CC BY
36
УДК 514 ББК 22.151я72-4
С.В. Лознева
ЗНАЧИМОСТЬ МИКРОСТРУКТУРНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПЕРВОГО РАЗДЕЛА СТЕРЕОМЕТРИИ
Аннотация. В статье рассмотрены некоторые микроструктурные средства решения задач первого раздела стереометрии и показана целесообразность их создания и активного использования на уроках математики.
Ключевые слова: стереометрия, решение задач, общая структура решения задач, микроструктура решения задач, деятельность по решению задач.
S.V. Lozneva
CONCERNMENT OF MICROSTRUCTURE MEANSS FOR TEACHING OF TASK SOLUTION
FROM FIRST PART STEREOMETRY
Abstract. In this article there are seen some microstructure means of task solution from first part stereometry and are demonstrated expediency their making and active utilization on lessons mathematics.
Key words: stereometry, task solution, general structure of task solution, microstructure of task solution, activity of task solution.
В школьном курсе стереометрии первым разделом является «Взаимное расположение прямых, прямых и плоскостей в пространстве». От того насколько качественно он будет изучен зависит усвоение всего последующего материала. А как показывает практика и анализ методической литературы, учащиеся плохо владеют стереометрическим материалом. Анализ ЕГЭ показывает следующие результаты [6]: в среднем 20% выпускников даже не приступают к решению стереометрических задач, 51% выпускников, пытающихся решить геометрическую задачу, допускают традиционные ошибки, в основе которых лежат незнание стереометрического материала и неумение проводить логические рассуждения. Чтобы устранить причины неумения учащимися самостоятельно решать сложные задачи, нужно представить себе процесс обучения поэтапно, т.е. каким образом сложную задачу можно разложить на составляющие её простые этапы или шаги. Рассмотрим пример того, как начинают процесс обучения изготовлению мебели или шитью платья. Нужна ли поэтапность или пошаговость этих процессов обучения? Неужели обучение начнем с того, что предложим им изготовить табуретку или какое-то платье? Нет, сначала учат разбираться в материалах, которые используются для мебели или платья. Затем учащихся обучают выполнению отдельных элементарных операций разными инструментами. И только после этого предлагают ученикам изготовить ту самую табуретку. Иными словами, для того чтобы человек сознательно овладел каким - либо сложным делом, ему нужно дать необходимые знания об объектах, с которыми ему придется иметь дело, научить отдельным действиям и операциям, из которых состоит его будущая работа, обучить основным методам этой работы. А ведь решение задач - это ещё более сложная деятельность, чем изготовление мебели или каких - либо других предметов (в умственном плане). Мы хотим, чтобы учащиеся научились решать самостоятельно (а не по подражанию) сложные задачи, но не даём им никаких знаний о задачах и их решении, не вырабатываем у них нужных для этого элементарных умений и навыков. Для того чтобы научить учащихся самостоятельно решать нестандартные задачи, выработать у учащихся общий подход к решению любых задач, сформировать способность разумного поиска способа решения задач незнакомого вида (имеются в виду задачи школьного типа, не требующие особых методов решения), необходимо следующее.
1. Дать учащимся элементарные знания теории задач. Эти знания не следует выделять в особую тему, а можно давать попутно с решением задач в течение всех лет обучения, возвращаясь к одному и тому же понятию неоднократно. Например, первое понятие о задаче и её структуре следует дать учащимся ещё в начальной школе, но затем в средних и старших классах это понятие необходимо уточнять и углублять многократно. То же следует делать с другими понятиями теории задач: генезис задач, классификация задач, сущность и процесс решения и т. д.
2. Выработать у учащихся прочные умения и навыки в выполнении отдельных элементарных действий, входящих в процесс решения сложных задач: умение проводить анализ задачи, построение различных её моделей, осуществление планомерного поиска способа
решения, выполнение проверки решения, исследование задачи и её решения и учебно -познавательный анализ задачи и найденного решения. Это достигается с помощью выполнения учениками особой системы упражнений.
3. Познакомить учащихся с основными эвристическими методами решения школьных математических задач и выработать у них прочное умение и испытывать эти методы для решения разнообразных задач [3, 117]. В связи с этим возникает вопрос: «Каким образом учителю необходимо организовывать деятельность по решению задач и доказательству теорем по стереометрии, чтобы изменить создавшееся положение?».
Для управления организацией деятельности по решению стереометрических задач первого раздела целесообразно выделить все составляющие этой деятельности и, прежде всего, те операции и действия, которые используются в деятельности по решению задач именно этого раздела стереометрии. Другими словами - целесообразно описать «микроструктуры деятельности по решению задач» указанного раздела. Что это такое? Л.М. Фридман, вводя данный термин [4, 62], указывал, что понимает под «микроструктурой деятельности по решению задач» элементарные шаги этой сложной мыслительной деятельности.
Раскроем содержание данного понятия, предварительно представив смысл понятия «макроструктура деятельности по решению задач» (деятельность по решению задачи - далее ДРЗ), или «общая структура деятельности», или «этапы решения задачи».
ПЕРВЫЙ ЭТАП ДРЗ - это этап анализа задачи. Он состоит из нескольких частей задачи: а) установление предметной области, при этом выявляется характер каждого её элемента; б) выявление отношений, которыми связаны элементы предметной области задачи, и их характера; в) определение оператора и требования задачи - опознание задачи.
ВТОРОЙ ЭТАП ДРЗ - это этап составления плана решения, завершения поиска идеи. Выбор искомых величин, попытки подвести задачу под известный тип, выбор наиболее приемлемого метода решения. Выбор стратегии и поиск плана, апробация и т.д.
ТРЕТИЙ ЭТАП - это этап осуществления плана решения. На этом этапе проводится практическая реализация плана решения во всех его деталях с одновременной корректировкой через соотнесение с условием и выбранным базисом, выбор способа оформления решения и само оформление решения, запись результата.
ЧЕТВЁРТЫЙ ЭТАП ДРЗ - это этап обсуждения (анализа) процесса решения. В ходе этого этапа фиксируется конечный результат решения, анализ результата, выявление существенного, систематизаций новых знаний, опыта.
Попробуем представить микроструктуру ДРЗ. Более важно выявить те элементарные шаги (в смысле нерасчленимые). из которых состоят эти этапы деятельности, а для этого надо провести микроанализ (микроподход). Под такими шагами подразумевают мыслительные шаги, их подразделяют на 2 типа: а) шаги, реализация которых, представляет собой достоверный вывод. б) шаги, реализация которых представляет собой лишь правдоподобный (негарантированно достоверный) вывод.
Изучение структуры, характеристики, классификации этих элементарных шагов является основным звеном в исследовании микроструктуры ДРЗ. Л.М. Фридман предлагает изучить структуру, характеристику, классификацию этих элементарных шагов разбивая на группы теорию, данные, правила, опыт по решению задач следующим образом: 1) группа тождественно - истинных высказываний (теория Т). Это теория или даётся нам непосредственно в условиях задачи, если эта задача полно поставленная, или же теория имеется у решающего в виде системы знаний той области, к которой принадлежит заданная задача, если она является обычной неполно поставленной; 2) группа истинных высказываний - тех частных, конкретных условиях (данных), которые заданы в задаче (группа Д); 3) группа правил логических преобразований высказываний и образования сложных высказываний (правил, вывода) (группа П); 4) группа особых специальных преобразований и действий по решению задач, которые исторически выработаны коллективным многовековым опытом людей в процессе решения задач (группа С) [4, 62].
Характер элементов группы С отличается совершенно недостаточной определённостью. Так, например, общее правило, идущее ещё от Б. Паскаля: «Заменить термины их определениями», является, пожалуй, более определённым, чем многие другие, но и в нем неясно, все ли встречающиеся термины нужно заменять их определениями, а если не все, то какие нужно заменять, а какие не нужно. К тому же один и тот же термин имеет зачастую не одно определение, а несколько: каким из этих определений нужно заменить данный термин? Никаких указаний по этому вопросу в самом правиле нет.
А вот правило, идущее от Р. Декарта: «Нужно дробить каждую из трудностей, которые мы разбираем, на столько частей, на сколько можно, чтобы их лучше разрешить», или весьма близкое правило: «Если вопрос вполне понят, нужно освободить его от всякого излишнего представления,
дать ему самое простое выражение и разделить с помощью перечисления на столько частей, на сколько это возможно».
Другое правило Декарта, важность которого несомненна: «Полезно чертить фигуру и предлагать их чувствам, чтобы помочь вниманию», но и оно, конечно, весьма неопределенно, ибо неясно, какие фигуры и когда следует чертить. Несколько более определены частные правила для решения отдельных видов задач.
Среди элементов группы С, кроме рассмотренных выше двух подгрупп (общих и частных правил преобразований и действий по решению задач), имеется ещё одна подгруппа, которую можно рассматривать и как самостоятельную группу - это подгруппа элементов прошлого опыта субъекта по решению задач в виде хранимых в его памяти условий задач и планов их решения (подгруппа личностного опыта субъекта по решению задач).
Элементы этой подгруппы представляют собой по сути дела правила преобразований и действий по решению задач определённого вида, но явно не сформулированные. Очевидно, в памяти субъекта вместе с задачей и планом её решения храниться и результат анализа этого решения в форме общего представления. Соотношение конкретной задачи с этим общим представлением помогает решающему найти нужные действия.
Элементарные шаги деятельности по решению задач состоят из сочетания элементов указанных четырёх групп высказываний и правил. Структура элементарных шагов определяется характером этого сочетания. Возможны, например, такие структуры элементарных шагов:
1. Применять к определённому элементу групп Д, т.е. к тому или иному условию задачи, определённое преобразование - элемент группы С.
2. Сочетать какой - то элемент группы Д или некоторую совокупность этих элементов с элементом подгруппы субъективного опыта по решению задачи (т.е. с ранее решённой задачей или её частью) группы С и, применяя к этому сочетанию некоторый элемент подгруппы правдоподобных логических правил (например, правило аналогии или какое - либо другое) группы П, получить вероятностный вывод.
3. Сочетать определённый элемент группы Д с некоторым элементом группы Т (т. е. с каким - то тождественно - истинным высказыванием) и, применив к этому сочетанию определённый элемент подгруппы дедуктивных логических правил множества П (т.е. какое - то правило логического вывода или правило логической операции), получить достоверный вывод в виде нового высказывания и т. д. и т. п.
Реализация каждого такого сочетания и представляет собой элементарный шаг деятельности. Их совокупность образует всю деятельность по решению данной задачи.
В данной статье на конкретных примерах продемонстрирована возможность и целесообразность введения микроструктурных средств в образовательный процесс по стереометрии.
Представленные группы микроструктурных средств по решению задач должны наполняться с учетом конкретного математического содержания « его специфики». Понимая под этим содержанием « первые разделы стереометрии», а под его спецификой - использование планиметрических средств возможно только после «перехода из пространства в плоскость», - выделяем в группе С преобразования, которые обоснованно «описывают» этот «переход». Ниже приведён пример целесообразности введения в предполагаемый образовательный процесс микроструктурного средства.
Д Пример 1. В сборнике за-
дач [2, 95] приведена задача: «81.6» (рис. 1). Кратко приведём решение и сделаем обобщение.
Решение: Точка МeАD, следовательно, Мб плоскости АDC. Аналогично, Нe(АDC). Так как и М, и Н принадлежат плоскости АDC, то «все точки прямой МН принадлежат этой плоскости, также принадлежит и прямая АС. Прямые МН и АС не параллельны (так задано рисунком, а значит, и условием задачи). Продлевая отрезки, получим точку S как точку пересечения этих прямых. То есть, точка S принадлежит и прямой МН, и прямой АС. Прямая АС содержится в плоскости АВС. Значит, точка S принадлежит плоскости АВС. Итак, точка S принадлежит и прямой МН, и плоскости АВС. Следовательно, точка S
является точкой пересечения прямой МН и плоскости АВС. Значит, точка S принадлежит и плоскости АВС. Итак, точка S принадлежит и прямой МН и плоскости АВС. Следовательно, точка S является точкой пересечения прямой МН и плоскости АВС.
Обобщение. 1. Для того чтобы построить точку пересечения двух объектов, надо: а) доказать, что эта точка принадлежит одному из этих объектов; б) доказать, что эта точка принадлежит и другому объекту; в) сделать вывод, что эта точка является точкой пересечения этих объектов. 2. Чтобы доказать, что некоторый объект можно построить надо: а) указать способ построения объекта; б) доказать, что построенный этим способом объект соответствует (удовлетворяет) заданным требованиям. 3. Чтобы доказать, что некоторая прямая принадлежит заданной плоскости достаточно доказать, что две различные точки этой прямой принадлежат этой плоскости.
Эти обобщения, во-первых, «переводят» действия в пространстве в плоскость; во - вторых, этими обобщениями можно воспользоваться и при решении других задач - эти «правила» переносимы в другие ситуации; в - третьих, указанные обобщения можно рассматривать в качестве практической интерпретации известных теоретических (стереометрических) фактов; в - четвертых, обобщения можно считать моделями разных этапов решения данной задачи (моделью некоторого объекта (прототипа) называется такой естественный или искусственный объект, который в определённом отношении подобен прототипу (оригиналу), используемому в качестве заместителя прототипа, и изучение которого даёт новые знания о прототипе. Моделью некоторого объекта А (прототипа) называется другой объект В, в каком - то смысле подобный (аналогичный) прототипу А, выбранный или построенный субъектом С, по крайней мере, для одной из следующих целей: 1) замена А в некотором реальном или мысленном (воображаемом) действии моделью В, так как в данном случае более удобно использовать не сам оригинал А, а его модель В (замещающая модель). [5, 54]). Эти выводы приводят к мысли о целесообразности сообщения этих обобщений ученикам, а, значит, обоснованно считать их микроструктурными средствами деятельности по решению стереометрических задач. Продемонстрируем действенность подобных микроструктурных средств на примере.
Пример 2. Пусть требуется решить следующую задачу [2, 96] (рис. 2): Ьеа, Ь||а, а£а, через точку М плоскости а (М£Ь) проведена прямая с, прямая с параллельна прямой а (по условиям задачи). Докажите, что прямая с лежит в плоскости а. Для её решения можно воспользоваться следующими микроструктурными средствами. Чтобы доказать, что прямая имеющая одну общую
пусть надо показать, что прямая с не пересекает данную плоскость а. Для этого надо показать, что другая прямая а не принадлежит этой плоскости (см. условие) и данной прямой с (см. условие), не пересекает плоскость а. 1) Если предположить, что прямая с пересекает плоскость а, то и параллельная ей прямая а тоже пересекает эту плоскость а, что неверно, т.к. прямая а параллельна плоскости а. 2) Так как прямая с имеет общую точку с плоскостью а и не пересекает её, то прямая с имеет общую точку с плоскостью а и не пересекает её, то прямая с принадлежит плоскости а.
Таким образом, пункт 1 из указанного микроструктурного средства выполнен.
Перейдём к пункту 2. 1)Чтобы доказать, что некоторая прямая, имеющая общую точку с плоскостью принадлежит этой плоскости надо: доказать, что эта прямая не пересекает данную плоскость, и сделать вывод, что она лежит в плоскости. 2) Чтобы доказать, что прямая не пересекает эту плоскость, надо доказать, что другая прямая, параллельная данной прямой, не может пересекать эту плоскость.
Рис. 2
точку с плоскостью, лежит в этой плоскости, надо: 1) показать, что эта прямая не пересекает данную плоскость; 2) сделать вывод о принадлежности этой прямой данной плоскости на основании взаимного расположения прямой и плоскости. Покажем, как может быть выполнен пункт 1. Чтобы доказать, что прямая с не пересекает данную плоскость а, надо показать, что другая прямая а, не принадлежащая этой плоскости и параллельная данной прямой, не пересекает плоскость а. Действительно:
Таким образом, пункт 2 из указанного микроструктурного средства выполнен. Это значит, что задача решена и действенность указанного выше средства показана. Учитывая, какие теоретические факты содержатся в параграфе §1 (Параллельность прямых, прямой и плоскости), можно указать, например, следующие микроструктурные средства.
Объединение. 1. Для того чтобы доказать, что один объект принадлежит другому объекту, надо: а) доказать, что точка принадлежит одному объекту; б) доказать, что точка принадлежит другому объекту; в) доказать, что другие точки тоже принадлежат этим объектам. 2. Чтобы доказать, что объекты имеют различные общие точки - воспользуемся методом от противного, для этого: а) дадим опровержение принадлежности одного объекта другому; б) сделаем вывод из нашего утверждения; в) выведем следствие из нашего утверждения (т.к. прямая а параллельна прямой с, то и прямая а пересекает плоскость а); г) объясним, что полученный результат не соответствует условиям задачи; д) сделаем вывод, что объект принадлежит другому объекту. Это удовлетворяет условиям задачи. Сделаем вывод, что задача решена единственно верным способом.
При рассмотрении микроструктуры деятельности по решению задач представленных в §1 учебника Геометрии 10-11[1, 9] и в сборнике задач [2, 95] получили ответ на основной вопрос данной статьи и выделили основные микроструктурные средства, которыми должен научиться владеть и успешно пользоваться ученик.
1. Для того чтобы построить точку пересечения двух объектов, надо: а) доказать, что эта точка принадлежит одному из этих объектов; б) доказать, что эта точка принадлежит и другому объекту; в) сделать вывод, что эта точка является точкой пересечения этих объектов.
2. Чтобы доказать что некоторый объект можно построить, надо: а) указать способ построения объекта; б) доказать, что построенный этим способом объект соответствует (удовлетворяет) заданным требованиям.
3. Чтобы доказать, что некоторая прямая принадлежит заданной плоскости достаточно доказать, что две различные точки этой прямой принадлежат этой плоскости.
4. Для того чтобы доказать, что один объект принадлежит другому объекту, надо: а) доказать, что точка принадлежит одному объекту; б) доказать, что точка принадлежит другому объекту; в) доказать, что другие точки тоже принадлежат этим объектам.
5. Чтобы доказать, что объекты имеют различные общие точки, воспользуемся методом от противного. Для этого: а) сформулируем утверждение, противоречащее доказываемому («противное» утверждению о принадлежности одного объекта другому); б) сделаем вывод из нашего утверждения; в) выведем следствие из нашего утверждения; г) объясним, что полученный результат не соответствует условиям задачи; д) сделаем вывод, что объект принадлежит другому объекту.
Вывод. Решение задач I раздела стереометрии всегда вызывало и до сих пор вызывает трудности у школьников. Этот факт свидетельствует и об отсутствии целостного понимания ими как раздела а целом, так и его отдельных теоретических положений.
Целостное осмысление отдельно взятого теоретического положения стереометрии связано и с пониманием мотивирования его введения, и логической структурой его формирования и его доказательства [7]. Но главное, целостное понимание формирования теоретического положения активизируется в его применении.
Применение теоретических фактов стереометрии может быть представлено описанием микроструктуры деятельности по использованию факта, например, в ходе решения задач. Этим объясняется целесообразность использования микроструктурных средств теоретических фактов I раздела стереометрии.
Активность использования микроструктурных средств I раздела стереометрии определяется статусом целостности представления самого микроструктурного средства. Статус обычной рекомендации задаёт один уровень активности, а статус модели деятельности - другой. Подача микроструктурного средства ученикам должна отражать модель самого теоретического факта и смысл его применения.
Совокупность всех микроструктурных средств I раздела стереометрии помогает создать единую целостность всего I раздела стереометрии, а значит, и обеспечивающих последующее изучение других объектов стереометрии.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. общеоразоват. Учреждений/ Л.С. Атанясян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - 6-е изд. - М.: Просвещение, 1998. - 207 с.
2. Зив, Б.Г. и др. Задачи по геометрии для 7-11 классов/ Б.Г. Зив. В.М. Мейлер, А.Г. Баханский. - М.: Просвещение, 1991. - 171 с.
3. Фридман, Л. М. Теоретические основы методики обучения математике: Учебное пособие. Изд. 2-е, испр. и доп. - М.: Едиториал УРСС, 2005. - 248 с.
4. Фридман, Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. М.: Педагогика, 1977. 208 с.
5. Фридман, Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика. Учеб. пос. для учителя и студентов педвузов и колледжей. - М.: Школьная Пресса, 2002. - 208 с.
6. Региональный центр мониторинга в образовании. Статистика ЕГЭ 2014. URL: http://rcmo.ru (дата обращения 20.10.2015).
7. Макарченко, М.Г. Контекстуальный анализ учебных текстов по математике / Известия Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена. - 2008. - № 11 (71). С. 268-276.
УДК 372.016:51 ББК 74.262.21
А.А. Сафарян
ЛИНИЯ УРАВНЕНИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
Аннотация. В работе показаны основные направления анализа уравнений в школьном курсе алгебры основной школы, в частности через выделение понятийного аппарата линии.
Ключевые слова: уравнение, линии уравнений, равносильность уравнений.
A.A. Safaryan
LINE EQUATIONS IN THE SCHOOL COURSE OF ALGEBRA OF THE BASIC
SCHOOL
Abstract. This paper shows the main areas of analysis equations in a school course of algebra of the basic school, in particular through the provision of conceptual apparatus line.
Keywords: equation, line equations equivalent to the equation.
В школьном курсе математики выделяют различные содержательно-методические линии. Строгого определения понятия «содержательно-методическая линия» не существует. Считается, что осмысление реализации математической линии связано с анализом школьных учебников, отбором «ядерного» материала линии, его логической организацией, математическими трактовками этого материала и его связями с другим учебным материалом [3]. В статье С.И.Дяченко [2] отмечается, что анализ реализации линии связан с выделением понятийного аппарата линии и трактовками основных понятий, с классификацией математических задач линии и методов их решения, с выделением основных этапов формирования данной линии. «Реализация содержательно-методической линии требует:
- определение целей изучения линии в каждом классе;
- выделение понятийного аппарата линии;
- выделение математических методов реализации линии, логических и содержательных обоснований применения того или иного метода;
- раскрытие сферы применения изученного материала;
- подбор средств формирования понятийного аппарата линии и методов применения этого аппарата для математики и ее приложений;
- разработку системы оценок достигнутых результатов по изучению линии;
- установку содержательных связей по реализации линии между материалом разных классов» [1, с.57].
Линия уравнений является важной содержательно-методической линией в курсе алгебры. Она богата по содержанию, по способам и приемам решения уравнений, по возможностям ее применения при изучении ряда других тем школьного курса алгебры. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.
Анализ школьных учебников и методических пособий, посвященных методике изучения темы "Уравнения" в основной школе показал, что в отдельные вопросы методики обучения понятию уравнения и решению конкретных уравнений в школьном курсе математики освещены достаточно полно. Одним из сложных разделов линии уравнений являются иррациональные уравнения и неравенства, так как в школе им уделяют достаточно мало внимания. Учащиеся в недостаточной степени овладевают умением решать уравнения, часто допускают ошибки при их решении. Решение уравнений является обязательным элементом на ГИА в 9 классе и на ЕГЭ в 11 классе как на базовом, так и на профильном уровнях, и они довольно часто становятся «камнем преткновения». Поэтому освоение умения различать основные виды уравнений, умения применять необходимые приемы и методы их решения позволяет учащимся решать уравнения на сознательной основе, вы-
