ЗОНДОВЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА В АНИЗОТРОПНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ КРИСТАЛЛАХ И ПЛЕНКАХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕТОДЫ И ТЕХНИКА ИЗМЕРЕНИЙ

УДК 537.311.322

Зондовые измерения распределения потенциала в анизотропных полупроводниковых кристаллах и пленках

В.В. Филиппов, А.Н. Власов Липецкий государственный педагогический университет

Представлены выражения, позволяющие определять распределения электрического потенциала в анизотропных полупроводниковых образцах прямоугольной формы. Рассмотрены практически важные случаи, когда исследуемый образец находится на металлической, полупроводниковой или диэлектрической подложке.

Ключевые слова: анизотропия, полупроводник, пленка, подложка.

При применении материалов и структур в электронных и наноэлектронных устройствах существенны такие параметры, как ширина запрещенной зоны, концентрация, подвижность, электропроводность, однородность, зависимость свойств от направления электрического тока. Общие вопросы кинетической теории явлений переноса в анизотропных полупроводниках рассмотрены в монографии [1], общефизические соотношения между величинами, необходимые для научной интерпретации экспериментальных данных, представлены в работах [2, 3]. В то же время для практических исследований экспериментатору и инженеру требуются теоретически обоснованные и надежные методы измерений характеристик анизотропных полупроводников, гарантирующие достоверность результатов. В частности, тензор проводимости не измеряется экспериментально прямым путем. Непосредственно измеряемыми величинами являются полные сопротивления, связанные с компонентами тензора электропроводимости множителями, содержащими размеры образца, даже если предполагается, что образец в остальных отношениях однороден. Распределение потенциала токового зонда в исследуемой пленке также важно для анализа данных сканирующей зондовой микроскопии (СЗМ) [4, 5]. Проблема главным образом заключается в сложном характере распределения электрического потенциала и плотности тока в образцах, обладающих анизотропией электрических параметров.

Теоретическая модель распределения потенциала. Рассмотрим распределение электрического поля токового зонда к анизотропной полупроводниковой пленке (рис.1). Тензор удельной электропроводности в данном случае в декартовой системе координат удобно представить в виде [2, 6]

(1)

© В.В. Филиппов, А.Н. Власов, 2012

Рис.1. Схема положения токового зонда к исследуемой пленке на металлической или полупроводниковой подложке. 11 - ток зонда; (хь >>1) - координаты центра токового зонда;

а, Ь, ё - геометрические размеры пленки

где а х, а , а2 - значения удельных электропроводимостеи соответственно по осям х,

у, г. Подобного рода анизотропия может быть вызвана структурой кристалла или влиянием деформаций [1, 6], а также возникать в квантово-размерных пленках [7, 8].

Для случая стационарных токов уравнение для плотности тока и электрического потенциала имеет вид [2, 6]

, Ъ=о,

а=а-^ф.

Следовательно, получаем

а.

д 2ф

дх

2 +а У

д 2ф

ду

2 +а 2

д 2ф

д22

= о.

(2)

(3)

Для учета влияния границ пленки рассмотрим распределение потенциала токового зонда к прямоугольной анизотропной пленке (см. рис.1). Здесь острие зонда представлено квадратом со стороной 28 (данная форма контакта позволяет получить аналитическое решение для потенциала в пленке). Как правило, форма острия зонда труднокон-тролируема [4, 5], параметром, характеризующим растекание тока, является площадь контактной поверхности [9, 10].

Граничные условия для потенциала следуют из условия равенства нулю нормальной составляющей плотности тока на всей поверхности образца, кроме точек под токовым электродом, где плотность тока постоянна. Потенциал нижней грани принимаем равным нулю, что соответствует положению полупроводниковой пленки на металлической подложке. Тогда граничные условия для уравнения (3) принимают вид

а.

дф дх

= а

х=0,а

дф ду

= 0, Ф1 2=, = 0

у=0,Ь

а

дф д

I

2=0

--V' Х1 -8< х < х +8Л ух-8< у < ух +в;

48 2

0 в остальной области.

(4)

Здесь х1 и у1 - координаты центра подвижного зонда, грани контактирующей поверхности параллельны граням образца (см. рис.1).

= <

Краевая задача (3), (4) решается методом разделения переменных. В данном случае выражение для потенциала ф(х,у,г) можно представить в виде двойного ряда Фурье по косинусам:

ф(х, y, z) = У Znk (z)cos(anx) • cos(pky), an = —, = >nk.

JTZa a b

nk

(5)

n,k=0

Подставляя ряд (5) в уравнение (3) и учитывая граничные условия (4), получаем выражение для 2пк (2). Опуская громоздкие математические преобразования, запишем

выражение для распределения потенциала в объеме анизотропного полупроводникового кристалла в окончательном виде:

9(xyz) =

h

aba,,

d - z - 4 У 0 nk-

n,k=0 4nk ch(4nkd)

sh(n„k(z - d)) sin(ane) sin(pke)

a n e I a n e

P k e

•cos la

(a nxi^ cos(pkyi^cos(a nx ^cos(p ky1

(6)

©nk И

1, n ^ 0 л k ^ 0;

n k

1/2, n = 0лk Ф 0 v n ^ 0лk = 0; an =—, Pk = —, ^nk =

a b

0, n = k = 0;

^an + ^P2 . (7)

a.

a.

Сопротивление пленки определяем как разность средних значений потенциала на токовом и металлическом заземленном контактах. Согласно полученному выражению (6), находим сопротивление растекания ограниченной анизотропной пленки:

R = ■

d

аЪа,

4

1 + - У ©

л ¿—t

nk

sh^nkd) Г sin(ane) sin(Pk e)

d n,k=0 Лnk ch^nkd)

Y

V ane

P k e

•cos2 (an x1 ^ cos2 (Pk yi )

. (8)

Практически важным также является случай, когда полупроводниковый образец расположен не на металлической, а на полупроводниковой подложке. В данном примере на нижней грани образца следует считать постоянной плотность тока, и соответствующие граничные условия для прямоугольного анизотропного полупроводника примут вид

a

дф дх

= a

x=0,a

дф cy

= 0, a.

y=0,b

дф Yz

z=0

A

4s2

, x1 - s < x < х1 + вл y1 - s < y < y1 +s;

a.

дф Yz

0, в остальной области;

I1

z=d

ab

(9)

Решение краевой задачи (3), (9) методом Фурье аналогично предыдущему случаю. Здесь выражение для потенциала можно представить в виде

ф( x,y,z) =

А

аЪо„

d - z - 4 У 0nk-

n,k=0 ^nk sh(^nkd)

ch(^nk (z - d)) sin(ane) sln(Pke)

Pk e

cosía

(anx1 )• cos(P¿y1 ^ cos(anx)^ cos(P¿y)

ОТ

X

да

X

да

= <

X

да

X

ane

Сопротивление анизотропной пленки в этом случае определяется выражением

Я = -

а

аЬа.

1 + 4 I ©

пк

1 - сЬ(Лпка) Г §1п(ап£) втфке)

к=0 Лпк *НЦпка)

V а п е

в к е

СОБ2(ап^1)-СОБ2(вк У1)

. (11)

Для наиболее полного анализа распределения потенциала при зондовых измерениях рассмотрим случай, когда полупроводниковая пленка находится на диэлектрической поверхности. Для существования электрического поля в области образца необходимы два контакта, располагаемых, как правило, на одной из граней. Рассмотрим случай положения контактов, представленный на рис.2. Контактные площадки, центры которых имеют координаты (х1, у, 0), (х2, у2, 0) обладают формой квадратов с размерами граней 2е1 и 2е2.

Рис. 2. Схема положения токовых зондов к анизотропной полупроводниковой пленке на диэлектрической подложке. /12 - ток зондов; (х1, у1), (х2, у2) - координаты центров

зондов; а, Ь, й - размеры пленки

Граничные условия определяются следующим образом:

а

а.

сф

г=0

сф Сх

I

= а

х=0,а

сф Су

= а.

у=0,Ь

сф

= 0,

г=а

12

4в2

, Х1 -81 < X < Х1 +81 Л У1 -81 < у < У1 +81;

I

12

2> Х2 -82 < Х < Х2 +82 Л У2 -82 < У < У2 +82;

48 2

0 в остальной области.

2

(12)

Решение для потенциала представим в виде двойного ряда:

41

ф( Х У,г) =

ОгаЬ пк=0

I пк СЬ(П"к((Г а)) • «*(РкУ)• СО8(апХ) X

Лпк )

81п(апе1) 81п(вк 8) СОБ(РкУ!) • СОБ(апХ,) - ^пе2) ^к 82)

а„е

п° 1

в к 81

ае

п2

в к 8 2

• СОБ(РкУ2) • СОБ(апХ2)

..(13)

2

п

= <

X

В случае 8! = 82 =8 выражение для сопротивления пленки представляется в виде:

41

К = ^ у

°гаЪ п,к=0

0

сЬ(Лпк^) Г вт(ап8) ^(Рк 8)

пк

Лпк *КЛпкй)

Л2

V ап8

в к 8

к8 У

((С08(РкУ1) • С08(ап^!))2 - (С08(РкУ2) ' С08(ап^Т )

(14)

X

X

Экспериментальная проверка. Опытное контролирование полученных распределений было выполнено на анизотропных монокристаллах диарсенидов кадмия (CdAs2) и цинка (ZnAs2), параметры которых представлены в работах [11, 12]. В качестве токовых электродов использовались вольфрамовые прижимные зонды. В каждом случае значение потенциала определялось с помощью подвижного металлического зонда, заземленного относительно электрода на нижней грани. Размер токового контакта и положение зонда контролировались с помощью микроскопа. В каждом случае через образец пропускался постоянный ток от стабилизированного источника питания, разность потенциалов определялась с помощью высокоомного вольтметра. Погрешность измерений не превышала 5%.

После получения экспериментальных значений потенциала были построены графики соответствующих теоретических зависимостей ф(х,у) при том же значении тока, пропускаемого через образец. На рис.3 приведен пример сопоставления экспериментальных данных и теоретической кривой, построенной согласно распределению потенциала (6) для диарсенида кадмия ( а 2 = 8,76 Ом-1 • м-1,

а х = а у = 40,94 Ом-1 • м-1, а = 8,65 мм, Ъ = 10,15 мм , й = 2,65 мм, 28 = 1,24 мм, XI = а/2, у1 = Ъ/2) на поверхности кристалла в плоскости контакта на прямой у = Ъ\. Получено хорошее соответствие экспериментальных данных и теоретических моделей распределения потенциала электрического поля в анизотропных образцах в пределах погрешности измерений.

Необходимо отметить, что задача о нахождении трехмерного распределения потенциала была также поставлена в работах [11-13], в которых показано практическое применение полученного распределения потенциала - определение компонент тензора удельной электропроводности и моделирование режима работы полупроводниковых структур современной электроники. Методики определения электропроводности, предложенные в работах [11, 12], проверены экспериментально.

Полученные выражения для потенциалов токовых зондов можно использовать для определения анизотропии и неоднородности полупроводниковых пленок, а также могут быть полезны при интерпретации данных СЗМ. Следует отметить, что представленные распределения потенциала не учитывают квантовых и зарядовых эффектов

Рис.3. Сопоставление экспериментальных данных (+) и теоретической кривой (сплошная линия) распределения потенциала в прямоугольной пленке диарсенида кадмия

[7, 8], которые наиболее ярко проявляются при низких температурах. Одним из основных условий применимости выражений для потенциала (6), (10), (13) является наличие гладких границ на плоскостях раздела полупроводника.

Литература

1. Баранский П.И., Буда И.С., Даховский И.В., Коломиец В.В. Электрические и гальваномагнитные явления в анизотропных полупроводниках. - Киев: Наукова думка, 1977. - 270 c.

2. АскеровБ.М. Электронные явления переноса в полупроводниках. - М.: Наука, 1985. - 320 с.

3. Киреев П.С. Физика полупроводников. - М.: Высш. шк., 1975. - 584 с.

4. Неволин В.К. Зондовые нанотехнологии в электронике. - М.: Техносфера, 2006. - 160 с.

5. МироновВ.Л. Основы сканирующей зондовой микроскопии. - М.: Техносфера, 2005. - 144 с.

6. Най Дж. Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц. -М.: Мир, 1967. - 380 с.

7. Драгунов В.П., Неизвестный И.Г., Гридчин В.А. Основы наноэлектроники. - М.: Физматкнига, 2006. - 496 с.

8. Ando Т., Fowler A.B., Stern F. Electronic properties of two-dimensional systems // Reviews of Modern Physics. - 1982. - Vol. 54, N 2. - P. 437-672.

9. Поляков Н.Н., Коньков В.Л. К выводу формулы сопротивления растекания для плоского контакта круглой формы // Изв. вузов. Физика. - 1970. - № 9. - С. 100-105.

10. Батавин В.В., Концевой Ю.А., Федорович Ю.В. Измерение параметров полупроводниковых материалов и структур. - М.: Радио и связь, 1985. - 264 с.

11. Поляков Н.Н., Карлов А.В., Филиппов В.В. Измерение электропроводимости анизотропных полупроводниковых пластин и пленок // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2004. - Т. 70. -№ 3. - С. 26-31.

12. Филиппов В.В. Методика определения удельной электропроводности и подвижности носителей заряда в слоистых полупроводниковых материалах // Приборы и техника эксперимента. - 2007. - № 4 -С. 136-139.

13. Филиппов В.В., Петров Б.К. Моделирование свойств каналов кремниевых МОП транзисторов на деформирующей подложке германия // Микроэлектроника. - 2010. - Т. 39. - № 4 - С. 265-273.

Статья поступила 29 апреля 2011 г.

Филиппов Владимир Владимирович - кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой физики Липецкого государственного педагогического университета. Область научных интересов: исследование кинетических и контактных свойств неоднородных и анизотропных полупроводниковых материалов, компьютерное моделирование электронного переноса в неоднородных и анизотропных полупроводниковых материалах электронной техники.

Власов Артур Николаевич - аспирант кафедры физики Липецкого государственного педагогического университета. Область научных интересов: исследование кинетических и транспортных свойств полупроводниковых пленок и наноструктур, моделирование распределения деформаций и электрических полей в анизотропных полупроводниковых кристаллах и пленках. E-mail: wlasow4887@yandex.ru