CC BY
261
УДК 373. 1. 02: 372. 8
ОБУЧЕНИЕ ОБЩИМ ПОДХОДАМ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ПЕРВЫМ РАЗДЕЛАМ СИСТЕМАТИЧЕСКОГО КУРСА СТЕРЕОМЕТРИИ
© 2012 М. Е. Тимощук
канд. пед. наук, доцент каф. алгебры, геометрии и теории обучения математике e-mail: redakciya.avtoram@mail.ru
Курский государственный университет
В статье приводится классификация задач первых разделов систематического курса стереометрии, методика обучения решению задач каждого класса на основе организации самостоятельной деятельности учащихся по трем основным направлениям: 1) отбор знаний, достаточных для решения задачи; 2) поиск плана решения задачи; 3) составление обобщенных планов решения классов задач. Показана методика формирования общих подходов к решению задач на основе использования эвристических программ, обеспечивающих перенос знаний и применение их в новых условиях.
Приведены образцы различных способов оформления решения задач.
Ключевые слова: поиск доказательства, приёмы поиска, обобщённые планы, перенос знаний, эвристика, проблемная ситуация.
Решение задач при изучении первых разделов систематического курса стереометрии вызывает большие затруднения у учащихся. Они обусловлены спецификой материала: значительно большей сложностью геометрических соотношений в пространстве, чем на плоскости. Поэтому особенно актуальной является задача специального обучения учащихся способам действия по решению задач. Учебные действия, необходимые учащимся для овладения умениями по решению задач, часто остаются им неизвестными, хотя считается, что этими действиями все школьники могут овладеть попутно с усвоением знаний. На самом деле процесс усвоения способа действия по решению задач ничуть не проще, а может быть, еще и сложнее, чем процесс овладения знаниями. Поэтому способы действия по решению задач должны стать специальным предметом усвоения. Важно научить учащихся самостоятельно находить путь решения задачи, умению анализировать условия задач и выделять на этой основе структуру способа решения, видеть общие подходы в решении однотипных задач, обобщать методы решения определенных классов задач.
Одним из важнейших свойств умений по решению задач является их обобщенность, которая позволяет решать задачи в изменяющихся условиях деятельности. Процесс обобщения знаний о способах деятельности по решению задач может и должен быть управляемым. Необходимо разрабатывать стратегии, указания в помощь учащимся для овладения ими умениями по решению задач. При этом обучение решению задач должно строиться таким образом, чтобы развивать творческие способности, самостоятельность мышления учащихся.
В реальном процессе решения задач обнаруживается динамическое соотношение, переплетение эвристических и алгоритмических компонентов мышления. При решении различных задач и даже на различных этапах решения одной и той же задачи на первый план выдвигаются поочередно то эвристические, то стандартизованные методы. Это зависит также и от уровня подготовки учащихся. В одних случаях (при недостатке знаний) учащийся воспринимает задачу как нестереотипную, но, овладев мето-
дами решения задач этого класса, при решении аналогичной задачи он уже будет пользоваться известным методом решения.
Эвристические процессы мышления имеют место при решении не только сложных, но и простых задач. У части учащихся в начале изучения курса стереометрии вызывает затруднение решение, например, такой задачи: «Доказать, что если плоскость и не лежащая в ней прямая имеют общую точку, то она является их единственной общей точкой». Что же касается решения сложных задач, то участие формальных и творческих компонентов мышления является обязательным.
Чтобы сформировать у учащихся умения по решению задач при изучении первых разделов систематического курса стереометрии, мы предлагаем осуществить систему обучающих воздействий, основанную на сочетании эвристических и алгоритмических компонентов мышления. При разработке и реализации этой методической системы учитываются следующие положения: вся работа по использованию системы указаний должна быть направлена на развитие самостоятельности мышления, не подменять активность учащихся, а вызывать ее, не заменять усилий по решению задач, а упорядочивать действия в ходе поиска решения. Система обучающих воздействий должна помочь учащемуся создавать определенные программы при решении новых для него задач.
Решение любой задачи состоит в том, чтобы построить некоторую цепочку рассуждений, с помощью которых на основании условия задачи будет получен окончательный вывод. Как показывает опыт, построение цепочки простейших подзадач, к решению которых сводится решение исходной задачи, оказывается доступным для большинства учащихся лишь в наиболее простых случаях. Очень часто, усвоив условие, но, не владея общими подходами к поиску решения задачи, учащиеся не могут свести задачу к цепочке простых подзадач. При этом они не могут выделить нужные им знания, хотя необходимый теоретический материал изучен.
Поэтому у учащихся прежде всего следует формировать умение применять в процессе решения задачи один из общих подходов: выделяя нужные знания, свести исходную задачу к подзадачам, решение которых известно или выполняется в один-два шага. Формированию этого умения способствует проведение анализа задачи.
В ходе анализа, отправляясь от заключения Х доказываемого утверждения А ^ Х, подбирают для него достаточное условие Х\, такое, что Х1 ^ Х - истинное утверждение. Затем подбирают достаточное условие Х2 для Х1 так, чтобы Х2 ^ Х1 было истинным утверждением и т. д. до тех пор, пока не будет получено достаточное условие Хп , которое , в свою очередь, следует из условия А и совокупности предложений Т, истинность которых установлена в рассматриваемой теории. Ведущей формой рассуждений, проводимых в ходе анализа, является следующая форма: «чтобы дока-
зать..., достаточно доказать.» или «чтобы вычислить., достаточно найти.». Выделение достаточных условий на каждом шаге анализа вызывает затруднения у части учащихся, поэтому следует научить их сначала выделить теоретические положения (определения, теоремы, аксиомы), которые являются достаточными для ответа на поставленный вопрос анализа. На основе выбранных теоретических положений определить действия по решению задачи.
В указаниях, составленных в помощь учащимся для проведения анализа, должны содержаться пункты, направляющие мысль на целенаправленное выделение исходных знаний. На основе этих знаний затем переформулируется требование задачи и создается цепочка подзадач, решение которых составляет решение данной задачи. Эти указания можно оформить в виде следующей эвристической схемы.
1. Проанализируйте требование задачи. Оно направляет поиск плана ее решения.
2. Выберите из имеющихся знаний те теоретические положения, которые помогут ответить на вопрос задачи.
3. Переформулируйте требование задачи, исходя из выбранных теоретических положений.
4. Продолжайте процесс переформулирования требования задачи, все более конкретизируя его до тех пор, пока не получите задачи, решение которых известно или выполняется в один-два шага.
5. Проводя рассуждения в обратном порядке, составьте систему вспомогательных задач, последовательное решение которых составит решение данной задачи.
Покажем на примере поиск решения задачи в соответствии с приведенной эвристической схемой.
Задача 1 . Докажите, что если две плоскости у и в , пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость а по параллельным прямым с и в соответственно, то прямая а параллельна плоскости а (рис.1).
Чтобы доказать параллельность прямой а и плоскости а , достаточно воспользоваться признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна этой плоскости. Исходя из выбранных знаний, определяем действия по решению задачи: доказать, что прямая а параллельна прямой в (или с), лежащей в плоскости а. Чтобы доказать параллельность прямых а и в, достаточно воспользоваться определением параллельных прямых. В соответствии с этим определением действиями по решению задачи будут следующие: 1) доказать, что прямые а и в лежат в одной плоскости;
2) доказать, что прямые а и в не пересекаются. Решение задачи 1) очевидно. Для решения задачи 2) достаточно воспользоваться методом от противного, доказав предварительно, что прямая в параллельна плоскости у . Чтобы доказать параллельность прямой в и плоскости у, достаточно воспользоваться признаком параллельности прямой и плоскости. В соответствии с выбранной теорией действиями по решению задачи будет доказательство того, что прямая в параллельна прямой с, лежащей в плоскости у . Но это дано по условию. На этом поиск решения задачи завершен.
Оформим поиск решения задачи 1) в виде таблицы.
1) в!ї = а; 2) а! в= в;
3) а!у = с; 4) Ь || с.
Дано:
Доказать: а || а.
Рис. 1
Вопросы для актуализации знаний, достаточных для решения задачи Знания, достаточные для решения задачи Действия по решению задачи
1.Что достаточно знать , чтобы доказать параллельность прямой а и плоскости а ? Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой- нибудь прямой , лежащей в плоскости, то она параллельна этой плоскости Доказать, что прямая а параллельна прямой в (или с), лежащей в плоскости а
2. Что достаточно знать, чтобы доказать параллельность прямых а и в? Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются Доказать, что 1) прямые а и в лежат в одной плоскости 2) прямые а и в не пересекаются
3. Что достаточно знать, чтобы доказать, что прямые а и в не пересекаются? Прямая, параллельная плоскости, не пересекает ни одну из прямых, лежащих в этой плоскости Доказать, что прямая в параллельна плоскости у , в которой лежит прямая а
4.Что достаточно знать, чтобы доказать, что прямая в параллельна плоскости у ? Смотри информацию пункта 1 Доказать, что прямая в параллельна прямой , лежащей в плоскости у (такой прямой является прямая с по условию)
Обычно поиск плана решения задачи в соответствии с эвристической схемой проводится устно. Вопросы для отыскания нужных теоретических положений и определения соответствующих действий по решению задачи ставит учитель. Чтобы показать учащимся, как самостоятельно находить путь решения задачи, целесообразно раскрывать учащимся «лабораторию» поиска. С этой целью учитель заранее готовит таблицу 1, вывешивает ее в классе, закрывает каждую строку бумажной полосой. После ответа на вопрос 1 и определения соответствующего действия по решению задачи, открывается первая строка таблицы. После ответа на вопрос 2 открывается вторая строка таблицы и т. д. до тех пор, пока вся таблица окажется открытой. Для демонстрации такого рода таблиц удобно использовать кодоскоп, с помощью которого проектируется на доску заранее заготовленный кодопозитив с таблицей.
После проведения анализа и отыскания пути решения задачи оформляется синтетическая запись решения, начиная от условия А, по схеме (Ал В) ^ Хп ^ ... ^ Х 2 ^ Х1 ^ Х.
Приведем синтетическую запись решения задачи 1.
Доказательство
1. в || с по условию 4). с С у по условию 3).
Тогда в || у по признаку параллельности прямой и плоскости.
2. а С в по условию 1). в С в по условию 2).
Следовательно, прямые а и в лежат в одной плоскости.
Прямая в не пересекает прямую а, так как в противном случае прямая в пересекала бы плоскость у, в которой лежит прямая а, но
в || у по доказанному.
а || в по определению параллельных прямых.
3. а || в по пункту 2.
в С а по условию 2). Тогда а || а по признаку параллельности прямой и плоскости.
При отыскании пути решения задачи в соответствии с эвристической схемой отбор нужных знаний сопровождается осознанием цели деятельности. Учащиеся при этом соотносят задачу и знания, вскрывают возможность знания как инструмента решения задачи. В ходе анализа и переформулирования требования задачи происходит одновременно процесс актуализации знаний. Цепочка переформулирования исходного требования сопровождается выдвижением гипотез, что способствует формированию самостоятельного, творческого мышления.
Отметим также, что эвристическая схема способствует формированию общих подходов к решению любой задачи: учащиеся обучаются выбирать цель деятельности и средства для ее достижения, отбирать нужные знания на основе этих знаний переформулировать требование задачи и сводить каждую задачу к цепочке элементарных задач через выделение ключевой подзадачи. Тем самым формируются общеучебные умения планировать и выделять существенное в изучаемом материале.
Следующим важным моментом по формированию общих подходов к решению задач является осмысление уже найденного решения и составление обобщенного плана решения класса задач. Такие обобщенные планы решения задач определенных классов называют эвристическими программами.
Проанализируем решение задачи 1 с целью выделения знаний, которые могут быть использованы при решении других задач.
Для ее решения не требуется проводить дополнительные вспомогательные плоскости и прямые, не нужно владеть какими-то особыми приемами или методами решения задач. Достаточно свести решение исходной задачи к цепочке простых подзадач. Для этого достаточно воспользоваться эвристической схемой: исходя из выбранных теоретических положений, переформулировать требование задачи.
После обсуждения найденного решения учащиеся могут составить следующий обобщенный план решения задач этого класса.
1. Попытайтесь свести решение исходной задачи к цепочке простых задач, последовательное решение которых составит решение исходной задачи, начиная от условия.
2. В случае неудачи попытайтесь построить цепочку простых задач, воспользовавшись эвристической схемой.
3. Решите последовательно каждую из сформулированных простых задач.
Для составления обобщенного плана решения класса задач учащиеся обычно
решают не одну, а несколько задач этого класса.
В первых разделах систематического курса стереометрии, содержащих темы «Параллельность в пространстве» и «Перпендикулярность в пространстве», можно выделить несколько основных классов задач:
1) задачи на доказательство, связанные со взаимным положением прямых и плоскостей, удовлетворяющих заданным условиям;
2) задачи на доказательство существования прямых и плоскостей, удовлетворяющих заданным условиям;
3) задачи на построение;
4) задачи на вычисление.
Каждый из названных классов содержит задачи разного уровня сложности.
Приведем примеры задач, решаемых в один-два шага на основании известных теорем, аксиом, определений.
Задача 2. Плоскости а и в пересекаются по прямой а. Может ли общая точка А этих плоскостей не принадлежать прямой а?
Задача 3. Через середины сторон М и N трапеции АВСД проведена плоскость
а, не совпадающая с плоскостью ( АВС) . Как расположена каждая из сторон трапеции относительно проведенной плоскости?
Покажем методику работы над такими задачами на примере решения задачи 3. Вначале учащимся предлагается построить умственную или материальную модель. Это способствует формированию пространственных представлений учащихся. В результате выдвигается гипотеза о взаимном расположении каждой из сторон трапеции и плоскости а . Выполняется чертеж и схематическая запись условия ( рис. 2).
Дано:
АВСД - трапеция,
АВ || СД, М N - средняя линия трапеции,
( АВС ) ^ а, МN С а.
Определить:
взаимное расположение плоскости а и прямых АВ, СД, АД, ВС.
Затем учащиеся проводят обоснования каждой из выдвинутых гипотез. Прямая АД пересекает плоскость а, т.к. имеет с ней общую точку М. Других общих точек прямая АД и плоскость а не имеют, так как в противном случае плоскости (АВС) и а совпадали бы ( на основании теоремы, что через прямую и точку вне ее можно провести плоскость и притом только одну ), а это противоречит условию. Аналогично доказывается, что прямая ВС пересекает плоскость а . АВ || М N ( по свойству средней линии трапеции). Прямая АВ не лежит в плоскости а, М N С а по условию, значит , АВ || а по признаку параллельности прямой и плоскости. Аналогично доказывается, что ДС || а .
Решение подобных задач полезно с точки зрения развития пространственных представлений, закрепления изученных теорем, определений, аксиом, тренировки в проведении обоснований сформулированных в ходе решения задачи гипотез. Обосно-вательную часть при решении таких задач в классе часто проводят устно. При этом целесообразно бывает использовать заранее заготовленный чертеж - плакат. Поиск решения таких задач не требует знания специальных методов, так как решение непосредственно сводится к применению известных теорем, определений, аксиом.
Подробнее остановимся на формировании умений по решению типовых задач средней трудности приведенных выше классов. Рассмотрим задачи, для которых существуют общие подходы к поиску их решения. Эти подходы могут быть открыты учащимися и сформулированы в виде эвристических программ.
Покажем на конкретных примерах пути поиска и обобщения планов решения задач приведенных выше классов.
Один из таких планов приведен выше при рассмотрении задачи 1. Эта задача относится к классу задач на доказательство, связанных со взаимным положением прямых и плоскостей, удовлетворяющих заданным условиям. Решается без проведения вспомогательных прямых и плоскостей.
Часть задач этого класса может быть решена с использованием метода от противного. Рассмотрим применение этого метода при решении следующей задачи.
Задача 4. Каждая из двух плоскостей а и в параллельна плоскости у . Доказать, что плоскости а и в параллельны (рис. 3).
а
в
Рис. 3
Предположим, что плоскости а и в не параллельны. Тогда они имеют общую точку М. Точка М не принадлежит плоскости у , так как в противном случае плоскости а ( в ) и у имели бы общую точку, но они параллельны по условию. Имеем, что через точку М проходят две плоскости, параллельные плоскости у . Получили противоречие с теоремой, что через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной плоскости, и притом только одну. Следовательно, предположение неверно, а значит, плоскости а и в параллельны.
После решения нескольких задач этого класса можно составить обобщенный план решения задач на доказательство, связанных со взаимным положением прямых и плоскостей, с применением метода от противного.
1. Предположить противное тому, что требуется доказать.
2. Выделить цепочку простых задач, последовательное решение которых может привести к противоречию с условием или с известной теоремой или аксиомой.
Примечание. В случае затруднения в выделении простых задач прибегнуть к эвристической схеме.
3. Решить последовательно каждую из простых задач, сформулированных в пункте 2.
4. Сделать вывод о неверности сделанного предположения и верности утверждения, сформулированного в требовании задачи.
Рассмотрим одну из задач на доказательство взаимного положения прямых и плоскостей, при решении которой используется прием проведения вспомогательной плоскости, пересекающей данные плоскости.
Задача 5. Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.
Пусть имеем две параллельные плоскости а и в . Прямая а пересекает плоскость а в точке А. Докажем, что прямая а пересекает и плоскость в ( рис. 4 ).
Дано: а || в, а ! а = А. Доказать: а ! в = В
Оформим поиск решения задачи 5 в виде таблицы.
Вопросы для актуализации знаний, достаточных для решения задачи Знания, достаточные для решения задачи. Действия по решению задачи
1.Что достаточно знать, чтобы доказать, что прямая а пересекает плоскость в ? Если прямая не лежит в плоскости и имеет с ней общую точку, то она пересекает эту плоскость Доказать, что прямая а не лежит в плоскости в и имеет с ней одну общую точку
2. Что достаточно доказать, чтобы доказать, что прямая а имеет с плоскостью в общую точку? Если прямая лежит в плоскости, то все ее точки лежат в этой плоскости Доказать, что прямая а пересекает прямую, лежащую в плоскости в
3. Что достаточно знать, чтобы доказать, что прямая а пересекает прямую, лежащую в плоскости в? Необходимым условием пересечения двух прямых является принадлежность этих прямых одной плоскости 1) Провести вспомогательную плоскость у так, чтобы она пересекала плоскости а и в и содержала прямую а; 2) Доказать, что прямая а пересекает прямую с -линию пересечения плоскостей у и в
4. Что достаточно знать, чтобы провести плоскость так, чтобы она пересекала данную плоскость? 1) Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой 2) Если на плоскости прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и вторую прямую 1) Провести плоскость у через прямую а и точку В 0^, рассмотреть линии пересечения в и с плоскостей а и в плоскостью у 2) Доказать, что прямая а пересекает прямую в, а следовательно, и прямую с
Решение задачи целесообразно бывает оформить в виде таблицы, содержащей две колонки: утверждения и их обоснования. Тем самым учащиеся ставятся в условия, когда они должны будут обосновывать каждое утверждение, сделанное в ходе решения задачи, доведя это обоснование до ссылки на известную теорему, определение, аксиому.
Покажем оформление решения задачи 5 в форме такой таблицы.
Утверждения Обоснования
1. Проведем плоскость у через прямую а и точку В Ев 1. По теореме: через прямую и точку вне ее можно провести плоскость, и при том только одну
2. А Еа 2. По условию
3. А Еа, а С у ^ А Еу 3. Если прямая лежит в плоскости, то все ее точки принадлежат этой плоскости
4. Плоскости а и у имеют общую точку А, значит они пересекаются по прямой в, причем А Ев 4. По аксиоме: если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекается по прямой. При этом все общие точки этих плоскостей принадлежат их общей прямой
5. Плоскости в и у имеют общую точку В 5. По п. 1
6.Плоскости в и у пересекаются по прямой с, причем В Ес 6. См. п. 4
7. в || с 7. По теореме: линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны
8. Прямая а пересекает прямую в 8. А Еа по условию, А Ев по п. 4
9. Прямая а пересекает прямую с 9. По теореме: если на плоскости прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую
При обсуждении найденного решения внимание учащихся обращается на основные моменты в ходе поиска решения: прием проведения вспомогательной плоскости, доказательство того, что вспомогательная плоскость пересекает каждую из данных плоскостей, сведение исходной задачи к планиметрической задаче.
Эти основные моменты решения типовой задачи фиксируются затем в обобщенный план решения задач на доказательство, связанных со взаимным положением прямых и плоскостей (решаемых с использованием приема проведения вспомогательной плоскости ).
1. Провести вспомогательную плоскость так, чтобы она пересекала данные плоскости (через прямую и точку вне ее, две пересекающиеся или параллельные прямые).
Примечание. Возможно проведение нескольких вспомогательных плоскостей, пересекающих данные и вспомогательные плоскости.
2. Доказать, что вспомогательная плоскость пересекает данные плоскости, и рассмотреть линии пересечения данных и вспомогательных плоскостей.
3. Сформулировать задачу, к решению которой сводится решение исходной задачи так, чтобы в ее условие были введены линии пересечения данных и вспомогательных плоскостей.
4. Составить план решения сформулированной задачи в виде цепочки простых задач. В случае затруднения прибегнуть к эвристической схеме.
5. Решить последовательно каждую из простых задач.
В ходе поиска решения задач из первых разделов стереометрии часто применяется метод от противного. Приведем задачу, которая может быть решена с применением метода от противного в сочетании с приемом проведения вспомогательной плоскости.
Задача 6. Через точку одной из двух параллельных плоскостей проведена прямая а, параллельная другой плоскости. Докажите, что эта прямая лежит в первой плоскости.
Дано:
а ||в, А£а, а || в, А Еа.
Доказать:
а С а.
Пусть плоскости а и в параллельны (рис. 5). Через точку А плоскости а проведена прямая а, параллельная плоскости в. Докажем, что прямая а лежит в плоскости а .
Предположим, что прямая а не лежит в плоскости а . Прямая а и плоскость
а имеют общую точку А. Значит, прямая а пересекает плоскость а. Проведем
вспомогательную плоскость у через прямую а и точку В Ев. Плоскости а и у имеют общую точку А, следовательно, они пересекаются по прямой а1. Плоскости в и у имеют общую точку В, значит, они пересекаются по прямой в . Прямые а1 и в параллельны, как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью. Прямые а и в также параллельны. Они лежат в одной плоскости, и прямая а не пересекает прямую в, так как в противном случае она пересекала бы плоскость в, что противоречит условию. Получили противоречие с аксиомой параллельных: на плоскости у через точку А проведены две прямые, каждая из которых параллельна прямой в. Следовательно, предположение неверно, а значит, прямая а лежит в плоскости а .
В ходе ретроспективного анализа найденного решения замечаем, что при решении задач на доказательство, связанных со взаимным положением прямых и плоско-
стей, часто бывает эффективным использование приема проведения вспомогательной плоскости в сочетании с методом от противного.
Обобщенный план решения задач на доказательство, связанных со взаимным положением прямых и плоскостей, решаемых с применением метода от противного в сочетании с приемом проведения вспомогательных плоскостей, пересекающих данные плоскости (и, возможно, вспомогательные)
1. Предположить противное тому, что требуется доказать.
2. Провести вспомогательную плоскость так, чтобы она пересекала данные (вспомогательные ) плоскости. Возможно проведение нескольких вспомогательных плоскостей.
3. Доказать, что вспомогательная плоскость пересекает данные (вспомогательные ) плоскости, рассмотреть их линии пересечения.
4. Составить цепочку простых задач так, чтобы в их условия вошли линии пересечения данных и вспомогательных плоскостей и чтобы последовательное решение задач могло привести к противоречию с условием или с известной теоремой или аксиомой.
5. Сделать вывод о неверности предположения и, следовательно, о верности утверждения, сформулированного в требовании задачи.
Рассмотрим класс задач на построение в пространстве. Этим задачам в школьной практике обычно не уделяется достаточного внимания. Между тем трудно переоценить роль задач на построение в развитии пространственных представлений и логического мышления учащихся.
Возможны два методологических направления в решении вопроса о геометрических построениях в пространстве:
1) по аналогии с построениями на плоскости развить формально-логический метод построений в пространстве с отказом от реальных построений при помощи инструментов;
2) выполнять построения на проекционном чертеже, то есть на отображении пространства, полученном по способу проектирования.
В первом случае построения выполняются в абстрактной форме, как воображаемые операции. Для облегчения этих воображаемых операций применяется иллюстративный чертеж, иногда выполняемый от руки, но этот чертеж нельзя рассматривать как фактическое построение.
Проекционный чертеж позволяет эффективно решать стереометрические задачи на построение, дает возможность на чертеже находить действительное положение искомой фигуры с помощью чертежных инструментов. Это существенным образом отличает построения, выполняемые на проекционном чертеже, от так называемых «воображаемых построений», где чертеж имеет лишь иллюстративный характер.
В школе учащиеся должны решать задачи на построение как при помощи проекционного чертежа, так и на основе «воображаемых» операций. «Воображаемые построения» должны применяться, в частности, в тех случаях, когда проекционный чертеж оказывается слишком громоздким и трудно выполнимым.
Решение задач на построение обычно состоит из четырех этапов: анализа, построения, доказательства и исследования. Вне зависимости от того, как выполняется построение, то есть является ли оно «воображаемым» или производится на проекционном чертеже, учащийся, приступая к решению задачи, должен найти путь ее решения. Этот первый этап решения, называемый анализом, при изучении первых разделов курса стереометрии представляет для учащихся значительные трудности. В связи с этим некоторые учителя при решении основных задач на построение в пространстве сами сообщают учащимся решение задач. Учащиеся при этом механически запоминают решение и не приобретают никаких умений в самостоятельном решении задач этого класса. Остановимся на решении задач на «воображаемые построения».
В учебнике геометрии А.П. Киселева по аналогии с планиметрией вначале рассматриваются элементарные задачи на построение в пространстве, а затем более сложные задачи, сводящиеся к элементарным.
В современных учебниках по геометрии задачи на «воображаемые» построения рассматриваются как задачи на доказательство существования фигур в пространстве, обладающих заданными свойствами. Такая формулировка задач, как «построить плоскость.», «построить прямую.», встречается, например, в учебнике А.Д. Александрова. В большинстве же современных учебников по геометрии для 10-11 классов эти слова заменяются словами: «докажите, что можно провести плоскость
(прямую).», «докажите, что существует прямая (плоскость).», «как провести прямую ( плоскость ).».
Большинство задач этого класса, содержащихся в школьных учебниках, можно решить по обобщенному плану, который могут
« открыть » учащиеся после решения нескольких задач.
Приведем поиск решения одной из задач этого класса.
Задача 7. Прямая а параллельна плоскости а. Провести через прямую а плоскость, параллельную плоскости а (рис. 6).
Рис. 6
В задачах на построение в курсе планиметрии обычно проводится нисходящий анализ по схеме: «пусть задача решена, тогда.». В стереометрии такой анализ выглядит искусственно и многие учащиеся не смогут провести его самостоятельно. Более естественным и доступным для учащихся будет рассуждение, основанное на отыскании достаточных условий для ответа на вопрос задачи, то есть проведение восходящего анализа. Осуществим поиск решения задачи 7 в соответствии с эвристической схемой.
Для того чтобы искомая плоскость была параллельна плоскости а и проходила через данную прямую а, достаточно, чтобы она содержала прямую в, пересекающую прямую а и параллельную прямой в1, лежащей в плоскости а. Отсюда, в плоскости а следует провести прямую с, параллельную прямой а, и какую-либо прямую в1, пересекающую прямую с. Чтобы получить прямую с, достаточно провести плоскость в через прямую а и точку В, принадлежащую плоскости а. Линия пересечения проведенной плоскости в и плоскости а будет искомой прямой с, что следует доказать.
Оформим поиск решения задачи 7 в виде таблицы.
Вопросы для актуализации знаний, достаточных для решения задачи Знания, достаточные для решения задачи Действия по решению задачи
1. Что достаточно знать, чтобы через прямую а провести плоскость, параллельную плоскости а? 1. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны 1. Провести прямую в, пересекающую прямую а так, чтобы прямые а и в были параллельны двум пересекающимся прямым плоскости а
2. Что достаточно знать, чтобы иметь прямые а и в, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости а ? 2. а) Через прямую и точку вне ее можно провести плоскость, и притом только одну б) Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает ее, то линия пересечения параллельна первой прямой в) Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и притом только одну 2. а) Провести плоскость в через прямую а и в Є а б) Рассмотреть линию пересечения с плоскостей а и в, доказать, что а || с в) Через В Є с провести на плоскости а прямую в]; провести в || в1 через точку В1Єа
После проведения анализа выполняются «воображаемые» построения на иллюстративном чертеже и фиксируются в схематической записи. Приведем примерную запись.
1) Проведем плоскость в через прямую а и точку В Єа (через прямую и точку вне ее можно провести плоскость, и притом только одну).
2) аПв = с, с II а (по теореме: если плоскость проходит через данную прямую , параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой).
3) На плоскости а проведем прямую в1 через точку В Єс.
4) В і Єа.
5) Через точку В1 проведем прямую в || в1 (через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной прямой, и притом только одна).
6) Через прямые а ив прведем плоскость у (по аксиоме: если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну).
Плоскость у удовлетворяет условию задачи.
Доказательство основано на применении признака параллельности двух плоскостей.
а! в = В1, { а, в } Су , с! в1= В, { с, в1 } С а, а || с, в || в1 ^ у || а
(если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны).
Задача имеет единственное решение. Последнее утверждение является самостоятельной задачей на доказательство, связанное со взаимным положением прямых и плоскостей, удовлетворяющих заданным условиям. Обобщенные планы поиска решения таких задач приведены выше. Для решения поставленной задачи можно использовать обобщенный план, приведенный после задачи 4.
Предположим, что через прямую а проходит еще одна плоскость у 1, параллельная плоскости а (рис. 7). Возьмем на прямой а точку М . Тогда через точку М проходят две плоскости, каждая из которых параллельна плоскости а . Получили про-
тиворечие с теоремой о единственности плоскости, проходящей через данную точку и параллельной данной плоскости. Следовательно, предположение не верно. Значит, через прямую а, параллельную плоскости а , можно провести единственную плоскость, параллельную плоскости а .
После решения нескольких задач этого класса можно обобщить способ их решения.
Обобщенный план решения задач на доказательство существования прямых и плоскостей, удовлетворяющих заданным условиям
1. Найти путь решения задачи.
1) Установить, исходя из какой теоремы или аксиомы можно доказать существование прямой или плоскости, удовлетворяющей заданным условиям.
2) Определить, какие и в какой последовательности вспомогательные прямые и плоскости достаточно провести и каким условиям они должны удовлетворять.
3) Повторять рассуждения пунктов 1) и 2) до тех пор, пока не будут получены элементарные задачи (существование фигуры, о которой идет речь в условии, уже доказано или легко доказывается рассуждениями в один-два шага).
4) Проведя рассуждения в обратном порядке, составить цепочку задач, последовательное решение которых составит решение исходной задачи.
2. Записать по шагам «воображаемые» построения, выполнить эти построения на иллюстративном чертеже.
3. Провести доказательство того, что проведенная прямая или плоскость удовлетворяют условию задачи.
4. Провести исследование.
Установить число решений задачи в зависимости от взаимного расположения точек, прямых и плоскостей, о которых идет речь в условии задачи. Для доказательства единственнности можно воспользоваться обобщенным планом решения задач на доказательство, связанных со взаимным положением прямых и плоскостей.
Приведем пример решения задачи в соответствии с разработанным планом.
Задача 8. Через точку А, принадлежащую прямой а, провести плоскость, перпендикулярную прямой а (рис. 8).
Для поиска решения предложенной задачи учащиеся могут воспользоваться пунктом 1) приведенного выше плана.
а) Исходной теоремой для доказательства существования плоскости, перпендикулярной прямой а, является признак перпендикулярности прямой и плоскости.
б) Следует провести две прямые в и с, пересекающиеся в точке А, каждая из которых перпендикулярна данной прямой а. Плоскость, определяемая этими прямыми, и будет искомой.
в) Известно, что на плоскости через данную точку можно провести прямую, перпендикулярную данной прямой, и притом только одну. Следовательно, для проведения прямых в и с надо провести сначала две различные плоскости через прямую а.
г) На основании известной теоремы стереометрии плоскость можно задать прямой и точкой, не принадлежащей этой прямой. В этой плоскости можно провести через данную точку прямую, перпендикулярную данной прямой.
Поиск пути решения задачи завершен.
Оформим решение задачи на остальных этапах.
2.
1. Возьмем точку М ф а.
2. Проведем через прямую а и точку М плоскость у ( теорема: через прямую и точку вне ее можно провести плоскость, и притом только одну).
3. Выберем точку N ф а.
4. Проведем через прямую а и точку N плоскость в.
5. Через точку М в плоскости у проведем прямую с ± а ( теорема: на плоскости через данную точку к данной прямой можно провести перпендикуляр, и притом только один )
6. Через точку N в плоскости в проведем прямую в ± а .
Через прямые в и с проведем плоскость а ( аксиома: если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и при том только одну ).
3. Доказательство
1) А Є в, в С а ^ А<Е.а.
2) а ± в, а ± с, { в, с } Са ^ а ±а ( по признаку перпендикуляр-
ности прямой и плоскости ).
4. Исследование
Докажем, что задача имеет единственное решение. Используем прием проведения вспомогательной плоскости в сочетании с методом от противного.
Предположим, что через А можно провести две различные плоскости а \ и а 2, перпендикулярные прямой а (рис. 9).
Пусть а і ! а 2 = АВ. Эта
прямая не может совпадать
/" - - - с а, так как прямая а
/ а і - - ^ В не должна пересекать плоскости
Ц'а2 ві а і и а 2.
/1 / / Проведем через прямую а и точку
/ /Г ,, у ( , в2 / А К Є а 1, лежащую вне прямой АВ,
/ / плоскость в.
К в
г. в Й а в Й а
а 1 а і, ві Саі ^ а 1 ві,
Рис. 9 а ±а2, в2 Са2 ^ а 1 в2
по определению прямой, перпендикулярной плоскости. Это невозможно, так как на плоскости через данную точку можно провести только один перпендикуляр к данной прямой. Следовательно, предположение не верно. Значит, плоскость а единственная.
Исследование можно проводить по готовому чертежу - плакату. В современных учебниках этот этап часто опускается.
Рассмотрим класс задач на вычисление.
Среди задач на вычисление немалое место занимают такие, которые бедны геометрическим содержанием, не способствуют развитию логического мышления и пространственных представлений. При подборе задач к уроку учитель должен обращать внимание на их ценность. Общим требованием при решении задач на вычисление является запись не только вычислительной части, но и обосновательной. Поскольку важнейшей частью задач на вычисление являются задачи на доказательство, то для решения последних можно использовать обобщенные планы решения задач этих классов, приведенные выше. Вычислительная часть обычно не вызывает затруднений у учащихся и сводится к применению известных формул планиметрии. Обоснования должны быть исчерпывающими и достаточно лаконичными.
Рассмотрим примеры задач на вычисление.
Задача 9. Точка М, лежащая вне плоскости данного прямого угла, удалена от вершины угла на расстояние а, а от его сторон на расстояние в. Найти расстояние от точки М до плоскости угла (рис. 10).
М
Дано:
А
/. АЕС = 90, точка М удалена от сторон угла на расстояние в,
МЕ= а, МО 1 ( АЕС ).
Найти: МО
Е
Рис. і0
Проведем ОР1АЕ , ОК1 СЕ . Тогда по теореме о трех перпендикулярах МК 1 ЕС , МР 1ЕА. МК = МР = в по условию.
ОР 1 АЕ по доказанному, КЕ 1 АЕ по условию ^ ОР || КЕ как два перпендикуляра к одной прямой. Аналогично докажем, что ОК || РЕ . L РЕК = 90 . Тогда ОРЕК - прямоугольник по определению. А МОР = А МОК по катету и гипотенузе ( МО -общий катет, МК = МР по условию). ОР = ОК как соответственные стороны равных треугольников. Тогда ОРЕК - квадрат по определению, ОР = ОК = КЕ = РЕ.
А МЕК: ЕК = ^ЕМ2 - ЕК2, ЕК = а2 - в2.
МО 1 ( АЕС ), ОК С (АЕС ) ^ МО 1 ОК по определению прямой, перпендикулярной плоскости.
А МОК: МО = д/~МК2 - ОК2, МО = в2 - ( а2 - в2 ) = Л/_2в2 -а2.
Как видим, вычислительная часть сводится к применению теоремы Пифагора. Основной частью решения является доказательство того, что МР 1 АЕ, МК 1 ЕС, что ОРЕК - квадрат и что А МОК - прямоугольный.
Задача 10. Ребро куба равно а. Найти кратчайшее расстояние от диагонали куба до непересекающего ее ребра.
Вычислительная часть при решении этой задачи может быть выполнена устно и не вызывает никаких затруднений. Но, чтобы решить задачу, от учащегося требуется напряжение пространственного воображения. Он должен «увидеть» плоскость, проходящую через диагональ и параллельно ребру куба, должен «увидеть», что диагональ грани куба перпендикулярна к этой плоскости. Все утверждения учащийся должен логически обосновать.
Поиск решения задачи можно осуществить в соответствии с эвристической схемой. Выберем диагональ куба ДВі, непересекающее эту диагональ ребро куба - ААі. Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми ААі и ВіД (рис. іі) , достаточно найти расстояние от прямой ААі до плоскости, параллельной прямой ААі и
Ответ: 2в2 - а2
содержащей прямую В1Д. Такой плоскостью является плоскость (ВДД1), так как эта плоскость проходит через прямую ДДь параллельную прямой АА1з а значит, параллельна прямой АА1. Эта плоскость содержит прямую ДВ1. Расстояние от плоскости (ВДД1) до прямой АА1 равно длине отрезка АО, так как этот отрезок перпендикулярен двум пересекающимся прямым ВД и ДД1, лежащим в плоскости (ВДД1). Это утверждение также следует обосновать.
Приведем один из возможных вариантов оформления решения задачи.
С1
Дано:
ДВ1 - куб,
АА1= а.
Найти:
расстояние между С прямыми АА1 и ДВ1.
Утверждения Обоснования
1. АА1 || ДД1 1. По определению куба
2. АА1|| (ВДД1) 2. По признаку параллельности прямой и плоскости
3. АО 1 ВД 3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны
4. ДД1 1 (АВС), АО С (АВС) ^ ДД1 1 АО 4. По определению прямой, перпендикулярной плоскости
5. АО 1 (ВДД1) 5. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости
6. АО - расстояние между скрещивающимися прямыми АА1 и ДВ1 6. По определению расстояния между скрещивающимися прямыми
7. АО = 1/2 АС 7. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам
8. АС = АВ2 + ВС2 8. По теореме Пифагора
9. АО = а^~2/ 2 9. П.П. 7. 8
Активность школьников значительно повышается, если они используют те знания, которые самостоятельно открыли. Поэтому обобщенные планы решения классов задач должны преимущественно составляться самими учащимися.
Обучаясь обобщать способы решения одной или нескольких задач с целью переноса их на классы задач, учащиеся учатся общим подходам к отысканию решения задач, развивается их логическое мышление. Активность школьников при использовании обобщенных планов к решению каждой конкретной задачи обеспечивается также неполной, нежесткой регламентацией мыслительной деятельности, заложенной в этих планах.
Приведенные обобщенные планы составлены таким образом, что они не являются чем-то застывшим, а наоборот, отражая наиболее существенное в решении задачи, общие подходы к решению, каждый раз могут перестраиваться и упорядочиваться при
решении каждой конкретной задачи. Такие планы можно назвать эвристическими программами решения классов задач. Отличие такой программы от логической схемы решения состоит в том, что она только направляет поиск решения, нацеливает на формулирование и доказательство гипотез, определяет достаточно широкую область поиска.
При решении каждой конкретной задачи учащийся имеет возможность проявить определенную самостоятельность в поиске решения, найти свой индивидуальный путь решения. С другой стороны, эвристическая программа способствует сближению субъективной структуры решения с объективно-логической.
Знание обобщенных планов поиска решения задач определенных классов не всегда гарантирует успех решения. Причиной этого является не только то, что в них самих содержится известная степень неопределенности. Учащиеся иногда затрудняются решить задачу, потому что не знают, к какому классу она относится. Поэтому в процессе решения задач внимание учащихся обращается на те «ключевые моменты» в условии, которые как бы «сигнализируют» о соответствующем методе решения, то есть делается акцент на наиболее информативных относительно метода решения структурных элементах содержания задачи. В процессе изучения определенной темы у учащихся постепенно накапливается эвристическая информация, и в конце ее изучения подводится своеобразный итог. Эвристическая информация сводится в одну таблицу, в которой фиксируется корреляция возможных вариантов условий и общих путей решения задачи, изложенных в краткой форме. Такая таблица может быть вывешена в математическом кабинете и использоваться во время изучения темы.
Приведем пример эвристической информации, составленной к основным классам задач из первых разделов стереометрии, рассмотренных выше.
Возможные варианты условия задач Соответствующий условию общий путь решения задач
1. Задачи на доказательство, связанные со взаимным положением прямых и плоскостей, удовлетворяющих заданным условиям 1) Элементарные задачи, решаемые в один-два шага 2) Задачи, решение которых требует цепочки рассуждений более, чем в два шага, решаемые без проведения дополнительных построений 3) Задачи, решаемые с проведением вспомогательных плоскостей 1) Построить материальную или умственную модель. Выполнить схематический чертеж. Ответ на вопрос задачи обосновать, исходя из известной теореы, определения, аксиомы. Возможно использование метода от противного 2) а) Без использования метода от противного: составить цепочку элементарных задач, последовательное решение которых составит решение исходной задачи. В случае затруднения воспользоваться эвристической схемой б) С использованием метода от противного: предположить противное тому, что требуется доказать; выделить цепочку простых задач, последовательное решение которых может привести к противоречию с условием задачи или с известной теоремой, определением, аксиомой 3) а) Без использования метода от противного: провести вспомогательную плоскость, одну или несколько, пересекающую данные плоскости (возможно и вспомогательные). Сформулировать задачу, к решению которой сводится исходная задача так, чтобы в ее условие были введены линии пересечения данных и вспомогательных плоскостей. Далее воспользоваться планом 2а) б) С использованием метода от пртивного: провести вспомогательную плоскость (одну или несколь-ко), пересекающую данные ( а, возможно, и вспомогательные) плоскости . Воспользоваться далее планом 2 б). При этом, цепочка простых задач должна быть составлена так, чтобы в их условия вошли линии пересечения данных и вспомогательных плоскостей
2. Задачи на доказательство существования прямых и плоскостей, удовлетворяющих заданным условиям Найти путь решения задачи, повторяя поочередно шаги: 1) выбрать теоретические положения, исходя из которых можно установить существование указанных фигур; 2) определить, какие и в какой последовательности промежуточные прямые и плоскости достаточно провести и каким условиям они должны удовлетворять. Выполнить иллюстративный чертеж, записать последовательно «воображаемые» построения. Установить число решений задачи в зависимости от взаимного расположения данных точек, прямых и плоскостей.
3. Задачи на вычисление Выполнить чертеж. Провести обосновательную часть, решив для этого предварительно поставленные задачи на доказательство. Выполнить вычислительную часть, применив известные формулы планиметрии
Необходимость в эвристической информации появляется также в связи с тем, что по мере формирования умений по решению задач необходимость в подробных указаниях, которые содержатся в эвристических про-граммах, отпадает, происходит постепенное свертывание и автоматизация отдельных операций. В процессе усвоения способов решения классов задач учащиеся вырабатывают короткие ориентиры для нахождения метода решения конкретной задачи. В таком свернутом и упорядоченном виде, какой представлен в эвристической информации, эти ориентиры хранятся в памяти учащихся и при необходимости разворачиваются в подробные планы решения. Конечно, учащиеся, каждый по-своему, могут приспосабливать для хранения найденную и упорядоченную информацию. Важно, чтобы вырабатывалась потребность и навык в ее приобретении.
Сделаем некоторые замечания относительно приведенной выше эвристической информации. Ясно, что одна и та же задача на доказательство взаимного положения прямых и плоскостей может быть решена разными способами: с применением метода от противного и без его использования, при этом, возможно решение задачи как с проведением вспомогательных прямых и плоскостей, так и без дополнительных построений. Все эти моменты оговариваются в процессе решения задач, рассматриваются различные способы решения одной задачи. Но для использования эвристической информации, особенно слабым учащимся, целесообразно дать дополнительную систему указаний, упорядочивающую выбор способа решения задачи на доказательство. Приведем эту систему указаний.
1. Попробуйте свести исходную задачу к цепочке простых задач, начиная от условия.
2. Если это не удается, попробуйте свести задачу к простым подзадачам, воспользовавшись эвристической схемой (план 2а).
3. Если опять не удается решить задачу, попробуйте использовать метод от противного (план 2б).
4. При очередной неудаче попробуйте провести вспомогательную плоскость и воспользоваться планом 3 а) или 3 б).
5. Решив задачу одним из способов, попытайтесь найти другое решение.
В зависимости от уровня подготовки учащихся, конкретных условий работы возможны различные подходы к использованию описанной системы указаний: 1) от общих эвристик - к конкретным планам решения отдельных задач; 2) от решения конкретных задач - к самым общим подходам решения классов задач. В целом вся работа по использованию системы указаний по отысканию подходов к решению задач направлена на развитие самостоятельности мышления. Поэтому важным является формирование умения самостоятельно находить нужные указания, составлять планы и ориентиры
по решению задач. Но в отдельных случаях учитель может давать готовые планы и ориентиры для решения классов задач. Реализуя этот общий подход к решению каждой конкретной задачи, учащиеся работают в условиях проблемной ситуации, задаваемой указаниями, содержащими достаточную неопределенность поля поиска. Вместе с тем указания содержат и направления для решения проблемы.
Всю разработанную систему эвристических указаний по решению задач из первых разделов стереометрии учащиеся могут создать под руководством учителя при изучении темы «Параллельность в пространстве». При этом целесообразно идти от решения конкретных задач на основе использования эвристической схемы к составлению эвристических программ и далее к составлению эвристической информации, так как было показано выше. В теме «Перпендикулярность в пространстве» содержатся те же классы задач, поэтому разработанные материалы учащиеся могут использовать для поиска их решения, идя теперь от общих эвристик к планам решения конкретных задач. Последовательность от общих эвристик к конкретным планам решения отдельных задач можно использовать также при повторении разделов «Параллельность в пространстве» и «Перпендикулярность в пространстве».
