CC BY
7ступлениям германского фашизма и рассуждал о необходимости введения всеобщей трудовой повинности в ФРГ [9, 10].
Некрологи о бывшем имперском трудовом фюрере, умершем 23 сентября 1955 г., поместили лишь немногие неонацистские периодические издания. Не стремясь быть на первых ролях, он нередко становился полезным исполнителем воли политиков, которые оказывали определяющее влияние на судьбы Германии на разных этапах ее истории: Эберту, Секту, Людендорфу, Гитлеру. Нетрудно заметить, что крайне националистические и антидемократические убеждения всегда приводили Гирля в лагерь тех, кто жестоко расправлялся с рабочим движением в ходе революции 1918-1919 гг., спасал от уничтожения германскую военную машину, боролся с либерализмом и марксизмом в 1920-е гг., толкал в пропасть Веймарскую республику в начале 1930-х. Он был одним из многих отставных военных, которые помогли Гитлеру построить тоталитарную диктатуру и развязать Вторую мировую войну. В отличие от группы офицеров и консервативных политиков, ставших попутчиками гитлеровского движения, но внутренне не принимавших нацистскую идеологию, Гирль стал убежденным национал-социалистом. Созданная им Имперская служба труда внесла вклад в идеологическую обработку молодого поколения немцев, способствовала воплощению на практике нацистской аграрной романтики, расистских демографических и переселенческих проектов, антиславизма и антисемитизма, культивировала антимодернистские взгляды на роль женщины в политике, экономике, обществе, семье. Наконец, РАД формировала у граждан Германии веру в миф о свободном от социальных противоречий и внутренних конфликтов «немецком народном сообществе», что способствовало внутренней стабильности гитлеровского режима.
Библиографический список
1. Корнев Н. Третья империя в лицах. М., 1937.
2. Российский государственный военный архив. Ф. 1235. Оп. 2. Д. 6.
3. Benz W. Vom Freiwilliger Arbeitsdienst zur Ar-beitsdienstpflicht // Vierteljahreshefte fur Zeitge-schichte. 1968. Heft 4. S. 339-340.
4. Bosls Bayerische Biographie. 8 000 Personlich-keiten aus 15 Jahrhuhderten. Hrsg von Karl Bosl. Regensburg, 1983.
5. Broszat M. Der Staat Hitlers. Grundlegung und Entwicklung seiner inneren Verfassung. Mun-chen, 1989.
6. Dudek P. Nationalsozialistische Jugendpolitik und Arbeitserziehung. Das Arbeitslager als Instrument sozialer Disziplinierung // Politische Formierung und soziale Erziehung im Nationalsozialismus. Hrsg. von H.-U. Otto und H. Sunker. Frankfurt am Main, 1991.
7. Erb H., Grote H.-H. Konstantin Hierl. Der Mann und sein Werk. Munchen, 1939.
8. Hierl K. Ausgewahlte Schriften und Reden. Mun-chen, 1941. Bd. 2.
9. Hierl K. Gedanken hinter Stacheldracht. Eine Le-bensschau. Heidelberg, 1953.
10. Hierl K. Schuld oder Schicksal? Studie uber Ent-stehung und Ausgang des Zweiten Weltkrieges. Heidelberg, 1953.
11. Hierl K. Im Dienst fur Deutschland 1918-1945. Heidelberg, 1954.
12. Kohler H. Arbeitsdienst in Deutschland. Plane und Verwirklichungsformen bis zur Einfuhrung der Arbeitsdienstpflicht im Jahre 1935. Berlin (West), 1967.
13. Neue deutsche Biographie. Hrsg. von der His-torischen Komission bei der Bayerischen Akademie der Wissenschaften. Berlin, 1972. Bd. 8.
14. Reichsgesetztblatt. 1931. Teil I.
15. Reichsgesetztblatt. 1935. Teil I.
16. Reichsgesetztblatt. 1937. Teil I.
17. Reichsgesetztblatt. 1939. Teil I.
18. Ruhle G. Das Dritte Reich. Dokumentarische Dar-stellung des Aufbaues der Nation. Das vierte Jahr
- 1936. Berlin, 1937.
19. Scheibe W. Aufgabe und Aufbau des Reichsar-beitsdienstes. Leipzig, 1938.
20. Syrup F. Hundert Jahre staatliche Sozialpolitik 1839-1939. Stuttgart, 1957.
21. Wistrich R. Wer war wer im Dritten Reich. Ein biographischee Lexikon. Anhanger, Mittaufer, Gegner aus Politik, Wtrtschaft, Militar, Kunst und Wissenschaft. Frankfurt am Main, 1987.
С.А. ТИХОМИРОВ
Замыкания Понселе и многообразие М(0,2) модулей стабильных векторных расслоений
ранга 2 на пространстве Р3. II
В настоящей статье мы завершаем исследование многообразия М(0,2) модулей стабильных векторных расслоений ранга 2 с классами Черна 01=0 и с2=2 на пространстве Р3, начатое в
25
работе [1]. В указанной работе, в частности, построено вложение многообразия M(0,2) в проективное пространство P20, интерпретируемое как пространство квадрик P(S2H v) в пространстве P(H) = P5, где H:=Л 2T, а T - 4-мерное векторное пространство, для которого P3=P(T). Один из
основных результатов работы [1] - теорема о том, что замыкание M (0,2) многообразия M(0,2) в P20 лежит на детерминантали A ={xe P(S2Hv )| квадрика Qx с P(H), соответствующая точке x е P(S2H v), имеет ранг < 3} и высекается из A некоторой выделенной гиперквадрикой QPonc в P20, называемой гиперквадрикой Понселе. Там же поставлен вопрос о единственности гиперквадрики в P20, высекающей M (0,2) из A, который сводится к следующему. Пусть G3:=G(3,6)
- грассманиан 3-мерных подпространств пространства H,
0 > Q3 > H 0 OGi —> S3 > 0 (1)
- стандартная точная тройка на G3, где Q3 - тавтологическое расслоение ранга 3 (S3, соответственно, - антитавтологическое факторрасслоение ранга 3), и
0 > B > S2(S2H) ® OG3 e:=sVg) > S2(S2S3) > 0 (2)
- индуцированная точная тройка, где B:=ker e. В [1] сформулировано без доказательства следующее утверждение, из которого вытекает непосредственно единственность гиперквадрики
Понселе как гиперквадрики, высекающей M (0,2) из A (см. [1, теоремы 2 и 3]).
Теорема
Отображение групп сечений h0(e):S2(S2H) >H°(S2(S2S3)) для точной тройки (2) сюръективно.
Настоящая статья посвящена доказательству этой теоремы. Начнем со следующей вспомогательной леммы.
Лемма 1
Рассмотрим произвольную точную тройку векторных расслоений:
0 > A^>C > 0.
Тогда расслоение ker(s2f:S2B > S2C) включается в точную тройку расслоений:
0 > S2 A > ker(s2 f) > A 0 C > 0. (3)
Доказательство. Так как векторные расслоения локально тривиальны, то достаточно считать, что 0 > A —p> B —C > 0 - точная тройка векторных пространств, для которой нужно проверить точность тройки (3), показав при этом, что морфизмы в этой тройке не зависят от выбора базисов в пространствах A, B и C.
Для этого рассмотрим в S2B подпространство P = Span{b1 0 b2 + b2 0 b1 е S2B |
b1 0 b2 + b2 0 b1 = 0 } (здесь и ниже мы пользуемся обозначением b = b mod p(A), be B). Не-
2 2 2 2 2 трудно видеть, что Рс ker(s f) и im(s p) с P, где sp:S A > SB - мономорфизм, индуцированный мономорфизмом p:A > B. Пусть q:S2A > P - индуцированный мономорфизм. Далее, определим гомоморфизм y:P >B 0 C следующим образом: у: bi 0 b2+ b2 0 bi a bi 0 b2 + b2 0 b1 .
Из определения P следует, что im(y) с ker(B 0 C —f0id > C 0 C)=A 0 C. Покажем, что im(y) ^ A 0 C, откуда будет следовать, что
im(y)=A ® C. (4)
Действительно, по построению
im(^)=Span{b10 b2 + b20 b1 eB0C|b1 ® b2 + b2 ® b1 = 0}.
Пусть m=dim A, n=dim C. Выберем в A и B базисы a1,...,am и a1,...,am,c1,...,cn соответственно, так что C=Span{c1 ,...,cn } и cj0 at =0, i=1,...,m, j=1,...,n. Тем самым, im(y)^ Span{a0 c j
+ c_j 0 at |i=1,...,m, j=1,...,n}=Span{ai 0 cj | i=1,...,m, j=1,...,n}=A 0 C.
Далее очевидно, что im(q) с ker(y) и поэтому в силу (4) и включения P с ker(s2f) имеем: m(m+1)/2+mn=dim(S2A)+dim(A 0 C) < dim P < dim ker(s2f)=dim(S2B)-dim(S2C)=m(m+1)/2+mn. Тем самым, включения P с ker(s2f) и im(q) с ker(y) превращаются в равенства P=ker(s2f) и ker(y)=im(q) соответственно, а значит, тройка (3) точна. Лемма доказана.
Рассмотрим тройку (1) и индуцированные ею тройки (2) и
0 а К а £2 Н ® 0О —^а £2 £3 а 0, (5)
где К:=кег 82е. Применяя лемму 1 к (2) и (5), получаем точные тройки:
0 а £2 К а В а К ® £2 £3 а 0, (6)
0 а £2Q3 а К ——^а Q3 ® £3 а 0. (7)
Снова применяя лемму 1 к (7), получаем точные тройки:
0 а Е а £2 К а £ 2^3 ® £3) а 0, (8)
0 а £ 2(£ 2Q3) а Е а £2 Q3 ® Q3 ® £3 а 0, (9)
где Б:=кег 82§. Заметим, что в силу (2) утверждение теоремы вытекает из равенства Ь1(Б)=0. Для доказательства последнего равенства ввиду (6), (8), (9), тройки (7) и тождества
® 83^03 ® 8^3 Ф Л^ ® Л283 нам достаточно проверить справедливость следующих равенств:
Ьа(82р3 ® 03 ® 83)=0, (10)
Ь1^2^))^, (11)
® 8^)=0, (12)
^(л^ ® л%)=0, (13)
Ь2(р3 ® 83 ® 8%)=0. (14)
Для этого нам потребуется несколько вспомогательных конструкций. Пусть 02:=0(2,Н) -грассманиан двумерных подпространств в Н. На 02 имеется стандартная точная тройка
0 а Q2 а Н ® 00г а £4 а 0, (15)
где 02 (соответственно, 84) - тавтологическое подрасслоение ранга 2 (соответственно, - анти-тавтологическое факторрасслоение ранга 4). Рассмотрим многообразие флагов Б:=((У2 с У3 с Н)|(У2 с Н)е 02, (У3 с Н) е 03} с естественными проекциями р:Ба02:(У2сУ3 сН)а (У2 сН) и д:Ба03: (У2 сУ3 сН) а (У3 сН) и введем следующие
обозначения для пучков Q3 := q * Q3 £3 := q * £3 Q2 := р * Q2 £4 := р * £4, Ь3 := q * 003 (1),
Я3 := Ь-1 ® р * 0О2 (1) .Эти пучки входят в стандартные точные тройки:
0 а Я3 а £4 а £3 а 0, (16)
0 а Q2 а (~3 а^3 а 0. (17)
Пусть ¥- любой локально свободный пучок из тензорной алгебры Т(02,84) и пусть
¥ :=р*¥. Тогда замена базы (см., например, [2, глава III, теорема 12.11]) дает Я‘р*(¥ )=0,
1 < к < 3, 1>0, поэтому спектральная последовательность Лере для проекции р вырождается и дает равенства
Н (¥ )=Н‘(¥), 1 > 0, ¥е Т^^). (18)
Аналогично, поскольку пучок Я3, будучи ограничен на слой Р3 проекции р, равен
0р3 (-1), то снова замена базы дает Я1р*( Я^ ® ¥ )=0, 1 <к< 3, 1 > 0, и по аналогии с (18) получаем: Н1( Я3к ® ¥ )=0, 1 <к < 3, 1 > 0 для ¥е Т(02,84). В частности, имеют место равенства:
к1 (Я3 ® Q2) = к1 (Я* ® Q2 ® ~2\ 7 = 2,3, к = 1,2,1 > 0, (19)
к' (Я3 ® Q®) = к1 (Щ ® £2(~2) = к1 (Щ ® £2Q2 ® (~2) = к1 (Я33) = к1 (Я33 ® ~4) = 0, (20)
1 > 0, 7 = 1,2,
к1 (Я32 ® Q2 ® ~4) = к1 (Я3 ® £202 ® ~4) = к1 (Я3 ® Q2 ® £2~4) = к1 (Я32 ® £2~4) =
к1 (Я3 ®02 ®£4 ®~4) = к1 (Я32 ®~4 ®~4) = к1 (Я3 ®£4 ®£2~4) = 0, 1 >0. (21)
Аналогичным образом,
к1 (Я34) = 0, 1 < 2. (22)
Соответственно, рассматривая проекцию q:F а 03 вместо проекции р, получаем к (Я3-1) = 0, 7 > 0. (23)
Далее, рассмотрим проективное пространство Р5=Р(Н) и многообразие флагов Г := {(V с У2 с Н) | V с Н) е Р5, (V с Н) е 02}с естественными проекциями р':Г аР5: (V с У2 с Н) а (V с Н) и q':Г а02: (V с V с Н) а (V с Н) и введем следующие обозначения для пучков: Ь1 := р'*0р5 (1), Q2':= q'*Q2, £4':= q'*£4 £5 = р'*Тр5 (-1),
Ь := ^*0о2(1), Я2 = Ь-1 ® Ц
Эти пучки входят в стандартные точные тройки:
0 а Ь-1 а Q2' а Я2 а 0, (24)
0 а Я2 а £5 а £4' а 0. (25)
Нетрудно видеть также, что ограничение пучка Я- на слой Р2 проекции q равно 0р2 (-2), так что в силу замены базы [2, глава III, теорема 12.11]) имеем:
к (Я3-2) = 0, 1 > 0. (26)
Кроме того, по аналогии с (18) имеем:
Нг (¥') = Нг (¥), 1 > 0, ¥ е Т^2,£4), ¥':= q'*¥. (27)
Соответственно, поскольку слои проекций р' и q' суть Р4 и Р1, то по аналогии с (19)-(22) находим:
к (Я2 ® Ь-7) =
к (Я2; ® Ь-1) = к (Я2) = к (Я22 ®£ 2£5) = к (Я22 ® £5 ® £5) = к (Я2 ® £5 ® £2 £5)
= к (Я2-1 ® Q2'v ) = к (Ь-1 ®£4'®£2£4') = 0, 1 > 0, к = 1,2, 7 = 2,3, I = 3,4, (28)
и аналогично с учетом (27) мы имеем
Н 0( Ь2) = Н О(0о2 (1)) = Л2(Н v), Н 0(Ь1) = Н °(0р5 (1)) = (Н v),
Н\Ь2) = Н \0а2(1)) = Л2(Н v ). (29)
Отсюда и из (27), (28) и тройки, двойственной к (24), следует, что
Н 0®2Ч/) = Н 0^2-) = н \Ц) = н ^, к1 ^) = к1 ^), 1 > 1. (30)
Нам потребуется также следующая простая лемма, вытекающая из [3, лемма 2.9] и троек (16), (24) и (25).
Лемма 2. Имеют место следующие точные тройки на ¥ и Г:
0 ^ Я-3 ® £~4 ^ £ S4 ^ ~ ^ 0, (31)
0 ^ Ц2 ^ £2й2'^ Q2®Я2 ^ 0, (32)
0 ^ Ц-2 ® £ 2й 2' ^ £2 (£ 2Q2') ^ £2 (Q2 '®Я2) ^ 0, (33)
0 ^ Ц-1 ® Q2'^ £2Q2'^ Я22 ^ 0, (34)
0 а £2й2 а £2й3 а йъ ® Я3 ^ 0, (35)
0 ^ Я2 ® £5 ^ £2£5 ^ £2£4' ^ 0. (36)
Теперь перейдем к подробным вычислениям с формулами (15)-(36), доказывающим требуемые равенства (10)-(14) и, тем самым, основную теорему.
(І) Доказательство равенства (10). Тройка (17), умноженная тензорно на Я33, вместе с
(19) и (22) дает: И (й3 ® Я|) = 0, і < 2, откуда в силу (20) и тройки (35), умноженной на Я|, находим:
И (£203 ® Я32) = 0, і < 2. (37)
Аналогично (17) и (19) дают:
к1 (£2Q3 ® Я3) = 0, 1 > 0. (38)
Далее, тройки, получаемые из (24) умножением на Я2 ® Ь1-1 и Я22, соответственно, вместе с (28) дают: к1 ^2'®Я2 ® Ь-1) = к1 ^2'®Я2), откуда в силу тройки (24), умноженной на Q2 '®Я2, следуют равенства:
к1 ^2^2'®Я2) = 0, 1 > 0. (39)
Аналогичным образом из (28) и тройки (24) получаем равенства: к1 ®2 '®Q2 '®Я2 ) = к (Q2 ^ '®Я2 ® Ь-1) = к1 ^ '®Ь-к ) = к1 ©2 '®Q2 '®Ь-2) = к1 (Я22 ® Ь-2) = 0, 1 > 0, к = 2,3. (40)
Далее, тройки, получаемые из (32) умножением на Q2' и Q2'®Q2'®Я2, вместе с (39) и (40) влекут равенства:
к1 (£2Q2'®Q2') = 0, I > 0, (41)
к ©2^2^2'®Я2) = 0, 1 > 0. (42)
Теперь из тройки, получаемой из (32) умножением на Q2 '®Q2', вместе с (40) и (42) получаем к1 (£2 Q2 '®Q2 '®Q2') = 0. Последние равенства вместе с (41) с учетом (18) перепишем в виде:
к (£2С~2 ® С~2) = к (£2£>2 ® С~2 ® 62) = 0, 1 > 0. (43)
Далее, тройка (17), умноженная на Q2 ® Я*, к=1,2, и (19), дают:
к1 Й ® Q2 ® Я3к ) = 0, к = 1,2, 1 > 0. (44)
Отсюда и из (43) и тройки (35), умноженной на Q 2, имеем: к' (£2Q3 ® Q2) = 0, 1 > 0. Последние равенства вместе с (18), (38) и тройкой (17), умноженной на Q 2, дают: к1 (£^ ® Qз) = к1 (£2~3 ® (§3) = 0, 1 > 0. (45)
Аналогично, тройки получаемые из (17) умножением на Q2 ® Я3 и Q2 ® Q2 ® Я3, соответственно, и (19) дают: к1 ((~3 ® Q2 ® Я32) = к1 ((~3 ® (~2 ® (~2 ® Я3) = 0, 1 > 0, откуда,
пользуясь (43) и тройками, полученными из (35) умножением на Q2 ® Я3 и Q2 ® Q2, соответственно, имеем:
к (£2&3 ® йг ® Я3) = к (£2й ® 0~2 ® &) = 0, 1 > 0. (46)
Отсюда и из (37) и тройки (17), умноженной на £^3 ® Я3, следует:
к1 (£2Qз ® Qз ® Q2) = 0, 1 > 0. Откуда вместе с (37) и тройкой, полученной из (17) умножением на £2Q3 ® Я3, имеем к' (£2Q3 ® Q3 ® Я3) = 0, 1 < 2. Предпоследние и последние равенства вместе с (18) и тройкой, полученной из (17) умножением на £ 2Q3 ® Q3, влекут:
к1 (£^3 ® Qз ® Qз) = к1 (£2(~3 ® 0~3 ® &) = 0, 1 < 2. (47)
Равенство (10) теперь непосредственно следует из тройки (1), умноженной на
£2Q3 ® Q3, и равенств (45) и (47).
(11) Доказательство равенства (11). Применяя лемму 1 к точной тройке (35), получаем две точные тройки:
0 а £ 2(£ 20~2) —а £ 2(£2(~3) а сокег(к) а 0,
0 а £2Q2 ® Q3 ® Я3 а сокег(к) а £2((~3 ® Я3) а 0. (48)
Теперь из (20) и точной тройки (17), умноженной на £2Q2 ® Я3, находим:
к1 (£2Q2 ® Q3 ® Я3) = 0, 1 > 0. (49)
Заметим, что изоморфизм £ 2^3 ® Я3) = £2 Q3 ® Я32 и равенства (37) влекут: к1 (£ 2(Qз ® Я3)) = 0, 1 < 2. Отсюда и из (49) и второй тройки (48) получаем:
к1 (сокег(к))=0, 1 < 2. (50)
Далее, (40) и тройка (34), умноженная на Ь-2, дают: к1 (£'®Ь-2) = 0, 1 > 0.
Отсюда и из тройки (33), изоморфизма £2(Q2'®Я2) = £2Q2'®R2 и равенств (20) следует, что к (£2(£2Q2')) = 0, 1 > 0, а значит, ввиду (18) и (27) следует, что к1 (£2(£2Q2)) = 0,
1 > 0. Тем самым, из первой тройки (48) и равенств (50) следует, что к1(£2(£2Q3)) = 0, что в
силу (18) равносильно равенству (11).
(111) Доказательство равенства (12). Из (20)-(21) и точной тройки (17), умноженной на
£4 ® Я32, имеем: к (Q3 ® £4 ® Я32) = 0, 1 > 0, откуда затем в силу тройки (35), умноженной на £4 ® Я3, и (21) следует
к1 (£2(~3 ® ~4 ® Я3 ) = 0, 1 > 0. (51)
Далее, тройка (34), умноженная на £2£4', вместе с (28) влечет к (£2Q2'®£2£4') = 0,
1 > 0, а значит, ввиду (18) и (27)
к1 (£20>2 ® £2~4) = 0, 1 > 0. (52)
Кроме того, из точной тройки (17), умноженной на £2£4 ® Я3, получаем к (03 ® £2£4 ® Я3 ) = 0, 1 > 0, откуда в силу (52) и точной тройки (35), умноженной на £2£4, следует: к1 (£2Q3 ® £2£4) = 0, 1 > 0. Последние равенства вместе с (31), умноженной на
£2Q3, и (51) дают к1 (£2Q3 ® £2£~3) = 0, 1 > 0,откуда в силу (18) следует (12).
(1у) Доказательство равенства (13). Рассмотрим точную тройку, двойственную к (24) и умноженную на Ь1: 0 а Ь2 а Q2v ® Ь1 а Ь а 0. Из нее ввиду (29) находим:
Н®Ь1) = Л2Н vФ £ 2Н ^ Н v® Н v, к1 (Q'v ®Ь1) = 0, 1 > 1.
Отсюда и из (18), (27), (28) и тройки, двойственной к (24) и умноженной на Q2v, следует Н0 (О7 ® (~2Ч/) = Н ^ ® Q2v) = Нv ®Нv, к1 & ® Qv) = к1 (о;® Q2v) = 0, 1. (53)
Далее, рассмотрим многообразие ¥ = ¥ х02 Г с проекциями р : ¥ аГ и q : ¥ а ¥ и на
нем пучки Я3 = q * Я3, Q2 = q * Q2, Ь1 = р *Ь1, Ьк = р *Ьк, к=2,3. По аналогии с (19), (21) и (28) получаем, что к1 (Ь1 -1 ®Ь3 )=0, к1 (Ь1 ® Ь2 -1 ®Ь3 ) = 0, поэтому тройка, получаемая из (24) взятием двойственной, затем применением q * и умножением на Я3 -1, дает:
к1 (ё v®R3■1) = 0.
Отсюда и из определения многообразия ¥ по аналогии с (27) получаем: к1 ((~2/® Я -1) = 0, 1 > 0. (54)
Теперь тройка, двойственная к (17) и умноженная на Я3-1, вместе с (54) и (26) дают: к1 ^ ® Я3Х) = 0, 1 > 0, откуда в силу тройки, двойственной к (1) и умноженной на Я3-1, и (23) имеем:
к1 (5® Я-1) = 0, 1 > 0. (55)
Далее, рассмотрим тройки, получаемые применением q* к двойственной к (1), умноженной на Q2 и, соответственно, взятием двойственной к (17) и умножением на QV :
0 > ~3v 0 Q2v > Hv 0 Q2v —> Q3v 0 Q2v > 0,
0 > R-110 QV > (~3v 0 QV —>Q2V 0 Qv > 0. (56)
Вторая тройка (56) и (53) дают изоморфизм групп сечений h 0(b) : H 0( QV 0 Q2) —H0 (Q2V 0 Q2 ) = Hv 0 Hv . Далее, нетрудно видеть с учетом (30), что гомоморфизм групп сечений для первой тройки (56) h0(a): H0( Hv 0Hv) = H°(HV 0QV) > H°(QV 0QV) в композиции с изоморфизмом h0(b) есть тождественный изоморфизм Hv 0 Hv ——> Hv 0 Hv. Тем самым, первая тройка (56) вместе с последними равенствами (30) ввиду (18) влечет: hl (S3V 0 QV) = 0, i < 1. Эти равенства вместе с (18), (55) и тройкой, двойственной к (17) и умноженной на S3V, дают: И1 (S3V 0 Q3V) = 0, i < 1. Отсюда ввиду изоморфизмов A2Q3 = QV 0 det Q3 = QV 0 Oq3 (-1), Л2 S3 = S3V 0 det S3 = S3V 0 Og3 (1), дающих изоморфизм Л2 Q3 0Л2 S3 = Q3V 0 S3V, следует (13). ~
(v) Доказательство равенства (14). Сначала из тройки (31), умноженной на R3 0 S4, и тройки (21) находим:
h1 (R3 0 ~4 0 S2~3) = 0, 1 > 0. (57)
Далее, из тройки (36), умноженной на R2 0 S5 ,и тройки (28) следует, что h1 (R2 0 S5 0 S2S4') = 0, i > 0. Аналогично, из тройки (31), умноженной на R2, и тройки (28) имеем: h (R2 0 S2S4') = 0, i > 0. Как следствие, точная тройка (25), умноженная на R2 0 S2S4', дает: h (R2 0 S4'0S2S4') = 0, i > 0. Отсюда и из (18), (27), (28) и тройки (24), умноженной на S4'0S2S4', следует: h1 (Q2 0 S4 0 S2~4) = h' (Q2'0S4'0S2S4') = 0, i > 0. Последние равенства вместе с точной тройкой (17), умноженной на S 4 0 S2 S3, дают:
h (Q3 0 ~4 0 S2~3) = 0, i > 0. (58)
Далее, тройка (17), умноженная на R32 0 S 4, та же тройка, умноженная на R3 0 S2 S 4, вместе с (20) и (21) дают равенства: h1 (R32 0 Q3 0 S4) = h! (R3 0 Q3 0 S2S4) = 0, i > 0, применяя которые к тройке (31), умноженной на R3 0 Q3 находим: h (R3 0 Q3 0 S2S3) = 0,
i > 0. Из этих равенств, (58) и тройки (16), умноженной на Q3 0 S2S3, следует:
h (QS3 0 ~3 0 s 2 ,~3) = 0, i > 0.
Отсюда и из (18) вытекает (14). Итак, равенства (10)-(14), а вместе с ними и теорема, доказаны.
Библиографический список
1. Тихомиров С. А. Замыкания Понселе и многообразие M(0,2) модулей стабильных расслоений ранга 2 на пространстве P3. I. // Ярославский педагогический вестник, 2007. 49 (1). С. 35-39.
2. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1981.
3. Altman A.B., Kleiman S.L. Foundations of the theory of Fano schemes // Compositio Math., 34 (1977), P. 3-47.
