Метод граничных интегральных уравнений в задачах механики подземных сооружений Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ГЕОМЕХАНИКА

УДК 622.241.54

Н. В. Черданцев, В. А. Шаламанов

МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ В ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИЙ

Задача распределения напряжений в окрестностях горных выработок и их сопряжений является важной в механике подземных сооружений, поскольку позволяет при использовании критериев разрушения материла определять зоны нарушения сплошности и, следовательно, нагрузку на крепь. Подобные задачи для одиночных протяжённых горных выработок решались в ряде работ [1, 3, 5]. В этих работах для определения напряжённого состояния вокруг выработок квадратного, трапециевидного, сводчатого сечений использовался метод функций комплексного переменного.

Однако, если необходимо определять напряжённое состояние вокруг камерных выработок, размеры которых по направлениям осей пространственной системы координат соизмеримы друг с другом, или сопряжений выработок, то в этих случаях нужно использовать другие методы, так как такие задачи являются пространственными задачами теории упругости, а методы функций комплексного переменного, детально разработанные в [8], применимы лишь к плоским задачам. Пространственные задачи решаются, например, методом конечных элементов. Однако, для бесконечных областей, т. е. для тел с бесконечно большими размерами, более эффективным является метод граничных интегральных уравнений [2, 6, 7]. Сущность метода заключается в следующем. К контуру полости прикладывается компенсирующая нагрузка некоторой интенсивностью й . Совместно с внешней нагрузкой компенсирующая нагрузка в каждой точке контура должна удовлетворять условию на поверхности. Это позволяет составить интегральное уравнение, которое по структуре идентично интегральному уравнению Фредгольма второго рода.

В теории упругости задача определения напряжений вокруг произвольной полости, находящейся внутри упругого нагруженного пространства, называется второй внешней краевой задачей [6].

Задача о напряжённом состоянии вокруг выработок и сопряжений выработок формулируется следующим образом: вертикально вдоль координатной оси г на бесконечный упругий массив дей-

ствуют напряжения Сг^—уН , горизонтально вдоль осей х, у действуют напряжения <7г°°=Су°=ЛуН , где Я - коэффициент бокового давления. Внутри массива имеется полость произвольных размеров и формы, имитирующая заданную выработку. На всей поверхности выработки или какой-то её части изнутри приложены напряжения ^ , которые могут создаваться, например, реакцией крепи. Требуется найти напряжённое состояние в любой точке массива вокруг выработки.

Интегральное уравнение второй краевой задачи [6]

~2ад(^) ~\\Фдт(0-0,мо)аш(мо№°Мо = 2 О

= пд(^)Сдд ~ Рд(^)-

(1)

В уравнении (1) Фдт^а М0) - тензор Гри-

на, т. е. единичное решение на поверхности полости , определяется [6, 2, 7]

1

Фдш (Ов Мв) -

8ж( 1 -у)Я

2

х<

(1 - 2и)(-

хдпш

Я

пдхш

Я

) +

+

(1 2и)бдш + 3

хдхш

Я

2

піхі

Я

(2)

Здесь V - коэффициент Пуассона, индексы д, т, ^ = 1, 2, 3 -номера координатных осей (ось 1 -х, ось 2 - у, ось 3 - ось г), Я- расстояние между точками Q0 и М0, 5дш - символ Кронекера, д°°дд - тензор напряжений на бесконечности, О - площадь поверхности полости, Пд, пт - единичные векторы внешних к поверхности полости нормалей в точках Q0 , М0 (рис. 1).

Уравнение (1) решается относительно неизвестного вектора й, который называют вектором компенсирующей нагрузки или вектором фиктивной нагрузки. Решение уравнения (1) ищется в форме метода Крылова - Боголюбова [4, 7]: инте-

х

грал заменяется суммой

1

N

2адл ^Фдтл]ат.]ДО3 = пдлСддл ^дл-

2 3=1

3 * 7

(3)

где 7 - номер точки на поверхности полости, в которой формулируется граничное условие; 3-номер текущей точки на поверхности полости.

Поскольку уравнение (1) сингулярно, то в (3) суммирование ведется по всем точкам, кроме 3—7 . Интегрирование (3) по каждому 7 -му элементу при условии, что в пределах элемента ¥, а постоянны, приводит к N векторным уравнениям:

1 N

2ад. 1^01 Ефдт. уат. 3^0 3^07 =

2 3=1 3 *7

оо

(4)

- пд.іадд.і АОі Обозначим

ац.і^°і - aq.i’

аш.рД°] - аш.]’

aqq.iАOi - tq.і, Fq.iАOi - ^ц.і.

(5 )

N

1 х ж'. х ^-\ 00 х

~2aq^i - ^^ш.уаш.]^Оі - nqjtqqj -Fq...

2 3-1 3 *

(6)

N векторным уравнениям (6) соответствуют 3N скалярных уравнений

* N а*х.і - Е 3-1 3 *і

^ х фхх.уах.3' +

х

+ фхуіау.3 +

х

АОі - пх.1{х - Рх.і’

х N

аул - Е

3-1 3 * і

+ фxz.i3az3

У

ф х ^ фух.і3ах.3 +

+ фуу.і3ау.3 +

х

+ фyz.i3az3

АґЛ гх

АОі - пу.ііу - Ру.і,

х N

ау.і - Е

3-1 3 * *

фzx.i3ax.3 +

х

+ фу.і3ау.3 +

I -г>

+ фzz.i3az3

ІҐЛ О г^х

АОі - пу.і^у - Рул

(7)

После решения (7) относительно а х3,аy.j,az.j можно определить тензор на-

/

Рис. 1. Полость с основными параметрами

пряжений Сдт в произвольной точке 7 массива, используя принцип суперпозиции:

N 3

адтл = Е Е aqmtлjat 7 +аддл. (8) 3=11=1

Здесь Сдт - единичный тензор напряжений Кельвина [2, 6, 9]

(1 ~ 2u)(^mtxд + Здtxm Сдmt = " | 3 я ) 1 3хдхтх

8ж( 1 -и)Я

&дш хі) + ■

Я

2

(9)

В плоской задаче теории упругости напряжённое состояние определяется координатами плоскости, например, хОу . Если ось протяжённой горной выработки обозначить х, то любая плоскость единичной толщины, перпендикулярная оси х, работает в условиях плоской деформации. В этом случае граничное интегральное уравнение (1) принимает вид:

aq(Q0) - \фдш(О0М0)аш(М0)-ЬМ0 -Ь

- па(О0)°°а - ^(О0).

2

(10)

Здесь интегрирование ведётся вдоль линии контура отверстия (контура сечения горной выработки), а тензор Фqm получается из тензора (2) интегрированием по х в пределах от -о до +о

1

фqш (О0 ,М0 ) -

4ж( 1 -у)т

х<

(1 - 2и)(х^пш - Пп^} +

г

+

(1 2u)Sqш + 2

г

xqxш

Я‘

піхі

х

г

(11)

где r - расстояние между точками Q0 и M0,

q,m,t=1,2. .

Заменяя в (10) интеграл суммой, затем интегрируя по каждому участку длиной ALt , в пределах которого at - const, приходим к 2N алгебраи-

* *

ческим уравнениям относительно ay j , az j N.. .

ly-

.i - Z (ф

j=1 j *i

yyx.ijay.j + ®yz.ijaz.j )ALi =

_ O J-,*

= ny.i‘y.i Fy.i>

N

1 * / -f* * Л* * 1 4T

2az.i - Z (®zy.ijay.j + ®zz.ijaz.j )ALi =

j=1 j *i

_ О J-,*

= nz.iTy.i Fz.i-

(12)

Напряжения в произвольной точке плоскости определяется по формуле, аналогичной (8):

N 3

Zv * 00

Z Oqmt.ijat.j + Oqq

(13)

t.j ' ”qq.i-

В выражении (13) тензор Кельвина <J*qmt

j=1t=1

ении (1 определяется по формуле [2, 9]

1

O

qmt

4ж( 1 -v)r

2

(1 2v)(^mtxq + dqtxm

_ 2xqxmxt

-áqmxt) + '

2

(14)

После нахождения напряжений можно, используя критерии прочности, строить области разрушения так называемые зоны нарушения сплошности (З. Н. С.) материла вокруг выработки.

Ниже приводятся результаты расчётов зон нарушения сплошности вокруг наиболее часто встречающихся форм отверстий: круглой, квадратной, эллиптической трапециевидной и сводчатой форм, находящихся в условиях плоского деформированного состояния, т. е. решается плоская задача и напряжения в плоскости у, г, в которой находится рассматриваемое отверстие определяются по формулам (13), а напряжение сх , параллельное оси выработки х, связано с Су, сг

Ox = ХуН + V(G y +Oz

).

(15)

Массив горных пород, в котором проходится выработка, считается слоистым, т. е. состоящим из пластов основной породы и межпластовых прослоек. Прослойки называются плоскостями ослабления, поскольку материал на этих плоскостях имеет более низкие характеристики прочности, чем материал основной породы. Здесь для опре-

пространстве

деления З. Н. С. используется критерий прочности Мора для материала поверхности ослабления (такой подход в [1, 3, 5] называется методом упругого наложения).

Поверхность ослабления (рис. 2) может быть произвольно ориентирована в пространстве. В статье и [3] это положение задаётся углами а, Д которые образует нормаль к этой поверхности с осями z, x.

Нормальные, касательные и полные напряжения по поверхности ослабления в случае плоской деформации определяются по известным формулам теории упругости [3,6].

Нормальные напряжения

2 2 2 ' у — w x¡ ^ w ym ^ w z

здесь l, m, n - косинусы углов между нормалью к площадке и координатными осями x, y, z: l — cos( y,x) — sinacos Д, m — cos( у, y) — sin a sin Д n — cos(y,z) — cosa ,

= oxlz +oym +oznz + 2tyzlm , (16)

(17)

Рис. 3. Зоны нарушения сплошности вокруг круглого отверстия Я =1, а =0, /3=9(Р

2

1.5

т

Рис. 4. Зоны нарушения сплошности вокруг квадратного отверстия Я -1, а =0, ¡=9(Р

Рис. 5. Зоны нарушения сплошности вокруг эллиптического отверстия. Отношение большой оси к малой равно 2. Я =1, а =0, ¡5=90

1

1

Рис. 6. Зоны нарушения сплошности вокруг трапециевидного отверстия. Отношение большого основания к малому равно 2, отношение большого основания к высоте равно 1. Я =1, а =0, ¡=90

полные напряжения

2 / ; 2 / 2 / 2 Ру - (°х1) + (°уш + Ту?п) + (Tyzm + &zn)

касательные напряжения

У -

і

2 2 Ру -°у

(18)

(19)

Критерий прочности Мора задаётся прямолинейной огибающей кругов предельных состояний:

Тпр =СуП + а0. (20)

В (19) а0 - коэффициент сцепления, как и в [1, 3], а п = tg(ф) {д>- угол внутреннего трения).

Для решения задачи применялся пакет МаШ-Са± На рис. 3 - 7 показаны различные формы по-

Рис. 7. Зоны нарушения сплошности вокруг сводчатого отверстия, свод очерчен параболой. Отношение высоты свода к основанию равно 1/2, отношение основания к высоте равно 1.

Я -1, а =0, р=9&

перечных сечений выработок и соответствующие им зоны нарушения сплошности в виде заштрихованных областей вокруг отверстий. Рассмат-

ривался массив с горизонтальными поверхностям ослабления (а =0, ¡3 =900). Коэффициент бокового давления Я=1, характеристики прочности материала - а0=0, n=tg200 =0,364. Напряжения даны в безразмерных единицах, отнесённых к уИ. Размеры отверстий - в относительных величинах.

Полученные результаты совпадают с результатами, полученными другими методами [1, 3, 5] Методом граничных интегральных уравнений рассмотрены и объёмные задачи о распределении напряжений вокруг трёхмерных полостей (с цилиндрической, сферической и призматической

1

полостями).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баклашов И. В., Картозия Б. А. Механика подземных сооружений и конструкции крепей. М.: Недра. - 1992. - 544.

2. Бреббия К., ТеллесЖ., Вроубел Л. Методы граничных элементов. - М.: Мир. - 1987. - 525 с.

3. Ержанов Ж. С., Изаксон В. Ю., Станкус В. М. Комбайновые выработки шахт Кузбасса. Опыт поддержания и расчёт устойчивости. Кемерово, 1976. 216 с.

4. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближённые методы высшего анализа. Изд. 5-е. - М., Л.: Физ-матгиз. - 1962. - 708 с.

5. Колоколов С. Б. Механизм формирования зон нарушения сплошности вокруг подготовительных выработок и их воздействие на поддерживающую крепь. Докторская диссертация. Караганда, 1991, 270 с.

6. Лурье А. И. Теория упругости. - М.: Наука. - 1970. -940 с.

7. Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и приложения в механике. Под ред. Т. Круза и Ф. Риццо. - М.: Мир. -1978. - 210 с.

8. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. -1966. - 708.

9. РаботновЮ. Н. Механика деформируемого твёрдого тела. - М.: Наука. -1979.-683 с.

□ Авторы статьи:

Черданцев Николай Васильевич

- канд. техн. наук, докторант каф. строительства подземных сооружений и шахт

Шаламанов Виктор Александрович

- докт. техн. наук, проф. каф. строительства подземных сооружений и шахт