Аналогия как один из способов поисковой деятельности при доказательстве стереометрических задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Саакян, С.М., Бутузов, В.Ф. Изучение геометрии в 10-11 классах. Книга для учителя. М.: Просвещение, 2010. - 248 с.

3. Атанасян, Л.С. Геометрия, ч.1 Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1973. - 478 с.

4. Кушнир, А.И. Векторные методы решения задач. М.: Обериг, 1994. - 207 с.

5. Потоскуев, Е.В. Векторы и координаты как аппарат решения геометрических задач: учебное пособие, М.:. Дрофа, 2008. - 173 с.

6. Колесникова, Е.В. Векторный метод и его применение к решению задач школьного курса геометрии. М.: 2012. - 44 с.

7. Саранцев, Г.И. Методика преподавания геометрии в десятилетней школе: Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. - Саранск: Мордовский педагогический институт, 1992. - с. 130.

УДК 514 ББК 22.151я72-4

А.С. Кузовлева

АНАЛОГИЯ КАК ОДИН ИЗ СПОСОБОВ ПОИСКОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Аннотация. В статье представлен метод аналогии, классификация аналогий, базовая аналогия, план поиска доказательства стереометрических задач. Приведены примеры.

Ключевые слова: метод аналогии, виды аналогий, базовая аналогия, поиск решения задачи.

A. S. Kuzovleva

ANALOGY AS ONE OF METHODS OF SEARCHING ACTIVITY AT PROOF OF STEREOMETRIC TASKS

Abstract. The method of analogy, classification of analogies, base analogy, plan of search of proof of stereometry tasks, is presented in the article. Examples are given.

Keywords: analogy method, types of analogies, base analogy, search of the solution of a task.

В школьном курсе геометрии мы не только изучаем теоретический материал, но и на его основе решаем и доказываем различные задачи. Например, нам нужно решить стереометрическую задачу. Но мы можем столкнуться с такой проблемой: с чего же начать поиск ее решения? Ответить на этот вопрос мы сможем, если сформируем у обучающихся различные способы поисковой деятельности как при изучении теоретического материала, так и при решении задач. Тем самым мы будем решать одну из актуальных проблем методики обучения математики, а именно проблему повышения эффективности обучения решению геометрических задач.

Формированию способов поисковой деятельности помогает использование различные методов обучения, одним из которых является аналогия [5, 44].. Именно на метод аналогии обратим внимание, так как он чаще всего лежит в началах введения и усвоения математических понятий, поиска доказательства или решения сформулированных утверждений, а также аналогия является основой для получения новых знаний об обучаемом объекте.

Слово «аналогия» в переводе с греческого означает соответствие, сходство [6, 11]. Аналогия - достаточно эффективный инструмент познания, логический прием, используемый как в научных исследованиях, так и в обучении [7; 8]. Многие педагоги признают необходимость использования аналогии при обучении математике, требуют широкого и систематического ее применения.

В настоящее время умозаключениями по аналогии принято называть «рассуждения, в которых заключение делается на основании структурного, функционального или какого-либо иного сходства сравниваемых вещей» [4, 246]. Принцип всякой аналогии: если сравниваемые вещи сходны в одном отношении, следовательно, они могут быть сходны и в других отношениях. Основу этих умозаключений составляет сходство (аналогия) предметов в некоторых признаках. Два предмета а и ß сходны (аналогичны) в некоторых признаках Р±,Р2,... ,Рп, если они оба обладают этими признаками. Само умозаключение по аналогии состоит в переходе от знания о сходстве двух предметов в некоторых признаках Р[,Р2, ..-,Рп(признаки сходства) и отличии еще некоторого признака Q (переносимый признак) у одного из этих предметов к заключению о вероятном нали-

чии этого последнего признака и у другого предмета. Таким образом, умозаключения по аналогии имеют следующую форму [3, 91]:

Р1(а),Р2(а).....Рп(аУ^(а)

ВД),ВД).....Рп(Р)

посылки

Вероятно, Q'(P) - заключение, где п> 1.

Из этого видно, что посылки указывают на сходство предметов а и в в кахРх,Р2, —,Рп и наличие, кроме того, признака Q у предмета а. Заключение указывает на вероятное наличие сходного признака Q' у предмета р.

В зависимости от того, что представляют собой предметы а и р - являются ли они отдельными объектами, последовательностями объектов и т.д. и, соответственно, - в зависимости от характера рассматриваемых признаков, аналогии можно классифицировать следующим образом.

Так, если а и р - отдельные объектыа и Ь; Р±,Р2, —,Рп - признаки, указывающие на наличие или отсутствие у них тех или иных свойств, то говорят об аналогии свойств. А если а и р - некоторые последовательности объектов, соответственно - а1,а2, — ,ап и Ь±, Ь2, — ,Ьп(пары, тройки, п-ки предметов вообще), а признаки Р±,Р2, —,Рп, как и Q, - п-местные отношения, в которых находятся члены этих последовательностей, то говорят об аналогии отношений [3, 92].

Приведем примеры аналогии свойств и аналогии отношений.

Пример 1. В качестве объектов а и р рассмотрим касательную к окружности и касательную плоскость к сфере соответственно. Обозначим

а - касательная к окружности.

Р±(а): прямая, имеющая с окружностью только

одну общую точку;

Р2(а): прямая, перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания прямой и окружности;

Q(a): касательные к окружности, проведенные из одной точки, составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

р - касательная плоскость к сфере.

Р1(Р): плоскость, имеющая со сферой только

одну общую точку;

Р2(Р): плоскость перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания плоскости и сферы;

Вероятно, Q'(P): касательные плоскости к сфере, имеющие общую точку вне ее, составляют равные углы с плоскостью, проходящей через общую прямую плоскостей и центр сферы.

Нетрудно показать, что Q'(P) - верно. В связи с этим можно сделать вывод. В данном примере объектами аналогии являются а и Ь (где а - касательная к окружности,Ь - касательная плоскость к сфере), а признаки сходства Р1 и Р2 указывают факт наличия у них определенных свойств, поэтому установленную аналогию между объектами можно считать аналогией свойств.

Пример 2.

а±- прямоугольный треугольник; а2 - 2 катета: а, Ь; а3 - прямой угол; а4- высота треугольника ^

Р1(а1,а2): катеты, принадлежащие треугольнику;

Р2 (а2, а3): катеты заключают прямой угол;

Р3(а3,а4): высота, опущенная из вершины прямого угла;

С(а2,а4): ^ = + _

Ь±- прямоугольный тетраэдр;

Ь2- 3 ребра: а, Ь, с;

Ъ3 - трехгранный прямой угол;

Ь4- высота тетраэдра ^

Р-[(Ь1,Ь2): ребра, принадлежащие тетраэдру;

Р^(Ь3,Ь3): ребра заключают прямой трехгранный угол;

Р3'(Ь3,Ь4): высота опущена из вершины прямого трехгранного угла;

Вероятно,

Справедливость последнего утверждения имеет место и, значит, этот пример наглядно иллюстрирует аналогию отношений.

Кроме указанных аналогии свойств и аналогии отношений существуют и другая классификация. Ю.М. Колягин в книге «Методика преподавания математике в средней школе»вводит в рассмотрение следующие виды аналогий, которые различаются по основаниям для выводов[4, 93]:

1) «простая аналогия, при которой по сходству объектов в некоторых признаках заключают о сходстве их и в других признаках»;

2) «распространенная аналогия, при которой из сходства явлений делают вывод о сходстве причин».

Схема простой аналогии имеет вид: Р1(а),Р2(а).....Рп(а)^(а)

ТО), ТО).....ТО)_

Вероятно, $(£).

Схема распространенной аналогии имеет вид:

1. Р1(а),Р2(а).....Рп(.а)Жа)

ТО), ТО).....ТО)

ВероятноТОЧ^)

2. Q(a).

3. А2 * — * Ап* Q(a).

4. В1 *В2 * — * Вп.

5. Вп * то).

6. <гш

В свою очередь, простая и распространенная аналогии могут быть строгой и нестрогой. Строгой аналогией называется аналогия, при которой установлена взаимная зависимость в признаках сравниваемых объектов. Нестрогой аналогией называется аналогия, при которой взаимная зависимость в признаках сравниваемых объектов не установлена в явном виде [3, 94]. Строгая аналогия предполагает проведение рассуждений по схеме:

Р1(а),Р2(а).....Рп(а)

ТО), ТО).....ТО)

Р1,Р2,... ,Рп и Q находятся во взаимной зависимости или Рх, Р2,..., Рп детерминируют Q_

ТО)

Рассуждения в соответствии с нестрогой аналогией представимы в виде: ТО).....Рп(а)^(а)

ТО).....ТО)_

Вероятно, Q'(P).

Чтобы установить, что аналогия между объектами является строгой, достаточно показать, что признак Q является следствием Р1,Р2,... ,Рп или, что для каждого из признаков сходства выполняются 2 условия:

1) элементы объектов, встречающиеся в рассматриваемом признаке, аналогичны;

2) между этими элементами можно установить аналогию отношений.

А если хотя бы одно из этих условий нарушается, то мы делаем вывод, что признаки сравниваемых объектов не находятся во взаимной зависимости, т.е. перед нами нестрогая аналогия. Это главное отличие нестрогой аналогии от строгой, а вывод, полученный в результате ее применения, носит вероятностный характер. Это означает, что результатом использования нестрогой аналогии является гипотеза. В то время как заключение, полученное в результате использования строгой аналогии, является достоверным.

В методике обучения математике мы можем устанавливать аналогию между геометрическими объектами, а можем устанавливать аналогию между геометрическими задачами. Поэтому многие ученые и педагоги утверждают, для того чтобы это сделать, необходимо обязательное наличие так называемой базовой аналогии [3, 96]. Наличие базовой аналогии означает, что рассматриваемые объекты принадлежат математическим теориям, для которых выполняются следующие требования:

2)

каждому объекту одной математической теории соответствует схожий объект другой математической теории, обладающий свойствами аналогичными свойства первой теории;

объекты каждой из теорий находятся между собой в схожих отношениях, то есть между объектами первой и второй математических теорий существует аналогия отношений.

Исходя из этого, различают два вида базовой аналогии. Базовая аналогия первого порядка -это аналогия свойств между понятиями схожих математических теорий. Базовая аналогия второго порядка - это аналогия отношений между понятиями схожих математических теорий [3, 96].

Как говорилось, мы можем устанавливать аналогию между геометрическими объектами, а можем устанавливать аналогию между геометрическими задачами. Исходя из этого, приходим к выводу, что есть две задачи, которые мы можем решать. Одна задача на получение самого утверждения по аналогии, а вторая задача на поиск решения или доказательства этого утверждения.

Так как в начале статьи возник вопрос с чего же начать поиск решения стереометрической задачи, то обратим внимание именно на вторую задачу. Чтобы отыскать решение или доказательство того или иного утверждения, приведем ниже план, в соответствии с которым мы отыщем доказательство некоторых стереометрических задач.

План поиска решения или доказательства стереометрической задачи: сформулировать задачу, аналогичную данной, т.е. такую, у которой имелись бы, по сравнению с данной, сходные условия и сходное заключение (вспомогательная задача должна быть проще данной или такой, решение которой известно); решить или доказать вспомогательную задачу;

составить план доказательства или решения вспомогательной задачи; провести аналогичные рассуждения при составлении плана исходной задачи; по плану построить доказательство или решение исходной задачи.

Теперь рассмотрим применение выше указанного плана для решения задач. Проиллюстрируем это на примерах.

Пример 3. Пусть требуется решить следующую стереометрическую задачу.

Доказать, что сумма расстояний от любой точки внутри правильного тетраэдра до его граней равна высоте этого тетраэдра [2, 31]:

ОН1 + ОН2 + ОН3 + 0Н4 = к.

Переходим к выполнению первого пункта плана. Составляем вспомогательную задачу.

Доказать, что сумма расстояний от любой точки внутри правильного треугольника до его сторон равна высоте этого треугольника [1, 73]:

1)

2)

3)

4)

5)

ОН, + ОН, + ОН, = к.

Докажем вспомогательную задачу.

С

Доказательство.

он3/

\он2

/ ъ О \

А

ОН1

В

$АОВ = 1АВХ0Н1^ ОН1 = 25аов. 2 1 1 АВ

$ВОС = -ВС X ОН2 ^ ОН2 = т.к. 2 í £ ВС АВ=ВС, то ОН2 ¿■Ьвос АВ '

$АОС = -АС X ОН, ^ ОН, = т.к. 2 ^ ^ АС ' АВ=АС, то ОН3 2 ЯАОС АВ '

ОН± + ОН2 + ОН3 = * 6 АВ

$АВС = $АОВ + $АОС + $ВОС.

$АВС = 1АВхк^к = 25лвс. 2 АВ

Значит, ОН, + ОН2 + ОН-, = ^^ = к.

12 6 АВ

Второй пункт плана выполнен, переходим к третьему. Составляем план доказательства вспомогательной задачи.

План вспомогательной задачи.

I. Выражаем расстояния от любой точки треугольника до его сторон:

АВ '

2-Увос

АВ '

П, = -.

^ АВ

II. Составляем сумму расстояний:

1) ОН1 + ОН2 + ОН3 = 2^0В^А0С+*В0С).

/ \ ¿ б Ав

1) $АОВ = -АВ X ОН, 2 1 ^ онг =

2) $ВОС = -ВС х ОН2 2 * ^он2 =

3) $АОС = -АСхОН3 2 * ^он3 =

2) Выражаем

^авс через сумму площадей треугольников, из которых он состоит: Бавс = Баов + Бдос + Бвос.

1

3) Выражаем БАВС через сторону АВ: БАВС =-АВ х к.

4) Выражаем высоту к к =

2SABC

III. Делаем вывод: ОНг + ОН2 + ОН3 =

АВ 2SABC

= h.

дачи.

Проводя аналогичные рассуждения, составляем план доказательства стереометрической за-

План данной задачи. Выражаем расстояния от произвольной точки внутри тетраэдра до его граней:

3уОАВО

1) voabd — 3 jabd x OHi - OHi =

2) vodbc — 3 jdbc x OH2 -OH2 =

он2 = 3vodbc

sabd

SABD 3vODBC

SDBC

т.к. тетраэдр правильный, то

3)

Аналогично, V0ABc = --W х ОН3

ОН? =

4) V0ADc=-SADcX0H4

0Н4 =

3vOADC

3vOABC SABD

II.

Составляем сумму расстояний:

1) ОНг + ОН2 + ОН3 + 0Н4 =

SABD

3(vOABD+vODBC+vOABC+vOADC) SABD

2) Выражаем УВАВС через сумму объемов тетраэдров, из которых он состоит: ^ОЛВС = ^ОЛВВ + ^ОВВС + ^ОАВС + ^ОЛОС.

1

3) Выражаем УВАВС через площадь треугольника ABD: УВАВС = -БАВВ х к.

4) Выражаем высоту тетраэдра к к =

3VDABC SABD

III.

Делаем вывод: ОН1 + ОН2 + ОН3 + 0Н4 = ЗУ°АВС = к.

$АВО

Теперь переходим к реализации последнего пункта, записываем само доказательство стереометрической задачи.

Доказательство.

A

У

oabd

= зЪл

'abd X -

odbc = 3$dbc X он2 -

правильный, то ОН2 =

У

C

Аналогично, V0ABc = ~SABс х ОН3

* ОН1 =

>он2 =

3vODBC SABD

3vOABD

SABD 3vODBC

SDBC

т.к. тетраэдр

OH? =

У

OAD С

1

= ~SADC X 0H4

0H4 =

3vOADC

3vOABC SABD

OH, + OH? + OH? + онл =

SABD

3 (vOABD+vODBC+vOABC+vOADC)

SABD

Vdabc = VOABD + VODBC + V'

^DABC ^^¿Rn X h-h =

+ v„

odbc ~ oabc ~ "oadc-3vdabc

jabd

SABD

Тогда, ОН1 + ОН2 + ОН3 + 0Н4 = ЗУ°АВС = к.

Пример 4. Доказать стереометрическую задачу.

Две треугольные пирамиды имеют при вершинах равные трехгранные углы. Доказать, что отношение их объемов равно отношению произведения их ребер, сходящихся в вершинах [2, 163]:

Уар1В1С1 = ав1хар1хас1 уаовс авхаихас

Составляем вспомогательную задачу.

Даны два треугольника, у которых одна вершина А - общая, а две другие расположены на двух прямых, проходящих через А. Доказать, что отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений двух сторон, содержащих вершину А, т.е.[1, 122]

^АВ1С1 = АВ1хАС1 ЬАВС АВхАС '

Перейдем к реализации второго и третьего пунктов плана, т.е. докажем вспомогательную задачу и составим план ее доказательства.

Доказательство.

SABlc1 = ^ABi * A^sina.

i

SABC =~АВ х АС sin а.

SAB1C1 = jAB1xAC1 sin а = АВ1хЛС1 Sabc jABxAC sin а АВхАС '

План вспомогательной задачи. Находим площади треугольников:

1) SAB±Ci = i АВ1 х АС1 sin а.

2) SABC = -АВ х ACsina.

II. Составляем отношение площадей треугольников:

, SAB1C1 _ -АВ1хАС1 sin а

sabc

III.

, Sab1C1 _ АВ1хАС1

-АВхАС sin а

Делаем вывод: ■ .

ЯавС АВХАС

В результате аналогичных рассуждений составляем план доказательства стереометрической

задачи.

План данной задачи. Находим объемы тетраэдров:

1 Л и _ 2SAр1в1 xSABiCixsin а

1) VAD1B1C1 =

2)

Vadbc

ЗАВ± 2SADBxSABCxsina

ЗАВ '

II.

Составляем отношение объемов тетраэдров:

УАР1В1С1 _ 2^ЛР1В1Х^ЛВ1С1Х51паХЗЛВ _ 3АВ1В1Х5АВ1С1ХАВ Улове ЗАВ1х25Аовх5АВСХ51па АВ1Х5АОВХ5АВС '

Выражаем отношения площадей треугольников через оставшиеся элемен-

1) 2)

ты:

, SAplBl _ АР1хАВ1 _ SABlCl _ АВ1хАС1

III.

SADB ADXAB Sabc АВХАС „ ,1Ч Vad-ibic-, adi^xabi^xabi^xaci^xab

3) Подставляем (2) в (1):-^^^ --

VADBC

тг VAD-,B-,C-, AB1XAC1XAD1

Делаем вывод: —=-.

VADBC

ADxABxABxACxABi

AB1XAC1XAD1 ABXACXAD

АВХАСХАО

Теперь переходим к последнему пункту, а именно записываем само доказательство стереометрической задачи.

A

Доказательство.

_ 2SADlBlxSABlClxsina

ЗАВ± '

2SA£>BxSABcXsm а

V,

ad1b1c1

Vadbc

ЗАВ

C

Vad1B1C1 _ 2SADlBlxSABlClxsmax3ab _ SadibixSabicixAB

VADBC 3AB1x2SADBxSABCxsina

AD-LxAB-LxAB-LxAC-LxAB AB1xAC-lxAD1

AB1xsadbxsabc

ADxabxabxacxabi

ABXACXAD

Итак, для того чтобы обучающиеся могли самостоятельно доказывать теоремы и решать задачи, нужно научить их пользоваться методом аналогии. Рассуждения по аналогии позволяют учащимся получать новые формулировки задач, дают возможность почувствовать радость открытия, развивают творческие способности в процессе доказательства или опровержения сформулированных гипотез. Полезно воспитывать у школьников привычку сознательно привлекать аналогию при поиске решения или доказательства предложенной им трудной задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Атанасян, Л.С. Геометрия. 7-9 классы / Л.С. Атанасян.- М.: Просвещение, 2014. - 384 с.

2. Атанасян, Л.С. Геометрия. 10-11 классы / Л.С. Атанасян.- М.: Просвещение, 2013. - 255 с.

3. Войшвилло, Е.К., Дегтярев М.Г. Логика: Учеб. для студ. высш. учеб. заведений. - М.:Владос-Пресс, 2001. - 528 с.

4. Колягин, Ю.М., Луканкин, Г.Л., Саннинский, В.Я. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. 2-е издание. - М.: Просвещение, 1980.- 480 с.

5. Кучеров, В. Геометрические аналогии / В. Кучеров. - М.: Бюро Квантум, 1995. - 128 с.

6. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1989.- 352 с.

7. Макарченко, М.Г., Подходова, Н.С. Идея доказательства теоремы как составляющая профессионального контекста будущего учителя математики // Вестник Поморского университета. - 2009. - № 4. - С.158-166.

8. Макарченко, М.Г. Контекстуальный анализ учебных текстов по математике // Известия Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена. - 2008. - № 11 (71). - С. 268-276.

УДК 514 ББК 22.151

О.В. Шилкина

РАЗНОУРОВНЕВЫЙ ПОДХОД К ОБУЧЕНИЮ КООРДИНАТНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОМУ МЕТОДУ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ

Аннотация. В статье обоснована необходимость учета разных уровней сложности в использовании координатно-параметрического метода решения задач с параметрами и целесообразность разноуровневого подхода к обучению решению задач указанным методом.

Ключевые слова: Задачи с параметром, методы решения, уровни сложности.

O.V. Shilkina

MULTI-LEVEL APPROACH TO LEARNING COORDINATE-PARAMETRIC METHODS FOR SOLVING PROBLEMS WITH A PARAMETER

Abstract. In the article are proved the necessity of taking into account the different levels of difficulty in the use of coordinate-parametric method of solving problems with the parameters and feasibility tiered approach to teaching problem solving by this method.

Key words: Problems with parameters, methods of solution, levels of complexity.

Координатно-параметрический метод решения задач с параметрами относится к достаточно мощному методу, применимому к широкому классу указанных задач.

Он основан на нахождении множества всех точек координатно-параметрической плоскости, значения координаты х и параметра а, каждой из которых, удовлетворяют заданному в условиях задачи условию (соотношению).

Если указанное множество точек найдено, то можно каждому допустимому значению параметра а = const поставить в соответствие координаты х точек этого множества, дающие искомое решение задачи, или указать те значения параметра, при которых задача не имеет решения.

Рассмотрим соотношение

F(x, a) v 0 (1)

где значок V обозначает один из знаков: =, <, >, <, >, а F(x,a) — некоторая функция переменной х и числового параметра а.

Пусть на координатно-параметрической плоскости хОа найдено множество всех точек, значения координаты которых удовлетворяют рассматриваемому соотношению.

Тогда каждому допустимому фиксированному значению параметра а можно поставить в соответствие значения искомой величины х — координаты соответствующих точек найденного множества.

В зависимости от поставленной задачи дается ответ. В ответе могут указываться либо значения параметра, при которых решение уравнения или неравенства удовлетворяет определенным требованиям, либо значения переменной х при заданных (или допустимых) значениях параметра.

Следует отметить, что в рассматриваемом координатно-параметрическом методе центральное место занимает нахождение множества всех точек координатно-параметрической плоскости, определяемых соотношением (1).