CC BY
27
= a2 + b2 + c2 + 2ac cos у — 2b cos a ^a2 + c2 + 2accosy 4) Найдем квадрат диагонали d4 : d| = b2 +DB2 — 2bDBcos/3
DB2 = a2 + c2 + 2ac cosy ^ DB = ^a2 + c2 + 2accosy d| = a2 + b2 + c2 + 2ac cos у + 2b cos a ^a2 + c2 + 2accosy Составим сумму квадратов диагоналей: dl + dl + dj + d\
= a2 + b2 + c2 — 2ac cos у — 2b cos a ^a2 + c2 — 2ac cosy + a2 + b2 + c2 — 2ac cos у + 2b cos a ^a2 + c2 — 2ac cosy + a2 + b2 + c2 + 2ac cos у — 2b cos a ^a2 + c2 + 2ac cosy + a2 + b2 + c2 + 2ac cos у + 2b cos a ^a2 + c2 + 2accosy dl+d%+dl + dl= 4a2 + 4b2 + 4c2.
V пункт. Запишем доказательство стереометрической задачи. Dx
! \ Л ^v! \ л* в1
i "N\/'
! / \
: s \
: S
-----------v... V%>
»«' "'■■■■■... ......
t' ................ 1 Л ................ ^
................
C
B
Доказательство
Обозначим стороны и углы параллелепипеда, проведем диагонали: АВ = а,АА1 = b,AD = C,AA1AC = AD-^DB = а,АС1СА = AB1BD = P,aABC = у, aDAB = ^,А1С = d1,AC1 = d2,D1B = d3,B1D = d4.
Найдем квадрат диагонали dl = a2 + b2 + с2 — 2ac cos у — 2b cos a ^a^+~c^—20ccosy. Найдем квадрат диагонали d2 : d2 =
a2 + b2 + с2 — 2ac cosy + 2b cos a ^a2 + c2 — 2ac cosy. Найдем квадрат диагонали d3 : d2 =
a2 + b2 + с2 + 2ac cosy —
2b cos a ^a2 + c2 + 2ac cosy. Найдем квадрат диагонали d4 :
d| = a2 + b2 + с2 + 2ac cos у + 2b cos a .
Находим сумму квадратов диагоналей:
dl + dl + dl + dl = 4a2 + 4b2 + 4c2.
Нам еще предстоит проанализировать результаты экспериментальной работы проведенной в 2016 году, сделать основные выводы и дать рекомендации по использованию метода аналогии для поиска решения стереометрических задач.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Войшвилло, Е. К., Дегтярев, М. Г. Логика: Учеб. для студ. высш. учеб. заведений. - М.: Владос-Пресс, 2001.- 528 с.
2. Готман, Э. Г. Стереометрические задачи и методы их решения. - М.: МЦНМО, 2006.
3. Гордин, Р.К. Геометрия. Планиметрия. - 3-е изд. - М.: МЦНМО, 2006.
4. Дегтярев, М. Г. Логика. План-конспект лекционного курса. М., 2012. - 56 с.
5. Кучеров, В. Геометрические аналогии. - М.: Бюро Квантум, 1995. - 128 с.
6. Старокожева, Е. И. Методика преподавания математике в основной школе. Курс лекций. Ч.1. Валуйки, 2008.
7. Энциклопедический словарь юного математика.- М.: Педагогика, 1989.- 128 с.
8. Ященко, И. В., Семенов А. В., Высоцкий И. Р. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2015 года по математике. 2015. - 20 с.
9. Ященко, И. В., Семенов, А. В., Высоцкий И. Р. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2016 года по математике. 2016. - 42 с.
С.В. Лознева, М.Г. Макарченко
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МИКРОСТРУКТУРНЫХ ОБОБЩЕНИЙ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ТЕМЫ «ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ»
Аннотация. В статье рассмотрены средства и методы обучения решению задач по геометрии, микроструктурные средства, элементарные шаги решения задач применительно для первой
второй и третьей глав учебника геометрии и показана актуальность внедрения и использования средств на уроках.
Ключевые слова: стереометрия, геометрия, шаги, группы, этапы, макроструктура решения задач, микроструктура, мышление.
S.V. Lozneva, M.G. Macarchenko
THE USAGE OF MICROSTRUCTURAL GENERALIZATIONS IN THE SOLUTION OF MATHEMATICAL PROBLEMS IN THE THEME: "RELATIVE POSITION OF STRAIGHTS IN THE SPACE OR THE LOCATION OF DIRECTS IN THE SPACE"
Abstract. In this article you can see some means and methods of teaching the solution of mathematical problems, geometry, microstructural instruments (means), some simple steps of mathematical problem solutions. It can be used in first (1), second (2), third (3) chapters of the geometry book. In this book the relevance of the implementation and usage of means during the lessons is shown.
Key words: stereometry (or solid geometry), geometry, steps, groups, main points, macrostructure of the solution of mathematical problems, microstructure of thinking.
В школьном курсе стереометрии первым разделом является «Взаимное расположение прямых, прямых и плоскостей в пространстве». От того насколько качественно он будет изучен зависит усвоение всего последующего материала. А как показывает практика и анализ методической литературы, учащиеся плохо владеют стереометрическим материалом. Анализ ГИА 2016 показывает следующие результаты [5]: в заданиях с кратким ответом самые низкие результаты получены при выполнении задания 10 - «задачи с практическим содержанием» (26%). Кроме того на низком уровне оказались выполнены задания 8 (44%) «на вычисление объема пирамиды». Анализируя результаты решения геометрических заданий с кратким ответом, следует отметить, что выпускники хорошо справились с планиметрическими задачами 3 (94%) и 6 (82%), и хуже всего выполнили стереометрическую задачу 10 (26%). В самом деле, низкий процент выполнения оказался у стереометрических задач. Например, сравнивая результаты полного решения задач 13 (34,1%) и 14 (1,6%), которые максимально оценивались в 2 балла, получаем, что алгебраическую задачу 13 выполнило в 21 раз большее число выпускников. Это соотношение увеличилось по сравнению с 2015г., где оно равнялось 12,5. Выпускники, пытающиеся решить геометрическую задачу, допускают традиционные ошибки, в основе которых лежат незнание стереометрического материала и неумение проводить логические рассуждения. Чтобы устранить причины неумения учащимися самостоятельно решать сложные задачи, нужно представить себе процесс обучения поэтапно, т.е. каким образом сложную задачу можно разложить на составляющие её простые подзадачи. Рассмотрим пример того, как начинают процесс обучения изготовлению мебели или шитью платья. Нужна ли поэтапность или пошаговость этих процессов обучения? Неужели обучение начнем с того, что предложим им изготовить табуретку или какое-то платье? Нет, сначала учат разбираться в материалах, которые используются для мебели или платья. Затем учащихся обучают выполнению отдельных элементарных операций разными инструментами. И только после этого предлагают ученикам изготовить ту самую табуретку. Иными словами, для того чтобы человек сознательно овладел каким - либо сложным делом, ему нужно дать необходимые знания об объектах, с которыми ему придется иметь дело, научить отдельным действиям и операциям, из которых состоит его будущая работа, обучить основным методам этой работы. А ведь решение задач - это ещё более сложная деятельность, чем изготовление мебели или каких - либо других предметов (в умственном плане). Мы хотим, чтобы учащиеся научились решать самостоятельно (а не по аналогии) сложные задачи, осмысленно осуществлять их поиск, но не даём им никаких надпредметных знаний о задачах и их решении, не вырабатываем у них нужных для этого элементарных умений и навыков. Формирование соответствующих умений, как специфических математических, должно быть включено в планы работы учителя, они должны стать предметом целенаправленной активной деятельности учащихся. Учащиеся должны знать, какими умениями и навыками они должны овладеть, и необходимым постоянным внешним и внутренним контролем за ходом овладения этими умениями и навыками, за их качеством.
Помимо осознания цели овладения тех или иных умений и навыков, важно, чтобы учащиеся осознали главный мотив работы. Ставя цель - сформировать данное умение, учитель должен сделать это так, чтобы каждый ученик понял, зачем это нужно ему, какой личностный смысл имеет работа по овладению данным умением.
После мотивационного этапа ученики должны получить образец или правило (алгоритм) выполнения соответствующего действия, возможные способы выполнения этого действия. Первые выполненные учащимися действия должны подвергаться всестороннему анализу, выявлению
ошибок и нерациональных шагов, допущенных учащимися. Следует обсуждать коллективно возможности более рационального выполнения данного действия.
Тренировка, применения умения на практике, не должна быть тягостной и чрезмерно сосредоточенной во времени. Лучше её проводить несколько раз с достаточными временными промежутками. А главное - использовать формируемое умение как операцию для выполнения каких -то других сложных действий [6, 174].
Важной задачей обучения математике является развитие мышления и воображения учащихся. Конечно, развитие мышления и воображения учащихся происходит в процессе обучения всех учебных предметов, в процессе собственной деятельности и общения детей со взрослыми и сверстниками в повседневной жизни.
Однако роль обучения математике в развитии этих психологических процессов очень велика. Рассмотрим отдельные аспекты, связанные с развитием мышления и воображения в процессе обучения математике.
Мышление вообще есть психический процесс, с помощью которого человек устанавливает внутренние свойства объектов познания, которые нельзя обнаружить с помощью восприятия, а также связи и отношения между объектами. Поэтому мышление есть внечувственный процесс решения. В процессе обучении у ребёнка начинает развиваться рассуждающее и репродуктивное и продуктивное мышление.
Рассуждающее мышление протекает осознанно, оно развёрнуто по этапам и во времени. Наконец, часто мышление делят на репродуктивное и продуктивное (творческое). Репродуктивное мышление - это решение задач по известным правилам и алгоритмам. Продуктивное же мышление же мышление - это нахождение новых способов решения задач, вообще создание чего - то нового, ранее неизвестного для данного человека или общества.
Наиболее важным свойством мышления является его прогностичность. С помощью мышления мы намечаем цели (цель - это предвидимый результат действия или поступка), разрабатываем планы осуществления этих целей. Рассуждающее мышление осуществляется с помощью следующих мыслительных действий.
Анализ - мысленное расчленение объекта познания на части с целью установления его свойств и особенностей, взаимосвязей этих частей объекта. Синтез - мыслительное воссоединение отдельных элементов или частей в единое целое.
Сравнение - сопоставление объектов познания с целью нахождения сходства (выделения общих свойств) и различий (выделения особенных свойств каждого из сравниваемых объектов) между ними.
Абстрагирование - это мыслительное выделение каких - либо существенных свойств и признаков при одновременном отвлечении от всех других свойств и признаков этих объектов. В результате абстрагирования выделенное свойство или признак сам становится предметом мышления (абстрактным предметом).
В обучении математике предпочтительно использовать теоретические обобщения. При изучении фундаментальных понятий следует сначала дать учащимся общее представление об этом понятии. Затем его обогащать, углублять, конкретизировать.
Конкретизация - может выступать в двух формах:
1) как мыслительный переход от общего к единичному, частному;
2) как восхождение от абстрактно - общего к конкретно - частному путём выявления различных свойств и признаков этого абстрактно - общего. Обогащение абстрактно - общего конкретным содержанием. Такая конкретизация и есть теоретическое обобщение [6, 177].
Для того чтобы научить учащихся самостоятельно решать нестандартные задачи, выработать у учащихся общий подход к решению любых задач, сформировать способность разумного поиска способа решения задач незнакомого вида (имеются в виду задачи школьного типа, не требующие особых методов решения), необходимо следующее. 1. Дать учащимся элементарные знания теории задач. Эти знания не следует выделять в особую тему, а можно давать попутно с решением задач в течение всех лет обучения, возвращаясь к одному и тому же понятию неоднократно. Например, первое понятие о задаче и её структуре следует дать учащимся ещё в начальной школе, но затем в средних и старших классах это понятие необходимо уточнять и углублять многократно. То же следует делать с другими понятиями теории задач: генезис задач, классификация задач, сущность и процесс решения и т. д. 2. Закрепить у учащихся прочные умения и навыки в выполнении отдельных элементарных действий, входящих в процесс решения сложных задач: умение проводить анализ задачи, построение различных её моделей, осуществление планомерного поиска способа решения, выполнение проверки решения, исследование задачи и её решения и учебно -познавательный анализ задачи и найденного решения. Это достигается с помощью выполнения учениками особой системы упражнений. 3. Познакомить учащихся с основными эвристическими
методами решения школьных математических задач и закрепить у них прочное умение и испытывать эти методы для решения разнообразных задач [6,с. 117]. В связи с этим возникает вопрос: «Каким образом учителю необходимо организовывать деятельность по решению задач и доказательству теорем по стереометрии, чтобы изменить создавшееся положение?». Для управления организацией деятельности по решению стереометрических задач первого раздела целесообразно выделить все составляющие этой деятельности и, прежде всего, те операции и действия, которые используются в деятельности по решению задач именно этого раздела стереометрии. Другими словами - полезно описать «микроструктуры деятельности по решению задач» указанного раздела. Что это такое? Л.М. Фридман, вводя данный термин [7, 62], указывал, что понимает под «микроструктурой деятельности по решению задач» элементарные шаги этой сложной мыслительной деятельности. Раскроем содержание данного понятия, предварительно представив смысл понятия «макроструктура деятельности по решению задач», или «общая структура деятельности», или «этапы решения задачи» или «элементарные шаги». Первый этап деятельности по решению задач - это этап анализа задачи. Он состоит из нескольких частей задачи: а) установление предметной области, при этом выявляется характер каждого её элемента; б) выявление отношений, которыми связаны элементы предметной области задачи, и их характера; в) определение оператора и требования задачи - опознание задачи. Второй этап деятельности по решению задач - это этап составления плана решения, завершения поиска идеи. Выбор искомых величин, попытки подвести задачу под известный тип, выбор наиболее приемлемого метода решения. Выбор стратегии и поиск плана, апробация и т.д. Третий этап деятельности по решению задач - это этап осуществления плана решения. На этом этапе проводится практическая реализация плана решения во всех его деталях с одновременной корректировкой через соотнесение с условием и выбранным базисом, выбор способа оформления решения и само оформление решения, запись результата. Четвёртый этап деятельности по решению задач - это этап обсуждения (анализа) процесса решения. В ходе этого этапа фиксируется конечный результат решения, анализ результата, выявление существенного, систематизаций новых знаний, опыта. Попробуем представить микроструктуру деятельности по решению задач. Более важно выявить те элементарные шаги (в смысле нерасчленимые) из которых состоят эти этапы деятельности, а для этого надо провести микроанализ (микроподход). Под такими шагами подразумевают мыслительные шаги, их подразделяют на 2 типа: а) шаги, реализация которых, представляет собой достоверный вывод. б) шаги, реализация которых представляет собой лишь правдоподобный (негарантированно достоверный) вывод. Изучение структуры, характеристики, классификации этих элементарных шагов является основным звеном в исследовании микроструктуры решения задач. Л.М. Фридман предлагает изучить структуру, характеристику, классификацию этих элементарных шагов разбивая на группы теорию, данные, правила, опыт по решению задач следующим образом: 1) группа тождественно - истинных высказываний (теория Т). Это теория или даётся нам непосредственно в условиях задачи (если эта задача полно-поставленная), или же теория имеется у решающего в виде системы знаний той области, к которой принадлежит заданная задача, (если она является обычной неполно поставленной); 2) группа истинных высказываний - тех частных, конкретных условиях (данных), которые заданы в задаче (группа Д); 3) группа правил логических преобразований высказываний и образования сложных высказываний (правил, вывода) (группа П); 4) группа особых специальных преобразований и действий по решению задач, которые исторически выработаны коллективным многовековым опытом людей в процессе решения задач (группа С) [7, 62]. Характер элементов группы С отличается совершенно недостаточной определённостью. Так, например, общее правило, идущее ещё от Б. Паскаля: «Заменить термины их определениями», является, пожалуй, более определённым, чем многие другие, но и в нем неясно, все ли встречающиеся термины нужно заменять их определениями, а если не все, то какие нужно заменять, а какие не нужно. К тому же один и тот же термин имеет зачастую не одно определение, а несколько: каким из этих определений нужно заменить данный термин? Никаких указаний по этому вопросу в самом правиле нет. А вот правило, идущее от Р. Декарта: «Нужно дробить каждую из трудностей, которые мы разбираем, на столько частей, на сколько можно, чтобы их лучше разрешить», или весьма близкое правило: «Если вопрос вполне понят, нужно освободить его от всякого излишнего представления, дать ему самое простое выражение и разделить с помощью перечисления на столько частей, на сколько это возможно». Другое правило Декарта, важность которого несомненна: «Полезно чертить фигуру и предлагать их чувствам, чтобы помочь вниманию», но и оно, конечно, весьма неопределенно, ибо неясно, какие фигуры и когда следует чертить. Несколько более определены частные правила для решения отдельных видов задач. Среди элементов группы С, кроме рассмотренных выше двух подгрупп (общих и частных правил преобразований и действий по решению задач), имеется ещё одна подгруппа, которую можно рассматривать и как самостоятельную группу - это подгруппа элементов прошлого опыта субъекта по решению задач в виде хранимых в его памяти условий задач и планов их решения (подгруппа личностного опыта субъекта по решению задач). Элементы этой подгруппы пред-
ставляют собой по сути дела правила преобразований и действий по решению задач определённого вида, но явно не сформулированные. Очевидно, в памяти субъекта вместе с задачей и планом её решения храниться и результат анализа этого решения в форме общего представления. Соотношение конкретной задачи с этим общим представлением помогает решающему найти нужные действия. Элементарные шаги деятельности по решению задач состоят из сочетания элементов указанных четырёх групп высказываний и правил. Структура элементарных шагов определяется характером этого сочетания. Возможны, например, такие структуры элементарных шагов: 1. Применять к определённому элементу групп Д, т.е. к тому или иному условию задачи, определённое преобразование - элемент группы С. 2. Сочетать какой - то элемент группы Д или некоторую совокупность этих элементов с элементом подгруппы субъективного опыта по решению задачи (т.е. с ранее решённой задачей или её частью) группы С и, применяя к этому сочетанию некоторый элемент подгруппы правдоподобных логических правил (например, правило аналогии или какое -либо другое) группы П, получить вероятностный вывод. 3. Сочетать определённый элемент группы Д с некоторым элементом группы Т (т. е. с каким - то тождественно - истинным высказыванием) и, применив к этому сочетанию определённый элемент подгруппы дедуктивных логических правил множества П (т.е. какое - то правило логического вывода или правило логической операции), получить достоверный вывод в виде нового высказывания и т. д. и т. п. Реализация каждого такого сочетания и представляет собой элементарный шаг деятельности. Их совокупность образует всю деятельность по решению данной задачи. В данной статье на конкретных примерах продемонстрирована возможность и целесообразность введения элементарных шагов (микроструктурных средств) по решению задач в образовательный процесс по стереометрии. Представленные группы микроструктурных средств (элементарных шагов) по решению задач должны наполняться с учетом конкретного математического содержания «его специфики». Понимая под этим содержанием «первые разделы стереометрии», а под его спецификой - использование планиметрических средств возможно только после «перехода из пространства в плоскость», - выделяем в группе С преобразования, которые обоснованно «описывают» этот «переход». Ниже приведён пример целесообразности введения в предполагаемый образовательный процесс микроструктурного средства (элементарных шагов).
Пример 1: Дидактические материалы 10 класс [2, 5] приведена задача: «С-3.2». Кратко приведем решение и обобщим его (рис. 1). Решение: прямая аПа, а£в, прямая Ь прямая пересечения а и в по признаку параллельности двух прямых [1, 25] аПЬ. По условию задачи аПс, тогда воспользовавшись теоремой [1, 25], сделаем вывод, что ЬПс. Воспользовавшись теоремой 1.6 [4, 269], докажем, что ЬПс. Обобщение. Для того чтобы доказать параллельность двух прямых достаточно доказать: а) что одна из этих прямых параллельна третьей, б) что вторая из этих прямых параллельна третьей, в) сделать вывод о параллельности этих прямых.
Пример 2: [2, 11]. Пусть требуется решить следующую задачу «С-1.1»: Прямые а и Ь пересекаются в точке О, А £ а, В £ Ь, Y £ АВ. Докажите, что прямые а и Ь и точка Y лежат в одной плоскости (рис. 2). Для её решения можно воспользоваться следующими микроструктурными средствами: чтобы доказать что две прямые и точка лежат в одной плоскости, надо: а) показать что одна прямая лежит в плоскости; б) показать что вторая прямая лежит в этой плоскости; в) показать что точка лежит в этой плоскости. 1)Чтобы показать и доказать что одна и вторая прямые лежать в плоскости воспользуемся свойством 3 [1, 11]. 2)Чтобы показать, что исходная точка лежит в этой же плоскости достаточно показать, что прямая содержащая эту точку лежит в этой плоскости [1, 8]. 3) показать единственность решения принадлежности прямой плоскости [1, 11].
Пример 3: Учебник геометрия 10-11, упр.10 [1, 62]. Решим и обобщим решение (рис. 3). Решение: Проведём прямую аППа так, что аП 0Ь. Тогда, через прямые а и Ь, проходит плоскость и она единственная[1, 11]. В этой плоскости а проведём прямую аППа. Вспомним определение[1,
61]. Так как аП ad, то угол между плоскостью а и прямой а равен углу между проекцией прямой аП на плоскость а и прямой аП, следовательно равен 60°. Рассмотрим прямую b как перпендикуляр, прямую аП, как наклонную и проведём проекцию наклонной (прямой аП ). Получили три прямые находящиеся в одной плоскости, заключившие между собой прямоугольный треугольник. [1, 8] рассмотрим треугольник. Один угол 90°, другой угол 60°. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что угол между перпендикуляром и наклонной составляет 30°. Вспомним, что аП строили □ а, b не пересекается с а (т.к. скрещенные прямые) [4, 318]. Тогда можно сказать, что угол между скрещивающимися прямыми а и b тоже равен 30°. Что и т.д.
Обобщение. Для того чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми достаточно: 1) построить параллельную прямую одной из скрещивающихся прямых. 2) найти градусную меру угла между плоскостью и построенной прямой. 3) Обозначить фигуру образованную прямыми. 4) найти градусную меру неизвестного угла полученной фигуры. 5) обозначить и найти искомую величину.
Вывод. Решение задач первого раздела стереометрии всегда вызывало и до сих пор вызывает трудности у школьников. Этот факт свидетельствует и об отсутствии целостного понимания ими как раздела а целом, так и его отдельных теоретических положений. Целостное осмысление отдельно взятого теоретического положения стереометрии связано и с пониманием мотивирования его введения, и логической структурой его формирования и его доказательства [3]. Но главное, целостное понимание формирования теоретического положения активизируется в его применении. Применение теоретических фактов стереометрии может быть представлено описанием микроструктуры деятельности по использованию факта, например, в ходе решения задач. Этим объясняется целесообразность использования микроструктурных средств теоретических фактов первого раздела стереометрии. Активность использования микроструктурных средств первого раздела стереометрии определяется статусом целостности представления самого микроструктурного средства. Статус обычной рекомендации задаёт один уровень активности, а статус модели деятельности - другой. Подача микроструктурного средства ученикам должна отражать модель самого теоретического факта и смысл его применения. Совокупность всех микроструктурных средств первого раздела стереометрии помогает создать единую целостность всего первого раздела стереометрии, а значит, и обеспечивающих последующее изучение других объектов стереометрии.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Геометрия.10-11 классы: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений (базовый и профильный уровни) / И.М. Смир-
нова, В.А. Смирнов - 6-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 288 с.: ил.
2. Геометрия. Дидактические материалы. 10 класс : базовый и профил. уровни / Б. Г.Зив. - 11-е изд. - М. : Просвещение,
2011. - 159 с.
3. Макарченко, М.Г. Контекстуальный анализ учебных текстов по математике / Известия Российского государственного
педагогического университета имени А.И. Герцена. - 2008. - № 11 (71). - С. 268-276.
4. Математика: Справ. материалы: Кн. Для учащихся. -2-е изд. - М.: Просвещение, 1990. - 416 с.: ил.
5. Региональный центр мониторинга в образовании. Статистика ГИА 2016. URL: http://rcmo.ru (дата обращения 03.11.2016).
6. Фридман, Л. М. Теоретические основы методики обучения математике: Учебное пособие. Изд. 2-е, испр. и доп. - М.:
Едиториал УРСС, 2005. - 248 с.
7. Фридман, Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. М.: Педагогика, 1977. - 208 с.
Н. Е. Ляхова, С.И. Порохня
ОБУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ
Аннотация. В статье представлена методика составления моделей, а именно, систем уравнений при решении текстовых задач, направленная на преодоление затруднений учащихся при решении этого вида задач.
Ключевые слова: задачи на составление уравнений, методы решения.
N. E. Lyakhova, S. L Porokhnia
TEACHING THE ELEMENTS OF MATHEMATICAL MODELING IN THE PROCESS OF SOLVING WORD PROBLEMS
Abstract. The article presents methodology of modelling, namely, systems of equations in solving word problems aimed at overcoming the difficulties of students when solving this type of problems. Key words: tasks on writing equations, solution methods
