ЖОҒАРҒЫ МЕКТЕП МАТЕМАТИКА КУРСЫНДА АНЫҚТАЛМАҒАН ИНТЕГРАЛДЫ ОҚЫТУ ƏДІСТЕМЕСІ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.37

ЖОГАРГЫ МЕКТЕП МАТЕМАТИКА КУРСЫНДА АНЫЦТАЛМАГАН ИНТЕГРАЛДЫ ОЦЫТУ ЭД1СТЕМЕС1

Ж¥МАХАН ДИНА БОРАНБЕЩЫЗЫ

магистрант

Абай атындагы ^азак улттьщ педагогикалык университет^ Алматы, Казахстан

ЖУНУСОВА ЖАНАТ ХАФИЗОВНА

ф-м.г.к., профессор

Абай атындагы ^азак улттьщ педагогикалык университет^ Алматы, Казахстан

Ацдатпа. БYгiнгi тацда бглгм беру процеЫ yhsmí циындыцтар мен цажеттшктерге тап болады жэне осы жиырмасыншы жылдары математика пэш оцушылардыц сыни ойлауы мен аналитикалыц цабшеттерт цалыптастырудыц нег1зг1 факторы болып цала беред1. Алайда, б1л1м беру саласында алга жылжуга царамастан, алгашцы функцияларды оцыту жэне мектеп багдарламасыныц интегралды шыгарудагы циындыцтар y^mí назар аударуды, сондай-ац жацсы оцыту эд1стемес1н цажет етед1. Мектеп оцушыларына интеграл тацырыбын тYсiндiру эдгстеместщ нег1зг1 мацсаты- б1л1м бере отырып, олардыц танымдыц децгешн жэне ой-ершн кецейту, оцуга жэне математикага деген цызыгушылыгын арттыру, ынтасын ояту болып табылады. Сабац ету кездертде алган бiлiмдерiн оцушылар практикалыц жумыстарда машыцтандырады жэне бшмдерт терецдете тYседi. Бул мацаланыц кемегiмен мектеп оцушылары аныцталмаган интегралдарды табу эдштерт терец мецгередi, ез бетiмен бшмт жетiлдiруге деген умтылысы дамиды.

Tyüíh свздер: аныцталмаган интеграл, алгашцы функция, дифференциал,цисыцтардыц жиыны, Yзiлiссiз туынды

Аннотация. Сегодня образовательный процесс постоянно сталкивается с трудностями и потребностями, и в эти двадцатые годы предмет математики остается основным фактором формирования критического мышления и аналитических способностей учащихся. Однако, несмотря на прогресс в области образования, обучение первичным функциям и трудности с внедрением интегральной программы школы требуют постоянного внимания, а также хорошей методологии обучения. Основной целью методики разъяснения школьникам темы интеграла является расширение познавательного уровня и кругозора учащихся, повышение интереса к чтению и математике, пробуждение мотивации. Знания, полученные во время занятий, учащиеся практикуют в практической работе и углубляют свои знания. С помощью данной статьи школьники углубленно осваивают методы нахождения неопределенных интегралов, развивается стремление к самообразованию. Ключевые слова: неопределенный интеграл, первая функция, дифференциал, множество кривых, непрерывная производная

Abstract: Today, the educational process is constantly faced with difficulties and needs, and in these twenties, mathematics remains the main factor in the formation of critical thinking and analytical abilities of students. However, despite advances in education, the difficulty of teaching primary functions and producing an integral school curriculum requires constant attention, as well as a good teaching methodology. The main goal of the methodology for explaining the topic of integral to schoolchildren is to expand their cognitive level and horizons, increase interest in learning and mathematics, and awaken motivation, while providing education. During the lesson, students practice the acquired knowledge in practical work and deepen their knowledge. With the help of this

article, schoolchildren deeply master the methods of finding indefinite integrals, develop a desire to improve their knowledge on their own.

Keywords: indeterminate integral, first function, differential, set of curves, continuous derivative

Жогаргы мектеп математика курсын окытудагы есептердщ рел^ 6ip жагынан, бшм алушылардьщ белгш 6ip есептер жYЙесiн шешу эдiстемесiн MeHrepyiMeH, екiншi жагынан, окыту максатына толы; жету 6iлiм алушылардыц есептер жYЙесiн шешудщ кемегiмен mymmh болатындыгымен аныкталады. Математиканы окытуда есептердi шешу окытудыц максаты ретiнде де, к¥ралы ретiнде де эрекет етедь Бiлiм алушылардыц проблеманы шешyдегi белсендшп мэселенi шешу процесi аркылы оныц ойлауына калай эсер ететiнiне байланысты. Математиканы окытудагы кез келген есеп белгш бiр максатпен (угымдарды калыптастыру, тYсiнiктердi жYЙелеy, дэлелдеуге Yйретy жэне т.б.) орындалады. Эр6iр максатка жету белгш бiр эрекеттердi мецгерyдi талап етедь Мысалы, мектеп окушыларына интеграл такырыбын тYсiндiрy эдютемесшщ негiзгi максаты - бшм бере отырып, олардыц танымдык децгешн жэне ой-ерiсiн кецейту, окуга жэне математикага деген кызыгушылыгын арттыру, ынтасын ояту болып табылады. Жогаргы мектеп математика курсында интеграл такырыбына барлыгы 13 сагат уакыт 6елiнген. Ондагы аныкталмаган интеграл такырыбына 7 сагат 6елiнген жэне аныкталган интеграл такырыбына 6 сагат белшген. Сабак ету кездерiнде алган бшмдерш окушылар практикалык ж^мыстарда машыктандырады жэне бшмдерш терецдете тYседi. Бул макаланыц кемегiмен мектеп окушылары аныкталмаган интегралдарды табу эдiстерiн терец мецгередi, ез безмен 6iлiмiн жетiлдiрyге деген умтылысы дамиды. 1.1. АлFашкы функция жэне аныкталмаFан интегралдыц нег1зг1 аныктамалары Бершген функцияныц туындысын табу дифференциалдау деп аталатыны 6елгiлi. Аныцтама 1. Егер кез келген х Е X Yшiн F(x) функциясы дифференциалданатын жэне келес тецдiк орындалатын болса

F'(x) = f(x) немесе dF(x) = F'(x) • dx

F(x) функциясы f(x) функциясыныц X жиынында алгашцы функциясы деп аталады.

Аныцтама 2. f(x) функциясы Yшiн барлык алгашкы функциялардыц жиынтыгы аныцталмаган интеграл деп аталады.

Аныкталмаган интегралды былай жазамыз. J f(x) dx

Мундагы ''/" - 6елгiсi интеграл тацбасы, f(x)dx - ернегiн интеграл астындагы ернек, ал f (x) функциясын- интеграл астындагы функция деп атайды.

Мэселен, х5 функциясы Yшiн оныц алгашкы функциясы 5х4 осылай аныкталады. Осылайша, туынды бойынша алгашкы функция калпына келтiрiледi.

Теорема 1. f(x) функциясы Yшiн кез-келген екi алгашкы функция 6iр-6iрiнен теракты мелшерде ерекшеленедь Егер келесi тецдiк орындалатын болса

= const.

Дэлелдеу. f(x) функциясы Yшiн [а, Ъ]кесiндiсiнде бершген Fi(x) жэне F2(x) екi алгашкы функциясы болсын. Ал ф(х) = F^x) — F2(x) деп карайык. Онда ф'(х) = F'(x) — F2(x) = f(x) — f(x) = 0 болатынын есептеймiз. Осылайша, <р'(х) = 0 болады. Баскаша айтканда, ф(х) функциясы Лагранж теоремасыныц талаптарын канагаттандырады. Онда Лагранж теоремасына сэйкес келесщей жаза аламыз.

ф(х) — ф(а) = ф'(с) • (х — а),с Е (х, а),х Е [a, b] ^

ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"

^(x) — ф(а) = 0 ^ ф(х) = ф(а) = const ^ F1(x) — F2(x) = const.

^орытындылай келе, барлык алгашкы функциялар жиынын туракты аркылы усынуга болады, сондыктан 2 аныктамасынан /(х) функциясы Yшiн аныкталмаган интеграл (F1(x) + С} жиыны болады, мундагы F{(x) = f(x).

Ескерту . Геометриялык аныкталмаган интеграл кисыктардыц жиыны болып табылады, олардыц эркайсысы кисыктардыц бiрiн Оу oci бойымен eзiне параллель жылжыту аркылы алынады.

Осылайша, аныкталмаган интеграл

Аныцтама 3. Егер /(х) функциясыныц [а, Ъ] кесiндiсiнде алгашкы функциясы бар болса, онда бершген функциясы [а, Ъ] кесiндiсiнде интегралданады. Аныкталмаган интегралды табу операциясы интегралдау деп аталады.

Интегралдау амалы дифференциалдау амалына керi амал. Интегралдаудыц негiзгi максаты - интегралданатын функцияныц барлык алгашкы функцияларын табу.

1.2 АныкталмаFан интегралдыц непзп касиеттер1

Теорема 1.2.1. Аныкталмаган интегралдыц дифференциалы табылады жэне ол интеграл астындагы ернекке тец, ал аныкталмаган интегралдыц туындысы интеграл астындагы функцияга тец:

Дэлелдеу Yшiн дифференциалдыц касиеттер мен аныктаманы колданайык , содан кешн бiзде келесiдей ернек орындалады.

Дэл осылай бiз туындысында да осы касиеттердi колданамып келесiдей дэлелдеуге болады.

Теорема 1.2.2. Кейбiр функцияныц дифференциалыныц аныкталмаган интегралы осы функцияныц косындысына жэне турактыга тец:

jdPW = FW + C

Оны былай дэлелдеуге болады.

fdPW = jFWdx = JfWdx=FW+C

Теорема 1.2.3. Ею функцияньщ косындысыныц (айырмасыньщ) аныкталмаган интегралы эркайсысыныц аныкталмаган интегралдарыныц косындысына (айырмасына) тец:

J[fi(x) ± f2(x)]dx = f fi(x)dx ± f f2(x)dx.

F{(x) = f1(x) жэне F2(x) = f2(x) болсын. Онда келесi тецдштер аркылы дэлелдеуге болады.

J Ui(x)±f2(x)]dx = J (F[(x)±F2(x))dx = J(Fi(x) ± F2(x))'dx = J d(Fi(x) ± f2(x)) = Fi(x) ± F2W + C = = (Fi(x) + Ci) + (f2(x) + C2) = J fi(x)dx ± J f2(x)dx. Теорема 1.2.4. Келес касиет келес тецдш бойынша орындалады.

Jc^(x)dx = cJf(x)d,

Оны мысал аркылы келесщей керсетсек болады.

Г4х3 -5 Г Г 1 х3

I -dx = 4 I x2dx — 5 I —dx = 4-—— 5 • ln\x\ + С

J x J J x 3

Теорема 1.2.5. (Инварианттык касиет): егер F'(x) = f(x) болса , онда

f(u) du = F(u) + С,

J

мундагы и = <р(х) -функциясы Yзiлiссiз туындысы бар функция болып табылады.

Дэлелдеу Yшiн х тэуелсiз айнымалы болсын делш,ал f(x) Yзiлiссiз функция жэне F(x) оныц алгашкы функциясы болсын. Онда J f(x)dx = F(x) + С . Ал и = <р(х) жэне <р(х) Yзiлiссiз туынды болсын. Ендi F(u) = F(^(x)) кYPделi функциясын карастырайык. Бiз бiрiншi дифференциал формасыныц инварианттык касиетш колданамыз, онда бiзде dF(u) = F'(u)du = f(u)du болады. Содан кешн J f (и) du = J dF(u) = F(u) + С орындалады.

^орытындылай келе аныкталмаган интегралдыц формулалары интегралдау айнымалысы тэуелсiз айнымалы немесе одан Yзiлiссiз дифференциалданатын функция болып кала береди Мысалы, аныкталмаган интегралдыц аныктамасы бойынша бiзде J exdx = ех + С.

Онда теорема 6-ны колдану аркылы келесiдей алгашкы функциясыныц тYрлерiн келтiруге болады.

J

eCQSXdcosx = ecosx + С;

J earccosxdarccosx = earccosx + c жэне т.б.

Ескерту 1.3.1. Интегралдау, кез-келген керi операция сиякты, саралауга караганда кYрделiрек. Мунда карапайым жэне эмбебап жолдар жок. Алгебралык касиеттердiц тек сызыктык

ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"

к;асиеттер1 бар екенш ескеру кажет. Бул эрекеттердщ тиiмдiлiгi Heri3ri функциялардьщ интегралдар кестесiн еркш мецгеру дэрежесше, сондай-ак белгiлi 6ip тэжiрибенщ болуына тiкелей байланысты. Бул еркшдштщ дэрежес кестелiк интегралдарды бiлiп кана коймай, оларды белгiлi бiр функциялар класына сэйкес жад аркылы жазу аркылы жеткiлiктi жогары болады.

Мысал ретiнде бiр формуланы дэлелдейiк.

17. f

dx

= —In

F(x) = —ln 2a

2a X

x+a

+ c.

a

x + a

: R\{±a] ^ R

F(x) =

, 1

I — In 2a

1

— In 2a

x — a

x — a

егер-> 0, (—1 <x < 1)

x+a x+a

x — a x — a

егер

x + a

x + a

< 0, [

x < —1

X > 1

Осы функцияныц туындысын табайык.

1

f(x) = F'(x) = ~ln 2a

x — a

x + a

1

— (ln(x — a) — ln (x + a)) = 2a

-1(1 1 2a\x — a x + a) x2 — а

1.4. AHbi^^MaFaH интеграл такырыбына шыгарылатын есептерге мысалдар.

Негiзгi кесте бойынша аныкталмаган интегралдарды табуга мысалдар келтiрейiк. Келес мысалдарда берiлген интегралдарды табу Yшiн кестелiк интегралдарга келтiре бiлу керек. Ол Yшiн келесi тужырымдарга назар аудару кажет: интегралдау айнымалысын кез келген эршпен немесе ернекпен белгшеуге болады, мысалы:

г48

Мысал 1.4.1: fx47= — + C

J 48

Мысал 1.4.2: df(x) = f(x)dx колданып, f cosxsin3xdx = f sin3xdsinx = + С

Мысал 1.4.3. fJ^ = f^L

J sin2x J 2sinxcosx 2J sinxcosx

1 r Sin2X+COS2X . 1 r , v .

= - I-dx =- I (tax + ctqx)dx =

2

11

- I tgxdx +- I

11

tgxdx +— j ctgxdx = — — Inlcosxl + — Inlsinxl + C.

Мысал 1.4.4. f

2x+1-5x-1 -0х

dx = f^-5rdx = 2f[5) dx — --f[-) dx =

(1\x 1 1/1\x 1 2 /1\~ 1 /1\~ = 2{e) —1-5{2) —1 + с = —Ые{5) +~5ln2\2) +C

In1 5 2 In1

2 1 5

1 1 2

x-a

22

2

/ з 7 6\ —7 7

Мысал 1.4.5. f \2fx + 3= + 4x3 --)dx = 2 f ffxdx + 3 f x-3dx + +4 f x3dx —

6 4 10

6 f ^ = + 3x-3 + — 6ln\x\ + С

5 3 3

Мысал 1.4.6. f dx

(4+x)fx

интеграл астындагы функцияньщ аныкталу облысы (0, интервалы, ал d(*Jx) = болгандыктан, интегралды келесi тYPде жазамыз:

т г йх „г йЫх) , „

=2 I -——= = 2 I —\ о = 2агс1д--+ С.

, . _ г йх 1 г йх 1 . Х^3 , „

Мысал 1.4.7.1 , „ =-= I -= -=агсз1п--+ С

3 V4-3х2 ^ 4_ 2 2

л1з Х

11 Мысал 1.4.8. Isin(2x + 3) dx = sin(2x + 3) d(2x + 3) = — lCos(2x + 3) + С

„ л » ^ с Бтхсоз3х ,

Мысал 1.4.9. I-—dx =

1+соб2х

(1 + соз2х)' = —2со5хзтх екенш ескере отырып, —2созх5тх кeбейткiшiн дифференциал астына енгiземiз де кестенi пайдаланып есептеймiз.

1 U 1

= — 1 (1-

) d(1 + cos2x) —

2 ] \ 1 + соз2х

11 11

= - — (1 + с052х) + — 1п(1 + с052х) + С = — — С052Х + — 1п(1 + С052х) + С

^орытындылай келе бул математикалык куралдыц негiзгi максаты кiрiспеде атап еткендей математика бiлiм беру процесiндегi киындыктардыц бiрi ашып кeрсетiлiп, мектеп окушыларына тYсiнiктi тiлде жазылды.

Математика окулыгына кажет болатын кеп аныктамалар мен дэлелдемелер бул макалада толык ашылып мектеп окушыларга арналган аныкталмаган интеграл такырыбын тYсiндiрудiц оцай жолдары керсетшдь Негiзгi аныктамаларга CYЙене отырып оныц касиеттерi дэлелденiлдi.

Аныкталмаган интегралмен жумыс iстеу дагдыларын игеру кYPделi функциялар мен олардыц eзгеруiн тYсiнуге жол ашады. Алгашкы функцияны табу процес мукият талдау мен дэлдiктi кажет етед^ бул окушылардыц логикалык ойлау мен математикалык интуицияныц дамуына ыкпал етедi. Сонымен катар аныкталмаган интеграл кептеген мэселелердi шешудщ негiзгi куралына айналады жэне оны тYсiну математикалык кузыреттшкп дамыту Yшiн мацызды. Математика ез шекараларын кецейтудi жалгастыра отырып, аныкталмаган интеграл функциялар элемi мен олардыц касиеттерi туралы тYсiнiгiмiздi байытатын мацызды элемент болып кала береди

ПАЙДАЛАНЫЛГАН ЭДЕБИЕТТЕР Т1З1М1

1. Алгебра жэне анализ бастамалары Эбшкасымова А.Е., Жумагулова З.Э. / 11-сынып окулыгы, Мектеп, 2019ж

2. Алгебра жэне анализ бастамалары Шыныбеков Е.Н., Шыныбеков Д.Э., Жумбаева Р.Н. / 11 -сынып окулыгы, Атамура, 2020ж

3. ¥. Кешербаева, Г. Рзаева, В. Мамаева / Аныкталмаган интегралдар, Алматы - 2016

4. Демидович, Б.П./ Сборник задач и упражнений по математическому анализу .- М., 1997, 1990, 1977

5. Фихтенгольц, Г.М./Основы математического анализа.- М., 1968, 1972, 1956

6. В. С. Вакульчик, Ф. Ф. Яско./Неопределенный интеграл.- УО «Полоцкий государственный университет», 2010

7. В.П. Беспалько, Ю.Г. Татур. /Системно-методическое обеспечение учебновоспитательного процесса подготовки специалистов - М., 1989.

8. Вакульчик, В.С./ Дифференциальное исчисление функции одной переменной: учеб.-метод. комплекс - Новополоцк: ПГУ, 2007

9. Берман Г.Н. /Сборник задач по курсу математического анализа. -М.Наука,1985г.