CC BY
30
УДК 622.241.54
Н. В. Черданцев
ЗОНЫ НАРУШЕНИЯ СПЛОШНОСТИ В ОБЛАСТИ СОПРЯЖЕНИЯ ДВУХ ВЫРАБОТОК КВАДРАТНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Задача распределения напряжений в окрестностях горных выработок и их сопряжений является важной в механике подземных сооружений, поскольку позволяет при использовании критериев разрушения материла массива определять зоны нарушения сплошности, а следовательно, и нагрузку на крепь. Ниже приводится решение задачи определения зон нарушения сплошности в области сопряжения двух одинаковых выработок квадратного поперечного сечения, оси которых взаимно перпендикулярны (рис. 1).
Задача о напряжённом состоянии вокруг вы-
го поперечного сечения
работок формулируется следующим образом [1]: вертикально вдоль координатной оси г на бесконечный упругий массив действуют напряжения
X ТТ и и
О г — , горизонтально вдоль осей х, у деист-
X X Л т -Г л
вуют напряжения Ох — О у — Луп , где Л -
коэффициент бокового давления. Внутри массива имеется произвольных размеров и формы полость, имитирующая заданную выработку. На всей поверхности выработки или какой-то её части изнутри приложены напряжения ¥, которые могут создаваться, например, реакцией крепи. Требуется найти напряжённое состояние в любой точке массива вокруг выработки.
В работе для определения напряжённого состояния вокруг выработок используется метод граничных интегральных уравнений.
Сущность метода заключается в следующем. К контуру полости прикладывается компенсирующая нагрузка некоторой интенсивностью а . Совместно с внешней нагрузкой компенсирующая нагрузка в каждой точке контура должна удовлетворять условию на поверхности. Это позволяет составить интегральное уравнение, которое по
структуре идентична интегральному уравнению Фредгольма второго рода.
Интегральное уравнение для поставленной задачи [4] имеет вид:
1 ач(Яо) -Я
Фqm(Qо ,М0 )ат(М0 №ОМо —
О
2
= пд(Ш)°Сдд - Рд(Об)-
дд 1 д\
В уравнении (1) Фдm(Qo,Mo) Грина определяется [2, 4, 5]
1
(1)
тензор
Фдт(^,М0) :
8ж( 1 -у)Я
2
(і - 2о)(х-дт - п-^т}+
+
Я
(1 2о)5дт + 3
Я хдхт
Я
2
Щхі
Я
(2)
Здесь о - коэффициент Пуассона, индексы д, т, ґ = 1, 2, 3 -номера координатных осей: ось 1 -х, ось 2 - у, ось 3 - ось г. Я- расстояние между точками Qo и Мо , 5дт - символ Кронекера. -
чч
тензор напряжений на бесконечности, О - пло-
п
т
единичные
щадь поверхности полости, nq,
вектора внешних к поверхности полости нормалей в точках Qо и Мо.
Уравнение (1) решается относительно неизвестного вектора а . Решение ищется в форме метода Крылова - Боголюбова [3, 5]: интеграл заменяется суммой. После интегрирования заменённого суммой уравнения по каждому I -му элементу при условии, что в пределах элемента ¥,а постоянны приводит к следующим N векторным уравнениям:
1 * N 1а*.1 - !Ф(
2 3—1
3 * 7
(3)
Здесь 7 - номер точки на поверхности полости, в которой формулируется граничное условие; 7 - номер текущей точки на поверхности полости.
дт.Цат~ пд.іґдд.і ^д.і-
х
пространстве
Поскольку уравнение (1) сингулярное, то в (3) суммирование производится по всем точкам за исключением3=7 . В (3) обозначено:
ад.іД°і _ ац.і, адд.ілиі _ Ід.і’
ат.іі^°і _ ат.]>
Рд.і^°і _ Рд.і.
Решение (3) относительно aq 3 позволяет определить тензор напряжений Оqm в произвольной точке 7 массива, используя принцип суперпозиции:
N 3 * х
Оqm.i — Е Е Оqmt.ijat.j +Оqq.i■ (4)
Здесь
І_1*_1
<УдтІ — тензор напряжений от еди-
ничной нагрузки (тензор Кельвина) [2, 4, 6]
1
адтґ
8ж(1 — о )Я
3
(1 2о)(^тґхд +^дїхт ^дтхї) +
3хдхтхґ
Я
(5)
Массив горных пород, в котором сооружается выработка, считается слоистым, т. е. состоящим из пластов основной породы и межпластовых прослоек. Прослойки называются плоскостями ослабления, поскольку материал в них имеет более низкие характеристики прочности, чем материал основной породы. В статье для определения З. Н. С. используется критерий прочности Мора для материала поверхности ослабления. Поверхность ослабления (рис. 1) может быть произвольно ориентирована в пространстве. В работе это положение задаётся углами а, Д которые образует нормаль к этой поверхности с осями г, х.
Нормальные, касательные и полные напряжения по поверхности ослабления определяются по
ІЛІ
-2-10 1 2
-1.5 у'. Л.5
Рис. 3. Произвольная плоскость, перпендикулярная оси выработки (слева) и её проекция на координатную плоскость у0г (справа)
ад 2
1
2' 11.
.і
• • • 0
- 0.6, -1
_1_
-1 0
ь— 0.8 у'11
1
,0.8
Рис. 5. Зона нарушения сплошности в среднем сечении основной выработки
известным формулам теории упругости [4,6]. Нормальные напряжения
2
0
X
J.7, 2
1
z' 11.
J
• • • 0
- 0.7, -1
l- 0.9 y’ 11.
2
J.5,
Рис. 6 Зона нарушения сплошности в сечении основной выработки на стыке с боковой
Cv = С
2
2
2
х
+ СуШ + czn +
+ 2txyml + 2tyzmn + 2tzxnl;
здесь l, m, n- направляющие косинусы углов между нормалью к площадке и координатными осями х, у, z:
l = cos(v,x) = sin a cos ¡3, m = cos( v,y) = sinasin ¡3, n = cos(v,z) = cos a , полные напряжения определяются зависимостью
Pv = (cxl + Txym + Txzn) +
2 2 + (Txyl + Cym + Tyzn) + (Txzl + *yzm + Czn)
Г 2 2
касательные напряжения Ту — V Ру — О у .
Критерий прочности Мора задаётся прямолинейной огибающей кругов предельных состояний:
Тпр. —Оуп + а0. (6)
В (6), как и в [1], ао - коэффициент сцепления, а п = tgф(ф — угол внутреннего трения).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Баклашов И. В., Картозия Б. А. Механика подземных сооружений и конструкции крепей. М.: Недра. - 1992. - 544 с.
2. Бреббия К., ТеллесЖ., Вроубел Л. Методы граничных элементов. - М.: Мир.-1987.-525 с.
3. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближённые методы высшего анализа. Изд. 5-е. - М., Л.: Физ-матгиз. - 1962. - 708 с.
4. Лурье А. И. Теория упругости. - М.: Наука. - 1970. -940 с.
5. Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и приложения в механике. Под ред. Т. Круза и Ф. Риццо. - М.: Мир. -1978. - 210 с.
6. РаботновЮ. Н. Механика деформируемого твёрдого тела. - М.: Наука. -1979.-683 с.
□ Автор статьи:
Черданцев Николай Васильевич - канд. техн. наук , докторант каф. строи-
Для решения задачи применялся пакет МАТИСЛБ. На рис. 3 показана плоскость и её размеры на координатной плоскости у07. В точках этой плоскости вычислялись напряжения. Точки, в которых происходит разрушение материала, образуют зоны нарушения сплошности, показанные на рис. 4 - 7 показаны зоны нарушения сплошности в ряде сечений вокруг выработок в виде затемнённых областей. Использовались следующие данные: а =0, (5 =900, т. е. рассматривался массив с горизонтальными поверхностям ослабления. Коэффициент бокового давления Л=1, характеристики прочности материала а0=0, n=tg200 =0,364. Напряжения, вычисляются в безразмерных единицах, отнесённых к уИ. Размеры отверстий тоже в относительных величинах. После нахождения напряжений можно, используя критерии прочности, строить области разрушения, так называемые зоны нарушения сплошности (З. Н. С.) материла вокруг выработки.
тельства подземных сооружений и шахт
