CC BY
57
ISSN 0321-2653 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН._ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2019. № 3
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 3
УДК 541.136/.136.88 DOI: 10.17213/0321-2653-2019-3-70-76
ЗАВИСИМОСТЬ ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЯ ПЕЙКЕРТА ОТ КОНЕЧНОГО НАПРЯЖЕНИЯ ПРОЦЕССА РАЗРЯДА
© 2019 г. Н.Н. Язвинская, Д.Н. Галушкин, Н.Е. Галушкин
Институт сферы обслуживания и предпринимательства (филиал) Донского государственного технического университета, г. Шахты, Россия
DEPENDENCE OF PARAMETERS OF PEUKERT'S EQUATION FROM THE FINAL VOLTAGE OF THE DISCHARGE PROCESS
N.N. Yazvinskaya, D.N. Galushkin, N.E. Galushkin
Institute of sphere of service and business (branch) of Don State Technical University, Shakhty, Russia
Язвинская Наталья Николаевна - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Информационные технологии в сервисе», Институт сферы обслуживания и предпринимательства (филиал) Донского государственного технического университета, г. Шахты, Россия. E-mail: [email protected]
Галушкин Дмитрий Николаевич - д-р техн. наук, доцент, зав. лабораторией «Электрохимическая и водородная энергетика», Институт сферы обслуживания и предпринимательства (филиал) Донского государственного технического университета, г. Шахты, Россия. E-mail: [email protected]
Галушкин Николай Ефимович - д-р техн. наук, профессор, науч. руководитель лабораторией «Электрохимическая и водородная энергетика», Институт сферы обслуживания и предпринимательства (филиал) Донского государственного технического университета, г. Шахты, Россия. E-mail: [email protected]
Yazvinskaya Nataliya Nikolaevna - Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor, Department «Information Technologies in the Service», Institute of Sphere of Service and Business (branch) of Don State Technical University, Shakhty, Russia. E-mail: [email protected]
Galushkin Dmitriy Nikolaevich - Doctor of Technical Sciences, Assistant Professor, Head of the Laboratory «Electrochemical and Hydrogen Energy», Institute Sphere of Service and Business (branch) Don State Technical University, Shakhty, Russia. E-mail: [email protected]
Galushkin Nicolay Ephimovich - Doctor of Technical Sciences, Professor, Scientific Director of the Laboratory «Electrochemical and Hydrogen Energy», Institute Sphere of Service and Business (branch) Don State Technical University, Shakhty, Russia. E-mail: [email protected]
Исследована зависимость емкости никель-кадмиевых аккумуляторов от тока разряда и конечного напряжения разряда. Для аппроксимации полученных экспериментальных данных использовалось обобщенное уравнение Пейкерта C=Cm/(1+(i/i0)n). Классическое уравнение Пейкерта C=A/in неприменимо при малых токах разряда, так как при уменьшении тока разряда отдаваемая аккумулятором емкость стремится к бесконечности, что лишено физического смысла. Обобщенное уравнение Пейкерта хорошо описывает отдаваемую аккумулятором емкость на всем интервале изменения токов разряда. Кроме того, все параметры этого уравнения имеют ясный электрохимический смысл. Этот факт резко сокращает количество экспериментов, необходимых для нахождения всех параметров обобщенного уравнения Пейкерта. Показано, что параметр n не зависит от номинальной емкости аккумуляторов, но на него влияет конечное напряжение разряда, т.е. этот параметр является универсальным параметром процесса разряда. Найдены эмпирические зависимости параметров Cm и i0 от номинальной емкости аккумуляторов и конечного напряжения разряда.
Ключевые слова: уравнение Пейкерта; модель; аккумулятор; никель-кадмиевый; емкость; конечное напряжение разряда.
In this paper, the dependence of the capacity of nickel-cadmium batteries on the discharge current and the final discharge voltage was investigated. For approximation of the obtained experimental data, the generalized Peukert's equation C=Cm/(1+(i/i0)n) was used. The classical Peukert's equation C = A/in is not applicable at low discharge currents, since when the discharge current decreases, the capacЫу released by the battery tends to
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 3
infinity, which is devoid of physical meaning. The generalized Peukert's equation describes well the capacity released by a battery over the entire range of discharge current variation. In addition, all the parameters of this equation have a clear electrochemical meaning. This fact drastically reduces the number of experiments necessary for finding all the parameters of the generalized Peukert's equation. It is shown that the parameter n does not depend on the nominal capacity of the batteries, but depends on the final discharge voltage i.e. this parameter is a universal parameter of the discharge process. The empirical dependences of the parameters Cm and i0 on the nominal capacity of the batteries and the final discharge voltage are found.
Keywords: Peukert's equation; model; batteries; nickel-cadmium; capacity; final discharge voltage.
Введение
В настоящее время, в связи широким распространением аккумуляторов в различных технических устройствах, возникла необходимость в надежных практических моделях этих аккумуляторов. Модели аккумуляторов необходимы при проектировании различных технических устройств и при их эксплуатации, в частности для оценки их остаточной емкости. Эта проблема имеет большое значение для литий-ионных, никель-кадмиевых и свинцово-кислотных аккумуляторов, используемых в электрических транспортных средствах, в авиации, на железнодорожным транспорте и в коммуникационных системах [1 - 3].
Наиболее фундаментальные модели аккумуляторов получаются на базе электрохимического метода моделирования. В рамках данного метода модели аккумуляторов строятся на основе фундаментальных физических и электрохимических законов [4 - 8]. Несмотря на то что данные модели наиболее точно описывают все процессы в аккумуляторах, их использование в технических системах не всегда возможно. A. Hausmann [9] отметил три недостатка данных моделей. Во-первых, эти модели содержат множество локальных параметров, которые очень трудно или даже невозможно измерить экспериментально. Например, невозможно непосредственно измерить различные кинетические параметры внутри пористого электрода, в частности параметры функции замедленного разряда. Во-вторых, эти модели имеют очень сложную систему калибровки. Поэтому если при проектировании технических систем, содержащих аккумуляторы, потребуется изменить требования на аккумуляторы, то придется все экспериментальные исследования выполнять заново. В-третьих, эти модели требуют значительных вычислительных возможностей, что неприемлемо для бортовых компьютеров электрических транспортных средств или самолетов. Все эти факторы ограничивают применимость данных моделей [1, 2].
Кроме того, многие фирмы предъявляют требования на разработку таких моделей аккумуляторов, для которых параметры можно было бы измерить, не разбирая их. Такие модели принципиально невозможны в рамках электрохимического метода моделирования. Эти модели можно построить только в рамках статистического метода моделирования [1, 2, 10, 11] или нелинейного структурного метода [12]. В рамках нелинейного структурного метода моделирования вся моделируемая система и процессы в ней разбиваются на более простые системы и этапы процессов. Для простых систем и этапов процессов также строятся упрощенные модели. Упрощенные модели связываются линейными связями на основе законов Кирхгофа. К сожалению, данный метод моделирования используется крайне редко [13, 14], хотя за ним, как нам кажется, большое будущее. Поэтому на практике очень часто используются статистические модели аккумуляторов [9, 15 - 17]. Эти модели используются, когда невозможно или не желательно использовать электрохимические модели [9, 15] или когда моделируемые процессы плохо изучены [18 - 21]. В основе современных статистических моделей для оценки остаточной емкости аккумуляторов используются уравнение Пейкер-та [9] или различные усовершенствования уравнения Пейкерта [15]. Целью работы является исследование влияния конечного напряжения процесса разряда на параметры обобщенного уравнения Пейкерта, так как это уравнение часто используется в различных статистических моделях.
Обобщенные уравнения Пейкерта
В статистических моделях для оценки остаточной емкости аккумуляторов, как правило, используется уравнение Пейкерта [9]
с=A,
гп
(i)
где С - емкость, отдаваемая аккумулятором при токе разряда /; А и п - эмпирические константы.
ISSN0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 3
Однако при малых токах разряда уравнение Пейкерта неприменимо, так как при уменьшении тока разряда отдаваемая аккумулятором емкость стремится к бесконечности (1), что лишено физического смысла. В работе [11] были экспериментально проверены все наиболее известные эмпирические уравнения, обобщающие уравнение Пейкерта. Доказано, что уравнение
А
C =
(2)
C =
с
1+
( j Y
к J0 у
(3)
ской системы аккумулятора, конструктивных особенностей, типа электродов и т.д. Таким образом, для любых аккумуляторов должно быть справедливо граничное условие
lim С) . 0.
i^o di
(5)
1 + Ы"
наиболее хорошо соответствует экспериментальным данным на всем интервале изменения токов разряда. Причем это уравнение в отличие от уравнения Пейкерта (1) применимо и при малых токах разряда.
Перепишем уравнение (2) в виде
Исключение составляют только небольшое число аккумуляторов, неспособных разряжаться при очень малых токах по различным причинам [22, 23]. Однако и для этих аккумуляторов справедливо уравнение (3), если не рассматривать токи меньше некоторого критического значения 1о<<1к. Таким образом, любые уравнения С(г) справедливы на всем диапазоне токов разряда и должны удовлетворять граничным условиям (4) и (5).
Для обобщенного уравнения Пейкерта (3) граничное условие (4) выполняется. Из граничного условия (5) получаем ограничение на параметры уравнения (3):
Тогда при i=0 получаем С=Ст, т.е Ст -есть максимальная ёмкость, которую может отдать аккумулятор. При i=io получаем С=Ст/2, т.е. io - ток, при котором аккумулятор отдает емкость в два раза меньшую, чем его максимальная ёмкость. Таким образом, константы в уравнении (3) имеют ясный электрохимический смысл, в отличие от уравнения (2), где A, B -просто эмпирические константы.
Кроме того, на параметры обобщенного уравнения Пейкерта (3) должны быть наложены дополнительные ограничения, связанные с граничными условиями.
Согласно накопленным экспериментальным данным [22, 23], можно утверждать, что для аккумуляторов любых электрохимических систем с ростом тока разряда отдаваемая аккумулятором емкость C(i) падает и при очень больших токах разряда она должна быть близка к нулю т.е.
lim С(i) « 0. (4)
i^x
Кроме того, для аккумуляторов почти всех электрохимических систем при малых токах разряда отдаваемая аккумулятором емкость максимальная и практически не изменяется с ростом тока разряда вплоть до некоторого критического значения Ik. Именно благодаря этому свойству аккумуляторы используются в различных приборах и устройствах, а диапазон токов разряда от нуля до Ik является рабочим диапазоном токов разряда аккумуляторов. Ширина рабочего диапазона токов разряда зависит от электрохимиче-
limdC(i) = lim ~Cmn(i/io) i^o di
n—1
io(1 + (i /io)n)2
0 at n > 1 —x at 0 < n < 1 . -nCm / i0 at n = 1
Следовательно, параметр n в уравнении (3) должен удовлетворять неравенству
n > 1.
Эксперимент
Для исследования влияния конечного напряжения разряда на параметры обобщенного уравнения Пейкерта (3) использовались никель-кадмиевые аккумуляторы SBM 11, SBM 43, SBM 112 (с емкостями 11, 43 и 112 А-ч соответственно) фирмы SAFT стационарного применения. В различных экспериментах разряд аккумуляторов выполнялся до напряжений 1,0; 1,05; 1,10; 1,14 В. Заряд аккумуляторов производился в соответствии с их руководством по эксплуатации.
Перед каждым изменением тока разряда или конечного напряжения разряда выполнялись три тренировочных цикла заряда - разряда. Тренировочные циклы заряда - разряда осуществлялись в соответствии с руководством по эксплуатации изучаемых батарей. Если в течение тренировочных циклов полученная емкость отличалась более чем на 10 %, то выполнялись дополнительные тренировочные циклы. Тренировочные циклы позволили исключить взаимное влияние различных циклов заряда - разряда, через остаточные эффекты, эффект памяти и т.д.
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
При каждом токе разряда применялось три зарядно-разрядных цикла. Если измеренные емкости отличались менее чем на 5 %, то среднее значение емкости для этих трех циклов принималось за экспериментальную емкость разряда при данном токе. В противном случае требовались дополнительные тренировочные циклы и эксперимент повторялся снова. В экспериментах использовались токи разряда от 0,1 Сы (где Сы -номинальная емкость аккумулятора) до токов, при которых разрядная емкость аккумуляторов была близка к нулю. Чтобы установить истинную функциональную зависимость отдаваемой аккумулятором емкости от токов разряда, желательно уже на уровне экспериментальных данных исключить все случайные факторы. Надо отметить, что при одной и той же номинальной емкости аккумуляторов их максимальная емкость (т.е. емкость, отдаваемая при малых токах разряда) зависит от случайных факторов. Во-первых, от производителя аккумуляторов, от типа электродов, их толщины, конструктивных особенностей и т.д. Во-вторых, даже в партии аккумуляторов одного типа и одного производителя максимальная емкость конкретного аккумулятора зависит от статистического разброса параметров аккумуляторов при их изготовлении, времени эксплуатации аккумуляторов, режима эксплуатации и т.д. На основании нашего опыта циклирования аккумуляторов можно утверждать, что даже в одной партии аккумуляторов одного типа и одной емкости найденные значения максимальной емкости отличаются друг от друга, как правило, на 4 - 6 %, а иногда и более. Это относится к аккумуляторам любых электрохимических систем, а не только никель-кадмиевым. Поэтому если полученные экспериментальные данные для емкости аккумуляторов нормировать на их максимальную емкость (найденную экспериментально), то все отмеченные выше случайные факторы будут исключены из экспериментальных данных. При этом, согласно виду обобщенного уравнения Пейкерта (3), ток разряда удобно нормировать на параметр /о. Полученные экспериментальные данные для аккумуляторов различной емкости и различных конечных напряжений разряда (в нормированных координатах) представлены на рис. 1.
Из рис. 1 (а - г) видно, что несмотря на большую разницу в емкости аккумуляторов (11 - 112 А-ч), их экспериментальные данные (в нормированных координатах) совпадают в пределах экспериментальной статистической погрешности.
TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 3
i/io
г
Рис. 1. Зависимость емкости батарей от тока разряда и конечного напряжения разряда: Cm - максимальная емкость аккумуляторов; io - ток, при котором аккумуляторы отдают емкость в два раза меньшую, чем их максимальная ёмкость / Fig. 1. The dependence of the battery capacity on the discharge current and the final discharge voltage: Cm - the maximum capacity of the batteries; io - the current at which the batteries release capacity twice less than their maximum capacity
ISSN 0321-2653 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН._ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2019. № 3
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 3
Результаты и обсуждение
Оптимальные параметры для обобщенного уравнения Пейкерта (3), с использованием полученных экспериментальных данных (рис. 1), находились по методу наименьших квадратов с использованием процедуры оптимизации Левен-берга - Маркардта. Полученные параметры для аккумуляторов SBM различной емкости и различных конечных напряжений разряда представлены в табл. 1.
Таблица 1 / Table 1
Оптимальные параметры обобщенного уравнения Пейкерта (3) / The optimal parameters of the generalized equation Peukert (3)
Параметры уравнений Аккумуляторы
SBM 11 | SBM 43 | SBM 112
Конечное напряжение разряда u = 1,00 В
Cm 11,191 43,348 112,709
io 10,831 47,21 121,575
n 3,124 3,113 3,176
Mean n 3,138
5 2,254 2,411 2,89
Конечное напряжение разряда u = 1,05 В
Cm 11,159 43,216 112,231
io 8,173 35,473 91,228
n 2,904 2,923 2,989
Mean n 2,939
5 3,105 3,75 4,362
Конечное напряжение разряда u = 1,10 В
Cm 11,067 42,886 111,452
i0 6,045 25,898 66,461
n 2,824 2,806 2,861
Mean n 2.830
5 2,171 2,721 3,566
Конечное напряжение разряда u = 1,14 В
Cm 11,039 42,873 110,79
i0 4,335 18,337 47,392
n 2,768 2,747 2,808
Mean n 2,774
5 4,364 3,932 4,714
5 - относительная ошибка в процентах.
Из анализа данных табл. 1 видно, что параметр п обобщенного уравнения Пейкерта не зависит от емкости аккумуляторов, так как найденные значения совпадают в пределах стандартной ошибки. Этот факт также очевиден из рис. 1, где экспериментальные кривые совпадают (в нормированных координатах) в пределах экспериментальной статистической ошибки. Однако обобщенное уравнение Пейкерта (в нормированных координатах) зависит только от одного независимого параметра п. Следовательно, в случае совпадения экспериментальных кривых этот параметр также должен совпадать. Поэтому найдем среднее значение п для каждого конечного напряжения разряда, используя все экспериментальные данные для аккумуляторов
ББМ 11, ББМ 43, ББМ 112. Полученные средние значения представлены в табл. 1.
Используя экспериментальные данные из табл. 1, найдем зависимость параметра п от конечного напряжения разряда и
N = 5,686 - 2,579 и, 8 = 1,192. (6)
Аналогично найдем зависимость параметров /о и Ст от номинальной емкости аккумуляторов Сы и конечного напряжения разряда и
/о= 11,974 + 1,078(Сы - 11) - 97,212(и - 1) + + 346,986(и - 1)2 - 4,750(Сы - 11) (и - 1), (7)
8 = 2,03,
Ст = 6,897 + 0,996Сы - 6,263и, 8 = 0,556. (8)
Полученные уравнения (6) - (8) очень хорошо соответствуют экспериментальным данным, так как относительная ошибка 8 аппроксимации экспериментальных данных (в процентах) этими уравнениями очень мала.
Заключение
В заключение следует отметить ряд преимуществ предложенного обобщенного уравнения Пейкерта (3) в сравнении с классическим уравнением Пейкерта (1). Во-первых, обобщенное уравнение Пейкерта (3) хорошо соответствует экспериментальным данным при любых токах разряда, в то время как классическое уравнение Пейкерта (1) не применимо при малых токах разряда. Во-вторых, в уравнении (3) все константы имеют ясный электрохимический смысл, в то время как в уравнении (1) это просто эмпирические константы. В связи с этим константы уравнения (3) могут быть найдены из значительно меньшего числа экспериментов, так как для их нахождения можно не использовать процедуру аппроксимации экспериментальных данных этим уравнением с использованием метода наименьших квадратов. В-третьих, параметр п в обобщенном уравнении Пейкерта (3) не зависит от емкости исследуемых аккумуляторов, т.е. данный параметр является универсальным, в отличие от аналогичного параметра в классическом уравнении Пейкерта (1). Этот экспериментальный факт также резко сокращает число необходимых экспериментов при нахождении обобщенных уравнений Пейкерта (3) для серии аккумуляторов различной емкости.
В силу того что уравнение Пейкерта (1) используется в различных практических моделях аккумуляторов [9, 15, 23], установление наиболее точной зависимости отдаваемой аккумулятором емкости от тока разряда имеет большое практическое значение.
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
Литература
1. Tremblay O., Dessaint L.A., Dekkiche A.I. In: Vehicle Power and propulsion conference, VPPC 2007, IEEE, Arlington, USA, 2007. Р. 284.
2. Tremblay O., Dessaint L.A. Experimental validation of a battery dynamic model for ev applications // World electric vehicle J. 2009/ Vol. 3. P. 1 - 10.
3. Rakhmatov D., Vrudhula S., Wallach D.A. A model for battery lifetime analysis for organizing applications on a pocket computer // IEEE transactions on very large scale integration (VLSI) systems. 2003. Vol. 11. P. 1019 - 1030.
4. Cugnet M., Laruelle S., Grugeon S., Sahut B., Sabatier J., Tarascon J.M., Oustaloup A. A Mathematical model for the simulation of new and aged automotive lead-acid batteries // J. Electrochem. Soc. 2009. Vol. 156, P. A974 - A985.
5. Siniard K., Xiao M., Choe S.Y. One-dimensional dynamic modeling and validation of maintenance-free lead-acid batteries emphasizing temperature effects // J. Power Sources, 2010. Vol. 195. P. 7102 - 7114.
6. Venkatraman M., Van Zee J.W. A model for the silver-zinc battery during high rates of discharge // J. Power Sources, 2007. Vol. 166. P. 537 - 548.
7. Zavalis T.G., Behm M., Lindbergh G. Investigation of short-circuit scenarios in a lithium-ion battery cell // J. Electro-chem. Soc. 2012. Vol. 159. P. A848 - A859.
8. Boovaragavan V., Methakar R.N., Ramadesiga V., Subrama-nian V.R. A Mathematical model of the lead-acid battery to address the effect of corrosion // J. Electrochem. Soc. 2009. Vol. 156. P. A854 - A862.
9. Hausmann A., Depcik C. Expanding the Peukert equation for battery capacity modeling through inclusion of a temperature dependency // J. Power Sources, 2013. Vol. 235. P. 148 - 158.
10. Galushkin N.E., Yazvinskaya N.N., Galushkin D.N. Models for evaluation of capacitance of batteries // Int. J. Electro-chem. Sci. 2014. Vol. 9. P. 1911 - 1919.
11. Galushkin N.E., Yazvinskaya N.N., Galushkin D.N., Galush-kina I.A. Generalized analytical models of batteries, capacitance dependence on discharge currents // Int. J. Electro-chem. Sci. 2014. Vol. 9. P. 4429 - 4439.
TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 3
12. Galushkin N.E., Yazvinskaya N.N., Galushkin D.N. Nonlinear structural model of the battery // Int. J. Electrochem. Sci.
2014. Vol. 9. P. 6305 - 6327.
13. Galushkin N.E., Yazvinskaya N.N., Galushkin D.N. Generalized model for self-discharge processes in alkaline batteries // J. Electrochem. Soc. 2012. Vol. 159. P. A1315 - A1317.
14. Galushkin N.E., Yazvinskaya N.N., Galushkin D.N. Model of relaxation processes in batteries // ECS Electrochem. Lett.,
2015, V. 4, P. A94 - A96.
15. Galushkin N.E., Yazvinskaya N.N., Galushkin D.N. Generalized analytical model for capacity evaluation of automotivegrade lithium batteries // J. Electrochem. Soc. 2015. Vol. 162. P. A308 - A314.
16. Galushkin N.E., Yazvinskaya N.N., Galushkin D.N., Galush-kina I.A. Statistical models of alkaline batteries discharge // Int. J. Electrochem. Sci. 2015. Vol. 10. P. 5530 - 5535.
17. Galushkin N.E., Yazvinskaya N.N., Galushkin D.N. Analytical model of thermal runaway in alkaline batteries // Int. J. Electrochem. Sci. 2018. Vol. 13. P. 1275 - 1282.
18. Галушкин Н.Е., Язвинская Н.Н., Галушкин Д.Н. Тепловой разгон в никель-кадмиевых аккумуляторах // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2013. № 2. С. 75 - 78.
19. Галушкин Н.Е., Язвинская Н.Н., Галушкин Д.Н. Исследование причин теплового разгона в герметичных никель-кадмиевых аккумуляторах // Электрохимическая энергетика. 2012. Т. 12, № 4. С. 208 - 211.
20. Галушкин Н.Е., Язвинская Н.Н., Галушкин Д.Н. Тепловой разгон в никель-кадмиевых аккумуляторах с метал-локерамическими и прессованными электродами // Электрохимическая энергетика. 2012. Т. 12, № 1. С. 42 - 45.
21. Galushkin N.E., Yazvinskaya N.N., Galushkin D.N. Thermal runaway as a new high-performance method of desorption of hydrogen from hydrides // Int. J. Hydrogen Energy. 2016. Vol. 41. P. 14813 - 14819.
22. Vincent C.A., Scrosati B. Modern batteries. ButterworthHeinemann, Oxford, 2003.
23. Crompton T.R. Battery Reference Book. Newnes, Oxford, 2000.
References
1. Tremblay O., Dessaint L.A., Dekkiche A.I. In: Vehicle Power and propulsion conference, VPPC 2007, IEEE, Arlington, USA, 2007, 284 p.
2. Tremblay O., Dessaint L.A. Experimental validation of a battery dynamic model for ev applications. World electric vehicle J., 2009, Vol. 3, pp. 1 - 10.
3. Rakhmatov D., Vrudhula S., Wallach D.A. A model for battery lifetime analysis for organizing applications on a pocket computer. IEEE transactions on very large scale integration (VLSI) systems, 2003, Vol. 11, pp. 1019 - 1030.
4. Cugnet M., Laruelle S., Grugeon S., Sahut B., Sabatier J., Tarascon J.M., Oustaloup A. A Mathematical model for the simulation of new and aged automotive lead-acid batteries. J. Electrochem. Soc., 2009, Vol. 156, pp. A974 - A985.
5. SiniardK., Xiao M., Choe S.Y. One-dimensional dynamic modeling and validation of maintenance-free lead-acid batteries emphasizing temperature effects. J. Power Sources, 2010, Vol. 195, pp. 7102 - 7114.
6. Venkatraman M., Van Zee J.W. A model for the silver-zinc battery during high rates of discharge. J. Power Sources, 2007, Vol. 166, pp. 537 - 548.
7. Zavalis T.G., Behm M., Lindbergh G. Investigation of short-circuit scenarios in a lithium-ion battery cell. J. Electrochem. Soc., 2012, Vol. 159, pp. A848 - A859.
8. Boovaragavan V., Methakar R.N., Ramadesiga V., Subramanian V.R. A Mathematical model of the lead-acid battery to address the effect of corrosion. J. Electrochem. Soc., 2009, Vol. 156, pp. A854 - A862.
9. Hausmann A., Depcik C. Expanding the Peukert equation for battery capacity modeling through inclusion of a temperature dependency. J. Power Sources, 2013, Vol. 235, pp. 148 - 158.
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 3
10. Galushkin N.E., Yazvinskaya N.N., Galushkin D.N. Models for evaluation of capacitance of batteries. Int. J. Electrochem. Sci., 2014, Vol. 9, pp. 1911 - 1919.
11. Galushkin N.E., Yazvinskaya N.N., Galushkin D.N., Galushkina I.A. Generalized analytical models of batteries, capacitance dependence on discharge currents. Int. J. Electrochem. Sci., 2014, Vol. 9, pp. 4429 - 4439.
12. Galushkin N.E., Yazvinskaya N.N., Galushkin D.N. Nonlinear structural model of the battery. Int. J. Electrochem. Sci., 2014, Vol. 9, pp. 6305 - 6327.
13. Galushkin N.E., Yazvinskaya N.N., Galushkin D.N. Generalized model for self-discharge processes in alkaline batteries. J. Electrochem. Soc., 2012, Vol. 159, pp. A1315 - A1317.
14. Galushkin N.E., Yazvinskaya N.N., Galushkin D.N. Model of relaxation processes in batteries. ECS Electrochem. Lett., 2015, Vol. 4, pp. A94 - A96.
15. Galushkin N.E., Yazvinskaya N.N., Galushkin D.N. Generalized analytical model for capacity evaluation of automotive-grade lithium batteries. J. Electrochem. Soc., 2015, Vol. 162, pp. A308 - A314.
16. Galushkin N.E., Yazvinskaya N.N., Galushkin D.N., Galushkina I.A. Statistical models of alkaline batteries discharge. Int. J. Electrochem. Sci., 2015, Vol. 10, pp. 5530 - 5535.
17. Galushkin N.E., Yazvinskaya N.N., Galushkin D.N. Analytical model of thermal runaway in alkaline batteries. Int. J. Electrochem. Sci., 2018, Vol. 13, pp. 1275 - 1282.
18. Galushkin N.E., Yazvinskaya N.N., Galushkin D.N. Teplovoi razgon v nikel'-kadmievykh akkumulyatorakh [Thermal runaway in Nickel-cadmium batteries]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Tekhn. nauki, 2013, no. 2, pp. 75 - 78. (In Russ.)
19. Galushkin N.E., Yazvinskaya N.N., Galushkin D.N. Issledovanie prichin teplovogo razgona v germetichnykh nikel'-kadmievykh akkumulyatorakh [Investigation of the causes of thermal acceleration in sealed Nickel-cadmium batteries]. Elektrokhimicheskaya energetika, 2012, Vol. 12, pp. 208 - 211. (In Russ.)
20. Galushkin N.E., Yazvinskaya N.N., Galushkin D.N. Teplovoi razgon v nikel'-kadmievykh akkumulyatorakh s metallokeramich-eskimi i pressovannymi elektrodami [Thermal acceleration in Nickel-cadmium batteries with metal-ceramic and pressed electrodes]. Elektrokhimicheskaya energetika, 2012, Vol. 12, no. 1, pp. 42 - 45. (In Russ.)
21. Galushkin N.E., Yazvinskaya N.N., Galushkin D.N. Thermal runaway as a new high-performance method of desorption of hydrogen from hydrides. Int. J. Hydrogen Energy, 2016, Vol. 41, pp. 14813 - 14819.
22. Vincent C.A., Scrosati B. Modern batteries. Butterworth-Heinemann, Oxford, 2003.
23. Crompton T.R. Battery Reference Book. Newnes, Oxford, 2000.
Поступила в редакцию /Received 25 марта 2019 г. /March 25, 2019
