CC BY
2ОШ МАМЛЕКЕТТИК УНИВЕРСИТЕТИНИН ЖАРЧЫСЫ МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА. ТЕХНИКА. 2024, № 1(4)
УДК 517.928.2
DOI: https://doi.org/10.52754/16948645 2024 1(4) 44
eзгeчeлYГY болгон ii тартиптеги кадимки дифференциалдык
ТЕЦДЕМЕЛЕРДИН САНДЫК ЧЫГАРЫЛЫШЫ
Эсенгул кызы Пейил, кенже илимий кызматкер, PhD
peyil. esengul@manas. edu. kg Абылаева Элла Дайырбековна, доц.м.а., PhD ella. abylaeva@manas. edu. kg Кыргыз-Турк Манас университети Бишкек, Кыргызстан
Аннотация. Макалада берилген маселе Ломов тарабынан иштелип чыккан теориянын негизинде катаал маселени чектелген айырмалар методун колдонуп чыгарууга арналган. Алынган айырма тецдемени чыгарууда кубалоо методунун алгоритми колдонулду.
Ачкыч свздвр: Катаал маселе, чектелген айырмалар методу, взгвчв чекит, кубалоо методу, кецейтилген маселе.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ II ПОРЯДКА С ОСОБЕННОСТЬЮ
Пейил Эсенгул кызы, млад. науч. сотрд., PhD peyil. esengul@manas. edu. kg Абылаева Элла Дайырбековна, и.о.доц., PhD ella. abylaeva@manas. edu. kg Кыргызско-Турецкий университет "Манас "
Бишкек, Кыргызстан
Аннотация. Задача представленная в статье предназначена для решения жесткой задачи методом конечных разностей на основе теории разработанной Ломовым. Для решения полученного разностного уравнения был использован алгоритм метода прогонки.
Ключевые слова: Жесткая задача, метод конечных разностей, особенная точка, метод прогонки, расширенная задача.
NUMERICAL SOLUTION OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS OF ORDER
II WITH A SINGULARITY
Peyil Esengul kyzy, Research Assist. Dr., PhD peyil. esengul@manas. edu. kg Abylaeva Ella Dairbekovna, Assist. Prof. Dr., PhD ella. abylaeva@,manas. edu. kg Kyrgyz-Turkish Manas University Bishkek, Kyrgyzstan
Аннотация. The problem presented in the article is intended for solving a rigid problem by the finite difference method based on the theory developed by Lomov. The algorithm of the sweep method was used to derive the obtained difference equation.
Ачкыч свздвр: Rigid problems, finite difference method, singular point, sweep method, extended problem.
1. Киришуу Катаал маселелерди чыгарууда Ломов методун [1] жана чектелген айырмалар методун [3-5] колдондук. Биз темен^ eзгeчeлYГY болгон катаал маселени изилдедик
еи'' (х) + ха(х)и '(х) — и(х) = [(х) (3.1)
и( а) = А, и( Ъ) = В (3.2)
Мында тeмeнкYдeй шарттар коюлган:
a) а(х),[ (х)е С2 [ 0, 1 ] - функциялары белгилYY,
b) а(х) > 0, Ухе[0, 1].
х адз каранды эмес eзгeрмeсYHYн катарына тeмeнкY формула боюнча кeз карандысыз eзгeрмe киргизебиз
р ¿00 т,- =-.
1 Еа
Регуляризациялануучу асимтотиканы р (х) тYPYндe тандайбыз
-—,ха(х) = ^т = т же р(х)р'(х) = е2а_ 1ха(х).
р' (х) £а
Эгерде а = 1 / 2 болсо, анда
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
р(х) = ( 2^5 а(з)йз)1/2. (3.3)
Ошону менен катар eзгeчeлYГY болгондугуна байланыштуу дагы бир eзгeрмe киргизYYгe туура келет
_1 г
е 1
х о(х)
/и = — I 5 а(з)йз =
и(х,е) = й(х,т,/1,е) деп туундуларын
' л ~ , Р'(х) я „ , —' (х) я ~ и' = дхй -\--дтй -\--дий
еа г
(р'(х)\2 , (о'(х)\2 , 1 1
и'' = д2 й + \-^а-\ д; й + 1^—) д^й- Охдтй- + Тхд^й-,
Бх = 2 р'(х)дх + р' '(х), Тх = 2 — '(х)дх + — ' '(х), (3.4)
(3.4) формуласынын негизинде тeмeнкY кецейтилген маселеге келебиз
ед£й — е д£й — е(—~—)2д2й — е 1 _айхдтй — ТхдАй — ха(х)дхй
^р'(х) —' (х) + х а(х) —— дтй + х а(х)-д Ай — й = [(х)
Эми жогорку маселедеги х'ке карата алынган айрым туундуларды чектелген айырмалар методу менен алмаштырабыз.
й = у0 дхй=у = (3.5)
дх2 й = у' (3.6)
.У 1+ 1(т, А _ 2у 1(тг¡Г) +у I-!(т, ^ 1 ( р' (х 0
/г2
— е д2у(т,/) — е д*у(т,/) —
е1 _адх *2р'(х,)У 1+1 ( 1(Т'А) + р''(хду^т,ц)\ — д^й *2о(х^
к
—' '(хду(т, /)+ — х,а(хдП+1 (тА~У1(тА — х1 а(хдрр^)дту1(т,/) —
х ^(х д^-(гд11у1(т,и) — у I (т , и = [ (х 0
Бул маселенин чыгарылышын тeмeнкY класста издейбиз:
й = с (х0 ег [ — V (х0 ехр(—¡и) — ц(х^ (3.7)
(Т, А) _У ¿ТА)
е х) = -2= С е 1 2 ( утт 0
Мындан т'га карата биринчи жана экинчи туундусун алып, (3.1) маселеге коёбуз
атй = ¿с(х*)ехр ( -7) (38)
д'й =
с(х) е хр( - —
с1+1 + С1_г
Л2
амй = - -(х ¿) ехр( 52й = -(х ¿) ехр( / Т \ ^1 + 1 ~~ 217; +
к2
е хр(—/) +
41+1 - 2(?1 + 41-1
Л2
-)
+ (<Р'(Х))2
72тг
С1 ехр \
' 2 ) +
^ ехр(-у
+ ( ^ [- ^ ех р( + 4 ехр( -/)]
/ т2\ г ^+1 - с^ п — ехр( -у) [2 -^-+ <' Чх^ с]
+
- ехр( *2ш'( х¿)——1 + V ¿ш ' '(х¿)]
. . (С1+1 — С1 ( т \ г£ + 1 -
+ х ¿а(х¿) (---е г/ (—) +---е хр( +
- Ч
к
)
( с ¿ е г/ + - ¿ е хр(- / + Ч¿) = /
ег/Ш
¿+1 2С£ +
£-—--1- х ¿а(х ¿)-;--с, | =0
/I2
к
( Т2 \ Г , . с¿+1 - с¿ п
е хР( -у^^Г < '(х¿)-Л-+ <' '(х¿)с¿] =
е х р( - /
V
1+1
2 -¿ + - _ 1 (ш '(х))
к2
+ ■
■V
-¿ш ' '00 +х ¿аОО
- 2«74 + «74-1
£
Щ+1 ~ V
2
¿ + (ш '(х)) - 2 ш '00
¿+1
к
к
V;
= о
/I2
+ х ¿а(х¿) Ч+\ Ч - Ч ¿ = /
к
2 <'00
с1+1 с>'
к
+ <' '(х ¿)с¿ = 0 = > с¿ =
2 <'00 к
с1+1
2 <р'(х¿) ' . г, ¿ -<Р'' (х ¿)
и—^
Бул тевдемеден с¿ ( / = 0, 1,...) лерди табабыз. Бирок бул жердеги сп ди табыш YЧYн биринчи орунда тeмeнкY тевдемени чыгарып алышыбыз зарыл. Мында £ = 0 болгон учурда
ч Чь+1 ~ Чь г х а(х ¿)----ч ¿ = /,
белгилYY болгон чектердин негизинде
с0 + Р0 + <7„ = Л, ^"П Чп В, Мында -п = 0 деп тандап алабыз.
< ( х)
е г/(х) функциясынын мааниси 0 < т < аралыгында
2 Г VI 52
— ^ ехр( -у)(5«1
барабар болгондуктан с0 менен сп нелге барабарлай албайбыз.
Теорема: Эгерде а,Ь) шарттары аткарылса жана берилген функциялар жылмакай болушса, анда тургузулган сандык чыгарылыштын каталыгы Оф) тактыгында орун алат.
Мисал:
Биз кичине параметрлYY дифференциалдык тевдеме YЧYн чектик маселени чыгарууда чектелген айырмалар методун колдонобуз. Биз темен^дей маселени тандап алдык. Албетте так чыгарылышы бизге белгилуу.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) м( - 1) = - 1, м( 1) = 1, (2)
1
£ = Ю-3,
к=ч *
, . , . г/^)+ V2 £/ттех р( _2-)
м(х) = С О в (7Гх) + х +-/V2 Ч ,__Т^
егЧТ21)+721/^ехр(_^)
(3) - маселенин так чыгарылышы.
Мында ( ) ( ) ( ) ( )
(3)
<(х) = ( 2 | 5а(5 )(5 )1/2 = 5 (5= 12(у) =
X
т =
( )
_ 1 X , л
= > а = т = — => <и = 1;
■> VI
= 0; ¡1
1Г ^ ш(х) = — I 5 а(5)(5 = - = > ш(х)
е Лг.
=г
~> X,
X*
х2 - 1
= — -- => Ц=' 2 2 ¿г
'Х0 •'х0
со' = х; й>" = 1;
Бизге белгилYY функцияларды таап алгандан кийин ордуна коюп эсептeeлeрдY жYргYзeбYЗ.
ег/Ш
С1+1 + С£_! С£ + 1 С£ £-—--1- х,--;--С;
к2
к
= о
ехр,- Щ = 0
2 £ У 727Г 1 к
X
2-Г
ехр
2е
- 2Р1 + X? 2*1-1- _ ^ + 1 £----1--17; + X,- ---17; — 2Х;
£ 1 2£
V;
+ Х£
к2
У1+1 ~ Щ к '
к
V;
V,-
= о
- 2(?1 + 41-1 , ,
£—р-+*<——
болгон учурдагы маселенин маанисин деп тандап алабыз.
- 41
X;
к
~41= й
Л/Г (с0+170 + (?о =-1
Мындан ч ¿ нин маанилерин таап, { _ системин эске алуу менен
ч ^"П "г" 4п
тeмeнкYгe ээ болобуз.
(£ - i+1 + (- § + - + xi — + T - 2 i + i- 1 = 0 '
v/i2 hJ 1 + 1 v h2 e 1 2 e h J 1 yh2j 1 1
v0 = A - c0 - q0, vn = 0 A^HHraH нтерацнaннн nporpaMMacw Python th^hhhh math GuG^HOTeKacw K0.ng0Hy.nyn
import numpy as np import math
def Numerical(x0, xn, A, B, h, eps): m = (xn - x0) / h n = math.ceil(m) pi = math.pi x = np.zeros(n) f = np.zeros(n) for i in range(n): x[i] = x0 + i * h
f[i] = -(1 + eps * pi ** 2) * math.cos(pi * x[i]) - pi * x[i] * math.sin(pi * x[i]) q = np.zeros(n) q[0] = A
for i in range(n - 1):
q[i + 1] = (1 + h / x[i]) * q[i] + (f[i] * h) / x[i] c = np.zeros(n) c[n - 1] = B - q[n - 1] for i in range(n - 2, -1, -1):
c[i] = c[i + 1] v = np.zeros(n) v[0] = A - c[0] - q[0] v[n - 1] = 0 e = np.zeros(n) d = np.zeros(n) s = np.zeros(n) for i in range(n):
e[i] = eps / h ** 2 - x[i] / h
d[i] = -2 * eps / h ** 2 + x[i] ** 2 / eps + (x[i] ** 4 - x[i] ** 2) / (2 * eps) + x[i] / h - 2 s[i] = eps / h ** 2 f[i] = 0 L = np.zeros(n) K = np.zeros(n) t = np.zeros(n) myu = np.zeros(n) u = np.zeros(n) y = np.zeros(n) L[0] = 0 K[0] = v[0] K[n - 1] = 0 L[n - 1] = 0 v[0] = A - c[0] - q[0]
s[n - 1] = 0
for i in range(1, n - 1): L[i] = -e[i] / (d[i] + c[i] * L[i-1])
K[i] = (h ** 2 * f[i-1] - c[i] * K[i-1]) / (d[i] + c[i] * L[i-1]) for i in range(n):
t[i] = x[i] / math.sqrt(eps) myu[i] = (x[i] ** 2 - 1) / (2 * eps)
u[i] = c[i] * math.erf(t[i] / math.sqrt(2)) + v[i] * math.exp(-myu[i]) + q[i] y[i] = math.cos(pi * x[i]) + x[i] + (x[i] * math.erf(x[i] / math.sqrt(2 * eps)) + math.sqr t(2 * eps / pi) * math.exp(-
x[i] ** 2 / 2 * eps)) / (math.erf(1/math.sqrt(2*eps)) + math.sqrt(2*eps/pi)*math.exp(-1/2*eps)) return x, u, y import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(x, u, label='Numerical Solution', color='blue', linestyle---', linewidth=2) plt.plot(x, y, label-'Analytical Solution', color-red', linestyle-':', linewidth=2) plt.legend()
plt.title('Comparison of Numerical and Analytical Solutions', fontsize=18)
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.show()
Comparison of Numerical and Analytical Solutions
— — Numerical Solution 1>!вГчч
• • • • Analytical Solution r
r
/
у
У
.7
.7
.7
.7
:/
:/
: /
/
/
•' /
.* /
/
/
✓ • ✓
•1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 X
1 -CYP0T. Так жана сандык чыгарылыштардын графиги Мында эске ала KeT4Y нерсе кадам. Кадамдын турактуу h = — (const) болушу керек.
Жогорку CYP0TT6 кeрYHYп тургандай жыйынтык так чыгарылыш менен сандык чыгарылыш жакын экендиги кeрсeтYлдY.
Адабияттар
1. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений / С.А. Ломов. - Москва: Наука, 1981.
2. Омуралиев А.С. Регуляризация сингулярно возмущенных параболических задач / А.С. Омуралиев. -Бишкек:КТМУ, 2005.
3. Дулан Э. "Равномерные численные методы решение задач с пограничным слоем ", перевод с английского Г.В.Демидова, под редакцией Н.Н. Яненко / Э. Дулан, Дж. Миллер, У. Шилдерс. - Москва: "Мир", 1983.
4. Ракитский Ю.В. "Численные методы решения жестких систем"/ Ю.В. Ракитский, С.М. Устинов, И.Г. Черноруцкий. - Москва: "Наука", 1979.
5. Дубинский Ю. А. "Исследование по дифференциальным уравнениям и их приложениям" : выпуск 201 / Ю. А. Дубинский, С.А. Ломов, С.И. Похожаев. - Москва, 1974.
