Стабильные расслоения ранга 2 с классами Черна C1 = 0, c2 = 2 на P3 и гиперквадрики Понселе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.7

Стабильные расслоения ранга 2 с классами Черна c1 = 0, c2 = 2 на P3 и гиперквадрики Понселе

Сергей А. Тихомиров*

Ярославский государственный педагогический университет, Республиканская, 108, Ярославль, 150000,

Россия

Получена 18.05.2011, окончательный вариант 25.06.2011, принята к печати 10.07.2011 В данной работе мы исследуем многообразие M(0, 2) стабильных векторных 'расслоений 'ранга 2 на P3 с классами Черна с\ =0, с2 =2 и даем точное описание замыкания M(0, 2) как пересечения детерминантами специального вида с однозначно определенной гиперквадрикой Понселе в P20.

Ключевые слова: стабильное расслоение, гиперквадрика Понселе.

Введение

Многообразие M(0, 2) модулей стабильных векторных расслоений ранга 2 с классами Черна ci =0 и с2 =2 на P3 было впервые рассмотрено в работе Р.Хартсхорна [1]. В этой работе он доказал, используя так называемые замыкания Понселе, что M(0, 2) имеет структуру расслоенного пространства со слоем — открытым подмножеством гладкой квадрики в P5 над 9-мерным многообразием гладких квадрик в P3 с выделенной системой образующих прямых. Дальнейшему изучению свойств пространства M(0, 2) посвящена серия работ [2-5]. В частности, М.Нарасимхан и Г.Траутманн в статье [2] построили компактификацию

M(0, 2) пространства M(0, 2) в терминах замыканий Понселе и построили морфизм ф :

M(0, 2) ^ M(0, 2)v, где M(0, 2)v — нормализация замыкания пространства M(0, 2) в схеме Маруямы полустабильных пучков на P3 с классами Черна ci =0, С2 = 2, сз = 0. Кроме того, из результатов [1] и [2] непосредственно вытекает существование морфизма р : M(0, 2) ^ P20 такого, что p|M(0, 2) — вложение. (Ниже в статье мы приводим конструкцию морфизма p.)

Для произвольного векторного пространства (соответственно, векторного расслоения над фиксированной базой) V через Vv будем обозначать двойственное ему векторное пространство (соответственно, векторное расслоение), а через S2V будем обозначать симметрический квадрат пространства (соответственно, векторного расслоения) V. Рассмотрим 4-мерное векторное пространство T и его вторую внешнюю степень H := Л2Т и будем интерпретировать пространство P(S2Hv), как пространство квадрик в пространстве P(H) ~ P5. Рассмотрим детерминанталь Д = {x £ P(S2Hv)| квадрика Qx С P(H) имеет ранг < 3}, где под Qx здесь и всюду ниже понимается квадрика в P(H), соответствующая точке в x £ P(S2Hv).

Настоящая работа посвящена получению точного соотношения между детерминанталью Д и замыканием M(0, 2) образа многообразия M(0, 2) при вложении р, а именно, установлению равенства M(0, 2) = Д П Qponc, где Qponc — гиперквадрика в пространстве P(S2Hv) с уравнением Фс = 0 (см. формулу (6) ниже), называемая в статье гиперквадрикой Понселе. Основной результат статьи — теорема о единственности гиперквадрики Понселе Qponc в P(S2Hv), высекающей M(0, 2) из детерминантали Д. Этот и другие результаты собраны в теоремах 1, 2 и 3 заметки. Всюду в работе в качестве основного поля берется поле k = C.

*[email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

1. Замыкания М(0,2) и М(0,2) многообразия модулей

М (0, 2) стабильных расслоений ранга 2с с1 = 0 и с2 = 2

на Р3

Пусть С := О(1, 3) — грассманиан прямых пространства Р3 = Р(Т), соответственно О := О(3, Н) — грассманиан трехмерных подпространств пространства Н = Л2Т. Понимая точки грассманиана О как плоскости Р2 в пространстве Р(Н) рассмотрим пространство Р20 := Р(^2НУ) квадрик в пространстве Р(Н) и пусть X = {(Р2, х) € О х Р20 | Р2 С SingQx} А Д — стандартное разрешение особенностей детерминантали Д. На О имеет место стандартная точная тройка

0 а5а Н ®Оа А №у а 0 , (1)

где 5 — тавтологическое подрасслоение ранга 3 в Н <8> О а, № — второе тавтологическое расслоение ранга 3 на О, т.е. подрасслоение в Ну <8> Оа, а эпиморфизм Н <8> Оа : №у — двойственный к тавтологическому мономорфизму № а Ну ® Оа.

Для произвольного морфизма векторных расслоений £ а Т через £2£ а £2Т будем обозначать индуцированный морфизм их симметрических квадратов. В частности, тройка

(1) индуцирует точные тройки

2

0 А К А £2Н ®Оа -А 52№у А 0 (2)

и

— 2(2)

0 А В А й2^2Н) ® Оае'——А е)^2(52№у) А 0, (3)

где К := кег в2£ и В := кег е, соответственно.

Естественный изоморфизм сто : Ну -а Л4Ту <8> Н ^ Н, определенный однозначно с точностью до скалярного множителя, является квадратичной формой на Ну, т.е. сто € ^2Н = Н0(£2Н ® Оа). В дальнейшем будем интерпретировать произвольный слой Ш расслоения № как подпространство в Н и, тем самым, Р(Ш) как точку в О посредством

вложения Ш а Ну -а Н, где £ — морфизм в (1). Заметим, что эпиморфизм в2£ в (2) индуцирует вложение проективных спектров Р(^2№у) а Р(£2Н®Оа) = Р(й2Ну) х О = Р20 хО, образ которого по построению совпадает с вышеуказанным разрешением X детерминантали Д. Тем самым, р : Ха Р20 х О а О — проективное расслоение со слоем Р (£2Ш) ^ Р5 над произвольной точкой Р(Ш) € О такое, что ОР(^2^у}(1) = #*(ОР2о(1)|д). Отсюда следует, в частности, что эпиморфизм е в (3) совпадает с композицией

е : ^2(^2Н) ®Оа = рг2*КОР2о(2) : р*0*(ОР2о(2)|д) = р*Оп^У}(2) == й'2^2'^), (4)

где рг! — проекция Р20 х О а Р20.

Рассмотрим сечение

ст = ^0(в2£)(стс) € Н0(й2№у). (5)

Морфизм е в (3) индуцирует гомоморфизм групп сечений ^ = Л.°(е) : й2(й2Н) = Н0(й2(й2Н) ® Оа) а H0(S2(S2Wу)), переводящий квадратичную форму

Фо := й2сто — ^сто • сто (6)

на й 2Н V в сечение

Фо := й2ст — 1 ст • ст € H0(S2(S2Wу)) (7)

расслоения ^(й^Ну). (Напомним, следуя [2,§3.2], что по определению ас • ас есть симметрический гомоморфизм ^2Нv —— 5 2Н : х о у — ас(ж о у)ас.)

Пусть раа — база семейства а-плоскостей на О и, соответственно, — база семейства в-плоскостей на О, где под а-плоскостью (соответственно, в-плоскостью), понимается плоскость, параметризующая прямые в Р3, проходящие через фиксированную точку (соответственно, лежащие в фиксированной плоскости). Так как для произвольной плоскости Р2 = Р(^) £ рз и Рв форма ас|^ тождественно обращается в нуль, то из (7) имеем:

ра и рв

(Ф^ )о,

(8)

где через (Фст)0 обозначена схема нулей Фст.

Будем говорить, что коника Су в двойственной к Р2 плоскости Р2У находится в замыкании Понселе с коникой Б в плоскости Р2 и называть пару (Б, Су) парой Понселе, если существует треугольник, описанный около Б, вершины которого лежат на двойственной к Су конике С = (Су)у. Как показано в [2, §3], для общей плоскости Р(^) С Р5 и коники Б = Р(^) П С = {Сх £ Р(^)| ао(і) = 0} множество Ропс(Р(^),Б) = (Су £ |Ору) (2)| | (Б, Су) - пара Понселе} удовлетворяет в |ОрV) (2)| = Р(Б2^) уравнению:

Ропс(Р(^), Б) = {у £ Р(Б2^) I Фст(у) = 0}. (9)

Пусть С (С) — схема Гильберта коник, лежащих в С. Рассмотрим расслоенный квадрат

X —— х

/

С(С)

(10)

а,

в котором 5 : С(О) — О — раздутие С с центром в Р^ и Рв, так что X = Р(5*5 2Н у) — С (О)

— расслоение со слоем Р5, и обозначим М := {х £ Р(52Н1^|ФСТ(х) = 0}. Как показано в [2], многообразие М(0, 2) реализуется как дивизор в X такой, что т(М(0, 2)) = М. Отсюда с учетом (8) и (9) следует, что

(1) X Хх М есть объединение двух дивизоров в X:

X хх М = С (С) хс М = У и М(0,2),

(11)

где У := (р • т) х(Ра и Рв);

(п) а М(0, 2) — С (О) - расслоение со слоем Ропс(Р (^ ),5) над произвольной точкой (Р (^ ),5) £ С (О). Таким образом, предыдущая диаграмма достраивается до диаграммы, состоящей из расслоенных квадратов:

У и М(0, 2)

М

х

^х

!

С(С)

т т

г Р }

а.

При этом упомянутый в начале заметки морфизм р : М(0, 2) — Р20 строится как композиция М(0, 2) — X -— Xе— Р20 х О — Р20 (см. [2, §2]). Напомним, что, как доказано в

[1, §9], р|М(0, 2) — вложение, а значит, р : М(0, 2) — М(0, 2) = р(М(0, 2)) — бирациональ-ный морфизм. Теперь заметим, что при этом бирациональном морфизме слои (9) проекции

р

ь

М(0, 2) — С (О) в силу определения формы Фст (см. (6) и (7)) переходят в подмногообразия детерминантали Д в Р20 вида {у £ Р(52^) С Д | Фс(у) = 0}. Следовательно,

М(0, 2) = Д П дрспс, (12)

где ^Ропс — гиперквадрика в Р20 с уравнением Фс = 0. Назовем ^Ропс гиперквадрикой Понселе.

Собирая вместе полученные результаты, имеем следующую теорему.

Теорема 1. (1) Существует выделенная гиперквадрика ^Ропс в Р20 с уравнением Фс = 0 такая, что М(0, 2) = Д П ^Ропс.

(2) Многообразие М(0, 2) как дивизор в X = Р(52Н^) Хс С (О) задается уравнением Ф = 0, где Ф = рг2Фо(—У) — сечение линейного расслоения рг2ОР20(2)(-У) на X,

а рг2 означает композицию X — С(О) х Р20 — Р20. Соответственно, Ох(М(0,2)) =

рг2*Ор2о (2)(-У).

(3) М(0, 2) есть раздутие М вдоль подсхемы Z = р-1(Ра и Рв), где морфизм р : X — О определен в диаграмме (10).

2. Единственность гиперквадрики QPl

опс

Естественный вопрос, возникающий в связи с описанием (12) многообразия М(0, 2), состоит в том, является ли ^ропс единственной гиперквадрикой в Р20, пересекающей Д по многообразию М(0, 2). В этом параграфе мы даем положительный ответ на данный вопрос (см. теорему 3 ниже). Нам потребуется следующий результат.

Теорема 2. Отображение групп сечений Л0(е) : 52(52Н) — )) для точной

тройки (3) является изоморфизмом.

Доказательство. Согласно [6, §6.1, ех.6.16], имеем следующее разложение пространства 52(52Н) на неприводимые относительно группы ОЬ(Н) слагаемые: 52(52Н) = 84’0Н © 82,2^. Аналогично, имеем разложение расслоения 52(52Н'^)) на неприводимые относительно группы ОЬ(С3) слагаемые: 52(52Н^) = §4,0Нv © 82,2Н^. Здесь V ^ — функтор

Шура (см., например, [6, §6.1]) для произвольного г-мерного векторного пространства (соответственно, векторного расслоения) V, Л = (Л1,Л2,...,ЛГ) — произвольное разбиение, т.е. невозрастающая последовательность неотрицательных целых чисел. Тогда, пользуясь равенством (0.1) статьи [8] и процедурой нахождения старшего веса неприводимого представления по его диаграмме Юнга (см., например, [7, стр.284-285]), находим в обозначениях работы [8] старшие веса неприводимых компонент наших разложений: 84,0^ = Я0’0’0’0’0’-4Н, 84,0Нv = £0’0’-4Н; 82,2Н = Я0’0’0’0’-2’-2Н, §2,2нv = Я0’-2’-2Н. Наконец, в соответствии с теоремой Бореля-Вейля-Ботта (см., например, [8, предложение 2.2а)]) получаем изоморфизмы ^0(е«1) : £0’0А0А-4Я — Я0(£0’0’-4Н) и Л0(в«2) : Я0’0’0’0’-2’-2Н — Н0(£0’-2’-2Н), где е«1 : Я0’0’0’0’0’-4Н ® Ос : Я0’0’-4Н и е«2 : Я0’0’0’0’-2’-2Н ® Ос : Я0’-2’-2Н — морфизмы вычисления. Так как по построению Л0(е) = Л0(е^1) © Л0(е^), то отсюда вытекает утверждение теоремы. □

Заметим, что в силу (4) и предыдущей теоремы гомоморфизм Л0(е) разлагается в композицию 52(52Н) = Н0(Ор2о(2)) Л°(—л) Н0(Ор2о(2)|д) —— Н0(Ор(52^У)(2)) = Н0^2^2^)). Отсюда получаем основной результат настоящей заметки.

^0 (ге£ )

Теорема 3. Отображение групп сечений Н0(ОР2о(2)) — Н0(ОР2о(2)|д) — изомор-

физм. Тем самым, гиперквадрика Понселе ^Ропс — единственная гиперквадрика в Р20, высекающая многообразие М(0, 2) из детерминантали Д.

Список литературы

[1] R.Hartshorne, Stable vector bundles of rank 2 on P3, Math. Ann., 238(1978), 229-280.

[2] M.S.Narasimhan, G.Trautmann, Compactification of MP3 (0, 2) and Poncelet pairs of conics, Pacific J. Math, 145(1990), 255-365.

[3] M.S.Narasimhan, G.Trautmann, The Picard group of the compactification of MP3(0, 2), J. Reine Angew. Math., 422(1991), 21-44.

[4] W.Singhof, G.Trautmann, On the topology of the moduli space M(0,2) of stable bundles of rank 2 on P3, Q. J. Math., Oxf. II. Ser. 41(1990), №163, 335-358.

[5] M.S.Narasimhan, G.Trautmann, Compactification of M(0,2), Vector bundles on algebraic varieties, Pap. Colloq., Bombay 1984, Stud. Math., Tata Inst. Fundam. Res., 11(1987), 429443.

[6] W.Fulton, J.Harris, Representation theory, A First Course, Springer, 1991.

[7] А.Барут, М.Рончка, Теория представлений групп и ее приложения, М., Мир, 1980.

[8] М.М.Капранов, О производной категории когерентных пучков на многообразиях, Известия РАН, Сер. матем., 48(1984), №1,192-202.

Stable bundles of rank 2 with Chern’s classes ci = 0, c2 = 2 on P3 and Poncelet hyperquadrics

Sergey A. Tikhomirov

In this article we investigate the variety M(0, 2) of stable vector bundles of rank 2 on P3 with Chern’s

classes ci =0, c2 =2 and give the explicit description of closure of M(0, 2) as the intersection of special

determinantal locus with uniquely determined Poncelet hyperquadric in P20.

Keywords: stable bundle, Poncelet hyperquadric.