Расчет статистических характеристик оценки координат точки на поверхности Земли, получаемой при однокоординатной пеленгации с борта летательного аппарата Текст научной статьи по специальности «Физика»

Раздел 6. Инженерная экология и смежные вопросы

Расчет статистических характеристик оценки координат точки на поверхности Земли, получаемой при однокоординатной пеленгации с борта

летательного аппарата

к.т.н. Блохина В.Ф. Университет машиностроения 8(499)308-35-98,

Аннотация: В работе найдены аналитические соотношения для расчета в линейном приближении по ошибкам измерения оценки географических координат и корреляционной матрицы точки на поверхности Земли по данным однокоорди-натных пеленгов. Предложен алгоритм рекуррентного уточнения координат в процессе получения новых измерений.

Ключевые слова: источники излучения, местоопределение, статистические характеристики.

Рассматривается процесс местоопределения источника излучения (ИИ) при измерениях с борта летательного аппарата (ЛА) косинуса угла между направлением на ИИ и продольной осью ЛА, которую будем считать совпадающей с вектором скорости. Исходные данные для решения задачи:

• гринвичские декартовы координаты ЛА и вектора скорости в гринвичской системе координат для моментов времени этих измерений - Rx,R^,v1, v^, ошибки их измерения считаем пренебрежимо малыми;

• два измеренных пеленга сх = cos( //,),с, = cos{fU), ошибки измерения которых считаем

2

независимыми, распределенными по нормальному закону с одинаковыми дисперсиями а и нулевым математическим ожиданием (fix,fu - углы между направлением на излучающую точку А на поверхности Земли и векторами vl5v2 ),

• признак борта (слева или справа от трассы находится ИИ).

Определяем на поверхности Земли точку ^'пересечения конусов с вершинами осями Vj,v2 и углами раскрыва fix,fix.

Схематично процесс измерений представлен на рисунке 1.

Точка А' представляет собой точку пересечения двух кривых L\ и Л2, каждая из которых есть линия пересечения конусов с вершинами в точках В1ИВ2- концах векторов ося-

ми Vj,V2 и углами раскрыва //,, //\ с поверхностью Земли, для данной задачи аппроксимируемой местным референц-эллипсоидом[1].

Рисунок 1

Система уравнений для определения трех декартовых координат г1, г2, гъ точки А ' со-242 Известия МГТУ «МАМИ» №2(14), 2012, т. 4

держит три уравнения второго порядка с тремя неизвестными.

Так как любая точка на эллипсоиде с полуосями а и Ь может быть определена двумя сферическими координатами (фД), связанными с декартовыми следующими соотношения-

Г1 = С08(ф) • С08(^) • у]а2 • С082(ф) + Ь2 • 8Ш(ф) Г2 = С08(ф) • 8т(^) • у]а2 • С082(ф) + Ь2 • 8Ш(ф) ,

Г = 8Ш(ф) • д/<22 • С082(ф) + Ь2 • 8Ш(ф)

от одного уравнения можно избавиться, но система при этом станет трансцендентной.

Если найти приближенное решение этой системы, то можно искать сферические координаты ИИ (фД), используя в качестве метода для их нахождения метод максимального правдоподобия (ММП)[3].

Так как измеренные величины с15с2 имеют нормальное распределение с корреляцион-

ной матрицей

(1 0] К

и математическими ожиданиями, равными пеленгам на истинное по-

ложение ИИ из точек Rj,R, относительно векторов vl5 v-,, то

соз(ф) * cos(?i)^

Мс, =

f-R,

, р(ф) ~ а{\ - в * sin2 (ф)),

С08(ф) * sin(?i)

8Ш(ф)

где: а - большая полуось, в - сжатие эллипсоида (навигационные ошибки считаем пренебрежимо малыми по сравнению с величиной о) и уравнение правдоподобия сводится к минимизации квадратичной формы:

(q -Мсх (ф, X)f + (о, -Мсп (ф, X)f -» min

фД

или после дифференцирования к итерационному процессу:

(1)

im Л im \

Чп =

дг <3ф

дг

Ж

_ V

Ф;

(дг_ ^ 5ф'

Ф,

+Ö-1

Cj -Mq

с2 -Мс2

f

, где:

(г-Д.ч)

f-R,

f-R,

дг <3ф

f-R

,4i2 =

дг

Ж

У

f-R,

f-R,

дг

Ж'

f-R

i г* cos(2 * ф) * соз(ф) * cos(?i) - р(ф) зт(ф) * cos(^)^ 8 * cos(2 * ф) * с08(ф) * sin(?l) - р(ф) sin(9) * sin(?l)

8*С08(2*ф)*8т(ф) j

^-р(ф) С08(ф) * sin(^ р(ф) соз(ф) * cosQC)

о

(2)

Нулевое приближение для итерационного процесса может быть найдено путем решения методом Феррари уравнения 4-ой степени, к которому приводится система двух уравнений с двумя неизвестными нахождения точки пересечения двух конусов с касательной плос-

костью к поверхности Земли в точке В пересечения поверхности Земли с вектором

(х ~~ х')2 * 0Ц + 2 * (х - х') * (у - у') * Р] + Су - у')2 * У; = о ,

, где ( х , у ) и (х , у )

~ х")2 * ОЦ + 2 * (х - х") * (у - у") * Р] + (у - у")2 * У] = О компоненты векторов в локальной системе координат с центром в точке В, осью ОТ

11 (Д + Д,) / 2, осью ОХ параллельной местной параллели, ( х , у ) - искомые координаты ИИ а, = (у1-с,)2,Р, = у1 *у2,у, = (у2-с,)2, V. - компоненты скоростей, переведенные в локальную систему координат.

Из полученных 4 корней отбрасываются два с использованием признака борта, а из двух оставшихся выбирается тот, который соответствует точке, ближайшей к трассе.

Полученное решение уравнения (1) - сферические координаты точки А является случайной величиной, в линейном приближении по ошибкам подчиняющейся двумерному нормальному закону с математическим ожиданием, равным истинным координатам ИИ и корреляционной матрицей, зависящей от а и взаимного расположения точек В\, В2ИА.

Для расчета корреляционной матрицы сферических координат точки А', полученной путем решения уравнения (1), введем две локальные системы координат в касательной плоскости к модели поверхности Земли, обе с центром в точке А: систему координат О с осями

, касательными к местному меридиану и параллели, и систему координат О' с осями

йрй2, являющимися проекциями на касательную плоскость нормалей к конусам.

Введем также систему координат О" в трехмерном пространстве с центром в центре масс Земли и осями е1зе2 еъ = Д, / Д, , где: К.0 - вектор с координатами, соответствующими А.

Пусть О - матрица перехода из гринвичской системы координат в систему координат

О", 0 = (ё1гё2,ё3).

Переведем Ц,Я2,у,у2и Я,, в систему координат О".

змируем их.

йМ

Вычислим образующие конусов, проходящие через точку А, и нор

"Л, ^2=^0-^2, = ^/Ц^ЦД = _

Конусы представляют собой геометрическое место точек, получающихся вращением прямых, проходящих через точки В1 и В2, коллинеарных образующим^ и ¿1-,, вокруг векторов соответственно. Матрицы поворота Mj вокруг векторов на угол а вычисляется по формулам[2]:

^ ач2 , 1.1. • ач2 1.1. • ач2 „ ос. з. . а 1 . з . а 2 „ а. 2* • схЛ 2(с08^) —1+2 (л^ 8111—) -2с08^ *8111— v; *(81п^) + 2с08^*у; *8111—

1 * 2*, ■ ач2 ~ а,. 3. . а а, 2 , 2*. ■ ач2 2* • ач2 ~ а. 1 . . а

Ц= +2с08^Х*8111- 2(с08^) -1+2*(у~*81п-) v; *(8111^) -2с08^*81п— (3)

у}*(8П^)2-2со8^*л^v2*(8т^)2 +2со8^*у[2(со8^)2-1+2*(л^*8т^)2

где: V. -/-ая компонента вектора 1'(, /=1,2.

Каждая точка кривых Ь1 и Ьг есть пересечение одной из образующих конусов с поверхностью Земли, поэтому точки кривых Ь] и Ь2 суть функции угла а - /1(а),/2(а), являющиеся непрерывно дифференцируемыми по а.

Производные этих функций по а суть касательные к конусам и к поверхности Земли одновременно.

Проекции векторных произведений 1"(а),Г2(а) и образующих б/, и с12 на плоскость

ех,е2 суть вектора пл,п2.

Если вектор ошибки определения координат ИИ как точки пересечения Ь1 и Ьг спроектировать на касательную плоскость ёг,ё^ и разложить ее по векторам пл,п,, получим:

5 = 5%+5% (4)

причем величины 51 и 52 некоррелированы, а их СКО равны а, умноженному на производную С1 и Сг по приращениям вдоль векторов г\,п2.

Величины 51 и 52 с точностью до малых второго порядка по сравнению с а имеют нормальное распределение, то есть в линейном приближении локальные координаты точки пересечения Ь1 и Ь2 можно считать распределенными по нормальному закону с математическим ожиданием, равным истинному значению и некоторой корреляционной матрицей.

Вычислим ее. Воспользовавшись разностными формулами вычисления производной, получим СКО ошибки местоопределения вдоль векторов }\,п2 :

8 («■К'Й.-у-,).^^

(5)

+ 77,

где: Е, - малое приращение вдоль п, (/=1,2).

Вектора й^й, также можно вычислить по разностной схеме. Для чего вычисляем точку

пересечения линий = Д + /. * М. * б/, с поверхностью Земли для матриц М, вычисленных по

формуле (3) с малыми значениями а.

Для этого находим ^ из соотношения

д*г; яг*г^ д1*/;1 щ*гг щ*г; 2

а2

сг

/,=-!-

Вычисляем я =[г г -г1 =

/ Ь о' о / J

кость, /=1,2.

+\f\n

2 ( п! А ( п2 А (т А

К

к

-1)

( 1 > 2 ( "Л 2

[а , уа J 1

(6)

п3

V У

, нормируем его и проектируем на касательную плос-

/7,,

(п\ Ц{п\)2 +{Гг,)2 +{пъ,)2Л /г,/^)2 + (/п)2+(/73,)2 • (7)

/Л / у1(п\)2 +(П21)2 +(П3О2 ^ Погрешность вычисления компонент векторов йрй2 пропорциональна а2, и, выбирая а должным образом можно сделать ее пренебрежимо малой.

Корреляционная матрица ошибок местоопределения в системе координат п17П2 равна

01

О 5

переходя в систему координат е15е2 получим корреляционную матрицу ошибок

2 У

местоопределения по сферическим долготе и широте:

•.2x2*02 , /2x2*02 ,.24..1«2

к =

' (к2)2*5;+(/у)2*52

(п^ * Щ - * Щ ) * СОБ2 ф

СОБф

п; *п\ *82 + й[2 Ч1 *52 (п\)2 *82 +(^)2 *82

СОБф

(п^ *п2 -п[ *п2)

(у у \

'11 '12

Г Г

V 12 '22 У

(8)

Большая и малая полуоси эллипса рассеяния, вычисленные по двум пеленгам координат точки А, равны соответственно^]

= л Г,

11

Г11

и О

=

п 1

Р = J^ctg

сое 2 р

вш 2 Р

22

вш 2 Р

42

эт 2р,

г22 * сое Р - г12 * эт 2р.

2 г,

(9)

12

Г11 г22

Полученные формулы позволяют оценить точностные характеристики местоопределе-ния при двукратном приеме сигналов для разнесенных в пространстве позиций ЛА.

На рисунках 2, 3, 4 приведены зависимости коэффициента усиления ошибки, то есть

отношения —от дальности г от геодезической, соединяющей проекции точек В1 и В2

на поверхность Земли до точки А при расстоянии между проекциями В1 и В2, равном 100км, и высоте точек В1 и В2 над поверхностью Земли 10км при различном расположении точки А относительно точек В1 и В2 (рисунок 2а - точка А расположена на траверзе середины между проекциями В1 и В2, рисунок 26 - траверз точки А смещен в сторону одной из проекций точек В1 и В2 на 1=50 км относительно центра\

Коэффициентусиления ошибки

-бплмпагпллулсъ

Коэффициентусиления ошибки

150 200

г[кт]

Рисунок 2

эллипса рассеяния

-1=100кт

-1=5 Огт

1=3 Окт

Зависимость доли площади на блюден № тгфэттартиИг^ог*-

15(1[кт]

Рисунок 3 Рисунок 4

На графике рисунке 3 изображена зависимость коэффициента усиления ошибки большой полуоси эллипса рассеяния от г при двух точках приема, разнесенных на 10км и различных 1=100, 50 и 30 км. На графике рисунка 4 приведена зависимость доли площади обзора с коэффициентом ~к и <к.

На рисунке 5 изображена зависимость коэффициента усиления ошибки местоопределения ИИ, расположенного на траверзе трассы для различных удалениях от трассы ЛА и для различных расстояний между положениями ЛА.

Получив двукратный прием сигналов и оценив по ним местоположение ИИ и его корреляционную матрицу, можно построить рекуррентную процедуру уточнения местоположе-

ния по каждому вновь принятому пеленгу.

Рисунок 5

Исходные данные для этой задачи включают: гринвичские декартовы координаты ЛА и вектор скорости для момента времени вновь произведенного измерения ;

измеренный пеленг с = со$( А), ошибки измерения которого считаем распределенными по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и СКО, равным Сто, сферические координаты ф, к вычисленного по ранее выполненным измерениям положения ИИ и корреляционная матрица их ошибок

Г

0 =

Чп

л

(10)

Чи

\Чг\ Ч22 у

Будем считать, что все данные переведены в систему координат О, тогда в линейном приближении по ошибкам можно считать, что АВ=Аф, АЬ=А^*соз(ф), где:

>*(Д,+ АВ)^

((

г =

Р *(£,;,+А!)

(11)

- вектор проекции измеренного положения ИИ на касательную плоскость к сфере в месте истинного расположения ИИ (с локальными координатами Оо=(Во,Ьо)), р -радиус используемой модели поверхности Земли в точке со сферическими координатами ф, X.

Корреляционная матрица 01 вектора А = (А В, АЬ) вычисляется из 0 по формуле:

а =

(12)

ди д12*сое (ф)

ч Я21 * сое (ф) Ч22 * сое" (ф) ^ Так как математическое ожидание ошибки измерения пеленга С считаем равным 0 (то есть систематические ошибки измерения отсутствуют), то математическое ожидание измеренной величины С является функцией истинных оцениваемых координат ИИ и может быть вычислено по формуле:

МС = /(В,Ь) =

тв,Ь)

где: 3{В,Ь) = Ё.- г , г - вектор истинного положения ИИ.

(13)

Считая новое измерение независимым от вектора А , получаем функцию правдоподобия трех величин С, В, Ь \

-<с-/(в0х0))2 ^ -((о-о0),ог1(о-о0)

Ф (С,В,ЫВ0,Ь0) =

1

1

л/2л;с

271 сЫ^)

(13)

Поиск максимума функции правдоподобия по параметрам Во,Ьо сводится к минимизации квадратичной формы:

(С-С(В0,Ь0))

'о

<ЗГ'

по параметрам Во,Ьо , то есть к решению системы уравнений:

^ = 0,^ = 0

ав„ аь0

Система (15) преобразуется к виду:

(С-/(Д:„4)) С1

щЛ +щ2Ц —

дВп

(Д:,Л,) = 0

г.; И Т (С~/(ДоЛ)) О/ (р г ч_п

21 0 22 0--—(А,, А,) " 0

а,, ди

(14)

(15)

(16)

где:

ЧИ;21 И;22У

Раскладывая в ряд Тейлора функцию /(В,Ь) и ее частные производные и, ограничиваясь линейными по А В, АЬ членами, преобразуем систему (16) к линейному виду:

,2 Л

^11+ — а о

у *Г|

В0+ \м>12+^\Ц)=с1с*ч

О о

Ж,, +

у * Г)

21

а о

Д:,+

Ж2+ ,

1

а1,:,

2 Л У

Ьп =с!с* г|

(17)

где:

у = р

( \ V! С ! * С^

<1

<1

л = Р

( \ V 2 С! * ¿2

<1

<1

Решая систему (17), получим оценку:

( г

в0 = ас *

2 Л Г ж Л

^ у гк .. ь У* л

«22+ — *У-«12

2

1 У сто )

41 т

Л ( 2 > ( * Л

ь У ь У * л

« 22 н " «12 Н

Н 2 2

/ \ Ст 0; 1 сто )

( (

Ь0 =с]с*

,2 \

^11+ —

v 0 у

У 11

о о

Т

+ _2

_г

СГ2о

М22 + _9

_г

СГ2о

у^Г)

(19)

Корреляционная матрица полученной оценки равна

Г £>Д, К,, т Л

К„, 1)1.,.

о у

, где:

БВ о = Б(с1с):

.2 Л

w

22

а2о

у Л Ст о

w

V V (

2 А

+ 1

11

СТ О

эь0 = о(ас):

.2 Л

2 А

+ 1 22 +

0 0

-

12

У Г)

№11

а о

(

•г|

у

V М/

2 \ (

- ь Г 2 *

V а 0у

22

У

2 ^ (

КР

,ь„ =0(с1с)и

V

ст"о ) I )

а2о

w

12

V

У

а2о ]

(20)

{ ( 2 \ У

22 т 1 СТ"0

2 \ Г

У

11

С7 О

\У1

2 >

V -X. У

"22 +

ст-о

где: С(с1с) = ^2 (1 + ^2

(

\

( \2 II

V И ,

V II II У

V -Л

С7-0

чг*,

( 2 \ ( У

11

С7 О

\У1

V V

2 >

У

/22 +

СГо

"[ ^12 ^ о

т ч

а2о

411 +2*Чп

( \ У1*У2

, И!2 ,

V II II у

*СОЭ (ф) +

г

У 21

V ИИ ,

V II II У

д22*соз (ф)

Выводы

1. Найдены аналитические соотношения для расчета в линейном приближении по ошибкам измерения оценки географических координат точки пересечения двух конусов с моделью поверхности Земли в виде референц-эллипсоида и их корреляционной матрицы. Найденные оценки позволяют в том числе произвести оценку геометрического фактора при различном взаимном расположении ИИ и точек приема.

2. Найдены аналитические соотношения для оценки корреляционной матрицы уточненной оценки ММП на каждом шаге рекуррентного алгоритма.

3. Найденные соотношения позволяют применить рекуррентный алгоритм уточнения координат полученной точки с использованием вновь полученных измерений. Рекуррентный алгоритм позволяет производить уточнение в реальном масштабе времени без хранения предшествующих измерений.

Литература

1. Бугаевский Л.М. Математическая картография. Златоуст, 1998.

2. Бранец Н.В., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М, «Наука», 1973.

3. Крамер Г. Математические методы статистики. М., Мир, 1975.

4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., Высшая школа, 1998.

Кинематический расчет шестизвенного рычажного механизма

аналитическим методом

к.т.н. доц. Иванов В. А.

Универстет машиностроения 8(499)267-12-00, tmirl94Kajmail.ru Аннотация. В статье рассмотрена возможность аналитического расчета кинематических параметров многозвенных рычажных механизмов 2-го класса 2-го порядка с использованием начал аналитической геометрии на плоскости и дифференциального исчисления. Выведены аналитические зависимости для определения линейных и угловых скоростей и ускорений точек и звеньев кулисно-рычажного 6-тизвенного механизма. Приведены примеры графиков, полученных