CC BY
12FTAXP 27.01.45 DOI: 10.52512/2306-5079-2021-88-4-85-97
MEKTEn MATEMATOKACb^AFbl AMAЛДAРДЬЩ ЦAЙТAЛAHЫП ЦОЛДAHЫЛУЫH ЗЕРТТЕУ - ОKУШЫЛAРДbЩ FЫЛЫMИ 1ЗДЕН1СТЕР1Н ¥ЙЫMДACTЫРУДbЩ Б1Р CAЛACЫ
Сартабанов Ж.А. Шаукенбаева А.Ц., Байганова А.М. КЖ^банов aтындaFы A^re6e eqipniK yнивepситeтi, Aктeбe к., Казакстан e-mail*: sartabanov42@mail.ru
Maкaлaдa ^panamM мaтeмaтикaльщ aмaлдapды кайталап колдану apкылы жaцa опepaтоpлык aмaлдapдыц пайда болaтындыFынa жэш олapдын т^мыс^ Fылыми-тeхникaлык YДepiстepдe колданыс табатындынына нaзap ayдapылaды. Осы ойдыц мысалы peтiндe мeктeп мaтeмaтикaсынaн бeлгiлi apифмeтикaлык жэнe гeомeтpиялык пpогeссиялapдын кapaпaйым aмaлдapдын кайталануынан туындайтыны кepсeтiлгeн. Сондай-ак, жоFapы peni туынды ^ымы да туындылау амалы кайталап колданудан шын'атынына кeнiл ayдapa отыpып, макаланын коpтынды бeлiгiндe, жоFapы peттi тyындысымeн бepiлгeн бeлгiсiз функцияны аныктау тypaлы диффepeнциaлдык тeндey Yшiн бастапкы eсeп, мэсeлeсi кapaстыpылaды. Эpинe, б^л eсeптi шeшyдe мeктeп окушысынан талап eтiлeтiн тYЙiткiлдi, нэзiк танымдык кaбiлeттi кaжeтсiнeтiн жepлepi дe жок eмeс. Мысалы, жоFapFы шeгi айнымалы интeгpaл ap^L^i бepiлгeн функция, бeлiктeп интeгpaлдay амалын осындай фyнкциялapFa колдану тaFы баска тYpлeндipyлep жYpгiзy окытушыдан тYсiндipy бapысындa Yлкeн шeбepлiктi, ал окушыдан игepy аясында eдэyip дайындыкты кepeк eтeдi. Макаланыц apFM максаты оpтa мeктeптe диффepeнциaлдык тeндeyлepдi тepeндeтe, колданыс аясын ^Heme окыту eкeндiгiнe кeнiл коямыз. Ендeшe диффepeнциaлдык тeндeyлepдi интeгpaлдay эдiстepiн мeктeп мaтeмaтикaсынын шдагогикалык-эдiстeмeлiк шeнбepiндe баяндау - басты мэсeлe. Meктeптe шпзп мэсeлeлep Yзiлiссiз диффepeнциaлдaнaтын фyнкциялap класында кapaстыpылaтын болFaндыктaн диффepeнциaлдay жэнe интeгpaлдay aмaлдapын eзapa кepi aмaлдap дeп eсeптeyгe болады. Б^л койылып отыpFaн мэсeлeнi шeшyгe мол ыкпалын тигiзбeк. Ж^мыста n — шi pern тeндeyдi кapaстыpдык. Жeнiлдiк Yшiн, 3-4 - pern тeндeyлepмeн шeктeлyгe болатынына зeйiн коямыз.
Туйт свздер: кайталамалы амал, apифмeтикaлык пpогpeссия, гeомeтpиялык пpогpeссия, диффepeнциaлдay амалы, кайталамалы диффepeнциaлдay амалы, диффepeнциaлдык тeндey, бастапкы eсeп, элeмeнтap эдiстep
Kipicne
Maтeмaтикa Fылымныц бастамасында aмaлдapды кайталап колдану жиi кeздeсeтiнiнe кeйiн кeп гащл ayдapa бepмeймiз. Mысaлы 1 санын eзiнe eзiн кайталап косып 1+1=2, 1+1+1=3, тaFы сол сиякты нaтypaл сaндapын таным дYниeсiнe кeлтipгeнiмiздi кeйiн ^мытып RenÍR. Сол сиякты, 2 санын eзiн
eзiнe кайталап кeбeйтyдi колданып, 2 = 2 • 2 = 4, 23 = 2 • 2 • 2 = 8, 24 = 2 • 2 • 2 • 2 = 16 тэpiздi, 2n тYpiндeгi дэpeжeлiк сaндapын алатынымыздыц нeгiзiндe кайталамалы кeбeйтy амалы т¥pFaнын eскe ала бepмeймiз. Ceбeбi, бiлгeннeн кeйiн 6spí оцай, ал бiлмeсeк, оцай болсада, киын eœm бeлгiлi. Жаца aмaлмeн танысканнан гашн, оны кайталап колдану apкылы жаца сапалык дeцгeйгe кeтepiлeтiнiмiздi eстeн шыFapмayымыз кepeк. Meктeп м¥Faлiмдepi окyшылapдыц мaтeмaтикaдaFы шыFapмaшылык дaFдысын дамытуы Yшiн зeprreyдi нeдeн бастайтынын бiлe бepмeйдi. Ал, мeктeптe окyшылap eтe кeп мaтeмaтикaлык aмaлдapмeн танысады. Ендeшe, жоFapыдa тел^ген мысaлдap iспerri, iздeнiстiц 6íp Kaparnrnrn жолы - сол бeлгiлi aмaлдapдыц кайталанып колданылуын зeprreyдe eкeнiнe гащл ayдapa бepмeймiз. Бiздiц макаламыздыц жпзп максаты да, eзeктiлiгi дe осы мэсeлeдe. Окушыныц Fылыми iздeнiсi мeктeп мaтeмaтикaсынaн бастау алуы - зeprreyдiц шынaйылыFыныц нeгiзгi кyэсi. Эpинe, амал кYpдeлeнe кeлe, OFaн сэйкeс зeprrey дe кYpдeлeнiп, aлFaн нэтижeлepдe комактала тYсeтiндiгiн тeмeндeгi пyнкrrepдeн байкаймыз. Aмaлдapды кайталап колдану apкылы, api жинакы, api алыстан кeз тapтaтын, эдeмi фоpмyлaлap шыFaтынын байкаймыз. Cонымeн кaтap, ол фоpмyлaлap мaтeмaтикaныц iшкi eœm'epi мeн кaтap, кeптeгeн колданысты eсeптepдi дe шыFapyFa болатынын байкау киыета сокпайды. Maкaлaныц соцFы пyнктi - осы ойдыц 6íp мысалы.
Эдебиеттерге шолу
Жapaтылыстaнy-мaтемaтикa бaFытындaFы мектеп бaFдapлaмaсындa сэйкес диффеpенциaлдьщ тендеyлеp элементтеpi о«ытылатыны белгш [1;273-279,2;206-218].
Диффеpенциaлдьщ тевдеyлеp ap«ылы мектеп мaтемaтикaсынa диалектикальщ дамудыц кepнекi т'^ - Ньютондьщ мехaникa зaндapы енпзшдь Кейбip o«yльщтapдa б^л та^ьфып ьщтимaлдьщтap элементтеpiмен ayыстыpылып жYp. ОсыFaн opa^ диффеpенциaлдьщ мoдельдеpдщ диалектикальщ сипaтын статистикальщ мoдельдеp беpе aлмaйтынын бaсa айт«ан жeн.
Егеp тapих«a Yцiлсек, aкaдемик А.Н.Кoлмoгopoв Мoсквaдa 1966 жылы eткен элемдiк мaтемaтиктеp Кoнгpесiнде математикальщ aFapтy мэселелеpiне бaйлaнысты мектеп мaтемaтикaсынa pефopмa жYpгiзyдiц кезi келгенiн жеткiзе айт«ан едi [3; 57-64].
СoFaн сэйкес жYpгiзiлген pефopмaныц 6ip жацаль^ы o«yшылapды диалектикальщ oйлay элементтеpiмен кещpек тaныстыpy бoлaтын [4;270-275, 5;3-6]. Ол Yшiн диалектикальщ сипaтты мысaлдapды, айтальщ «oзFaлысты процестер мен oлapдьщ математикалыцмоделдертщ apaсындaFы «aтынaстapды o«yшылapмен жиi талдаудыц opны бeлек [4; 270-275, 5; 3-6, 6; 12-29;176-187; 194-197, 7; 9-16, 131-140, 8; 3-38, 9; 42-50, 10; 55-62].
Осындaй ма«сатпен мектеп о^ушысыньщ дYниетaнымдьщ кeз«apaсын «алыптастьфуда диффеpенциaлдьщ тендеyлеp ^ымын ау«ымды теpещpек «apaстыpyдыц мацызы 3op. Себебi таботаттыц «apammm негiзгi зaвдapы диффеpенциaлдьщ тевдеyлеpмен epнектеледi, ал oлapды интегpaлдay болаша«ты бoлжayFa мYмкiндiк беpедi. Планетальщ «oзFaлыстap жeнiндегi классикальщ мысaл мектеп мaтемaтикaсынaн тыс «алмауы eте мацызды. Демек, диффеpенциaлдьщ тендеyлеp та^ьфыбы мектептщ мaтемaтикa кypсындa да, мектеп физикaсындa дa «атысты Yндестiк тaбyы eте «ажет [4, 270-275 ].
Олaй болса тaбиFaттaнy есептеpiн мYмкiндiгiнше мектеп ^p^i^^ мольфа« «apaстыpып, «¥былыстap мен Yдеpiстеpдщ математикальщ мoделдеpiн кдоа бiлyге дaFдылaнып жэне oлapды шеше бшудщ эдiстеpiн игеpiп, тал«ылай бшудщ мацызы 3op [11; 5-59, 12; 10-14,13; 9-79,80-152,14;121-163]. Осы бaFыттaFы зеpттеyлеp элi де болса жaлFaсын табуда [15;192-194,16; 82-90,17;252-256, 182016. -Т.4, № 6,19; 2017. -№5].
Мектеп бaFдapлaмaсы бойынша 1) бip«aлыпты Yдемелi «oзFaлыс, 2) дененщ еpкiн тYсyi, 3) ^p^rarn™ eсy немесе кему жэне 4) гapмoникaльщ теpбелiстеpдщ диффеpенциaлдьщ тендеyлеpi «apaстыpылып келедi. Ал та^ьфыптыц aлдындa жoFapыдa «oйылFaн мa«сaттapды opындay Yшiн oлapды кецейте, epiстете «apaстыpy, шешiмдеpшщ ^pyR^pa^rn аша тYсy, oлapдыц баяндау эдiстемелеpiн мектепке бейiмдеy, oлapдьщ эpтYpлi механикальщ к;¥былыстap мен техникальщ Yдеpiстеpмен бaйлaныстыpa тал«ылау жYpгiзy алда т¥pFaн ау«ымды мэселе. ОсыFaн opaй «a3Ípri зaмaнayи педагогикальщ-эдютемелш зеpттеyлеp [16-24] YPДiстеpiне сэйкес кейбip элементap фyнкциялapды диффеpенциaлдьщ тендеyлеp кeмегiмен, демек oлapдыц шешiмдеpiн жуьщтап есептеуге бoлaтындыFы [25; 50-56], диффеpенциaлдьщ тендеyлеpдщ шешiмдеpiн Fылми-теopияльщ табу эдiстемелеpiн элементap жолмен мектепте o«ытyFa бешмдеу [26; 168-170] жэне 1) -4) текп тендеyлеpдi жaлпылaнFaн тYPде алып, oлapды элементap эдiстеpмен зеpттеyлеp [27; 53-61 28; 522-524, 29; 522-524] мa«aлaлapдa ^b^mFa^
Ендi, осы ма«алада «apaстыpFaн «apaстыpFaн мысaлдapFa шaFын сapaптaмaлap жасап, «oлдaнылFaн эдебиеттеpге шолу жасайьщ. Бiз тeменде тepт мэселе тeщpеriнде эцпме кeтеpдiк. М¥ндaFы aлFaш«ы ею мысaлдaFы apифметикaльщ жэне геoметpияльщ пpoгpессиялap тypaлы ¥Fымдapмен, одан кейiнгi, жш кездесетiн жoFapы pеттi тyындылapFa бaйлaнысты фopмyлaлapмен o«yшылap бaFдapлaмa бойынша толы« таныс. Сондьщтан oлapFa то«талмай, тек пpoгpессиялap «айталамалы aмaлдapдыц нэтижесi екендшне нaзap ayдapдьщ. Одан кейiнгi Yшiншi мысaлдa жoFapFы pеттi туындыньщ, жалпы жaFдaйдa, сол амалдьщ «айталануыньщ нэтижес екендiгiне ^щл ayдapып, негiзгi ею кepсеткiштiк жэне тpиroнoметpияльщ фyнкциялapдьщ жoFapы pеттi тyындылapыньщ фopмyлaсын индукция эдюмен [30;46] дэлелдеп келтipдiк. Осы тэpiздi, бас«а да негiзгi элементap фyнкциялapдьщ да n — шi pеттi тyындылapын «opытып шыFapyFa болады. Ол Yшiн aлFaш«ы жoFapы pеттi тyындылapды тауып, pетiне байланысты eзгеpy зaцдыльщтapын аньщтап, оны математикальщ индукция эдюмен негiздеyге болатынын жeн сiлтеймiз. М^ны м¥Faлiмдеp мен o«yшылapFa eзiндiк зеpттеy pетiнде жYктеймiз.
взект мэселеш талдау
Мектеп математикасында дифференциалдыц жэне интегралдыц есептеулердщ геометриялыц цолданыстарына гана квщл аударылады. Ал, онын механикадагы, жалпы жаратылыстанудагы цолданыстары кYPделi нэзш танымдылыцты талап ететiн дифференциалдыц тендеулермен сипатталатын болганды^тан, оларга аса квп квщл аударыла бермейдi. Дегенмен, гылыми-техникальщ цажеттшгшщ жогарылыгына байланысты оцушылар Yшiн гылыми зерттеу ж^мысынын бiр саласы осы багытта болганы абзал. Осыган сэйкес, дифференциалдау амалынын цайталануымен сипатталатын тендеулердщ шешiмдерiн элементар жолмен аныцтай бiлу оцушылардын тын iзденiстерiнiн багыты болмац. Мацаланын К¥ндылыгы да, взектшп де осымен аныцталады.
Зерттеудi мектеп м¥Fалiмдерi сабац барысында прогрессиялар жэне жогаргы реттi туындылар тацырыптарын вткенде олардын амалдарды цайталап цолданудын нэтижелерi екендiгiне назар аударып, о^ушыларга жекелеген мысалдар берiп, амалдарды цайталап ^олдангандагы зандылыцтарды аныцтап кврсету олардын зерттеушшк ынтасын квтередi деп есептеймiз. М^ндай тэсiлдi А.Н.Колмогоров взi сабац берген мектепте ^олданганын жэне онын оцушылардын сабацца ^ызыгушылыгын, ынтасын квтергенiн келпрген [4].
Ал, мацалада кел^ршген интегралдыц цайталау амалына келсек, оны элементар функциялардын интегралдары тацырыбын вткен бойда цолдандырып, жаттыцтырса да болады. Егер сабац уацыты таршылыц жасаса, математикалыц кружок, факультатив, арнайы курс, тагы басца сабацтыц немесе одан тыс цосымша Yйiрмелiк сагаттарда ^йымдастырып, оцушылардын iзденiстерiн ^штай тYсуге болады. Демек, осыдан макала нэтижесiн мектепте цолданудын мYмкiндiгi бар екенiн квремiз.
Зерттеу максаттары мен мiндеттерi
Мацаланын взектiлiгi мен ^олданыстылыгына сэйкес, зерттеуiмiздiн сонгы жагында царапайым жогары ретп дифференциалдыц тецдеу Yшiн бастапцы ecenmi царастырып, оны шешуге цайталамалы амалды ^олдануга болатындыгын кврсетудi мацсат тугтыц.. М^ндай зерттеудi оцушы мектептiн сонгы сыныбынын екiншi жартысында жYргiзе алады. М¥Fалiм квмегiмен ондай зерттеудi оцу жылы басында да ¥ЙымдастыруFа эбден мYмкiн. Мацаланын сонында мысалдар кел^рш, зерттеуге баFдар бердiк. Дифференциалдыц тендеулер туралы маFЛ¥маттарды [1,2,4,6,7,13,14] енбектерi непзвде, царапайым эдiстермен, мектеп оцушыларына ыщайлап жазылFан [8-12,15-24] мацалалардан алуды ^сынамыз.
Сонымен, жоFарыда айтылFан мектеп математикасындаFы амалдарды цайталап цолдану негiзiнде квптеген эртYрлi цызыцты, эрi цажетп формулаларды цорытып шыFаруFа болатындыFынын мысалдарымен толыц танысайыц.
Мэселе, тYсiнiктi болуы Yшiн мектеп оцушыларына кен таныс ^ымдар мен эдiстер арцылы баяндауFа тырыстыц.
Зерттеу эдкнамасы
1. Арифметикалыц прогрессияны цайталамалы амал арцылы цуру
Айталыц, A амалы a санына d Ф 0 санын цосу амалы болсын. Демек, Aa = a + d. Ендi осы нэтижеге A амалын цайталап цолдансац, онда A(Aa) = (a + d) + d = a + 2d шамасын алар едiк. Егер A
амалы A амалын 2 цайтара цолдаетанды бiлдiредi десек, онда A a = A(Aa ) тендтн алар едiк. Осылайша, A амалын a санына 3 рет цайталап, цолдансац
2a)= A(a + 2d ) = (a +
A3a = A (a 2 a)= A(a + 2d) = (a + 2d)+ d = a + 3d врнегiн алар едк. Егер A° a = a десек, онда A0
амалы тепе - тендш амалы деп аталынады.
алы
(И-1
Сонымен, A амалын a санына n цайтара цолданып,
Ana = A(An-1a)= A(a + (n - 1)d) = a + (n - 1)d + d = a + nd (n = 0,1,2,...) (1)
формуласын аламыз. Б^л кел^ршген (1) формула арифметикалыц прогрессиянын жалпы формуласы екенi белгiлi. Онын непзп a саны, айырымы d саны болып табылады.
87
Ендеше, A амалын «айталап «олдану ар«ылы алынган
A0a = a, A1 a = a + d, A2a = a + 2d,..., Ana = a + nd (2)
сандар лзбеп арифметикалы« прогрессияны «^рап т^рганын KepeMÎ3.
Егер (2) тобект шектеусiз созса«, онда шектеусiз санды« тiзбектi аламыз.
2.Геометриялыц прогрессияны цайталамалы амал арцылы цуру
Егер a ^ 0 саны бершп, оны нелден жэне ± 1 ден езгеше q санына кeбейтудi a санына «олданылган Г амалы деп «арастырса«, онда
Ta = aq (3)
тендiгiн аламыз. Осы (з) ернек ар«ылы аны«талган Г амалын оган «айталап «олданса«,
r(Ta) = r(aq) = aq * q = aq2 шамасын аламыз. Егер T(Ta) = Г2a белгшеуш енпзсек, онда Г2a = aq2 екенш кeремiз. Осылайша,
T3a = г(г2a)=r(aq2) = aq2 • q = aq3 тецдтн аламыз. Одан эрi Г0a = a тецдшмен Г0 тепе -тендш амалын енпзш, Г амалын n «айтара «олдану ар«ылы,
Гna = г(гn_1a)= r(aqn_1 )= aqn—1 • q = aqn, (n = 0,1,2,...) (4) негiзi a саны, еселт q саны болатыны геометриялы« прогрессияныц жалпы мYшесiнщ формуласын алды«.
3.Жогары ретт1 туынды - цайталамалы дифференциалдау амалы
Ецщ (a, b) аралыгында n рет дифференциалданатын y = y(x) функциясы берiлсiн. Егер D
d
функцияны туындылау амалы болса, онда Dy =— y екендтн кeремiз. Б^л амалды y функциясына
dx
«айталап «олданса«,. Онда функцияныц екiншi реттi туындысын табар едiк. Демек,
D(Dy) = D| — I = — I — I = d y. Ендеше, D2y = D(Dy) = d y екенiн кeремiз. Б^л жагдайда ydx) dx ydx) dx2 dx2
тепе - тецдш амалы D0 y = y болады да, жалпы, D амалы n рет «айталанса, онда
D0y = y, D1 y = £, D2y = ^,...,D"y = ddny (4)
dx dx2 dxn
тYрдегi y функциясыныц туындыларыныц тобепн алар едiк.
Осындай, «айталап туынды табумен мектеп о«ушылары таныс болганымен, оны жекелеген функцияларга «айталап «олдану ар«ылы «ызы«ты формулалар алуга болатынын бiле бермейдi.
3.1-Мысал. Айталы«, y = ea функциясы a ^ 0 т^ра«тысымен берiлсiн. D = — амалын осы
dx
функцияга n рет «айталап «олданайы«. Алдымен, 3 рет амалды «олданып,
Deax = aeax, D2ва = D{aeœc)= aDeax = a-aeax = a2eax,
Dъва = D(a2ea)=a2Deax =a2 •aeax = a3ea тYрiндегi функциялар шыгатынын бай«аймыз. Осыдан D амалын бершген функцияга n рет «олданса«, ал an дэрежесiне кeбейтiледi деген болжамга келемiз. Демек,
Dneax =aneax (5)
тендiгi орындалады деген т^жырымды аламыз.
Б^л (5) тепе - тендшт дэлелдеу Yшiн математикалы« индукция эдiсiн «олданамыз. Ол эдю бойыша, (3) формула n — 1 жагдай Yшiн а«и«ат деп есептелшедь Ендеше,
Dn~1eax = an—1eax (6)
тендт орындалады. Осы (б) формуланьщ непзвде (б) формуланын орындалатынын дэлелдеу керек. Шынында да,
Опеох = 0(0п~1еоХ )= О(рп-\еох )=ап-1Оеа ш ^о* = апеах
ернепмен (б) формуланын д^рыстыгын кeремiз. 3.2- Мысал. Осыган ^цсас
тлп
О Б1П х = Б1П
^ п—
х н--
2
V
формуласынын шыгатынын дэлелдешк.
Математикалыц индукция эдiсiне сэйкес,
тлП-1 ■ ■ Г (п - 1)ж О Б1П х = Б1П х + --—
V 2
ернеп дэлелденген деп есептеймiз. Осыдан (7) ернек шыгатынына кез жетюзешк.
(7 )
(8)
Шынында да, О б1п х = соб х = бгп! х + —I формуласын ескерiп, п = 1 болганда (7)
2
формуланын ацицаттыгына кез жеткiзiп, жалпы жагдайда формула п — 1 Yшiн д^рыс деп есептеп,
Оп б1п х = О(Оп-1 б1п х )= О
(оп-1 в1п х ) =
( Г
81П| х + -
(п-1)— (п-1)—V
п -1)— "2 уу
= соб! х +
. Г (п -1)— — I . Г пжI
= Б1П| х + -----1--I = Б1П| х н--I
V 2 2) ! 2 У
eрнегiнен (7) формуланы аламыз.
Осылайша,
г
тлп
О соб х = соб
чх н I (9)
формуласынын орындылыгын дэлелдеуге болады.
Осы (б)-(9) eрнектердi келаре отырып, мектеп оцушыларымен кептеген элементар функциялар Yшiн жогаргы реттi туындылар формуласын цорытып шыгару багытында зерттеу ж^мыстарын ^йымдастыруга болатынын айтпацпыз.
4.Цайталамалы дифференциалдаумен берыген тецдеуд1 цайталамалы интегралдау амалымен шешу
Егер белпшз 2 = г(х) функциясынын п - шi реттi туындысы белгiлi гП = .у(х) функциясы болып, ол 2(0) = г'(о) = ... = 2(п 1)(о) = 0шартын цанагаттандыратын болса, онда 2(х) функциясын табу Yшiн у(х) функциясын 0 нYктесiнен х нYктесiне дейiн цайталап интегралдау керектшн негiздеуге болады.
4.1. Шынында да, егер п = 1 болса, онда осы цойылган есептен бастапцы шартты мына
2 '(х) = у(х), 2(0) = 0 (10)
тYрдегi мэселенi аламыз. Мэселенiн шешiмi г(х) дифференциалдыц тендеу туралы алгашцы ^гымдар бойынша
х
2(х) = | (11)
0
формуламен бершетшь М^ндагы у = у(х) функциясы Yзiлiссiз функция деп есептелшедь
Туындылау О жэне интегралдау I амалдары езара керi амалдар ретiнде царастырылып,
Iy(x )=j у4)—4
(12)
0
амалын енгiземiз. Демек, (10) есептщ (11) шешiмi y = y(x) функциясына I амалы (l2) eрнек тYрiнде «олданумен шешуге болатынын кeремiз. Ендеше, z(x) = Iy(x). Б^л жагдайда I амалы бiр рет «олданылып отыр. Бас«аша айтса«, 1 амалы - онын функциясына «олданганда Ф)= 0
шартын «анагаттандыратын, 2{х) алгаш«ы образын беретiн амал. 4.2. Егер n = 2 болса, онда мэселе
z"(x) = y(x), z(0) = z'(0) = 0 тYрде «ойылады. Б^л (13) есептщ шешiмi (10) — (12) eрнектер бойынша
z'(x) = Iy(x), z(0) = 0
мэселеге келпрш, белгiсiз z = z(x) функциясы, (14) мэселе негiзiнде, (10) есепке сэйкес
z(x) = I (Iy(x))= 12 y(x)
(13)
(14)
(15)
eрнекпен аны«талатынын кeремiз. М^ндагы i амалы
Л x (4
12 y(x) = I(Iy(x)) = I J у(4—4 =J J y(41 )4
V 0 J 0 U
d4
(16)
тYрiнде аны«талады.
Осы (1б) екi «айталамалы интегралды« амалды бiр интегралды« амалга келтiруге болады. Шынында да,
u = x — 4, v =
4, v = J y(41 Y41
функцияларын алып, оларды 4 бойынша туындылап,
u' = — 1, v' = y(4)
eрнектерiн бeлiктеп интегралдаудын
x x
J u'(4) v(4— = u(4)v(4)|û — J u(4y (4d 0 0 формуласына «ойса«, онда (17 ) жэне (17 ' ) функциялар негiзiнде
x (4 Л 4 x
J(— 1) Jy(41 d41 d4 = (x—4)Jy(41 d41 0 — J(x—4)44
0 v 0 ) 0 0
x (4 Л x
J Jy(41 d41 = J(x — 4)y(4)d4
0 v 0 ) 0
(17)
(17 ' )
тендшнен
(18)
формуласын аламыз.
Осы (18) формуланын сол жагы 12 y(x) «айталамалы интегралды« операторымен берiлiп т^р да, он жагы (x — 4 )y(4 ) функциясына I интегралды« амалы 4 бойынша бiр рет «ана «олданылып т^р. Демек, (18) тендшт интегралды« I амалы ар«ылы
12 y(x)=I ((x—4)y(4))
(19)
тецщкпен eрнектеуге болады.
x
0
4.3. Егер n = 3 болса, онда I амалы Yш цайтара цолданылып, екiншi жаFынан Y(^1 )= J y(%2 )4 белгiлеуiн енпзш,
( 4<>(41
(4
d4
Л Л
J J J y4 )4 d4 = J Jy& №1
0 V 0 V 0 ) ) 0 V0
тендiгiн аламыз, м^нда Y(0) = 0 шарты орындалатынын ескеру керек.
Егер (20) тендштщ он жаFына (19) формуланы цолдансац, онда
x (4 Л x x 4
J Jy(41 )4 d4 = J(x-4)Y1 (4)d4 = J(x-4)Jy(4№1
0 v 0 ) 0 0 0
врнегiн аламыз.
Ецщ сонFы (21) интегралFа
4
(x - 4)d4 = dn Jy(41 )^41 = v
белгшеуш цолданып, одан
(x-4)2 _
2!
= u, y(4)dx = dv
шыгатынын ескерш,
и и
J vdu = uvba - J udv бвлштеп интегралдау формуласын цолданып,
4
J(x-4)J y(4i )4
(X-4)
2!
2 4 x / <Л2
- J y4 fe|0+J 4-
0 0 '0
формуласын аламыз.
Осы алынFан (20), (21) жэне (22) формулалардан
x (4(41 ^ ^
J J Jу(42 )d42 d41 d4 = J^4y(4)4
0 V 0 v 0
царапайым, ыцшамдалFан формуланы аламыз.
) )
Б^л формуланы Iy(x) = J y (4)4 амалы арцылы
13 y(x )= I
(x -4)
,2 Л
2!
v )
у4)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
врнек тYрiнде жазамыз.
Егер б^л эдiстi одан эрi жалFастыратын болсац, жалпы жаFдайда математикалыц индукция эдю бойынша
Iny(x) = I
(x-4)
(n -1)
n-1 Л
, (n=1,2,...)
(25)
формуласын алуFа болады. М^нда I амалы тендштщ он жаFында 4 арцылы цолданып т^р.
Дэлелдеу барысында цолданылFан амал - эдiстер мектеп математикасынын квлемшен шыцпайтынын квремiз.
0
0
a
a
x
0
0
0
Егер (25) формуладагы амалдарды ашып жазса«, онда ол
(4п-2 Л Л Л х (х_^)п-1
II I... IЯ4-1 №„-1
о^о^о ^ о
Л Л Л
¿41
У У
(п -1)!
-у(4^4
(26)
тYрiндегi врнектi берер едi. Б^л п рет «айталамалы интеграл формуласы. Одан эрi
■тИ-2
ЯС2 ) = I У&-1 (27)
0
белгшеуш енгiзсек, онда (26) тендштщ сол жагын у (4) ар«ылы п -1 рет «айталамалы интеграл
тYрiнде жазар едiк.
Оган индукция эдiсiн «олданып жэне (27) белгiлеудi ескерiп,
1 (%п-2
| | |... |У(4п-2 №
„21
0 ^ 0 ^ 0 ^ о
врнепн аламыз.
Одан эрi «арай,
белгiлеулерiн енгiзiп, одан кейiн
Л Л Л
¿41
У У У
(х -4)п
_х (х-ег-1
(х-еп
у(4¥4 = |
п - 2) (п
-2 4
о (п - 2)
о х(41 у(е1 *
(28)
(„ -
¿4 = ¿и, Iу(е1
= V
(х -4)п-1 _
(„ -1)
=и, у(£)$е=¿V
шамаларын аны«тап, бвлiктеп интегралдау формуласына салып,
х (х -е)„-2 4 ( . (х -е)п-1 4
(п - 2)!
уШ
I
о
п-1
(п -1)!
4 х ( _ г)п-1
I у(41) ¿41 ох
(х -4)п-1у(4)4I у(е)
(29)
(п -1)!
(п -1)!
тендшн алар едiк. Осы келтiрiлген (2б)-(29) врнектерден (2б) тендштщ толы« математикалы« индукция эдюмен дэлелденетiнiн квремiз.
Эрине, эдю «арапайым болганымен, врнектердщ тYрiнiц кYрделiгiне байланысты (25) формуланьщ дэлелдемесiн мектеп о«ушыларына келтiрмей-а« дэлелдеусiз беруге болатынына квщл аударамыз. Бiра«, б^л дэлелдеудi мектеп м¥Fалiмшщ бiлгенi д^рыс.
Келиршген нэтиже эдiстемелiк сипатта болганымен теориялы« бвлiгiн теорема тYрiнде эдiптейiк.
Теорема. Егер у(х) функциясы Я = (- да, + да) аралыгында Yзiлiссiз болса, онда
* (я) = У(х),
г(0)= *'(0)= ... = * (и-1)(0) = 0
х
есебтщ шешгм! 1у(х)=|у(4)4 амалын прет цайталау арцылы цолданып, (25) формула бойынша
о
4
о
о
о
о
(" -1) ') J (" - о
врнег1мен 6eprnedi.
Теореманьщ непзп жацалыгы нэтиженщ цайталамалы эдiспен алынгандыгында. Мысалы, y(x) = c — т^рацтысы болса, онда (3°) ернектен
x (*>—er
z(x)= f(x cde = c
J (" — 1) ' "!
0 = cX"
тYршдеп шешiмдi алар едiк.
Айталыц, " = 2 болса, онда
z" = c, z(°) = z'(0) = 0
2
есебшщ шешiмi z(x) = c — болар едi.
Зерттеу нэтижелерi
Осылайша, a) y(x) = x^, б) y(x) = e0*, в) y(x) = cos J3x тYрiнде y(x) функциясына тагы басца мэндер берiп, " = 1," = 2, " = 3 жагдайларына есептер шыгаруга болады. Б^л оцушылардыц дифференциалдыц тецдеулер Yшiн бастапцы шартты есептер шыгарудагы дагдыларын цалыптастырады.
Корытынды
Мацаламызды цорытындылай келе цазiрri кезде оцушы жYргiзген зерттеулер мен гылыми нэтижелер деп, царапайым математик-галым тYсiне алмайтын жобалар ^сынылып, бiрiншiден, гылыми зерттеу ж^мысыныц шынайылыгы бузылып, екiншiден, ец ауыры - балгын жасты жалгандыцца тэрбиелеу YДерiсi кец ц^лаш жаюда. Осы мацаланыц негiзгi мацсаты - гылымилыгы мол математикалыц пэнге байланысты болашац галымга шыгармашылыц дагдыны цалыптастыру Yшiн Yлкен гылыми орталыцтарга саяхат жасаудыц аса цажеттшш жогына кещл аудару.
na^aiaHbWFaH эдебиеттер
1. Колмогоров А.Н. ж.б. (1992). Алгебра жэне анализ бастамалары: Орта мектептщ 10-11 кластарына аранлган оцулыц / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын жэне басцалар. Редакциясын басцарган А.Н. Колмогоров. Алматы: Рауан. - 352б.
2. Эбшцасымова А., Ж^маг^лова З., Абдиев А., Корчевский В. (2015). Алгебра жэне анализ бастамалары. Жалпы бшм беретш мектептщ ж аратылыстану-математика багытындагы 11-сыныбына арналган оцулыц./ - 9нд. 3-бас. Алматы:Мектеп, 2015. - 224б.
3. Тростников В.Н. (1967) Всемирный конгресс математиков в Москве. М.: Знание. - 64 с.
4. Колмогоров А.Н. (1988) Математика - наука и профессия. М.: Науке. - 288 с.
5. Гнеденко Б.В. (1979) Школьный курс математика и воспитание мировоззрения // Математика в школе, №. С.3-6.
6. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. (1979) Рассказы о прикладной математике. М. Наука. - 208 с.
7. Жаутыков О.А. (1978) Математика и научно-технический прогресс. Алма-Ата. - 312 с.
8. Тростников В.Н. (1966) Дифференциальные уравнение в современной науке М.: Знание. - 48 с.
9. Доброхотова М.А., Сафонов А.Н. (1978) Дифференциальные уравнения и их значение в естествознании // Математика в школе. №6. С. 42-50.
10. Земляков А.Н. (1979) Дифференциальные уравнения как математические модели физических процессов // Математика в школе. №1, С.55-62.
11. Фирсов В.В. и др. (1980) Избранные вопросы математики: факультативный курс. X кл. М.: Просвещение. -191 с.
12. Вышенский В., Перестюк Н., Самойленко А.(1980) Поговорим о дифференциальных уравнениях //Квант. №1. С. 10-14.
13. Амелькин В.В. (1987) Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука. -160 с.
14. Эрроусмит Д., Плейс К. (1986) Обыкновенные дифференциальные уравнения: качественные теории с приложениями. Пер. с англ. М.: Мир. - 243 с.
15. Ястребова Г.Е. (1995) О методических особенностях изучения дифференциальных уравнений средней школы //Научные труды МШУ им.В.И.Ленина. Серия естественные науки. - "Прометей". С.192-194.
16. Дорофеев А.В. (2005) Проектирование математической учебной деятельности в профессиональном образовании будущего педагога // Образование и наука. № 2. С. 82-90.
17. Аммосова Н.В., Краснова Г.Г. (2012) Реализация преемственности в обучении математике в основной и старшей школе (на примере изучения уравнений) //Сибирский педагогический журнал. № 3. С. 252-256.
18. Лобанова Н.И.(2016) Элементы теории дифференциальных уравнений в системе дополнительного образования // Мир науки: интернет-журнал. Т.4, № 6.
19. Лобанова Н.И., Аммосова Н.В. (2017) Обучение методу моделирования средствами дифференциальных уравнений при решений геометрических задач в системе дополнительного образования школьников //Современные проблемы науки и образования. №5.
20. Abylkasymova, A.E., Nurmukhamedova, Z.M., Nurbaeva, D.M., Zhumalieva, L.D. (2016). "The Turkish vector" influence on teaching the exact disciplines in modern educational system of Kazakhstan: On the example of teaching algebra and mathematics. Global Journal of Pure and Applied Mathematics, 12:4, pp. 3481-3492.
21. Bidaibekov Y.Y., Kornilov V.S., Kamalova G.B., Akimzhan N.S. (2015) Fundamentalization of knowledge system on applied mathematics in teaching students of inverse problems for differential equations. AIP Conference Proceedings, 1676, 020044
22. Guldina, K.. Nikolay, P., Liudmila, K., Yelena, K., Zhamilya, A. A cluster approach in pedagogical education in the context of globalization. International Journal of Advanced Science and Technology, 2020, 29:7, с.994-1004.
23. Mironov A.N., Mironova L.B., Sozontova E.A. (2018) "Elective course Elements of the qualitative theory of ordinary differential equations" for bachelors of the pedagogical direction of education. Ad Alta - Journal of Interdisciplinary Research, Vol. 8:1, pp. 285-288
24. Hwang J., Ham Y. (2021) Relationship between mathematical literacy and opportunity to learn with different types of mathematical tasks. Journal on Mathematics Education, Vol. 12:2, pp. 199-222.
25. Сартабанов Ж.А., Шаукенбаева А.К., Талипова М.Ж.(2020) Тригонометрияльщ функцияларды дэрежелж катармен ернектеудщ эдютемес // КЖубанов атындагы Актебе ещрлж мемлекеттак университетанщ Хабаршысы. №2(60), 50-56 б.
26. Сартабанов Ж.А., Шаукенбаева А.К. (2018) К методике обучения элементам линейных дифференциальных уровнений в школе. Материалы X Юбилейной Международной научно-практическая интернет- конференции "Инновационные технологии обучения физико-математическим и профессионально-техническим дисциплинам». С.168-170
27. Сартабанов Ж.А., Шаукенбаева А.К. (2019) Тригонометриялык жэне дэрежелж функциялар байланысын тербелютер тендеуiмен непздеу эдютемеа //Абай атындагы Казак улттык педагогикалык университета Хабаршысы. №3(67), 53-61 б.
28. Сартабанов Ж.А., Шаукенбаева А.К., Дуюсова А.А. (2020) Дифференциалдык тендеулер бастамаларын мектепте терещдете окыту мэселесг Математикалык модельдеу мен акпараттык технологиялар бшмде жэне гылымда: профессор Е.Ы.Бидайбековтыщ 75 жылдыгына жэне мектеп информатикасыныщ 35 жылдыгына арналган IX Халыкаралык гылыми-эдютемелж конференция материалдары, 522-524 б.
29. Сартабанов Ж.А., Шаукенбаева А.К., Жумагазиев Э.Х., Дуюсова А.А. (2021) Мектепте дифференциалдык тендеулердi окытудыщ эдютемесш бешмдеу мэселес //Абай атындагы Казак улттык педагогикалык университета Хабаршысы. №1(73), 60-67 б.
30. Умбетжанов Д.У., Елубаев С. (1979) Математикалык индукция жэне оныщ колданылуы. Алматы: Бшм когамы. - 46 б.
References
1. Kolmogorov, A. N. (1992). Algebrajane analiz bastamalary: Orta mekteptin 10-11 klastaryna aranlgan oqulyq [Algebra
and analysis initiatives: textbook for grades 10-11 of Secondary School / Kolmogorov A. N., Abramov a.m., Dudnitsyn Yu.p. and others. The editorial board headed by A. N. Kolmogorov. Almaty: Rauan. - 352p. [In Kazakh]
2. Abylkasymova A., Zhumagulova Z., Abdiev A., Korchevsky V. (2015). Algebra jane analiz bastamalary. Jalpy bilim
beretin mekteptin jaratylystanu-matematika bagytyndagy 11-synybyna arnalgan oqulyq. [Algebra and analysis initiatives. Textbook for the 11th grade of General Education School in the field of physical and Mathematical Sciences] Almaty: Mektep. -224p. [in Kazakh]
3. Trostnikov, V.N. (1967). Vsemirny kongress matematikov v Moskve [World Congress of Mathematicians in Moscow].
M.: Znanie, 1967. - 64p. [in Russ.]
4. Kolmogorov, A.N. (1988). Matematika - nauka i professiya. [Mathematics - science and profession]. M.: Nauka. -
288s. [in Russ.]
Kfl3av, Yxmmbiy v,budap педагогикамuц ynueepcumemm^ Xa6apmucu № 4(88), 2021
5. Gnedenko, B.V. (1979), Shkol'ny kurs matematiki i vospitanie mirovozzreniya [School course mathematics and worldview education] // Matematika v shkole, #. S.3-6. [in Russ.]
6. Tikhonov A.N., Kostomarov D.P. (1979) Rasskazy o prikladnoj matematike [Stories about applied mathematics]. M.:
Nauka. - 208s. [in Russ.]
7. Zhautykov O.A. (1978) Matematika i nauchno-tekhnicheskij progress. [Mathematics and scientific and technical progress]. Alma-Ata. -312 s. [in Russ.]
8. Trostnikov V.N. (1966) Differenczial'nye uravneniya v sovremennoj nauke [Differential equations in modern science].
M.: Znanie. - 48 p. [in Russ.]
9. Dobrokhotova, M.A., Safonov, A.N. (1978) Differenczial'nye uravneniya i ikh znachenie v estestvoznanii [Differential
equations and their significance in natural sciences]. Matematika v shkole, #6. S. 42-50. [in Russ.]
10. Zemlyakov, A.N. (1979). Differenczial'nye uravneniya kak matematicheskie modeli fizicheskikh proczessov [Differential equations as a mathematical model of physical processes] . Matematika v shkole, #1, S.55-62. [in Russ.]
11.Firsov V.V. et al. (1980). Izbrannye voprosy matematiki: fakul'tativnyj kurs. X kl. [Selected issues of mathematics: an optional course]. M.: Prosveshhenie -191p. [in Russ.]
12.Vyshenskij V., Perestyuk N., Samojlenko A. (1980) Pogovorim o differenczial'nykh uravneniyakh [Let's talk about differential equations]. Kvant. #1. p. 10-14. [in Russ.]
13. Amelkin, V.V. (1987). Differenczialnye uravneniya v prilozheniyakh [Differential equations in applications]. M.: Nauka. -160 p. [in Russ.]
14. Arrowsmith, D., Place, C. (1986). Obyknovennye differenczial'nye uravneniya: kachestvennye teorii s prilozheniyami. Per. s angl. [Ordinary differential equations : qualitative theories with applications. Transl. from English]. M.: Mir. - 243 p. [in Russ.]
15.Yastrebova, G.E. (1995). O metodicheskikh osobennostyakh izucheniya differenczial'nykh uravnenij srednej shkoly //Nauchny'e trudy MShU im. V.I. Lenina. Seriya estestvennye nauki. "Prometej". S.192-194. [On the methodical peculiarities of the studying the differential equations in the secondary school. Scientific collection of MShU named after V.I. Lenin. Series of natural sciences. Prometeus. P. 192-194] [in Russ.]
16. Dorofeev, A.V. (2005) Proektirovanie matematicheskoj uchebnoj deyatel'nosti v professional'nom obrazovanii budushhego pedagoga // Obrazovanie i nauka. # 2. S. 82-90. [Designing mathematical learning activity in the professional education of a future teacher. Education and science. #2. P. 82-90] [in Russ.]
17. Ammosova, N.V., Krasnova, G.G. (2012). Realizacziya preemstvennosti v obuchenii matematike v osnovnoj i starshej shkole (na primere izucheniya uravnenij). Sibirskij pedagogicheskij zhurnal. # 3. S. 252-256. [Implementation of continuity in teaching mathematics in primary and high school (by the example of studying equations)]. Siberian Pedagogical Journal. #3. P. 252-256]. [in Russ.]
18. Lobanova, N.I. (2016). Elementy teorii differenczialnykh uravnenij v sisteme dopolniteFnogo obrazovaniya. Mir nauki: internet-zhurnal. [Elements of the theory of differential equations in the system of additional education. The world of science: online journal. Vol.4, No. 6. [in Russ.]
19. Lobanova, N.I., Ammosova, N.V. (2017). Obuchenie metodu modelirovaniya sredstvami differenczial'nykh uravnenij pri reshenij geometricheskikh zadach v sisteme dopolniteFnogo obrazovaniya shkol'nikov. Sovremennye problemy nauki i obrazovaniya. #5 [Teaching the method of modeling by means of differential equations for solving geometric problems in the system of additional education of schoolchildren. Modern problems of science and education. №5] [in Russ.]
20. Abylkasymova, A.E., Nurmukhamedova, Z.M., Nurbaeva, D.M., Zhumalieva, L.D. (2016). "The Turkish vector" influence on teaching the exact disciplines in modern educational system of Kazakhstan: On the example of teaching algebra and mathematics. Global Journal of Pure and Applied Mathematics, 12:4, pp. 3481-3492.
21. Bidaibekov, Y.Y., Kornilov, V.S., Kamalova, G.B., Akimzhan, N.S. (2015). Fundamentalization of knowledge system on applied mathematics in teaching students of inverse problems for differential equations // AIP Conference Proceedings, 1676, 020044
22. Guldina, K.. Nikolay, P., Liudmila, K., Yelena, K., Zhamilya, A. (2020). A cluster approach in pedagogical education in the context of globalization. International Journal of Advanced Science and Technology, 29:7, pp. 994-1004.
23. Mironov, A.N., Mironova, L.B., Sozontova, E.A. (2018). "Elective course Elements of the qualitative theory of ordinary differential equations" for bachelors of the pedagogical direction of education. Ad Alta - Journal of Interdisciplinary Research, Vol. 8:1, pp. 285-288.
24. Hwang, J., Ham, Y. (2021). Relationship between mathematical literacy and opportunity to learn with different types of mathematical tasks. Journal on Mathematics Education, Vol. 12:2, pp. 199-222.
25. Sartabanov, Zh. A., Shaukenbaeva, A.K., Talipova, M.Zh. (2020). Trigonometrialyq funksialardy darejelik qatarmen ornekteudin adistemesi. Q.Zhubanov atyndagy Aqtobe onirlik memlekettik universitetinin Habarsysy. №2 (60), 50-56b. [Methods of expressing trigonometric functions by rank series. Bulletin of Aktobe Regional State University named after K. Zhubanov. No. 2 (60), pp. 50-56. [in Kazakh]
26. Sartabanov, Zh. A., Shaukenbaeva, A. K. (2018). K metodike obucheniya elementam linejnykh differenczialnykh uravnenij v shkole. Materialy X Yubilejnoj Mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskaya internet-konferenczii "Innovaczionnye tekhnologii obucheniya fiziko-matematicheskim i professional no-tekhnicheskim discziplinam,
S.168-170. [Methods of teaching elements of linear differential levels in schools. Material of the X jubilee international scientific and practical Internet Conference "Innovative technologies of teaching physical and mathematical and professional disciplines". Pp. 168-170 [in Kazakh]
27. Sartabanov, Zh. A., Shaukenbaeva, A. K. (2019). Trigonometrialyq jane darejelik funksialar bailanysyn terbelister tendeuimen negizdeu adistemesi. Abai atyndagy Qazaq ulttyq pedagogikalyq universiteti Habarshysy. [Methodology of substantiating the relationship of trigonometric and rank functions by the equation of vibrations. Bulletin of the Abai Kazakh National Pedagogical University. No. 3 (67), pp. 53-61. [in Kazakh]
28. Sartabanov, Zh. A., Shaukenbaeva, A. K., Duyusova, A. A. (2020). Diferensialdyq tendeuler bastamalaryn mektepte terendete oqytu maselesi. Matematikalyq modeldeu men aqparattyq tehnologialar bilimde jane gylymda: profesor E.Y.Bidaibekovtyn 75 jyldygyna jane mektep informatikasynyn 35 jyldygyna arnalgan IX Halyqaralyq gylymi-adistemelik konferensia materialdary, 522-524b. [The problem of in-depth teaching of differential equations initiatives in school. Mathematical modeling and information technologies in education and science: materials of the IX International Scientific and methodological conference dedicated to the 75th anniversary of Professor E. I. Bidaibekov and the 35th anniversary of school Informatics, pp. 522-524. [in Kazakh]
29. Sartabanov, Zh.A., Shaukenbaeva, A., Zhumagaziev, A.H., Duyusova, A.A. (2021). Mektepte diferensialdyq tendeulerdi oqytudyn adistemesin beiimdeu maselesi. Abai atyndagy Qazaq ulttyq pedagogikalyq universiteti Habarsysy. №1(73), 60-67 b. [The problem of adaptation of methods of teaching differential equations in schools. Bulletin of the Abai Kazakh National Pedagogical University. No. 1 (73), pp. 60-67. [in Kazakh]
30. Umbetzhanov, D.U., Elubaev, S. (1979). Matematikalyq induksia jane onyn qoldanyluy [Mathematical induction and its application]. Almaty: Bilim qogamy, 1979. - 46 p. [in Kazakh]
Исследование применения итерационных операций в школьной математике - одна из сфер организации
научно-исследовательской деятельности учащихся
Ж.А. Сартабанов", А.К. Шаукенбаева, А.М. Байганова Актюбинский региональный университет им К.Жубанова, г.Актобе, Казахстан е-mail*: sartabanov42@mail.ru
В статье обращено внимание на появление новых операторных операций через повторное использование простых математических операций и их применение в повседневной жизни, научно-технических процессах. Примером этой идеи является тот факт, что арифметические и геометрические прогрессии, известные из школьной математики, возникают из повторения простых операций. Кроме того, отмечая, что концепция производной более высокого порядка является производной от многократного использования метода производной, в заключительной части статьи рассматривается исходная задача для дифференциального уравнения по определению неизвестной функции, заданной произведением более высокого порядка. Конечно, решение этой проблемы требует от ученика большого количества решающих задач, тонких познавательных способностей. Например, функция с верхним пределом переменного интеграла, применение метода частичного интегрирования к таким функциям и другие преобразования требуют большого мастерства в объяснении со стороны учителя и значительной подготовки в овладении мастерством ученика. Отметим, что цель статьи -углубить дифференциальные уравнения и расширить область применения в средней школе. Поэтому основная задача - описать методы интегрирования дифференциальных уравнений в педагогическо-методологической базе школьной математики.
Ключевые слова: итерационный способ, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, дифференциальный подход, итерационный дифференциальный подход, дифференциальное уравнение, исходная задача, элементарные методы
Research of the application of iterative operations in school mathematics -one of the spheres of the organization of scientific research activity of students
Sartabanov Zh.A.", Shaukenbaeva A.K., Baiganova A.M.
Aktobe Regional University named after K. Zhubanov, Aktobe, Kazakhstan е-mail*: sartabanov42@mail.ru
The article draws attention to the emergence of new operator operations through the reuse of simple mathematical operations and their application in everyday life, scientific and technical processes. An example of this idea is the fact that arithmetic and geometric progressions known from school mathematics arise from the repetition of simple operations. In addition, noting that the concept of a higher order derivative is a derivative of the multiple use of the derivative method, the final part of the article considers the original problem for a differential equation to determine an unknown function
given by a higher order product. Of course, the solution to this problem requires a large number of solving problems from the student, subtle cognitive abilities. For example, a function with an upper limit of a variable integral, the application of the partial integration method to such functions, and other transformations require a great deal of mastery of explanation on the part of the teacher and considerable preparation in mastering the mastery of the student. Note that the purpose of this article is to deepen differential equations and expand the field of application in high school. Therefore, the main task is to describe the methods of integrating differential equations in the pedagogical and methodological base of school mathematics.
Keywords: iterative method, arithmetic progression, geometric progression, differential approach, iterative differential approach, differential equation, initial problem, elementary methods
АВТОРЛАР ТУРАЛЫ АППАРАТ
Сартабанов Жайшылык АлмаFанбетyлы, физика-математика гылымдарыныц докторы, профессор, КЖубанов атындагы Ацтебе ещрлш университета Мекенжайы: Казацстан, Ацтебе, 030000, Э. Молдагулова дацгылы, 34, sartabanov42@mail.ru
Шаукенбаева Акзада Калкабаевна, КЖубанов атындагы Ацтебе ещрлш университета Мекенжайы: Казахстан, Ацтебе, 030000, Э. Молдагулова дацгылы, 34,
Байганова Алтынзер Мынтургановна, КЖубанов атындагы Ацтебе ецiрлiк университетi. Мекенжайы: Казацстан, Ацтебе, 030000, Э. Молдагулова дацгылы, 34, altynzer_70@mail.ru
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Сартабанов Жайшылык Алмаганбетович, доктор физико-математических наук, профессор, Актюбинский региональный университет имени К. Жубанова. Адрес: Казахстан, Актобе, 030000, проспект А. Молдагуловой, 34, sartabanov42@mail.ru
Шаукенбаева Акзада Калкабаевна, Актюбинский региональный университет имени К. Жубанова. Адрес: Казахстан, Актобе, 030000, проспект А. Молдагуловой, 34,
Байганова Алтынзер Мынтургановна, Актюбинский региональный университет имени К. Жубанова. Адрес: Казахстан, Актобе, 030000, проспект А. Молдагуловой, 34, altynzer_70@mail.ru
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Zhaishylyk A. Sartabanov, Professor, Dr. Sci. (Physics&Math), Professor of the Department of Mathematics, K.Zhubanov Aktobe Regional University. Address: Kazakhstan, Aktobe, 030000, A.Moldagulova avenue, 34, sartabanov42@mail.ru
Akzada K. Shaukenbaeva, Department of Mathematics, K.Zhubanov Aktobe Regional University. Address: Kazakhstan, Aktobe, 030000, A.Moldagulova avenue, 34,
Altynzer M. Baiganova, Department of Mathematics, K.Zhubanov Aktobe Regional University. Address: Kazakhstan, Aktobe, 030000, A.Moldagulova avenue, 34, altynzer_70@mail.ru
Редакцияга тYCтi / Поступила в редакцию / Received 02.11.2021 Жариялауга цабылданды / Принята к публикации / Accepted 27.12.2021
