CC BY
7FTAXP 27.29.15
DOI: 10.52512/2306-5079-2021-86-2-105-114
ТРИГОНОМЕТРИЯЛЬЩ БОС ]^ШЕЛ1 ЕК1НШ1 РЕТТ1 Т¥РАЦТЫ КОЭФФИЦИЕНТА СЫЗЫЩТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫЩ ТЕЦДЕУЛЕРДЩ ТЕОРИЯСЫН НЕГ1ЗДЕУДЩ ЭЛЕМЕНТАР ЭД1СТЕМЕС1 МЕН ДYНИЕТАНЫМДЬЩ МАГЫНАСЫ
Ж.А. Сартабанов, Э.Х. Ж%магазиев, А.А. Дуюсова К.Жубанов атындагы Актебе ещрлш университетi, Актебе, Казахстан e-mail*: [email protected]
Макалада тригонометриялык бос мушел1 екшш1 perri теракты коэффициента сызыкты дифференциалдьщ тендеулер мектеп курсына бeйiмдeлiп зерттелд^ Тeндeудi шeшудiн нeгiзгi элементар эдютемелж тэсiлдepi кeлтipiлдi. Кептеген кубылыстардын модeлi болып табылатын тригонометриялык бос мушел^ eкiншi peттi теракты коэфициeнттi сызыкты дифференциалдык тeндeудiн шeшiмдepi зepттeлдi. Сонымен катар, тендеу жэне онын шeшiмдepiнiн дуниетанымдык магыналары туралы баяндалды. Алынган нэтижелер теоремалар тYpiндe нeгiздeлгeн. Зерттеудщ нeгiзгi жацалыгы сол нэтижeлepдiн элементар эдютермен дэлeлдeнiп, корытылып шыгарылуы болып табылады. Кeлтipiлгeн тужырымдар орта мектеп математикасынын эдiстeмeлepi аясында дэлeлдeндi. Жалпы математикада бeлгiлi бул теория орта мектеп математикасына eнгiзiлугe толык лайыкталып, мектеп окушысына угыныкты жанаша элементар эдютемелер аркылы жасакталынды. Зepттeудiн непзп максаты - бос мYшeлi, eкiншi peттi теракты коэффициeнттi сызыкты дифференциалдык тeндeудi шешу эдiстepiн мектеп окушысы менгеруге мYмкiн денгейде жасактау. Нэтижеанде жаратылыстану-математикалык багытындагы орта мектептерде жай дифференциалдык тендеулер бастамалары бойынша арнайы курс багдарламасын курып, оган сэйкес мазмундык материалды дайындау жэне оларды карапайым окыту эдiстeмeсiмeн камтамасыз ету болмак.
Туйт свздер: екiншi pemmi турацты коэффициенттi сызыцты дифференциалдьщ тецдеу, 6ipmexmec тецдеу, бiрmeкmeс емес тецдеу, нeгiзгi тригонометриялыц функциялар, периодты функция, жалпы шeшiм, аныцтауыштар тэсш, эдктеме
Kipicne
БYгiнгi танда жалпы ¡здешс-зерттеу жумыстарына койылатын басты талап - олардын колданбалылыгы жэне зерттеудщ математикалык эдютерге непзделуь Инженер-техникалык есептердщ басым кепшшп уакытпен Yзiлiссiз езгеретш процестермен байланысты. Ал мундай кубылыстардын математикалык модельдер1 дифференциалдык тендеулермен сипатталады. ХХ гасырдын жетшсшш1 жылдары жYpгiзiлгeн реформа бойынша мектеп математикасына дифференциалдык жэне интегралдык есептеулердщ элементтер1 енпзшш, олардын математикадагы шю колданыстарымен катар гылыми-техникалык Yдepiстepдi зерттеудеп пайдасына кещл аударган ед1. Осы багытта сол кездердеп окулыктарга [1], [2] дифференциалдык тендеулер угымы енпзшп, 1) дененщ еркш тYсу козгалысы, 2) экспоненциалдык езгерю 3) гармониялык тербелютер сипатталган дифференциалдык тендеулер карастырылган болатын. Дифференциалдык тендеулердщ мектепте окытылуынын манызын жэне келешекте дамытыла тYсуiн атай келе, кубылыстардын эpтYpлi математикалык модельдер1 туралы акпаратты мектеп окушылары математика мугатмшен алуы ете кунды екендтне сол кездеп реформа жетекш1с1 академик А.Н.Колмогоров назар аударган-ды. Экшшке орай, бул саланы дамыта окытуды былай койганда, сонгы жылдары мектепке арналган окулыктарда ол мYлдeм енпзшмеген ед1. Ел1м1зде гылымнын колданысымен ерте бастан айналысу мэселес кетершп отырган кезде мундай жагдайдын ете орынсыз екенш атап ету керек. Алайда, биылгы 2020-2021 оку жылынын жаратылыстану-математика багытындагы 11- класка арналган алгебра жэне анализ бастамалары окулыгынын [3] сонгы тарауы дифференциалдык тендеулерге арналган. Онда дифференциалдык тендеулер туралы жалпы маглумат, айнымалылары ажыратылатын б1ршш1 peiri тендеу жэне екшш1 ретп туракты коэффициента б1ртект сызыктык тендеулер туралы кыскаша акпарат бершген. Б1рак, ол жеткшкп емес, себеб1 бул тендеулердщ б1ртекс1з жагдайлары карастырылмаган жэне жаратылыстану-техникалык процестерде колданысына толык токталмаган. Сондыктан да мектеп математикасында дифференциалдык тендеулерд1 кещнен де, терещнен де дамыта окыту - бYгiнгi кYннiн взeкmi мэсeлeсi.
КYн тэрпб1ндеп езект мэселеш шешу багытында кептеген кубылыстардын модел1 болып табылатын тригонометриялык бос мYшeлi, екшш1 ретп сызыкты туракты коэффициент дифференциалдык тендеулердщ теориясын мектепке лайыктап куру осы зерттеудщ непзп максаты
болып тaбылaды. Бiз б^л мarçaлaдa осыцдай тендеyлердi шешудщ тэсiлдерiн MeKmenKe 6eüiMdeydi мацсат тугтьщ. Б^л eте Maqb^bi мэселеге бaйлaнысты, дaйын теорияны жоFaры мaтемaтикaльщ кyрстaр Yлгiсiмен мектеп о^улы^гарыш енгiзе сaлyFa, мэселеге aтYCтi rçapayFa болмaйтындыFынa ^arra нaзaр ayдaрaмыз [4].
KойылFaн мarçсaтrça жетy бaрысындa мектеп мaтемaтикaсы aясындa кездесiп жYрген эдiстемелiк aмaлдaрмен екiншi реттi т¥рaкгы коэффициенттi, бос мYшесi тригонометриялыщ фyнкциялaр болып келетiн тендеyдi интегрaлдayды ортa мектеп rçaбырFaсындa оrçытyFa болaтындыFын непздедш.
1. Тецдеудi шешудщ HerÍ3ri элементар эдктемелж тэriлдерi
«0Mip eKi HspceMeH сулу: онъщ 6ipi - MameMamurnMeH шугылдану, eкiншici - оны оцыту».
(С.Д. Пyaссон фрaнцyз мaтемaтигi)
Мектепте aрнaйы курсты дифференциaлдьщ тендеyлер теориясы шецбервде ¥йымдaстырy мaтемaтикaньщ eмiрдегi rçолдaныстaры тyрaлы мол мaFЛ¥мaт беруге мYмкiндiк тyFызaды. Сeзiмiз дэлелдi болуы Yшiн кeптеген ^¥былыстaрдыц моделi болып тaбылaтын i^aK™ 2а, b ф О , c , d коэфициенттi
y" + 2ay' + by = c cosvx + d sinvx (1.1)
тецдеуш rçaрaстырaйьщ. Тецдеудщ оц жaFындaFы тригонометриялыщ функция
Т (х) = c cosvx + d sin vx (1.2)
осы (1.1) тендеудщ бос мYшесi деп aтaлынaды, v> О сaны осы тригонометриялыщ
функцияныц жиiлiгi болып тaбылaды. Т(х) функциясы периодты функция, оныц периоды ^^ = а
v
сaны екенiн тексерейiк. Шынындa дa, va = 2ж екенiн ескерiп жэне cost, sin t фyнкциялaры 2п -периодты екендiгiнен
Т(х + a) = c cosv(x + а)+d sin v(x + a) = c cos(vx + va)+d sin(vx + va) = = c cos(vx + 2n) + d sin(vx + 2n) = c cos vx + d sin vx = T(x) eрнегiн aлaмыз. Т (x) функциясы (1.1) тендеудщ бос мYшесi деп aтaлынaды. Егер c = d = О болсa, ондa (1.1) тецдеу
y " + 2ау ' + by = О (1.3)
^шне тYсер едi. Б^л тендеyдiн жaлпы шешiмiн зерттеyдi б^рыеты [5] мarçaлaдa тaлдaFaн болaтынбыз. Осы (1.3) тендеyдi (1.1) тендеyдiн бiртектес тендеyi деп aтaйды. Бaсrçaшa amra^, бос мYшесi жо^, (1.3) тYрдегi тендеу бiртектес, екiншi реттi т¥рa^ты коэффициенттi тецдеу деп aтaлынaды. Ал бос мYшесi бaр, Т(х)ф О жaFдaйындa (1.1) тецдеу бiртектес емес екiншi реттi сызыщты
тендеу деп aтaлынaды. Эрине, c2 + d2 ф О болсa, ондa ец болмaFaндa c жэне d сaндaрыныц бiрi нeлден eзгеше болып, Т(х)ф О шaрты орындaлaды.
Сызыщты бiртектес жэне бiртектес емес тендеyлердiн жaлпы шешiмдерi тyрaлы теоремaны келтiрейiк.
Жaлпы шешiмдер бaйлaнысы. Егер Y (x) - бiртектес (1.3) тендеyдiн жaлпы шешiмi болсa, aл y0 (x) бiртектес емес (1.1) тецдеудщ кез келген жеке шешiмi болсa, ондa олaрдын ^осындысы
y(x) = Y(x)+Уо (x) (1.4)
бiртектес емес (1.1) тендеyдiн жaлпы шешiмi болып тaбылaды. Дэлелдеме тYсiнiктi болуы Yшiн aлдымен теоремaнын шaрттaрын жaзaйьщ:
Y "(x)+2aY ' (x)+bY(x)= О, (1.5)
y" (x)+ 2ауО (x)+ЬУо (x) - T(x). (1.6)
Ецщ осы (1.5) жэне (1.6) тепе-тецдiктерi орындaлFaн жaFдaйдa, (1.4) eрнекпен aньщтaлFaн y(x) функциясы
y " + 2ay ' + b2 y = Т(х) (1.7)
тецдеудщ шешiмi екенiн кeрсетейiк. Шынындa дa, (1.4) eрнектi (1.1) тецдеуге койс^:
Jf J
y" (х)+ 2ay ' (х)+by{x)= [y (x)+y, (x)] + 2a[Y(x)+y, (x)] + b[Y(x)+y, (x)]- [Y"(x)+ y0(x)]+ 2a[Y'(x)+ y0(x)]+ b[Y(x) + Уо(x)] - (1.8) - [Y '"(x)+ 2aY" (x)+bY(x)]+[y0" (x)+2ay, (x)+by0 (x)] тепе-тенд^терш аламыз. Егер (1.5) жэне (1.6) тепе-тенд^терш ескерсек, (1.8) ернектен (1.4) функцияньщ (1.7) тендеудщ шешiмi екенш KepeMÍ3. Шешiмнщ (1.4) формуламен аныщталатыны дэлелдендi. Бiрак, дэлелдеу барысында Т(х) функциясыньщ (1.2) ернекпен аньщталатындыгын ^олданган жо^пыз. Демек, теореманы Т(х) бас^аша тYрде аныщталган жагдайда да ^олдануга болатынын кeремiз. Ендеше, Т(х) функциясын (1.7) тендеудщ шешiмдiлiгiне байланысты езгерте беруге болады.
Ендi (1.4) шешiмнщ жалпы шешiм екенiн негiздейiк. Ол Yшiн ^андай болмасын (1.7) тендеудщ кез келген у (х) шешiмiн алайыщ та, онын (1.4) формуламен аныщталатынын керсетешк. Шынында да, у (х) функциясы (1.7) тендеудщ шешiмi болгандыщтан
у " (х)+ 2ау" (х)+ by (х)- T (х) (1.9)
тепе-тецдтн жаза аламыз.
Егер (1.9) жэне (1.6) тепе-тецдштершщ айырымын аныщтаса^,
[у (х)-Уо (х)]" + 2a [у (х)-Уо (х)]' + b[y (х)-Уо (х)]-0 (1.10)
тепе-тендйн алар едiк. Демек, (1.10) тепе-тендштен у (х) жэне у0 (х) жеке шешiмдершщ айырымы
z(x) = у (х) Уо (х) (1.11)
тYрiндегi функция (1.3) бiртектес тендеуiн ^анагаттандырып т^рганын кeремiз:
z"(х)+ 2az'(х)+bz(x) - 0 . (1.12)
Олай болса, z(x) шешiмi (1.3) бiртектес тендеуiнiн Y (х) жалпы шешiмi ^рамында болганы. Демек, (1.12) тепе-тендiгiнен (1.11) айырымнын
z(x) = Y, (х) (1.13)
тYрiндегi екiншi eрнегiн аламыз. Ендеше, (10) жэне (11) ернектерден
у (х) = Y, (х)+y, (х) (1.4,)
бейнелеуiн аламыз. М^ндагы Y0 (х) - бiртектес (1.3) тендеудщ шешiмi, ол Y(х) жалпы шешiммен аныщталады. Жалпы шешiмдер байланысы толыщ дэлелдендi.
Ендi осы дэлелденген байланысты Т(х) функциясы (1.2) турде аныщталган жагдайга ^олданайыщ.
Сонымен (1.1) тендеудi шешу Yшiн, теорема бойынша, алдымен онын бiртектесi (1.3) тендеудi шеше бiлуiмiз керек. Онын шешу эдiсi бiзге белгiлi. Сосын тендеудiн eзiнiн дербес, жеке шешiмiн таба бiлуiмiз керек.
Егер Т(х) бос мYшесiнiн туындылары eзiне у^сас болса, онда жеке у0 (х) шешiмiн аныщталмаган коэффициенттер тэсiлiмен аныщтауга болады.
Бiздiн жагдайымызда Т (х) функциясы (1.2) ернекпен непзп тригонометриялыщ функциялардын сызыщты комбинациясы тYрiнде бершген. Онын туындылары Т'(х) = -ис sinvx + vd cosvx жэне Т"(х) = -у2с cosvx-v2d sinvx функциялары да езара у^сас ернектермен аныщталады. Олардын айырмашылыгы коэффициенттервде гана. Олай болса, (1.1) тендеудщ жеке шешiмiн бос мYшеге у^сас функция тYрiнде iздестiремiз. Демек, у0 (х) шешiмiн аныщталмаган u жэне 3 коэффициента
y0 (х) = u cosvx + 3sinvx (1.14)
ернеп тYрiнде iздеймiз. (1.14) функциянын бiрiншi жэне екiншi реттi туындылары
y" (х)=-ш sin vx + v3cosvx, (1.14 ')
у"(х)=-у2и cosvx -v23sinvx (1.14 ")
екеш аныщ. Ендеше, (1.14), (1.14 ') жэне (1.14 ") у^сас eрнектерiн (1.1) тендеуге ^ойып,
[- v2u cosvx - v23sin vx]+2а[- vu sin vx + v3cosvx]+b2 [u cosvx + 3sin vx] = с cosvx + d sin vx тендтн аламыз. Осыдан cosvx жэне sin v функциялары бойынша топтастырып,
[— v2u + 2av3 + bu — c]cos vx + [— v23 — 2a vu + b3 — d ]sin vx = 0 тевдтне келемiз. Одaн api жarçшaлapдaFы коэффициенттер комбинaциялapын нелге тецеспрш,
{(b — v2 \ + 2av3 = c
Vi \ , (1.15)
[— 2a vu + (b — v2 )3 = d
сызыщты тендеулер жYЙесiн araMbi3.
ЖYЙенi шсшу Yшiн aньщтayыштap тэсшн rçолдaнaйьщ. OFaH сэйкес, егер 1) b фv2 болсa, немесе 2) b = v2 болып, 6ipa^ a ф 0 болсa, ондa
b — v2 2a v
л=
— 2a v b — v2
(b — v2)2 + 4a v > 0 (1.16)
тецаздш оpындалады дa
л1 =
л=
c 2a v
d b2 —v2
_b2 —v2 c 2 — 2a v d
c(b — v2 )— 2adv, d (b — v2 )+ 2acv
(1.17)
мэндерш таyып, (1.15) жYЙенщ (1.16) шapт оpындaлFaндaFы
u0 = л, 3 =л2 (1.18)
л л
тYбipлеpiн aньщтaймыз.
Сонымен, (1.15) жYЙенiц (1.18) тYбipлеpiн (1.14) ернекке ^ойып, (1.1) тендеудщ
y0 (х) = u0 cosv + 30 sin vx = — (л cosv + л sin vx) (119)
л
тYpiндегi дербес шешiмiн тaбaмыз. ТaбылFaн шешiмнщ ^^ = с -периодты екендiгiн кepемiз.
v
Ал егер a = 0, b = v2 болсa, яFни (1.16) оpындaлмaсa, ондa осы жaFдaЙFa сэйкес (1.1) тендеy
y" + v2 y = c cosv + d sin vx (120)
тYpiнде болap едi.
Бул жaFдaйдa шешiмдi aньщтaлмaFaн u = u(t) жэне 3 = 3(t) фyнкциялap эдiсiмен iздестipyге тypa келедi, яFни шешiмдi
y0 (x) = u(x)cosvx + 3(x)sinvx (121)
тYpiнде iздеймiз. Бул функцияныц тyындылapы оныц e3i мен бос мYшенщ сызыщты комбинaциясы болaтынынa нaзap ayдapaмыз.
Осы (1.21) Функцияныц тyындылapынын бос мYшеге уrçсaстыFын тaлaп етемiз. Демек, u ' = u0, 3' = 30 болсa, ондa
y' (x) = u' cosv — vu sin vx + 3' sin vx + v3cosv = u0 cosv — vusin vx + 30 sin vx + v3cosv, (1.21 ' ) y" (x)=—vu0 sin vx — vu ' sin vx — v2u cosv + v30 cosvx + v3' cosv — v23sin vx =
= —2vu0 sin vx — v2u cosvx + 2v30 cosvx — v23sin vx (1.21 " )
тyындылapын aлap едiк. Сондa (1.21), (1.21 " ) жэне ( 1.21 " ) непзшде (1.20) тендеуден
— 2vu0 sin vx + 2v30 cosvx — v2u cosvx — v23sin vx + v2u cosvx + v23sin vx = c cosvx + dsin vx тевдтн aлaмыз. Бул тендiктен u0 мен 30 коэффициенттеpiн aньщтaйтын
2v30 = c, — 2vu0 = d
жYЙесiн aлaмыз. Ендеше,
u0 =—d, 30 =c (1.22)
2v 2v
мэндеpiн тaбaмыз.
Егер бул мэндер u жэне 3 фyнкциялapыныц тyындылapынын мэндеpi екенш ескерсек,
u' = ——, 3' = — (1.23)
2v 2v
тецдеулерш аламыз.
Интегралдау ар^ылы (1.23) жYЙеден кез келген Q жэне C2 туракгыларымен
d с
u = -—x + C, 3 = —x + C (1.24)
2v 2v
функцияларын тауып, оларды (1.21) тецщкке ^ойып,
y0(x) = Q cosvx + С sinvx + — (— dcosvx + сsinvx) (125)
2v
тYрдегi (1.20) тецдеудщ жалпы шешiмiн аламыз.
Эрине, (1.20) тендеу (1.1) тецдеудщ жеке жагдайы. Егер (1.24) ернектерде Q = 0 жэне Q = 0 болса, онда (1.25) ернектен (1.20) тецдеудщ жеке шешiмiн алар едiк.
Бул жагдайдагы
y0 (x) = —— (— d cosvx + с sinvx) (1.26)
2v
жеке шешiмдi алдыцгы жагдайдагы (1.19) жеке шешiммен салыстырса^, оныц периодты емес екендiгiн жэне х ескен сайын шектеусiз Yлкен мэндер ^абылдай алатындыгын бащаймыз.
Сейтiп, бiртектес емес (1.1) тецдеудщ жеке шешiмдерiн (1.19) жэне (1.26) ернектермен аныщтауга болатындыгын элементар жолмен негiздедiк.
Бул элементар жолдыц негiзiнде шешiмшц езi мен туындылары бос мYшеге у^састыгы ^агидасы жащандыгына назар аударамыз. Оныц бiр жагдайында ^арапайым аныщталмаган коэффициенттер эдiсiн ^олдануга болатынын кердiк. Одан соц тецдеудщ дербес шешiмi бул эдiспен аныщтау мYмкiн емес жагдайдыц бар екенiн керсеттiк. Екiншi осы жагдайда аныщталмаган коэффициенттер эдiсiн жалпылап, туындысы тура^ты аныщталмаган функциялар тэсшмен таныстыщ. Бул тэсiл у^сас мYшелердiц коэффициенттерiн тецеспрш, белгiсiздi аныщтау ^агидасына багынатынын бащаймыз. Осылайша мектеп о^ушысыныц угынуына ^айшылыщ жо^, мектеп математикасы аясында кездесiп жYрген эдiстемелiк амалдармен екiншi реттi тура^ты коэффициенттi, бос мYшесi тригонометриялыщ функциялар болып келетш тендеудi интегралдауды орта мектеп ^абыргасында о^ытуга болатындыгын негiздедiк. Сонымен, ма^алада келтiрiлген теориялыщ нэтижелер - математикада белгiлi дYниелер. Зерттеудщ негiзгi жацалыгы сол нэтижелердщ элементар эдiстермен дэлелденш, ^орытылып шыгарылуы болып табылады. Осыган орай мынадай темендегiдей эдiстемелiк теорема дэлелдецщ.
HerÍ3ri эдктемелж теорема. Б1ртектес емес бос мYшесi нег1зг1 тригонометриялыщ фунщиялардыц сызъщты комбинациясы болатын (1.1) сызыцты турацты коэффициенттi екiншi pemmi дифференциалдыщ тецдеулердщ теориясын жалпы орта мектеп математикасыныц аясындагы
1° . Сызыцты тецдеулер мен олардыц шешiмдерiнiц кепке аян щасиеттер амалдары;
2°. Бiртектес жэне бiртектес емес сызыцты тецдеулердщ шешiмдерiнiц щарапайым байланыстары тэсм;
3°. Тецдеудщ жалпы шешiмiн негiздеудiц аныщтамалыщ жолы;
4°. Функциялар мен олардыц туындыларыныц ущсастыщтары тэсм;
5°. Аныщталмаган коэффициенттер тэсм атты ущсастарды топтастыру эдiсi;
6°. Жартылай щубылмалы аныщталмаган функциялар эдс аталган жалпыланган топтастыру амалы эдiстерiнен туратын элементар эдiстемесiмен баяндауга болады.
2. Тецдеудщ жэне оныц шеш1мдер1н1н дYниетанымдык; магыналары
«Математикасыз заманауи техника негiздерiн, гуламалардыц табиги жэне элеуметтЫ щубылыстарды зерттеу эдiстерiн тYсiнбек емес».
(А.Н. Колмогоров орыстыц улы математип)
Уа^ытпен Yзiлiссiз жYрiп жащан кубылыстардыц математикалы^ модельдерш о^ушыга тек дифференциалдыщ тецдеулердщ гана кемепмен тYсiндiруге болады. Салыстырмалы тYрде айтса^, алгебралыщ жолдармен Yнемi езгерюте болатын шамаларды параметрлермен сипатталатын
кубылыстардын математикалык модельдерiмен беруге болады, баскаша айтсак, мундай кубылыстардын жылдамдыгы да, YДеуi де туракты параметрлермен сипатталады. Ал кубылыстын математикалык моделi алгебралык тендеумен берiледi. Бул кубылыстар угымын толык ашып бере алмайды да, математиканын колданыстарын тар шенберде гана тYсiндiре алады. Уакыт пен кещспкте физикалык зандылыктармен болып жаткан кубылыстарды сипаттаудын, оны окушыга тYсiндiрудiц карапайым жолы дифференциалдык тендеулер тiлiне кешу болып табылады. Эрине, ол кубылыстарды терен тYсiнуiмiз Yшiн олардын физикалык табигатымен таныстыгымыз кажет. Осы айтып отырган ойымызды эдiстемесiн берiп отырган екiншi реттi дифференциалдык тендеу аркылы тYсiндiрейiк. Ол Yшiн алдымен колданып отырган параметрлерiмiзге физикалык магыналар берешк. Тэуелсiз айнымалы х уакытты бiлдiредi дейiк. Физикада уакыт t -мен белгшенедь Ендеше, x = t деп есептеуiмiз керек. Кубылысымыз дененщ козгалысы болсын. Эр кубылыстын сипаттауыш параметрi болады. Бiздiн жагдайымызда y = S - жолдын шамасын бiлдiредi. Егер кубылыс тербелiстiк болса, онда y - тепе-тенд^ калыптан ауыткуды бiлдiредi. Демек, x = t моментi кезiндегi кубылыс шамасы y(x) = S(t) жолды немесе ауыткуды бiлдiредi. Кубылыс t уакытына байланысты Yнемi езгерiп отырады, ендеше езгерiстiн жылдамдыгы &(t) жэне a(t) кубылысты сипаттауга физикалык зандылыктарга сэйкес катысып отырады. Математикада жылдамдык туынды аркылы, ал YДеу екiншi реттi туынды аркылы ернектеледь Ендеше, 3(x) = у'(х), а(х) = у"(х) тендiктерi t = х момешгндеп жылдамдык пен Yдеудi береди Массасы т = 1 дене Гук заны бойынша ауыткуга пропорционал - by(x) = f жэне жылдамдыкка пропорционал - 2ay"(x) = f2 кYштерi эсерiмен тепе-тендiк калыпта бола алады. Демек, динамиканын непзп заны атты Ньютоннын екiншi заны бойынша дененщ тепе-тендiк калыпты жагдайы
m ■ a = F = fi + f2
формуласы бойынша бiртектес сызыкты
y " + 2ay" + by = 0 (2.1)
тендеуiмен сипатталады. Дербес жагдайда, кедергi кYшi жок a = 0, b = v2 жагдайда дене езшдш гармониялык тербелiс калпынын
y " + У2 y = 0 (2.2)
тендеуiмен сипатталатын козгалыста болады.
Келпршген (2.1) жэне (2.2) тендеулерi дененщ юшкене уакыт аралыгындагы езiндiк козгалысын сипаттайды.
Ал денеге о = 2n¡v периодты f = T(x) - сырткы кYшi эсер етсе, онда F = f + f + f болады да, дененiн козгалысын сипаттайтын
y " + 2ay' + by = T(x) (2.3)
тендеуш аламыз. Бул (2.3) тендеу сершмдшк кYшi f, кедергi кYшi f жэне f = T(x) сырткы кYшi эсерiндегi дененiн козгалысын сипаттайтын математикалык модель тендеуi болып табылады.
Сейтш, бiз математиканы колданысы тургысынан карастырсак, бул жагдайда дененщ козгалысын зерттеп отырган болып табыламыз.
Егер кедергi кYшi /2 бар болса да (ягни a ф 0), жок болса да (ягни a = 0), ал сершмдшк кYшi
f бар жэне b = v2 болса, онда сырткы периодты ^ш f = T(x) эсер етсе, онда дене периодты тYрде, (1.19) формулага сэйкес периодты тербелюте болады екен жэне онын периоды да сол сырткы ^штщ периодымен бiрдей екен.
Ал егер a = 0, ягни кедерп кYшi /2 жок, сершмдшк кYшi f бар жэне b = v2 болса, онда
2л
дене еркш тербелiсте болады, периоды — = о шамасына тен. Бул тербелiс кубылысы (2.2)
v
тендеуiмен сипатталады да, шешiмдерi, демек, тербелю
y = C cosvx + C sin vx
со -периодты функциясымен берiледi. Одан эр^ осылайша еркiн тербелiстi тепе-тендiк ^йдеп денеге тагы сырткы кYш f = T(x) эсер етсе жэне онын да периоды (жиiлiгi) бiрдей болса, онда онын амплитудасы x = t уакытына байланысты (1.26) формулага сэйкес есетшдшн керемiз.
Шынында да, (1.26) формула осы жагдайга сэйкес тербелiстi бередi. Ендеше, d = cosp, , С г = -sinp жэне —ylc2 + d2 = a белгiлеулерiн кабылдасак, ол формуланы
- - wju/ , i- - jill у/ 71w11v
c2 + d2 Vc2 + d2 2k
J J \
y0 (x) = — (- d cosvx + c sinvx) = —Vc2 + d2' d
2v 2v V vc + d -vc + d у
= ax(cospcosvx + sin cpsin vx) = ax cos(vx + cp)
тYрiнде жазуга болады. Мундагы p турактысы тербелютщ бастапкы фазасы деп аталынады да, A = ax тербелютщ амплитудасын сипаттайды. Осыдан x = t уакытына сэйкес A амплитудасы пропорционал тYPде всетiнiн кeремiз. Мундай жагдай, еркiн тербелiс пен сырткы кYш эсерiмен болатын ершиз тербелютщ жиiлiктерi (периодтары) тен болса, кубылыс резонансты кубылысты бередi де, амплитуда уакытпен бiрге шектеусiз всетшдтн квремiз.
Свйтiп, математика окытушысы мектеп окушысына математиканын колданысы туралы тербелю кубылысы (Yдерiсi), онын математикалык моделi (тендеулер), тербелiстiк козгалысы (шешiмдерi), жол (функция), жылдамдык (туынды) жэне YДеу (екiншi реттi туынды), тербелiстiлiгi (периодтылыгы), амплитудасы (тригонометриялык функциямен берiлген шешiмнщ коэффициентi), жиiлiк (аргументтiк коэффициент), бастапкы фаза (аргументтщ бастапкы мэнi) тэрiздi математикалык жэне физикалык терминдермен непзделген, дэлелдi энгiме жYргiзе алады. Окушылардьщ танымдык квзкарасына математикалык магынада жанаша, физикадан взгеше тiлде тYсiнiктер бере алады. Кубылыстын математикалык моделi атты жана угыммен танысады. Функциянын козгалысты сипаттайтынына терен мэн берiлетiндiгiмен танысады. «Козгалыс дегенiмiз - вмiр» деген философиялык ойдын магынасынан окушыга хабар беруге болады. Математиканын козгалысты, eмiрдi зерттейтiндiгiне квз жеткiзуге болады. Математиканын нагыз дYниетанымдык гылым, пэн екенш бiледi.
Корытынды
¥сынылып отырган карапайым здгстемелгк зерттеуде утырлы устанымды [1] басшылыкка ала отырып, белгiлi теориялык мэлiметтер [2-3] негiзiнде, ка^рп заманауи окулыктар мен эдiстемелiк зерттеулер [6-10] YPДiсiне сай, [11-15] макалалардын кейбiр тужырымдары пайдаланылып, жасакталган дифференциалдыц тецдеулерд1 оцытудыц мектепке бешмделген теориялыц жэне педагогикалыц эд1стемес1 келнршген.
,-cosvx + . = sin vx
jc2 + d2 л/c2 + d2
Пайдалаетан эдебиеттер
1. Колмогоров А.Н. (редакциясымен) (1992) Алгебра жэне анализ бастамалары. Алматы: Рауан. - 352 б.
2. СYлейменов Ж.С. (1991) Дифференциалдыц тецдеулер курсы. Алматы: Рауан. - 360 б.
3. Эбшкасымова А.Е., Корчевский В.Е., Жумагулова З.Э. (2020) Жалпы бiлiм беретш мектептiн жаратылыстану-математика багытындагы 11-сыныбына арналган окулык. Алматы: «Мектеп» - 254 б.
4. Сартабанов Ж.А., Шаукенбаева А.К., Дуюсова А.А. (2020) Дифференциалдьщ тендеулер бастамаларын мектепте терендетiп окыту мэселесi // Математикалык модельдеу мен акпараттык технологиялар бiлiмде жэне гылымда: Fылыми-эдiстемелiк конференция материалдары. Алматы. 522-524 б.
5. Сартабанов Ж.А., Шэукенбаева АД., ЖумаFазиев Э.Х., Дуюсова А.А. (2021) Дифференциалдыц тендеулердi окытудын эдютемесш мектепке бейiмдеу мэселесi // Абай атындаFы К^азак; улттык педагогикалык университетшщ Хабаршысы. №1(73), 60-67 б.
6. Abylkasymova, A.E., Nurmukhamedova, Z.M., Nurbaeva, D.M., Zhumalieva, L.D. (2016) "The Turkish vector" influence on teaching the exact disciplines in modern educational system of Kazakhstan: On the example of teaching algebra and mathematics. Global Journal of Pure and Applied Mathematics, 12:4, pp. 3481-3492.
7. Bidaibekov Y.Y., Kornilov V.S., Kamalova G.B., Akimzhan N.S. (2015) Fundamentalization of knowledge system on applied mathematics in teaching students of inverse problems for differential equations AIP Conference Proceedings, 1676, 020044
8. Guldina К.б Nikolay P., Liudmila K., Yelena K., Zhamilya A. (2020) A cluster approach in pedagogical education in the context of globalization. International Journal of Advanced Science and Technology, 29:7, pp. 9941004.
9. Mironov A.N., Mironova L.B., Sozontova E.A. (2018) "Elective course Elements of the qualitative theory of ordinary differential equations" for bachelors of the pedagogical direction of education. Ad Alta-Journal of Interdisciplinary Research, Vol. 8:1, pp. 285-288.
10. Hwang J., Ham Y. (2021) Relationship between mathematical literacy and opportunity to learn with different types of mathematical tasks. Journal on Mathematics Education, Vol. 12:2, pp. 199-222.
11. CapTa6aHOB ®.A., fflayKeH6aeBa A.K. (2019) TpHroHoMeTpuagbiK ®aHe gape^egiK ^yHKquagap 6aHgaHbicbiH Tep6egicTep TeHgeyiMeH Heri3gey agicTeMeci. // A6an aTbrngarbi Ka3aK ^^ttmr negaroruKagbiK yHHBepcmeTiHiH Xa6apmbicbi. №3(67), 53-616.
12. CapTa6aHOB ®.A., fflayKeH6aeBa A.K., TagunoBa M.^. (2020) TpHroHoMeTpuagbiK ^yH^uagapgbi gape^egiK KaTapMeH epHeKTeygiH agicTeMeci // ^.^^6aHOB aTbiHgarbi A^To6e OHipgiK MeMgeKerriK yHHBepcmeTiHiH Xa6apmbicbi. №2(60), 50-56 6.
13. CapTa6aHOB ®.A., fflayKeH6aeBa A.K. K MeToguKe o6yneHHa эgeмeнтaм guHenHbix gн$$epeнцнagbHbIх ypaBHeHHH b mKoge // MaTepuagbi X ro6ugeHHOH Me^gyHapogHon HayHHO-npaKTH^ecKOH ннтepнeт-кoн$epeнцнн "Hннoвaцнoннмe TexHogoruu o6yneHHa no ^h3hko -MaTeMaTunecKHM h npo^eccuoHagbHo-TexHunecKHM gu^ungHHaM", 27-30 MapTa 2018 r., Mo3bipb, Begapycb. 168-170 6.
14. CapTa6aHoB ®.A., fflayKeH6aeBa A.K. (2018) MeKTen KypcbiHgarbi 6ip gн$$epeнцнaggbIк; TeHgeygiH memiMiH gape^egiK KaTapMeH epHeKTeygiH agici // ,П,н$$epeнцнaggbIк; TeHgeygep, aHagro ®9He agre6pa Macegegepi, VIII Xagbi^apagbiK FbigbiMH кoн$epeнцнa MaTepuaggapbi, 1 Kapama 2018 A^To6e. 355-359 6.
15. Bence6aH n.B., MyxaMegueB r.X. (2019) EKiHmi peTTi T^paKTbi кoэ$$нцнeнттi ch3hkthk gн$$epeнцнaggнк TeHgeygep MeH TeHgeygep ^yHecimH memiMgepiH K¥py Typagbi // BecTHHK Ka3axcKoro HaquoHagbHoro negarorunecKoro yHHBepcuTeTa HMeHH A6aa. Cepua «oh3hko-MaTeMaTHHecKHe HayKH». №3(67). 2631 6.
References
1. Kolmogorov A.N. (ed.) (1992) Algebra zhane analiz bastamalary. [Algebra and the beginning of analysis]. Almaty: Rauan. - 352p. [in Kazakh]
2. Suleimenov Zh.S. (1991) Differencialdyk tengdeuler kursy. [Course on Differential Equations]. Almaty: Rauan. 360 b. [in Kazakh]
3. Abilkasymova A.E., Korchevskij V.E., Zhumagulova Z.A. (2020) Zhalpy bilim beretin mektepting zharatylystanu-matematika bagytyndagy 11-synybyna arnalgan okulyk. [Textbook for the 11th grade of General Education School of natural and mathematical direction]. Almaty: «Mektep», 254 b. [in Kazakh]
4. Sartabanov Zh.A., Shaukenbaeva A.K., Duyussova A.A. (2020) Differencialdyk tengdeuler bastamalaryn mektepte terengdetip okytu maselesi // Matematikalyk model'deu men akparattyk tehnologijalar bilimde zhane gylymda: gylymi-adistemelik konferencija materialdary. [The problem of in-depth study of the initiatives of differential equations in school // Mathematical modeling and information technologies in education and science: materials of the scientific and methodological conference]. Almaty. 522-524b. [in Kazakh]
5. Sartabanov Zh.A., Shaukenbaeva A.K., Zhumagaziyev A.Kh., Duyussova A.A. (2021) Differencialdyk tengdeulerdi oKytudyng adistemesin mektepke bejimdeu maselesi // Abai atyndagy Kazak ulttyk pedagogikalyk universitetining Habarshysy. №1(73), pp. 60-67. [The problem of adapting the methodology of teaching differential equations to school // Bulletin of the Abai Kazakh National Pedagogical University. No. 1 (73), pp. 60-67]. [in Kazakh]
6. Abylkasymova A.E., Nurmukhamedova Z.M., Nurbaeva D.M., Zhumalieva L.D. (2016) "The Turkish vector" influence on teaching the exact disciplines in modern educational system of Kazakhstan: On the example of teaching algebra and mathematics. Global Journal of Pure and Applied Mathematics, 12:4, pp. 3481-3492.
7. Bidaibekov Y.Y., Kornilov V.S., Kamalova G.B., Akimzhan N.S. (2015) Fundamentalization of knowledge system on applied mathematics in teaching students of inverse problems for differential equations. AIP Conference Proceedings, 1676, 020044
8. Guldina K.. Nikolay P., Liudmila K., Yelena K., Zhamilya A. (2020) A cluster approach in pedagogical education in the context of globalization. International Journal of Advanced Science and Technology, 29:7, pp. 994-1004.
9. Mironov A.N., Mironova L.B., Sozontova E.A. (2018) "Elective course Elements of the qualitative theory of ordinary differential equations" for bachelors of the pedagogical direction of education. Ad Alta-Journal of Interdisciplinary Research, Vol. 8:1, pp. 285-288.
10. Hwang J., Ham Y. (2021) Relationship between mathematical literacy and opportunity to learn with different types of mathematical tasks. Journal on Mathematics Education, Vol. 12:2, pp. 199-222.
11. Sartabanov Zh.A., Shaukenbaeva A.K. (2019) Trigonometrijalyk zhane darezhelik funkcijalar bajlanysyn terbelister tengdeuimen negizdeu adistemesi // Abaj atyndagy Kazak ulttyk pedagogikalyk universiteti Habarshysy. №3(67), 53-61b. [Methodology for substantiating the relationship of trigonometric and degree functions by the oscillation equation // Bulletin of the Abai Kazakh National Pedagogical University. No. 3 (67), p. 53-61 [in Kazakh]
12. Sartabanov Zh.A., Shaukenbaeva A.K., Talipova M.Zh. (2020) Trigonometrijalyk funkcijalardy darezhelik katarmen ornekteuding adistemesi // K.Zhubanov atyndagy Aktobe ongirlik memlekettik universitetining Habarshysy. №2(60), 50-56b. [Methods of expressing trigonometric functions by rank series // Bulletin of Aktobe Regional State University named after K. Zhubanov. No. 2 (60), pp. 50-56]. [in Kazakh]
13. Sartabanov Zh.A., Shaukenbaeva A.K. (2018) K metodike obuchenija jelementam linejnyh differencial'nyh uravnenij v shkole // Materialy X Jubilejnoj Mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj internet - konferencii,
"Innovacionnye tehnologii obuchenija po fiziko-matematicheskim i professional'no-tehnicheskim disciplinam", 27-30 marta 2018 g. Mozyr, Belarus. 168-170b. [To the method of teaching elements of Linear Differential education in schools // Proceedings of the Xth anniversary international scientific and practical Internet Conference "Innovative technologies of teaching in physical and mathematical and professional disciplines", March 27-30, 2018, Mozyr, Belarus. P. 168-170] [in Russian]
14. Sartabanov Zh.A., Shaukenbaeva A.K. (2018) Mektep kursyndagy bir differencialdyk tengdeuding sheshimin darezhelik katarmen ornekteuding adisi // Differencialdyk tengdeuler, analiz zhane algebra maseleleri, VIII Halykaralyk gylymi konferencija materialdary, 1 karasha 2018 zh. Aktobe. 355-359 b. [Method of expressing the solution of one differential equation by rank series in the school course // Problems of differential equations, analysis and algebra: Proceedings of the VIII International Scientific Conference, November 1, 2018, Aktobe. P.355-359]. [in Kazakh]
15. Bejsebaj P.B., Muhamediev G.H. (2019) Ekinshi retti turakty kojefficientti syzyktyk differencialdyk tengdeuler men tengdeuler zhujesining sheshimderin kuru turaly // Vestnik Kazahskogo nacional'nogo pedagogicheskogo universiteta imeni Abaja. Serija «Fiziko-matematicheskie nauki». №3(67). 26-31b. [On the construction of linear differential equations with a second-order constant coefficient and solutions of systems of equations // Bulletin of the Kazakh National Pedagogical University named after Abai. Series "Physical and Mathematical Sciences". №3(67). P.26-31] [in Kazakh].
Элементарная методика обоснования и мировоззренческий смысл теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и
тригонометрическими свободными членами
Ж.А. Сартабанов*, А.Х. Жумагазиев, А.А. Дуюсова Актюбинский региональный университет имени К. Жубанова, Актобе, Казахстан
e-mail*: [email protected]
В статье, адаптированно к школьному курсу, исследованы линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и тригонометрическими свободными членами. Приведены основные элементарные методические подходы к решению уравнения. Исследованы решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и тригонометрическими свободными членами, который является моделью многих явлений. Кроме того, были отмечены прикладные значения уравнения и его решений. Полученные результаты оформлены в виде теорем. Основная новизна исследования заключается в том, что эти результаты доказываются и обобщаются элементарными методами. Приведенные выводы доказаны в рамках методик математики средней школы. Эта теория, известная в общей математике, полностью адаптирована к внедрению в математику средней школы и разработана с помощью новых элементарных методик, понятных школьнику. Основной целью исследования является разработка методов решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянным коэффициентом на уровне, который может освоить школьник. Результатом станет создание программы спецкурса по началам обыкновенных дифференциальных уравнений в средних школах естественно-математического направления, подготовка соответствующего содержательного материала и обеспечение их простой методикой обучения.
Ключевые слова: линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентом, однородное уравнение, неоднородное уравнение, основные тригонометрические функции, периодическая функция, общее решение, метод определителей, методология.
Elementary method of substantiation and ideological meaning of the theory of the second order linear differential equations with constant coefficients and trigonometric free terms
Zh.A. Sartabanov*, A.Kh. Zhumagaziyev, A.A. Duyussova K. Zhubanov Aktobe Regional University, Aktobe, Kazakhstan e-mail*: [email protected]
In the article, adapted to the school course, the second order linear differential equations with constant coefficients and trigonometric free terms are investigated. The basic elementary methodological approaches to solving the equation are given. The solutions of the second order linear differential equation with constant coefficients and trigonometric free terms are investigated, which is a model of many phenomena. In addition, the applied values of the equation and its solutions were noted. The results obtained are presented in the form of theorems. The main novelty of the study is that these results are proved and generalized by elementary methods. These conclusions are proved in the framework of the methods of high school mathematics. This theory, known in general mathematics, is fully adapted to the implementation in secondary school mathematics and developed with the help of new elementary techniques that are understandable to the student. The main purpose of the research is to develop methods for solving a non-uniform
linear differential equation of the second order with a constant coefficient at a level that a schoolboy can master. The result will be the creation of a special course program on the basics of ordinary differential equations in secondary schools of the natural-mathematical direction, the preparation of appropriate content material and providing them with a simple teaching method.
Keywords: the second order linear differential equation with constant coefficients, homogeneous equation, inhomogeneous equation, basic trigonometric functions, periodic function, general solution, determinant method, methodology.
АВТОРЛАР ТУРАЛЫ АППАРАТ
Сартабанов Жайшылык Алмаганбетович, физика-математика Fылымдарынын докторы, профессор, КЖубанов атындаFы Актебе ещрлк университет^ Казакстан, Актебе, 030000, Э. МолдаFулова дащылы, 34, [email protected]
ЖyмаFазиев Эмiре Халщлы, 3 курс PhD докторанты, КЖубанов атындаFы Актебе енiрлiк университетi, Казакстан, Актебе, 030000, Э. МолдаFулова дащылы, 34, [email protected]
Дуюсова Айгерим Амиржановна, 2 курс магистранты, К Жубанов атындаFы Актебе ещрлш университетi, Казакстан, Актебе, 030000, Э. МолдаFулова дащылы, 34, [email protected]
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Сартабанов Жайшылык Алмаганбетович, доктор физико-математических наук, профессор, Актюбинский региональный университет имени К. Жубанова, Казахстан, Актобе, 030000, проспект А. Молдагуловой, 34, [email protected]
Жумагазиев Амире Халиулы, PhD докторант 3 курса, Актюбинский региональный университет имени К. Жубанова, Казахстан, Актобе, 030000, проспект А. Молдагуловой, 34, [email protected]
Дуюсова Айгерим Амиржановна, магистрант 2 курса, Актюбинский региональный университет имени К. Жубанова, Казахстан, Актобе, 030000, проспект А. Молдагуловой, 34, [email protected]
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Zhaishylyk A. Sartabanov, Professor, Dr. Sci. (Physics&Math), Professor of the Department of Mathematics, K.Zhubanov Aktobe Regional University, Kazakhstan, Aktobe, 030000, A.Moldagulova Prospect, 34, [email protected]
Amire Kh. Zhumagaziyev, PhD student of the 3rd year of study, K.Zhubanov Aktobe Regional University, Kazakhstan, Aktobe, 030000, A.Moldagulova Prospect, 34, [email protected]
Aigerim A. Duyussova, postgraduate student of the 2nd year, K.Zhubanov Aktobe Regional University, Kazakhstan, Aktobe, 030000, A.Moldagulova Prospect, 34, [email protected]
РедакцияFа тYCтi / Поступила в редакцию / Received 16.04.2021 ЖариялауFа кабылданды / Принята к публикации / Accepted 31.05.2021
