CC BY
0УДК 621.396 ГРНТИ 78.25.13
ЗАВИСИМОСТЬ ТОЧНОСТИ ТРИАНГУЛЯЦИОННОГО МЕСТООПРЕДЕЛЕНИЯ ИСТОЧНИКА ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ВЫБОРА СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРИ ОШИБКАХ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ БАЗЫ
С.Б. МИХАЙЛЕНКО, кандидат технических наук, старший научный сотрудник
ВУНЦВВС «ВВА имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж) М.А. ЗАМЫСЛОВ, кандидат технических наук, старший научный сотрудник ВУНЦ ВВС «ВВА имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж) А.М. МАЛЬЦЕВ, кандидат технических наук, доцент
ВУНЦ ВВС «ВВА имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)
Н.В. ШТАНЬКОВА
ВУНЦ ВВС «ВВА имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)
Рассмотрена задача триангуляционного местоопределения источника излучения на плоскости при его двукратной равноточной пеленгации в системе координат с началом в середине измерительной базы, известной с ошибками. Получены формулы для погрешностей местоопределения в зависимости от геометрического параметра, ошибок базы и пеленгации, а также формулы для оптимальных геометрических параметров, обеспечивающих минимальные погрешности местоопределения при заданных ошибках базы и пеленгации. Выявлены закономерности влияния ошибок базы и пеленгации на точность местоопределения и на оптимальные геометрические параметры триангуляционного треугольника. Проведена сравнительная оценка выявленных закономерностей с закономерностями триангуляционного местоопределения источника излучения в системе координат с началом в одной из позиций пеленгации. Обоснован выбор системы координат и геометрической конфигурации системы местоопределения, обеспечивающих максимальную точность в условиях действия ошибок измерительной базы и пеленгации.
Ключевые слова: двукратная равноточная пеленгация, источник излучения, ошибки измерительной базы, среднеквадратические ошибки определения координат источника излучения, средняя квадратичная погрешность местоопределения источника излучения, триангуляционный метод местоопределения источника излучения, оптимальная геометрическая конфигурация системы местоопределения.
Введение. Триангуляционный метод местоопределения (МО) источников излучения (ИИ) на плоскости при двукратной пеленгации находит широкое применение при решении задач информационного обеспечения боевых действий авиации [1], а также ударных задач при действиях по радиоизлучающим целям [2, 3]. Метод является простейшим, минимально достаточным вариантом угломерного многопозиционного определения координат [4], и при относительной простоте реализации, для которой требуется знание двух углов пеленга из двух точек пеленгации и расстояния между ними (измерительной базы) [5], обеспечивает высокую точность определения относительного положения ИИ. Погрешности триангуляционного метода в зависимости от ошибок пеленгации и пространственной конфигурации («геометрии») системы МО при точном знании измерительной базы рассмотрены в [1, 6-8]. Влияние ошибок измерительной базы на точность метода исследовано в [9].
Актуальность. В работах [10, 11] была рассмотрена задача местоопределения ИИ на плоскости угломерной многопозиционной системой в присутствии ошибок позиционирования
пунктов пеленгования. Система координат, в которой определялось положение ИИ, задавалась произвольно относительно взаимного размещения пунктов пеленгования. При этом для частного случая триангуляционной системы влияние ошибок позиционирования пунктов пеленгования на точность местоопределения ИИ и на оптимальную «геометрию» системы не рассматривалось. Местоопределение ИИ триангуляционным методом осуществляется в системе координат, жестко связанной с линией базы. Наиболее широко применяют два варианта декартовой прямоугольной системы координат. Начало первой системы координат совмещено с одной из позиций пеленгации, одна ось направлена вдоль линии базы, а вторая - по нормали к базе [1, 9]. Вторая система координат отличается от первой только тем, что ее начало совмещается с серединой базы [1, 7]. Кроме того, значение базы входит в расчетные соотношения для вычисления координат ИИ [7, 12]. Поэтому представляется допустимым и целесообразным рассмотреть влияние на точность местоопределения ИИ ошибок позиционирования пунктов пеленгования вдоль линии базы, то есть ошибок базы, как это было сделано в [9] для случая применения первой системы координат. Применительно ко второй системе координат с началом, совмещенным с серединой базы, такие исследования не проводились.
Ошибки измерительной базы не только вносят дополнительный вклад в результирующую погрешность МО ИИ, изменяют оптимальную «геометрию» системы триангуляции [9], но и вызывают зависимость этих характеристик от выбора системы координат, в которой рассматривается задача триангуляционного местоопределения, что наряду с распространенностью практического применения триангуляционного метода в системах разведки и наведения ударных средств на радиоизлучающие цели обусловливает актуальность исследования проблемы влияния выбора системы координат на погрешности триангуляционного МО ИИ при неточном знании базы.
Цель работы - оценка точностных характеристик триангуляционного МО ИИ при решении задачи в системе координат с началом в середине измерительной базы, известной с ошибками, выявление закономерностей влияния выбора системы координат на точностные характеристики триангуляционного метода МО ИИ при двукратной пеленгации и на оптимальную геометрическую конфигурацию триангуляционной системы, обеспечивающую минимальную погрешность МО ИИ, при неточном знании измерительной базы.
Геометрия задачи триангуляционного МО ИИ на плоскости приведена на рисунке 1.
Рисунок 1 - Геометрия задачи местоопределения ИИ в горизонтальной плоскости при его пеленговании
из двух точек А и В
На рисунке 1 приняты следующие обозначения: Оохог - декартова прямоугольная система координат, начало которой Оо расположено в середине базы, ось Оохо направлена вдоль линии базы, а ось Оо1 - по нормали к линии базы; Охх - декартова прямоугольная система координат,
начало которой О совмещено с первой позицией пеленгации (точка А), ось Ох направлена вдоль линии базы, а ось Ог - по нормали к линии базы; В - вторая позиция пеленгации; С - точка, в которой расположен ИИ; Я - расстояние от начала координат Оо (середина базы) до ИИ;
Я, Я - расстояния от позиций пеленгации А и В до ИИ; Хо, X, Z - координаты ИИ (координата Z равна дальности до ИИ по линии траверза); а, - углы пеленга ИИ в первой (точка А) и второй (точка В) позициях; у - угол между двумя пеленгами (у = а2 — а ); d - измерительная база.
Точность местоопределения ИИ с учетом ошибок измерительной базы в системе координат ОоХо1. Рассмотрим задачу МО ИИ в системе координат Оохог. Будем полагать, что процесс МО сопровождается случайными ошибками пеленгации ИИ и случайными ошибками
2 2 2
измерительной базы, которые характеризуются дисперсиями < а , и Od . В соответствии с [7, 12] координаты Хо, Z определяются выражениями:
= d вто^ОО. — ^ = О37 51п(а1 +а2 ).
Бт(а2 -а1)
Бт(а2 -а1)
(1)
Z = d-
бш а1 Бт а2 Бт(а2 — а1)
(2)
Местоположение ИИ также может быть определено дальностью до него Я от начала системы координат Оо
(3)
Мерой погрешности МО ИИ служат СКО <7х0, <z определения прямоугольных координат
I 2 2
Хо, Z и средняя квадратичная погрешность МО < = А<х0 + <z [1, Ю]. По изложенной в [9] методике на основании соотношений (1)-(3) получим выражения для
2 2 2 <Хо <, <
< =
Г Хо d
2 (Я1 СЖ а2< а )2 + (Я2 ссва1<а7 )2 < +-1 2
Бт2 у
(4)
2 Г Z )2 2 (Я1 Ыпа2< ал )2 + (Я2 §1па1<а2 )2 Стг =17 )< +- 1 2
Бт2 у
(5)
< =
го
)) 2 V Ю ) <
(Я<< а, )2 + (Я2<а2 )
а2'
Бт 2 у
(6)
2
При < = о выражение (6) сводится к известному результату, приведенному в [1, 13]. Выражение (6) содержит в первом слагаемом дальность Я от начала системы координат Оо до
ИИ, чем отличается от полученного в [9] выражения для аг , в котором на этом месте содержится
дальность Ri от начала системы координат O до ИИ (рисунок 1). Таким образом, ошибки базы оказывают влияние на ошибки МО ИИ не только непосредственно (появляется дополнительное первое слагаемое), но и опосредованно, вызывая их зависимость от выбора системы координат (в зависимости от выбора системы координат первое слагаемое содержит дальности Rj или R ).
При равноточной пеленгации минимальные погрешности наблюдаются в случае симметричной «геометрии», когда ИИ расположен на нормали, восстановленной из середины базы [1, 7, 8]. В симметричном случае триангуляционный треугольник ABC оказывается равнобедренным ( Rj = R2 = R ) и выполняются соотношения:
R = ■
cos
У
= Z 1
4a
0,5
(7)
У = 2 arctg {2Z Г 2 arctg {2a J,
(8)
Z
a = —, d
(9)
где а - геометрический параметр, равный дальности по линии траверза до ИИ, нормированной к измерительной базе.
С учетом (7), (8), а также тригонометрических соотношений [14]
• У У У
sin у = 2srn — cos — , sin— = -
2 2 2
tg
У
1 + tg
2 У
У
cos — = 2
1 + tg
2 У
получим для симметричного случая и равноточной пеленгации (о~а = °'а2 =аа) из общего
выражения (6) соотношения для средней квадратичной погрешности МО аГо, нормированной к
дальности до ИИ по линии траверза Z, к наклонной дальности Я от позиции пеленгации до ИИ и к значению измерительной базы ё:
Га V r0
V Z J
2—2
= a^ad + 2a I 1 + -
1
4a
2 \aa-'
(10)
f a \2 r0
V R J
= a2 Í1 + -L] ad + 2a1 {1 + J-1 a2a,
4 az
4 a¿
(11)
fn- V
v d J
= a4^ + 2a4 Í1 + 40^1 a2 ,
(12)
где аа = ^^ - нормированная к дальности по линии траверза до ИИ среднеквадратическая ошибка базы.
2
1
2
2
2
Из выражений (10)—(12) следует, что при заданных ошибках базы и пеленгации относительные погрешности МО ИИ зависят только от параметра а, однозначно определяющего «геометрию» триангуляционного треугольника.
°г
На рисунке 2 приведены графики зависимостей относительных погрешностей МО ИИ , а а
—-, —-, определяемых выражениями (10)—(12), от геометрического параметра а при
Я (1
различных значениях ошибки базы и ошибке пеленгации сга =1°.
сг„
о,.
2
0,2
0,1
ал=0,2 /одъ/ 0 1 '
0,05___
0
0,5
а)
1,5
Я 0,15/
0,2
0,1 0,05^
0
0,5
б)
1,5
в)
аг аг
Рисунок 2 - Графики зависимостей относительных погрешностей
Z И с]
параметра а и ошибок базы при ошибке пеленгации аа = 1
от геометрического
Из приведенных на рисунке 2 зависимостей видно, что ошибки базы значительно увеличивают относительные погрешности МО ИИ. При этом существуют оптимальные значения геометрического параметра ао хр, аоКор1, ао^ор( и соответствующие им оптимальные
«геометрии» триангуляционного треугольника (оптимальные углы между двумя пеленгами Го хорг Гояр, Гыорг), минимизирующие относительные погрешности (10)-(12).
Определим оптимальное значение параметра а = аохр. Для этого найдем производную
правой части выражения (1о) по а и приравняем ее к нулю. Полученное при этом уравнение относительно аохорг совпадает с аналогичным уравнением относительно а2ор1, полученным в
[8]. Соответственно, совпадает и решение аохр = ахр, имеющее вид
а.
охорг
+2о2)
еИ
( (
(13)
Графики зависимостей оптимальных значений геометрического параметра аохр, угла
охорг ■
(гт \
между двумя пеленгами Гохр и минимальной относительной погрешности
V х у
V Ушт
от ошибок базы и пеленгации приведены на рисунке 3.
Точно определить аналогичным образом оптимальные значения ао^р, ао^ор( не удается,
так как получаемые дифференцированием по а правых частей выражений (11), (12) и
сг
приравниванием результата к нулю уравнения не имеют точного решения. Путем численного решения и расчета методом наименьших квадратов коэффициентов аппроксимации были получены соответствующие эмпирические формулы для , а0 ¿ор1:
а.
0ЯорЬ
к 21,4а] + 44,6а-2 ,
5,5
(14)
а.
ОйорЬ
у 220а] +1000^22 ,
6,7
(15)
Уого„1>
О 0,05 0,1
а)
0.15
120
100
80
60
2°
—
0,05 0,1 б)
о,15 а.
(У,-
0,1
0,05
0,05 0,1 0,15 ас! В)
Рисунок 3 - Графики зависимостей оптимальных значений геометрического параметра 0р(, угла между двумя
(лг А
пеленгами У02 р и минимальной относительной погрешности
г
^ 'тт
от ошибок базы а] и пеленгации аа
Графики зависимостей оптимальных значений геометрического параметра а0в_ор1, а0]ор1, угла между двумя пеленгами У0яр,Уо]р и минимальных относительных погрешностей
(гг \
К К J ■
V У тт
(гг \
К ] 1тт
от ошибок базы и пеленгации приведены на рисунках 4 и 5 соответственно.
0 0,05 0,1 0,15 (Ту
а)
0 0,05 0,1 0,15 (7 б)
0.05 0,1 0,15 В)
Рисунок 4 - Графики зависимостей оптимальных значений геометрического параметра а0яорь, угла между двумя
а ^
пеленгами Т0Яор( и минимальной относительной погрешности
Я
^ 'тт
от ошибок базы а] и пеленгации аа
1
1
а,
Мор!
0,35 0,3 0,25 0,2 0,15
\\
\
-0,5°
0 0,05 0,1 0,15 Ол
а)
7(у и/11-140130 -120 -110. 100-
а4 II \<?
0 0,05 0,1 0,15 а(] б)
0,05 0,04 0,03 0,02 0,01
о
СГ„-3°
2°
Г
0,5°
0,05 0,1 0,15 ас/ В)
Рисунок 5 - Графики зависимостей оптимальных значений геометрического параметра аой0рг, угла между двумя
С ^
пеленгами /ойорг и минимальной относительной погрешности
й
^ 'тт
от ошибок базы с и пеленгации са
Три полученных оптимальных решения в виде оптимальной «геометрии»
сг сг
триангуляционного треугольника минимизируют относительные погрешности МО ИИ —-, —-
X Я
с
и . Сравним эти решения по абсолютной погрешности с^ МО источника излучения, расположенного на произвольном удалении X от линии базы. Для этого выразим минимальную
абсолютную погрешность сг т1п через минимальные относительные погрешности
Ггт \
К К J
V Утт
Ггт \
к й J ■
V у тт
, используя соотношения (7), (9):
(гг \
к X J
V У тт
с
Го X тт
С ^
_Го
к X J
V Утт
■ X
(16)
с
г0 Ятт
с ^
_Го
к Я J
V Утт
(гг \
\0,5
■ Я =
к Я J
V Утт
1 + -
4а;
■ 7.
ОКорг J
(17)
сГо й тт
С ^
_Го
к й J
V Утт
(гт \
■ й =
к й J
V Утт
'аойорг
■ X .
(18)
На основании соотношений (16)-(18) получим выражения для отношений минимальных абсолютных погрешностей:
СГо Ятт сго X тт
С ^
_Г1
к Я J
V Утт
Г Сг ^
_Г1
к X J
V Утт
\0,5
1 + -
4а,
оЯорг
(19)
fCTr r0
CTг d min d
CTГ Z min fCTr0
Z
V
(20)
fCTr r0
CTr0 d min Vd
CT0 Rmin fCTr r0
R V
-0,5
" a0d opt
1 + -
4a,
(21)
0 Ropt J
Отношения (19)—(21) зависят от ошибок базы и пеленгации. На рисунке 6 приведены графики этих зависимостей.
(J.-R
ОгА
О r d г,
"0 0,05 0,1 0,15 (Jd
а)
б)
«ff«"3'
О 0,05 0,1 0,15 Od В)
Рисунок 6 - Графики зависимостей отношений минимальных абсолютных погрешностей МО ИИ
CT
Г0 R min Стго Z min
CTr0 dmin СТГ dmin _ —--и —-- от ошибок базы CTd и пеленгации ста
Го Z min °Vo R min
Из приведенных на рисунке 6 зависимостей видно, что при точном знании базы отношения минимальных абсолютных погрешностей МО ИИ не зависят от ошибок пеленгации и составляют
^г0Ятт .. ъъп (тт .. . л _ ^г0(тт .. ___ г,-.
—-«1,087, —-«1,415, —-« 1,299, что совпадает с полученными в [8, 9]
CT
CT
CT
результатами. При ненулевых ошибках базы возникает зависимость этих отношений и от ошибок пеленгации, причем влияние ошибок базы и пеленгации противоположно: рост ошибок базы
вызывает некоторое увеличение отношения
CT го Z min
(рисунок 6а) и уменьшает отношения
CT Го d min CT Го d min
CT
CT
(рисунки 6б, 6в). Рост ошибок пеленгации уменьшает отношение
CT Го R min
CT ^ 7 мни
, , ч CTг0 dmin CTг0 dmin , , ч
(рисунок 6а) и увеличивает отношения —0-, —0- (рисунки 6б, 6в).
CTГ0 Z min CTГ R min
Таким образом, ошибки базы вызывают небольшое увеличение преимущества «геометрии»
CT
системы местоопределения, полученной путем минимизации относительной погрешности
Г0 Z
перед «геометриеи» системы местоопределения, полученной путем минимизации относительном °г
погрешности , по показателю «отношение минимальных абсолютных погрешностей МО ИИ
Го Я тт
СТг0 X тт
» с 1,087 до 1,09. ..1,104 при ошибках базы <гс] = 0..Д2 и пеленгации аа = 0,5°...3°.
Преимущество «геометрий» системы местоопределения, полученных путем минимизации
относительных погрешностей —-,—-, перед «геометриеи» системы местоопределения,
X Я
" "Го
полученной путем минимизации относительной погрешности —-, сохраняется, но при этом
й
уменьшается по показателю «отношение минимальных абсолютных погрешностей МО ИИ °ГГойтЫ йт-» с 1,4 до 1,15...1,27 и с 1,29 до 1,04...1,16 при ошибках базы ай = 0...0,2 и
пеленгации аа=0,5...3 .
Оценим отношение оптимальных баз, полученных для трех «оптимальных» геометрий триангуляционного треугольника. Из определения геометрического параметра а следует
а.
X
о1орг
а.
X
о Яорг
а.
X
ой орг
l0Xopг ио Яорг ыойорг
Из соотношений (22) получим выражения для отношений оптимальных баз:
йоЯорг _аоXopг
йо Xopг ао Яорг
йойорг _ ао Xopг
йо Xopг аойорг
йо йорг _ аоЯорг
йо Яорг аойорг
(22)
(23)
(24)
(25)
Графики зависимостей (23)-(25) от ошибок базы и пеленгации приведены на рисунке 7. Из приведенных на рисунке 7 зависимостей видно, что при точном знании базы отношения
оптимальных баз не зависят от ошибок пеленгации и составляют °Яор1 х 1,414, = 2,
й.
0Xopг
ё.
0Xopг
й.
ой орг
й.
' 1,414, что совпадает с полученными в [8, 9] результатами. При ненулевых ошибках базы
оЯорг
возникает зависимость этих отношений и от ошибок пеленгации, причем влияние ошибок базы и пеленгации противоположно: рост ошибок базы уменьшает их, а рост ошибок пеленгации увеличивает.
"ИД ор!
а.
№ ор!
1.4 1,35 1,3 1,25
=3°
"(М ор!
"1М ор I
"о 0,05 0,1 0,15 О^
а)
0 0,05 0,1 0,15 О^ б)
0 0,05 0,1 0,15 В)
Рисунок 7 - Графики зависимостей отношений оптимальных баз
от ошибок базы <Г( и пеленгации с2
(0Яорг (0(орг (Ыорг (07 орь (01орг (0Яорг
Таким образом, ошибки базы сохраняют преимущество «геометрии» системы
" " г0 местоопределения, полученной путем минимизации относительной погрешности , перед
«геометрией» системы местоопределения, полученной путем минимизации относительных с с
погрешностей —-, —-, по показателю «отношение оптимальных баз», но при этом уменьшают Я (
его с 1,41 до 1,27...1,32, с 2 до 1,32...1,58 и с 1,41 до 1,05...1,2 при ошибках базы = 0...0,2 и
пеленгации аа = 0,5°...3°.
Сравнительный анализ точностных характеристик и оптимальной геометрической конфигурации триангуляционной системы при решении задачи местоопределения ИИ с учетом ошибок измерительной базы в системах координат 0x1 и Оoxoz. Точностные характеристики триангуляционного МО ИИ в условиях ошибок базы при решении задачи в системе координат с началом, совмещенным с одной из позиций пеленгации, рассмотрены в [9], где были получены следующие выражения для абсолютной средней квадратичной погрешности МО сг и для средней квадратичной погрешности МО, нормированной к дальности до ИИ по
С г тттт а г
линии траверза —-, к наклонной дальности от позиции пеленгации до ИИ —- и к значению
7
Я
С
измерительной базы —г
С =
(Ясс а ) 2 + (ЯСа ) 2
sin2 у
(26)
= а2 I 1 + —
4 а2
И+2а 2 [1+45
ч2
С = аИС + 2а2 !+^
(27)
(28)
^ 1 = а4 11 + ■
1
4 а
2 И + 2а4 11 + ) С2а .
4 а
(29)
Выражение (26) является общим, справедливым для произвольной «геометрии», а выражения (27)-(29) выполняются для симметричного случая и равноточной пеленгации. На основании соотношений (6) и (26) получим
т? 2 Т? 2 2 2 , Я1 - Я0 2 аг = аг л----а а.
г ГЭ ё2
(30)
2 2 «
В симметричном случае Я1 = Я, Я - Я0 = —, и выражение (30) преобразуется к виду
2
2 2 , а
аг =аг л--
г гэ л
(31)
На основании соотношений (10)—(12) и (27)-(29) получим:
<2 Г „ V =2
Ч
V г у
(32)
Я
\2 Га \ >0
V Я у
а2 _2 2 а
1 + 4а
(33)
а
2 ал
V а у
2-2 а аа
4
(34)
Вторые слагаемые в выражениях (31)—(34) содержат в качестве сомножителя ошибку базы
а2 или аё и являются положительными, из чего следуют выводы, что ошибки базы приводят к
появлению зависимости точности местоопределения ИИ от выбора системы координат и что решение задачи в системе координат с началом, совмещенным с серединой базы, обеспечивает более высокую точность, чем в системе координат с началом, совмещенным с одной из позиций пеленгации. Эти выводы иллюстрируются рисунком 8.
гг..
(У,
о,
г ' г 0,2 0,1 0-,=0,2 У / / / / / / / / Я ' Я 0,2 0,1 О^ 0,2 У У / / У / У / У / /
V - - У / у / 0,05^ / У / / / У / У / У / 0,1^5 0,05^
\lji- V / /
0,5 1
а)
1,5
0,5 1 б)
1,5
а л
0,2
0,1
аГ 0,2 /; / 0.1 // !/ //
// / / /7 ' / 'у // // // /41.0^/ л' ¿У лУ
1 / \ У У V ' / 'У / V ' // ^
0,5
1,5
в)
Рисунок 8 - Графики зависимостей относительных погрешностей
Тг агэ
ГЭ аг а аг
'г
г ' i ' я ' я ' а ' а
геометрического параметра а и ошибок базы при ошибке пеленгации аа = 1°
от
а
г,
Э
На рисунке 8 приведены зависимости относительных погрешностей МО ИИ в двух системах координат от геометрического параметра а при различных значениях ошибки базы
и ошибке пеленгации сга =1°. Штриховыми линиями представлены зависимости относительных
погрешностей МО ИИ в системе координат Оxz, сплошными линиями - в системе координат
О 0X02.
Рассмотрим, как влияет выбор системы координат на оптимальную «геометрию» триангуляционной системы, определяемую оптимальными значениями геометрического параметра а .
Минимальные относительные погрешности
и
(аг ^ _г
V 7 J ■
V Ушт
имеют место при
одинаковой оптимальной «геометрии», однозначно определяемой выражением (13) для параметра а^^ = а^^. Это выражение с достаточной для практических расчетов точностью
может быть аппроксимировано эмпирической формулой
а.
(Морг = а7орг
2,9а2 + 5,7а2 )
(35)
которая аналогична формулам (14), (15).
На рисунке 9 приведены графики зависимостей минимальных относительных
погрешностей I (штриховые линии) и
пеленгации.
Гаг ^ _г_0
V 7 J ■
V Ушт
(сплошные линии) от ошибок базы и
О,.
О,
0,15
0,1
0,05
0,5° - - -
0,05
0,15
ГУ,
Рисунок 9 - Графики зависимостей минимальных относительных погрешностей \
от ошибок базы и пеленгации аа
(а ^
7
^ 'ш т
Из приведенных на рисунке 9 зависимостей видно, что при нулевых ошибках базы минимальные значения относительных погрешностей равны, то есть не зависят от выбора системы координат. С ростом ошибок базы относительные погрешности тоже растут и растет их
разность. При этом погрешность
(гг \
V 7 ■
V Ушт
меньше погрешности
а в силу равенства
1
и
Э1
и
оптимальных геометрических параметров = агср{ для них выполняется соотношение (32)
5 \
_Го
V Z Jmin
5]
(36)
Оптимальная «геометрия» получения минимальной относительной погрешности определяется оптимальным значением геометрического параметра аКор1, равным [9]
a
Ropt
85] + 16а2 )
(37)
irr Л
а минимальная относительная погрешность
V R j
V у min
обеспечивается при другой оптимальной
«геометрии», определяемой оптимальным значением геометрического параметра aoRopt в соответствии с выражением (14).
Оптимальная «геометрия» получения минимальной относительной погрешности I — I
V d Jmin
определяется оптимальным значением геометрического параметра adopt, равным [9]
а.
dopt
275] + 100а2 j
4,5
(38)
(гт \
а минимальная относительная погрешность
V d j V у min
обеспечивается при другой оптимальной
«геометрии», определяемой оптимальным значением геометрического параметра %]орг
в соответствии с выражением (15).
Сопоставив выражения (14), (15), (35), (37), (38), определяющие оптимальные значения геометрического параметра для шести рассмотренных случаев (три типа относительных погрешностей для каждой из двух систем координат), получим обобщенную функциональную зависимость оптимального геометрического параметра от ошибок базы и пеленгации следующего вида
aopt ~
V ааd + bai j
c
(39)
где А, В, С - коэффициенты аппроксимации, значения которых приведены в таблице 1.
Формула (39) справедлива для диапазонов значений относительной ошибки базы
5^ =0...0,3 и ошибки пеленгации сга =0°...3°.
1
1
1
Таблица 1 - Значения коэффициентов аппроксимации A, B, C
Коэффициенты аппро ксимации Геометрический параметр aopt
aZopt aRopt adopt a0Zopt a0Ropt a0dopt
A 2,9 8 27 2,9 21,4 220
B 5,7 16 100 5,7 44,6 1000
C 5 4 4,5 5 5,5 6,7
Ошибка аппроксимации, % не более 2,4 0 не более 2,6 не более 2,4 не более 2,1 не более 1,7
Графики зависимостей оптимальных значений геометрического параметра a
■Ropt, a0Ropt,
угла между двумя пеленгами YRopt ,Y0Ropt и минимальных относительных погрешностей
r
R
(гт \
v R j
V у mm
от ошибок базы и пеленгации приведены на рисунке 10. Аналогичные графики
зависимостей
>a0dopt, Yd opt, Y0d opt, I dr
_ro
v Jmin
приведены на рисунке 11.
Штриховыми линиями на рисунках 10 и 11 представлены зависимости в системе координат Оxz, сплошными линиями - в системе координат Осхсг.
"он «¡11'
аК dpi
0,5 0.4 0,3 0,2 0,1
ч \Ч ~ - ..... <7„=3°
jV - ■ -. _
N N i-
¡1.5 " ------
0 0,05 0,1 0.15 (Td
а)
У Off иргУ R opt
140
120
100 80
<7„=0,5° ------
1°: ,-
з °i/
0,05 0,1 0,15 б)
0,1 0,08 0,06 0.04
0,02
0
я„-г -
L—•
----- " -----
0,05 0,1 0.15 ad В)
Рисунок 10 - Графики зависимостей оптимальных значений геометрического параметра , , угла
между двумя пеленгами у^р, 70ROpt и минимальных относительных погрешностей
от ошибок базы и пеленгации аа
R
R
^ smin
"Del op! acl Dpi
0,3
0,2
0,1
<т„=з°
\
Ч 0,5°" • ~ "" - - - _
0 0,05 0,1 0,15 (Td
a)
lad opt
Ус/ op/
150 140 130 120 110 100
_____
У _
/у
г „ - —-
3' .
0 0,05 0,1 0,15 ad 6)
mm v 'mm
0,04
0.02
_ _.. -
----
-----
0.5". _
0,05 0,1 0,15 (Jd B)
Рисунок 11 - Графики зависимостей оптимальных значений геометрического параметра , , угла
между двумя пеленгами Yd opt, Y0dopt и минимальных относительных погрешностей
от ошибок базы <Jd и пеленгации аа
d
ro
d
min
Из приведенных на рисунках 10, 11 зависимостей видно, что при нулевых ошибках базы оптимальная «геометрия» (рисунки 10а, 10б, 11а, 11б) не зависит от выбора системы координат и от ошибок пеленгации. С появлением ошибок базы возникает зависимость оптимальной «геометрии» как от выбора системы координат, так и от ошибок пеленгации. При этом оптимальные значения углов между двумя пеленгами увеличиваются с ростом ошибок базы, а также при использовании системы координат с началом, совмещенным с одной из позиций пеленгации, и уменьшаются с ростом ошибок пеленгации.
Появление ошибок базы также вызывает зависимость минимальных значений относительных погрешностей от выбора системы координат (рисунки 10в, 11в). С ростом ошибок базы относительные погрешности тоже растут и растет их разность. При этом погрешности
О ^
Г0
R
о ^ Г0
d
всегда меньше соответствующих погрешностей
R J ' 1 d J (РисУнки
уmin у у min
10в, 11в). Следует отметить, что для этих погрешностей в силу неравенства соответствующих оптимальных геометрических параметров (а(
ORopt * aRopt:
a0dopt * adopt ) соотношения (33), (34)
не выполняются.
Сравним полученные оптимальные решения для двух систем координат по абсолютной средней квадратичной погрешности МО источника излучения, расположенного на произвольном удалении 2 от линии базы. Результаты сравнения точности МО ИИ в системах координат 0x2 и О0Х02 в виде отношений минимальных абсолютных средних квадратичных погрешностей МО
^г7тт ^гЕтт ^rdmin „ ,ч пч -,-,-, полученных с использованием соотношений (16)-(18)
Го Zmin и Г0 Rmin
Го dmin
для погрешностей в системе координат О0Х02 и аналогичных соотношений для погрешностей в системе координат 0x2, приведенных в [9], представлены на рисунке 12. Из приведенных графических зависимостей видно преимущество триангуляционного МО ИИ в системе координат О0Х02, обеспечивающего выигрыш по точности, который при ошибках
базы 0,1. ..0,2 и ошибках пеленгации 0,5°... 3° составляет от 1,09...1,6 раза до 1,22...1,95 раза (рисунок 12а) и от 1,13.1,8 раза до 1,3.2,25 раза (рисунки 12б и 12в).
О 0,05 0,1 0,15 ad
а)
О 0,05 0,1 0.15 üd б)
О 0,05 0,1 0.15 ad В)
Рисунок 12 - Графики зависимостей отношений минимальных абсолютных погрешностей МО ИИ
°rRmin °rdmin _ _ _ - и- от ошибок базы о] и пеленгации оа
°Го R min оГо d min
0rZr
7 Го Z min
Оценим отношение оптимальных баз, полученных для трех «оптимальных» геометрий триангуляционного треугольника в системах координат 0x2 и О0Х02. Используя соотношения (22) для оптимальных значений геометрического параметра в системе координат О0Х02 и приведенные
в [9] аналогичные соотношения для оптимальных значений геометрического параметра в системе координат 0x2, получим выражения для отношений оптимальных баз:
d
Zopt a0Zopt
d
= 1.
OZopt aZopt
(40)
d
Ropt
a.
ORopt
d.
0 Ropt aRopt ddopt a0d opt
d0d opt ad opt
(41)
(42)
Результат (40) является следствием совпадения «оптимальных» геометрий, необходимых
ar а
" '0 r Т->
для минимизации относительных погрешностей и . В этом случае применение системы
координат Ooxoz не дает выигрыша по сравнению с системой координат Oxz в смысле минимизации оптимальной измерительной базы.
На рисунке 13 приведены графики зависимостей (41), (42) от ошибок базы и пеленгации, из которых следует, что применение системы координат Ooxoz дает преимущество по сравнению с системой координат Oxz в смысле минимума оптимальной измерительной базы в случае использования «оптимальных» геометрий, необходимых для минимизации относительных
<Jr <Jr (J (J о о
погрешностей , и —. При ошибках базы 0,1...0,2 и ошибках пеленгации 0,5 ...3
выигрыш по значению минимальной оптимальной измерительной базы может составлять от 1,08.1,35 раза до 1,16.1,48 раза (рисунок 13а) и от 1,06.1,33 раза до 1,14.1,47 раза (рисунок 13б).
"R opt
ll0R opt 1.4
1,3
1,2
1,1
I
<7, =0,5^,
/
<.....-........" 5
0,05 0,1
а)
0,15
"</ opl
и(М opt
1.4
1,3 1,2 1,1 1
<7„-0,5°
/ 2°
/
/А.
0,05
0,1
0,15
б)
Рисунок 13 - Графики зависимостей отношений оптимальных баз —и —от ошибок базыс ^
d0Ropt d0R opt
и пеленгации а
а
В [9] показано, что в системе координат 0x2 (начало совмещено с одной из позиций пеленгации) наименьшая абсолютная погрешность сгт1П соответствует оптимальному решению,
минимизирующему погрешность, нормированную к дальности до ИИ по линии траверза
= min а
r Zmin> r Rmin' r dmin
in |
= а
r Zmin
(40)
В системе координат 0охо2 (начало совмещено с серединой измерительной базы) наименьшая абсолютная погрешность (тг тп также соответствует оптимальному решению,
минимизирующему погрешность, нормированную к дальности до ИИ по линии траверза (выражения (19)—(21) и рисунок 6)
= тт
^ 2тт, Ятт, стт |
2тт ■
(41)
2
Умножив обе части соотношения (36) на 2 и преобразовав его с учетом соотношения (16)
2
для <?г 2тт, аналогичного соотношения для оГ2т1П [9] и ол =, получим
2
2 °(] = а ■ +-
п иии 1
'о'
4
(42)
Введем обозначение &мОтт для минимальной абсолютной средней квадратичной погрешности МО источника излучения в системах координат 0x2 и Оох02 и с учетом (40)-(42)
запишем
ип
^МОтт тш \&гтт,^г0ттJ
= а
г0 Zmin '
(43)
Таким образом, использование системы координат с началом в середине измерительной базы и оптимальной «геометрии» триангуляционного треугольника, минимизирующей
°г
относительную погрешность , обеспечивает получение наилучшего по минимуму
абсолютной средней квадратичной погрешности МО результата при сохранении минимального размера оптимальной измерительной базы.
Выводы. Рассмотрена задача триангуляционного местоопределения источника излучения на плоскости при его двукратной равноточной пеленгации в системе координат с началом в середине измерительной базы, известной с ошибками. Получены формулы для средней квадратичной погрешности местоопределения, как для абсолютного значения, так и для значений, нормированных к дальности до источника излучения по линии траверза, к наклонной дальности до источника излучения от пункта пеленгации и к измерительной базе, в зависимости от геометрических параметров триангуляционного треугольника, ошибок базы и пеленгации.
В результате решения оптимизационных задач получены аналитические выражения для геометрических параметров, минимизирующих относительные погрешности местоопределения при заданных ошибках базы и пеленгации. Показано, что ошибки базы не только непосредственно приводят к росту погрешностей местоопределения, но и влияют на них опосредованно, усиливая зависимость от ошибок пеленгации и вызывая зависимость от выбора системы координат.
Оптимальная «геометрия», полученная в результате минимизации средней квадратичной погрешности местоопределения, нормированной к дальности до источника излучения по линии траверза, является наилучшей и при относительной ошибке базы 0,2, ошибках пеленгации 0,5°...3° обеспечивает выигрыш по абсолютной погрешности местоопределения не менее чем в 1,1.1,27 раза, а по размеру оптимальной базы - в 1,27.1,32 раза.
Выявлено, что закономерности поведения погрешностей местоопределения и оптимальной геометрической конфигурации триангуляционного треугольника в зависимости от ошибок базы
и пеленгации в системах координат с началом в одной из позиции пеленгации и с началом в середине измерительной базы качественно аналогичны, но отличаются количественно. При этом решение задачи местоопределения в системе координат с началом в середине базы обеспечивает более высокую точность, чем в системе координат с началом в одной из позиций пеленгации. При ошибках базы 0,1...0,2 и ошибках пеленгации 0,5°...3° выигрыш по абсолютной погрешности местоопределения составляет от 1,09.1,6 раза до 1,22.1,95 раза при использовании наилучшей геометрической конфигурации системы местоопределения, которая выбирается из условия минимума погрешности местоопределения, нормированной к дальности до источника излучения по линии траверза.
Таким образом, в условиях действия ошибок измерительной базы предпочтительным для практического применения является использование системы координат с началом в середине измерительной базы и оптимальной «геометрии» триангуляционного треугольника, минимизирующей погрешность местоопределения, нормированную к дальности до источника излучения по линии траверза. В этом случае триангуляционная система обеспечивает наилучший по минимуму абсолютной средней квадратичной погрешности местоопределения результат при минимальной измерительной базе.
Использование полученных результатов предполагает возможность формирования симметричной геометрической конфигурации триангуляционной системы в ходе решения той или иной практической задачи. Но в ряде случаев это невозможно в силу пространственных и временных ограничений, например, когда одна из позиций пеленгации должна располагаться значительно ближе к источнику излучения, чем другая. В дальнейшем предполагается исследовать такие случаи существенно несимметричных схем и разработать практические рекомендации по обеспечению требуемых точностных характеристик.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мельников Ю.П., Попов С.В. Радиотехническая разведка. Методы оценки эффективности местоопределения источников излучения. М.: Радиотехника, 2008. 432 с.
2. Меркулов В.И., Чернов В.С. Анализ методов наведения двухпозиционных пассивных систем воздушного базирования на источники радиоизлучения // Успехи современной радиоэлектроники. 2013. № 7. С. 26-40.
3. Михайленко С.Б., Замыслов М.А., Мальцев А.М., Штанькова Н.В. Повышение эффективности противорадиолокационных ракет при их применении по информации от двухпозиционной пассивной радиолокационной системы, размещаемой на беспилотных летательных аппаратах // Воздушно-космические силы. Теория и практика. 2019. № 10. С. 92-105. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.vva.mil.ru/Izdaniay/VKS-teoriya-i-praktika (дата обращения 27.10.2024).
4. Кондратьев А.Г., Котов А.Ф., Марков Л.Н. Многопозиционные радиотехнические системы. М.: Радио и связь, 1986. 264 с.
5. Теоретические основы радиолокации / Под ред. ЯД. Ширмана. М.: Советское радио, 1970. 560 с.
6. Защита радиолокационных систем от помех. Состояние и тенденции развития / Под ред. А.И. Канащенкова, В.И. Меркулова. М.: Радиотехника, 2003. 416 с.
7. Дрогалин В.В., Ефимов В.А., Канащенков А.И. и др. Способы оценивания точности определения местоположения источников радиоизлучения пассивной угломерной двухпозиционной бортовой радиолокационной системой // Успехи современной радиоэлектроники. 2003. № 5. С. 22-39.
8. Михайленко С.Б., Замыслов М.А., Мальцев А.М., Штанькова Н.В. Погрешности местоопределения источника излучения при двукратной равноточной пеленгации // Воздушно-
g' и
космические силы. Теория и практика. 2024. № 30. С. 33-45. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.vva.mil.ru/Izdaniay/VKS-teoriya-i-praktika (дата обращения 12.10.2024).
9. Михайленко С.Б., Замыслов М.А., Мальцев А.М., Штанькова Н.В. Влияние ошибок измерительной базы на точность местоопределения источника излучения при его двукратной пеленгации // Воздушно-космические силы. Теория и практика. 2024. № 31. С. 29-48. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.vva.mil.ru/Izdaniay/VKS-teoriya-i-praktika (дата обращения 11.10.2024).
10. Уфаев В.А. Способы определения местоположения и пространственной идентификации источников радиоизлучений: Монография. Воронеж: ВУНЦ ВВС «ВВА», 2017. 431 с.
11. Кирсанов Э.А., Фомин А.Н. Потенциальная точность оценивания координат источника радиоизлучения в многопозиционных радиосистемах с учетом ошибок определения местоположения приемных пунктов // Радиотехника. 2015. № 12. С. 13-18.
12. Меркулов В.И., Лепин В.Н. Авиационные системы радиоуправления. В двух частях. М.: Радио и связь, 1996. 184 с.
13. Радзиевский В.Г., Сирота А.А. Информационное обеспечение радиоэлектронных систем в условиях конфликта. М.: ИПРЖР, 2001. 456 с.
14. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1980. 976 с.
REFERENCES
1.Mel'nikov Yu.P., Popov S.V. Radiotehnicheskaya razvedka. Metody ocenki ' effektivnosti mestoopredeleniya istochnikov izlucheniya. M.: Radiotehnika, 2008. 432 p.
2. Merkulov V.I., Chernov V.S. Analiz metodov navedeniya dvuhpozicionnyh passivnyh sistem vozdushnogo bazirovaniya na istochniki radioizlucheniya // Uspehi sovremennoj radio'el ektroniki. 2013. № 7. pp. 26-40.
3. Mihajlenko S.B., Zamyslov M.A., Mal'cev A.M., Shtan'kova N.V. Povyshenie 'effektivnosti protivoradiolokacionnyh raket pri ih primenenii po informacii ot dvuhpozicionnoj passivnoj radiolokacionnoj sistemy, razmeschaemoj na bespilotnyh letatel'nyh apparatah // Vozdushno-kosmicheskie sily. Teoriya i praktika. 2019. № 10. pp. 92-105. ['Elektronnyj resurs]. Rezhim dostupa: http://www.vva.mil.ru/Izdaniay/VKS-teoriya-i-praktika (data obrascheniya 27.10.2024).
4. Kondrat'ev A.G., Kotov A.F., Markov L.N. Mnogopozicionnye radiotehnicheskie sistemy. M.: Radio i svyaz', 1986. 264 p.
5. Teoreticheskie osnovy radiolokacii / Pod red. Ya.D. Shirmana. M.: Sovetskoe radio, 1970. 560 p.
6. Zaschita radiolokacionnyh sistem ot pomeh. Sostoyanie i tendencii razvitiya / Pod red. A.I. Kanaschenkova, V.I. Merkulova. M.: Radiotehnika, 2003. 416 p.
7. Drogalin V.V., Efimov V.A., Kanaschenkov A.I. i dr. Sposoby ocenivaniya tochnosti opredeleniya mestopolozheniya istochnikov radioizlucheniya passivnoj uglomernoj dvuhpozicionnoj bortovoj radiolokacionnoj sistemoj // Uspehi sovremennoj radio'elektroniki. 2003. № 5. pp. 22-39.
8. Mihajlenko S.B., Zamyslov M.A., Mal'cev A.M., Shtan'kova N.V. Pogreshnosti mestoopredeleniya istochnika izlucheniya pri dvukratnoj ravnotochnoj pelengacii // Vozdushno-kosmicheskie sily. Teoriya i praktika. 2024. № 30. pp. 33-45. ['Elektronnyj resurs]. Rezhim dostupa: http://www.vva.mil.ru/Izdaniay/VKS-teoriya-i-praktika (data obrascheniya 12.10.2024).
9. Mihajlenko S.B., Zamyslov M.A., Mal'cev A.M., Shtan'kova N.V. Vliyanie oshibok izmeritel'noj bazy na tochnost' mestoopredeleniya istochnika izlucheniya pri ego dvukratnoj pelengacii // Vozdushno-kosmicheskie sily. Teoriya i praktika. 2024. № 31. pp. 29-48. ['Elektronnyj resurs]. Rezhim dostupa: http://www.vva.mil.ru/Izdaniay/VKS-teoriya-i-praktika (data obrascheniya 11.10.2024).
10. Ufaev V.A. Sposoby opredeleniya mestopolozheniya i prostranstvennoj identifikacii istochnikov radioizluchenij: Monografiya. Voronezh: VUNC VVS «VVA», 2017. 431 p.
11. Kirsanov 'E.A., Fomin A.N. Potencial'naya tochnost' ocenivaniya koordinat istochnika radioizlucheniya v mnogopozicionnyh radiosistemah s uchetom oshibok opredeleniya mestopolozheniya priemnyh punktov // Radiotehnika. 2015. № 12. pp. 13-18.
12. Merkulov V.I., Lepin V.N. Aviacionnye sistemy radioupravleniya. V dvuh chastyah. M.: Radio i svyaz', 1996. 184 p.
13. Radzievskij V.G., Sirota A.A. Informacionnoe obespechenie radio'elektronnyh sistem v usloviyah konflikta. M.: IPRZhR, 2001. 456 p.
14. Bronshtejn I.N., Semendyaev K.A. Spravochnik po matematike dlya inzhenerov i uchaschihsya vtuzov. M.: Nauka, 1980. 976 p.
© Михайленко С.Б., Замыслов М.А., Мальцев А.М., Штанькова Н.В., 2024
Михайленко Сергей Борисович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, ведущий научный сотрудник научно-исследовательского центра (проблем применения, обеспечения и управления авиацией Военно-воздушных сил), Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54А, [email protected].
Замыслов Михаил Александрович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, старший научный сотрудник научно-исследовательского центра (проблем применения, обеспечения и управления авиацией Военно-воздушных сил), Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54А, [email protected].
Мальцев Александр Михайлович, кандидат технических наук, доцент, старший научный сотрудник научно -исследовательского центра (проблем применения, обеспечения и управления авиацией Военно-воздушных сил), Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54А, [email protected].
Штанькова Надежда Викторовна, научный сотрудник научно-исследовательского центра (проблем применения, обеспечения и управления авиацией Военно-воздушных сил), Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54А, [email protected].
UDC 621.396
GRNTI 78.25.13
DEPENDENCE OF THE ACCURACY OF THE TRIANGULATION LOCATION OF
THE RADIATION SOURCE ON THE CHOICE OF THE COORDINATE SYSTEM IN
CASE OF ERRORS IN THE MEASURING BASE
S.B. MIKHAYLENKO, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor
MERC AF «AFA» (Voronezh)
M.A. ZAMYSLOV, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor
MERC AF «AFA» (Voronezh)
A.M. MALTSEV, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor
MERC AF «AFA» (Voronezh)
N.V. SHTANKOVA
MERC AF «AFA» (Voronezh)
The problem of triangulation location of a radiation source on a plane with its two-fold equivalent direction finding in a coordinate system with the beginning in the middle of the measuring base, known with errors, is considered. Formulas for location errors depending on the geometric parameter, base and direction finding errors, as well as formulas for optimal geometric parameters that ensure minimum location errors for given base and direction finding errors are obtained. The regularities of the influence of base errors and direction finding on the accuracy of location and on the optimal geometric parameters of the triangulation triangle are revealed. A comparative assessment of the revealed patterns with the patterns of triangulation location of the radiation source in the coordinate system with the origin in one of the direction finding positions is carried out. The choice of the coordinate system and the geometric configuration of the positioning system is justified, ensuring maximum accuracy under the conditions of errors in the measuring base and direction finding.
Keywords: two-fold equivalent direction finding, radiation source, measurement base errors, standard errors in determining the coordinates of the radiation source, average quadratic error in locating the radiation source, triangulation method of locating the radiation source, optimal geometric configuration of the location system.
