Устойчивость выработки квадратного поперечного сечения, пройденной в поле тектонических напряжений Текст научной статьи по специальности «Энергетика и рациональное природопользование»

цилиндрических композитных оболочек //Рига: Зинатне, 1987. 295 с.

4. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем //М: Гостехиздат, 1956

5. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения //М: Наука, 1987. 304 с.

6. Шмидт Г. Параметрические колебания // Под ред. М. З. Литвина-Седого. М: Мир, 1978. 336 с.

7. Якубович В.А., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах // М: Наука, 1987. 328 с.

8. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости //Изд-во МГУ, 1998. 480 с.

9. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ // М: Наука, 1984. 750 с.

10. Петрушева И.И. Свободные колебания слоистой упругой цилиндрической оболочки. //Труды XVIII Межресп. конф. Кемерово, 1-3 июля 2003 / Под ред. В. М. Фомина. Новосибирск, 2003. С. 140-145.

□Автор статьи:

Петрушева Ирина Ивановна

- старший преподаватель каф. прикладной математики

УДК 622.241.54

Н. В. Черданцев, В.Ю. Изаксон

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЫРАБОТКИ КВАДРАТНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ, ПРОЙДЕННОЙ В МАССИВЕ ОСАДОЧНЫХ ГОРНЫХ ПОРОД В ПОЛЕ ТЕКТОНИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ

Задача об устойчивости породных обнажений в окрестности горной выработки, а также задача об устойчивости самой выработки являются основными при её проектировании и сооружении. Выработка считается устойчивой, если за ее контуром не образуются зоны нарушения сплошности окружающего массива. Зоны нарушения сплошности - области, в которых при упругом распределении напряжений, происходят разрушения сдвигом или отрывом по наименее прочным направлениям породного массива, называемых поверхностями ослабления, наличие которых в массиве осадочных горных пород связано с его генезисом. Обычно расчеты напряженного состояния массива горных пород производятся при вертикальных и горизонтальных напряжениях на бесконечности. Если выработка проходится в зоне

влияния тектонических воздействий, то следует рассчитывать напряжения и деформации при произвольном направлении главных напряжениях на бесконечности и величинах не равных уН.

Следовательно, для оценки устойчивости горной выработки необходимо знать напряжённое состояние в ее окрестности. Поскольку породный массив в окрестностях протяженных горных выработок находится в состоянии плоской деформации, то задача о напряженном состоянии в их окрестности формулируется следующим образом [1]: в бесконечной невесомой прямоугольной пластине, стороны которой нагружены напряжениями

оЦ = пуН, О = ЛцуН, ст33 = Лт]уН

и повёрнуты к горизонту на угол Е,, сооружается выработка произвольного сечения (рис. 1). Здесь П, А коэффициенты, в общем случае отличные от единицы, у -объёмный вес пород, Н - глубина заложения выработки.

При повороте пластины на её сторонах возникают новые напряжения, которые можно определить по формулам [2]:

да да да да

ю О Ц + О 22 О Ц - О 22 -г

О -------— СОЬ2^О

О

О-

11 + О 22

+ ■

О22 -

да

О11

соя2£ ,

О

ТУ* =

11

- О

22

2

sin2£,

да да > ....

° X = ° 33 + щ°11 + ° 22 )■> (1)

в которых и коэффициент Пуассона материала среды. Расчётной схемой задачи может быть принята также схема на рис. 2.

Для решения поставленной задачи весьма эффективным является метод граничных интегральных уравнений [3 - 6], сущность которого заключается в следующем. К контуру отверстия прикладывается компенсирующая (фиктивная) нагрузка некоторой интенсивности а. Совместно с напряжениями на бесконечности, реакцией крепи ^ (если крепь установлена) компенсирующая нагрузка в каждой точке контура должна удовлетворять условиям на поверхности контр отверстия.

Это позволяет составить интегральное уравнение, имеющее при плоской деформации следующий вид [5]:

1 --1

2

ад(вв) - | Ф дт№оМ0 )ат(М0 №ЬМ0

(2)

- Пд^0)Одат - Рд(Оо),

дт

в котором интегрирование выполняется вдоль линии контура выработки. В уравнении (2)

*

Ф дт (<0,0,М0) - тензор Грина, определяемый как [3, 5, 6]:

Ф'ат(ЯоМо) =

1

4пп(- и)г

Л

(1 - 2т

\

+

+

(1 - 2ии)дт + 2

хдхт

Я2

(3)

и - коэффициент Пуассона, индексы д, т, Ї = 1, 2

- номера координатных осей: ось 1 - у, ось 2 - 2, г

- расстояние между точками Q0 и М0, 5дт - символ Кронекера, Ь - длина линии контура поперечного сечения выработки, Пд, пт - единичные

векторы внешних нормалей, проведенных к линии контура в точках Q0 и М0;

2

2

X

г

г

X

піхі

г

ст

і І і і 11 і і 11 і і I

Рис. 1. Расчётная схема задачи

ст

ст

! I I ! I I I ! I I I ! I

о“ = АуН

Рис. 2. Стороны бесконечной пластины, ориентированные горизонтально и вертикально

О qm

О

0

0

О

У

yz

О

- тензор напря-

v yz z J

жений на бесконечности.

Заменяя в (2) интеграл суммой и затем интегрируя по каждому участку длиной ALi в пределах которого ai -const, приходим к N векторным урав-*

нениям относительно ai

1 N

—а* ■-'У Ф -a AL- = n t ” — F* ■

~ “q. ^ Z—i qm. ij m.j^^i ,lq. rqm. i A q. i

2 j=1 j*i

(4)

Напряжения в произвольной точке плоскости

У

пространстве

определяются посредством суммирования решения от действия компенсирующей нагрузки и напряжений на бесконечности

^ да

°q т. к = °q т I. к}а. + °q т. к , (5)

*

где тензор Кельвина Сдт{ определяется из [3, 5]:

1

О qmt

4пп( - и)г

(1 — 2uu)(mtxq + ^qtxm — $qmxt) +

2xqxmxt

Напряжение Ох , параллельное оси выработки определяется из обобщенного закона Гука. Таким образом, поле напряжений в окрестности выработки определено.

Критерием разрушения породного массива с поверхностями ослабления принят критерий Мора-Кузнецова:

Тп р >оуп + К , (7)

где К-коэффициент сцепления, а =tgф (ф- угол внутреннего трения пород прослойка ).

Произвольно ориентированная в пространстве поверхность ослабления может быть задана угла-

0

0

X

2

r

ми а, в (рис. 3). Нормальные uv, касательные tv и полные напряжения pv на поверхности ослабления в случае плоской деформации определяются по формулам [4, 5]:

2 2 2 av = axl + aym + azn + 2ryzlm ,

Pv = (axl)2 + (aym + т^n)2 + (t^m + azn)2,

Tv = Vpv - av , (8)

l, m, n - направляющие косинусы углов между нормалью к площадке и координатными осями: l = cos(v, x) = sina • cose, m = cos(v,y) = sina • sin в, n = cos(v, z) = cosa. (9)

На рис. 4-6 показаны зоны нарушения сплошности в виде затемненных областей вокруг квадратного отверстия при различных значениях % со следующими исходными данными: а =00, в =90°, К=0, п^200 = 0,364, ц=1.

Выводы

1. Угол наклона бесконечной пластины оказывает влияние лишь в негидростатическом поле напряжений.

2. Увеличение угла наклона бесконечной плоскости увеличивает размеры зон нарушения сплошности в окрестности горизонтальной выработки квадратного поперечного сечения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лурье А. И. Теория упругости. - М.: Наука. - 1970. -940 с.

2. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. - М.: Мир. - 1987. - 525 с.

3. Ержанов Ж. С., Изаксон В. Ю., Станкус В. М. Комбайновые выработки шахт Кузбасса. Опыт поддержания и расчёт устойчивости. Кемерово, 1976. 216 с.

4. Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и приложения в механике. Под ред. Т. Круза и Ф. Риццо. - М.: Мир. -1978. - 210 с.

□ Авторы статьи:

Черданцев Изаксон

Николай Васильевич Всеволод Юльевич

- канд.техн.наук, доц каф. сопротивления материа- - докт.техн.наук, проф., главный научный

лов, старший научный сотрудник Института угля и сотрудник Института угля и углехимии

углехимии СО РАН СО РАН