2 [^ — кР(Щ-, |

_ _ 1 _____ _ __ (2-4)

^2 — ^1= -у (ъ — ъУ> (^2 + ^1) (Ъ - ъ) = 2(ф2 - ФО» ]

где

Е <?Ф ~~ ^ ’

*?М»а2 ¥ . и ^рк(Жа У //

~2Л~/2у7« 2/ Ма ' ^

Здесь / = Х/а — время, отсчитываемое наблюдателем, воспринимающим звуковой удар. Все введенные выше коэффициенты характеризуют затухание возмущений от самолета и зависят от •состояния атмосферы, режима полета самолета и положения наблюдателя относительно траектории полета и не зависят от формы самолета. Безразмерный коэффициент к характеризует влияние нелинейных эффектов или удаленность наблюдателя, воспринимающего звуковой удар от траектории полета самолета. Из уравнений (2.4) имеем:

где функция О полностью определена уравнениями (2.4), если известна функция Ф (т]). Эта формула выражает закон подобия,

заключающийся в том, что при заданной функции Ф(т]) (т. е. для аффинно-подобных эквивалентных тел вращения) эпюра избыточного давления в безразмерных переменных р!кх и t|k2 зависит только от одного параметра подобия А. Закон подобия позволяет разделить исследование звукового удара на две задачи, которые можно решать независимо друг от друга. Это—исследование^влия-ния формы самолета и режима его обтекания на функцию Ф (г\) и безразмерную эпюру избыточного давления в зависимости от значения параметра подобия А и исследование влияния состояния атмосферы и режима полета самолета на коэффициенты, характеризующие затухание возмущений от самолета.

Отметим, что формулы (2.2)—(2.5) легко переписываются, если при приведении функции Ф(т), &) к безразмерному виду под понимать площадь миделя самолета. Для этого в этих формулах

нужно положить К =

3. Рассмотрим случай полета самолета в слоистой атмосфере, в которой отсутствует вертикальная составляющая скорости ветра,

а скорость звука, плотность и горизонтальные составляющие скорости ветра являются непрерывными функциями от высоты над поверхностью земли. Систему координат, связанную с поверхностью земли, выберем так, чтобы ось у была направлена вертикально вверх (фиг. 2). В случае слоистой атмосферы уравнения траектории луча можно записать в виде

г = г'(т) +

Я

-f- ап

anv

dy,

а

аа

■п0;

■I

пу = 1-

-п

/ 2.

а* (У)

ап

Д vnn: Av—v

-v,

0>

(3.1)

(3.2)

где г—радиус-вектор, проведенный из начала координат; г=г'(х) — уравнение траектории полета самолета; *—время; А — высота полета;

v — скорость ветра; п'—проекция вектора п на плоскость у= const (индекс „0“ в этом разделе относится к параметрам на траектории

полета). Компоненты вектора п0 следующие: п0 X — s*n cos Ш1 cos СО —COS Ji sin CDj sin 0 + COS (A COS tOj sin 0) cos 0;

n0 y = sin [i sin o) — cos [i cos <0 cos 0; (3.3)

«О г = s>n I4 s*n Ш1 COS m-f COS p. COS <Uj sin 0 + COS fi Sin (Oj sin W COS 0,

V v;+ v\

\v\

Здесь V—скорость самолета относительно воздуха; 0—угол между

двумя плоскостями, проходящими через вектор V, одна из которых перпендикулярна поверхности земли, а вторая проходит через

вектор п0 (см. фиг. 2).

Из уравнений (3.1)—(3.3) видно, что траектория каждого луча при заданной траектории самолета и заданном состоянии атмосферы зависит от двух параметров—т и 0. Уравнения (3.1) и (3.2) описывают также поверхность фронта в любой момент времени £ = const, где

У

е=*+

I ап„

(3.4)

Для вычисления средней кривизны фронта воспользуемся известной формулой дифференциальной геометрии

div п =

(r„Xnv) + (я. X О

(га X rv),

(3.5)

(Ги X Г„)2

где нижние индексы означают дифференцирование по некоторым поверхностным криволинейным координатам и и V. Если из уравнений (3.1), (3.2) и (3.4) исключить у, то под координатами и иг» можно подразумевать т и 0. В этом случае

д д . ду д д д ду д + -^—'----------------------л

ди

дх

= +'

ду ’ dv <?0 1 дв ду ’

где производные ду/д? и ду/дЬ находятся из уравнения (3.4) при 5 = const. При этом

Av + ап

ч-

У

J

h

У

■/

ra = V — Д v — ап +

‘—У —У

Дх> -f- ап

а0 п

д

дх

- а0 я0

д

дх

+

т

Оу У

any dy-(bv + an)j-

h

- - У А

Дv + an , Г 0

---------dy - (Av 4- ап)

1

nv

dy

a

dy ~a ’

dra

dr„

nv—ny dy

ay

a

vy

a

dv . — da

“a-----Ь

dy dy

/ dv [dy

n

da\

dy)

(3.6)

где ruy и rw

составляющие векторов ги и г„ вдоль оси у. Подставляя (3.6) в (3.5), можно получить следующее выражение для функции I (1.2): ____________________

Подкоренное выражение в формуле (3.7) имеет простой геометрический смысл [12]. Так как элемент площади поверхности

фронта равен \n(ru'X rv)\du-dv, то оно равно отношению площадей сечения поверхности фронта элементарной лучевой трубкой в два различных момента времени.

Введем вектор /0, лежащий в плоскости у = const и касающийся поверхности фронта (компоненты этого вектора вдоль осей х и z равны гаПг и — п0х соответственно). При вычислении произведения

га(гиХО в формулах (3.6) для га и rv нужно отбросить члены

с вектором п, если последний не входит под знак интеграла; оставшаяся часть этих векторов не имеет составляющей вдоль оси у

и ее нужно представить в виде суммы векторов по и /0. После этого можно получить следующее выражение:

Я (Ги X rv) = дпйу

а* Пу

ао

Г ^Lo 0 дв

(1 — п0у)а0 I «oj-slnjj.

Л (у)-\-

+ ао

V

<?6

sin [А

7 дп0 1°~дв~

'h(y) — 2ао

дп0

дъ

ГТ дп0 з \{о

дп,

о У

дв

sin (А

Те

{глу)1лу)-11т\, (3.8)

где

г t \ ГГ Л , а (А>Д|^)21 d v , , . з С а dy Л(у) = а0 — + -Ч з Ьг; h(y) = aо -5-3; J . а* пу a; J пУ J Пу а,

h h

13(у)^а2о(Щ-А^;

J n2yal пу

Т9 = а0 п0

дп0,

дв ’ т* \dh~T~"'° dh jKl "’оу; "о у дх '

Так как знак dy совпадает со знаком пу, интегралы /г и /2 положительны. Если ввести параметры s и j, равные

^«0 - dVо \ ,, 2 \ ж/ I "'"Оу

“Ь ^0 ) 0 ^0 v) Kv “f“ ^0 «о

/о

(?«0

<эе

и" ^ «О ■

дв

г дпо дв

О2 Sin [А

ttn

дп0у\2 2 а0

I Wo

* дп0 0 д0

<?Яо

дв

ь-

т дп0 h дх

Ъ

\ дв

то формулу (3.8) можно привести к виду

дп0 , N2

1Г

(1 — n0^)ao°*sin f1-

/O'),

где

І (у) = (1 - а2) /, (у) + а* /2 (_у) + 2а /1 - о* /3 (j,) - -L [/, (у) /2 (у)-^ O')]-

а0

Приведенные выше формулы, начиная с формулы (3.5), инвариантны относительно поворота системы координат вокруг оси у, что позволяет упростить вычисление параметров а и ц. Для этих параметров можно получить следующие выражения:

COS [1 Sin ш -j— sin [і. COS 0) cos в n0y cos св sin 6 ]

COS [A Sin CB -)- sin {A COS (1) COS 6 I V\—tl 0 V1

»0%tg2lA

a0 [1 — cos2 св sin2 0]

Zn _ aQsin2(0 / da, -* faQ n0y sin2 [A [ dh + 0 dh

(3.9)

б? Г*

где ----ускорение самолета. Безразмерный параметр а учи-

тывает влияние углов со и 0 и числа М. Из формул (3.9) следует, что а = 0 при 0 = 0, т. е. для луча, который отходит от траектории самолета в вертикальной плоскости, проходящей через вектор V. Так как абсолютная величина этого параметра равна модулю скалярного произведения двух единичных векторов, то всегда — 1 -<о < 1.

Параметр т (ч-1 имеет размерность длины) характеризует влияние ускорения самолета. Из формул (3.9) видно, что влияние локального градиента параметров атмосферы на высоте полета самолета отлично от влияния неоднородности атмосферы на больших расстояниях от самолетов и эквивалентно влиянию ускорения, т. е. носит сосредоточенный характер. При полете самолета по наклонной траектории и

~dv0

dh 1 0 dh

>0

в нижней полусфере под самолетом этот градиент влияет так же, как и положительное ускорение самолета. Появление градиента параметров атмосферы в формуле для т связано с тем, что при полете самолета в неоднородной атмосфере с постоянной скоростью относительно земли число М полета может быть переменным вдоль траектории так же, как и в случае неустановившегося полета.

Из формул (3.9) следует также, что при произвольном маневре самолета имеет значение только составляющая вектора ускорения, нормальная к фронту в начале луча. Для объяснения этого рассмотрим полет самолета с постоянной скоростью до некоторого момента времени Т = Т2 и С ПОСТОЯННЫМ ускорением g при 'С2^х'^т3> направленным параллельно образующей конуса Маха АВ (фиг. 3).

На фиг. 3 изображена плоскость, проходящая через векторы V и

л0. Если бы самолет продолжал полет без ускорения, то при т—Т3 луч вышел из точки С' и через время I пришел бы в точку С. При ускорении самолета луч при ,с = 'е3 начинается в точке И', положение которой определяется суммой векторов 1/(^3 — т2) и ■тг£(тз— 'Ь)2 и через время £ приходит в точку О. Так как отрезки АВ и СИ параллельны, то образующая АВСО не искривляется.

Если при прочих равных условиях увеличивать параметр у, то при некотором значении этого параметра, равном на поверхности земли возникает фокусировка возмущений. Величина т0, определяемая из условия 1(0) —0, равна:

(1 - а*) /, (0) + /8 (0) + 2° /з (0)

° Л(0)/а(0) -/1(0)

где числитель и знаменатель всегда положительны. Величину ^ можно взять в качестве характерной при приведении параметра т

Фиг, 3

к безразмерному виду. В слоистой атмосфере коэффициенты и для падающей на поверхность земли Ы-образной волны равны:

к=

А/

чуч

.тс (х-|- 1) 1

*00

а* (0)Ро

«ооу/(0)|А(0)

а* (0)

‘-00 у

ч + 1

гёуИ'

у

(1 — о2) йо у Ч"

Мро|яо»1«0

1/2

(1-а*)лЙ, + о*

Л(.У) =

М Ро | «0 у

а» Лу

а2Уар \ пу 1\ «у ’

1/2

(3.10)

где индекс „00“ относится к значениям соответствующих величин на поверхности земли. Остальные коэффициенты можно вычислить

по формулам (2.5), в которых /= .

Из соотношений (2.5) и (3.10) следует, что при заданном состоянии атмосферы величины &/М3/2, 6,/М1,г, А^М1'4 и А,М1/4 зависят только от пяти параметров подобия: Л, я, •(, я0у и V. Здесь V—угол между некоторым фиксированным горизонтальным направлением (например, направлением скорости ветра на некоторой высоте) и

направлением вектора «о (вместо п0у и V можно взять две любые

составляющие вектора п0).

Так как параметры звукового удара не зависят от выбора системы координат, в которой они вычисляются, то в формулы (3.2)—(3.10) входят не абсолютные, а относительные скорости самолета и ветра, и формулы (3.7)—(3.10) инвариантны относительно поворота системы координат вокруг оси у.

1. Л а н д а у Л. Д. Об ударных волнах на далеких расстояниях от места их возникновения. ПММ, т. IX, вып. 4, 1945.

2. W h i t h а m G. B. The behavior of a supersonic flow past a body of revolution far from the axis. Proc. Roy. Soc. 1950, v. 201, No. 1064.

3. Whitham G. B. The flow pattern of a supersonic projectile. Commun. Pure Appl. Math, 1952, v. V, No. 3.

4. Keller J. B. Geometrical acoustics I. The theory of weak shock waves. Journ Appl. Phys., 1954, v. 25, No. 8.

5. Христианович С. А. Ударная волна на значительном расстоянии от места взрыва. ПММ, т. XX, вып. 5, 1956.

6. Губкин К. Е. Распространение разрывов в звуковых волнах. ПММ, 1958, т. ХХП, вып. 4.

7. Рыжов О. С. Затухание ударных волн в неоднородных средах. ПМТФ, 1961, № 2.

8. Рыжов О. С. Затухание ударных волн в стационарных течениях, ПМТФ, 1961, № 6.

9. G u i г о u d J. P. Acoustique g6om6trique, bruit balistique des avions supersoniques et focalisation. Joum. Мес., 1965, v. 4, No. 2.

10. Жилин Ю. Л. Теория затухания стационарных и нестационарных ударных волн в неоднородных средах. Труды ЦАГИ, вып. 1094, 1967.

11. George A. R. Reduction of sonic boom by azimuthal redistribution of overpressure. AJAA, 1969, v. VIII, No. 3.

12. Рыжов О. С., Шеф тер Г. М. Об энергии звуковых волн, распространяющихся в движущихся средах. ПММ, 1962, т. XXVI, вып. 5.

Рукопись поступила 30/Х 1970