CC BY
13В силу полученной ранее асимптотики ~ к/р, р —> оо, с учетом р — X/(orf), получаем Тк ~ (of)k)~l и Tk m ~ (а7)_1(/г_1+.. ,+m-1), р —> оо. Если речь идет о росте интенсивности потока Л —» оо, а величина of) остается постоянной, то эти соотношения дают пределы
Разумеется, полученные результаты имеют теоретический характер, а их применимость на практике нуждается в проверке статистическими исследованиями. Рассмотренная модель допускает дальнейшие обобщения и уточнения. Возможны также и другие приложе-
Библиографический список
1. Лидбеттер, М., Линдгрен, Г., Ротсен, Х. Экстремумы случайных последовательностей и процессов [Текст]. - М.: Мир, 1989.
2. Heinrich L., Molchanov I.S. Some limit theorems for extremal and union shot-noise processes // Math. Nachr., 1994, v.168, p. 139-159.
3. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы [Текст]. - М.: Институт компьютерных исследований, 2002.
А.С. Тихомиров
СТАБИЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ РАНГА ДВА С С = 0 И С2 = 2 НА ДЕРЕВЬЯХ РАЗДУТИЙ ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ
1. Введение
Пространства модулей стабильных алгебраических векторных расслоений с фиксированными топологическими инвариантами (классами Черна) на проективном многообразии, как правило, являются квазипроективными, но не проективными схемами. Поэтому возникает естественный вопрос об их проективных компактификациях. Обычной для алгебраической геометрии компактификацией пространств модулей является компактификация Гизекера-Маруямы [5]. В калибровочной теории в силу соответствия Кобаяши-Хитчина стабильным векторным расслоениям ранга 2 с 0\ = 0 на гладкой комплексной проективной кривой или алгебраической поверхности X соответствуют антиавтодуальные (относительно ходжевой метрики) связности на соответствующем гладком SU(2)-расслоении на подлежащем X дифферецируемом многообразии. Компактифика-цией пространств модулей, то есть классов калибровочной эквивалентности таких связ-ностей, применяемой в гладкой топологии, является компактификация Улен-бек (называемая также компактификацией слабыми пределами). К.Таубсом [9], С. Дональдсо-ном и П.Кронхеймером [1], П.Феханом [2] исследовалась другая компактификация пространств модулей связностей посредством так называемых сильных пределов связностей. Алгебро-геометрический аналог компактификации сильными пределами для случая алгебраических кривых был описан Д.Нагараджем и С.Сешадри [8]. Вопрос о существовании такого аналога в двумерном случае алгебраической поверхности до последнего времени являлся открытым. Недавно Д.Маркушевич, автор настоящей заметки и Г.Траутманн построили такой аналог. В этой компактификации пределами векторных расслоений на поверхности, обозначаемой ниже через So, являются векторные расслоения на приводимой поверхности S, называемой деревом раздутий поверхности S0 и получаемой из поверхности S0, раздутой предварительно в конечном числе точек, приклеиванием к ней нескольких экземпляров проективной плоскости, также предварительно раздутых в общем случае. (Точное определение дерева раздутий и расслоения на нем дается ниже в пунктах 2.1 и 2.2 параграфа 2.) Полное изложение теории таких компак-тификаций в настоящее время готовится к публикации. В данной заметке мы рассматриваем первый нетривиальный пример семейства стабильных расслоений на деревьях раздутий в случае, когда исходная поверхность S0 есть проективная плоскость P2 и второй класс Черна расслоения равен 2. Основной результат заметки - утверждение о том, что семейство M2(P2) классов изоморфизма стабильных расслоений ранга 2 с 0\ = 0, c2 = 2 на деревьях раздутий проективной плоскости P2 ограничено и биективно проективноиму пространству P5, раздутому вдоль поверхности Веронезе (см. теорему 4.4).
Всюду в заметке основным полем является поле комплексных чисел С.
2. Векторные расслоения на деревьях раздутий алгебраической поверхности 2.1. Деревья раздутий алгебраической поверхности
стичным упорядочением "<" его вершин % удовлетворяющим условиям: (1) существует единственная минималвная вершина ¿о относителвно этого упорядочения (назвшаемая
г € Т \ {/'о] существует единственная вершина г~ такая, что < % и не существует других
рез множество {г' £ Т\г — г'~} вершин графа Т, называемых вершинами, исходящими из вершины г. Обозначим также через Тщ} множество всех верхних вершин графа Т, т.е.
вателвноств неотрицательных целых чисел, приписанных вершинам дерева Т и удовлетворяющих условиям: (1) п(Т) := = п (та,к назв1ваемое "топологическое"условие), (11) если щ = 0, то г+ состоит по меньшей мере из двух вершин (отсюда, в частности,
удовлетворяет условиям (1) и (п)} и, соответственно, Тп = {Т - дерево | существует Шр такое, что (Т, Л^) £ Т„}. Множества Т(/ и Т,г, очевидно, являются конечными.
Пусть Бо - гладкая проективная алгебраическая поверхноств над нолем к. Рассмотрим
различных точек в рассматриваемое как приведенная 0-мерная подсхема длины г¿0 в гг :=: 1г 11 различных точек и рассматриваемом как приведенная 0-мерная подсхема длины
Определение 2.1. Для фиксированных данных (Т, Ду), описанных выше, обозначим че-
ством изоморфизмов ¡рг, взятвк из данных Вт- Назовем поверхноств Бт, рассматриваемую как приведенную связную приводимую поверхность, деревом раздут,ий поверхности
Обозначение 2.2. Если В — 1)5* есть дерево поверхностей, то оно однозначно определяет
2.2. Векторные расслоения на деревьях раздутий
ческое векторное расслоение на компоненте дерева St для г G Т \ {г0} расслоением
где используются стандартные обозначения для прямых lj, j € г+, на 5», a Zi есть некоторая подсхема размерности < 0 в Si \ {( U lj) U Тройка (1), в частности, влечет:
Определение 2.4. Пусть Os0(h) - обильное линейное расслоение на ,6'0. Для п > О рассмотрим схему Мд0(п) — Mg0h(n) модулей /г-полустабильных алгебраических век-
значаем через М$0(п) компактификацию Гизекера-Маруямы схемы М$0(п) классами S-
Определение 2.5. Для фиксированного натурального числа п и данного взвешенного де-
— дерево раздутий поверхности So- Векторное насслоение Е = Ef ранга 2 на поверхности St (или, что то же, пара (St, Ef)) называется векторным расслоением на дереве раздутий
Число п называется полным вторым классом Черна расслоения Е и обозначается п = 02(E). Под изоморфизмом векторных расслоений на деревьях раздутий понимается изоморфизм пар (St, Ef) в обычном смысле. Будем обозначать через Mn(So) множество
Обозначение 2.6. Для векторного расслоения Е с 02(E) = п на дереве S раздутий поверхности So через T(S, Е) будем обозначать взвешенный граф (дерево) Т € Т„, однозначно
3. Многообразие модулей Л/г>(2)'' пучков ранга 2 на проективной плоскости
В настоящем параграфе рассматривается одно тсорстико-иивариантное описание многообразия модулей ±\1р2 (2) пучков ранга 2cci = 0hco = 2 па проективной плоскости Р- = Р(У), dime У = 3. Это описание затем используется для явного построения семейства Е таких пучков с базой В, для которой соответствующий модулярный морфизм
В —> МР2 (2) : Ь I—> [Е|Р'-' х {6}] сюръективеи и допускает эффективное описание в терминах линейной алгебры. Конструкции этого параграфа будут использованы затем в §4 для описания искомого множества Мг(Р2) (см. теорему 4.4 и следствие 4.5).
Пусть Н - фиксированное векторное пространство размерности clinic Н = 2. Рассмотрим многообразие X :— Р(Н) х P(V) — Р1 х Р2 с проекциями на сомножители
Пусть Р5 = Р(Н ® V). Для произвольных ненулевых векторов /г £ Н, г» Е V, ихеЯ® V будем обозначать через < Л >, < V > и < х > отвечающие им точки в Р(Н), Р" и Р5
Всюду ниже мы будем отождествлять X с его образом при вложении Сегрс йц). Далее,
и для произвольной точки у £ С через 1У будем обозначать соответствующую прямую в Р5, а через С2 - соответствующее двумерное подпространство в Н ® У:
Далее, рассмотрим каноническое разложение векторного пространства А-(Н ® У): и соответствующие этому разложению вложения пространств Р(32Н ® Л2У) и Р(ЛгН ®
Эти вложения определяют рациональную линейную проекцию с центром
соответствующую проекции пространства Л2(Н ® У) на прямое слагаемое Л2 Н ® Б2 V. Рассмотрим вложение Плюккера О <—* Р14 грассмаииаиа С. Нетрудно видеть, что
Поэтому, рассматривая в С плотное открытое подмножество
Далее, рассмотрим естественное действие редуктивиой группы 5Х(Я) на векторном пространстве Н и се индуцированное линеаризованное действие па проективном пространстве Р14 = Р(л'- (Н®У)) и грассмапиапс О. Прямое применение критерия Гильберта-Мам форда показывает, что описанное в (10) множество СПР^у есть в точности множество точек грассманиана С, нестабильных относительно этого действия; соответственно, С* есть мио-
Более того, морфизм п : С* —> Р(5'"Ч/Г), очевидно, является 5£(Я)-эквивариантиым.
У = GSV/5L(Я)
в которой существование морфизма / вытекает из того, что У, будучи хорошим С1Т-фактором, является категорным фактором. Поскольку, как нетрудно видеть, слои мор-физма тг являются замыканиями орбит группы ЗЬ(Н) (а над точками открытого множества в Р(£V) - в точности замкнутыми орбитами), то морфизм / является биективным. Так как Р(52У) - гладкое многообразие, то отсюда следует, что / - изоморфизм:
(16) / : С"//5£(Я) ^ Р(52У)
(см. [10, гл. II, §4, Теорема 2]), а значит, морфизм тг является С1Т-фактором:
(17) в3* Л С3//БЦН) - Р(52\/).
При этом, интерпретируя пространство Р(Б V) как линейный ряд |0^(2)| коиик в двойственной к Р2 плоскости Р2 = Р{У), прямой проверкой получаем следующее
Предложение 3.1. Пусть у £ С" - произвольная точка и 1у - соответствующая ей прямая в пространстве Р5 = Р(Н ® V). Тогда точка Су — тг(у) € Р(5гУ), интерпретируемая как коника в плоскости Р2, описывается следующим образом:
(18) Су = {Р1 = Р(Ц) С Р2 | Р(Н ® Ц) П 1У ф 0}.
3.2. Изоморфизм многообразия Мрг(2) с пространством Р5.
Пусть 0 - тавтологическое двумерное расслоение на грассманиане и 17 — и\Сзя, так что имеем вложение подрасслоеиия:
(19) 0 ^ Н ®У ®Ос°>.
Это вложение и естественная сюръекция V ® ÖP> — тивный морфизм пучков на Gss х Р2:
(20) j : UM Ор2 -Я ® V ® öG»s Kl О,
Тр2 (—1) ~ í2jj>2 (2) определяют инъек-
•dlHSOmа йе
2 ——-- Я ® Оа- и Пр2 (2).
Положим Е = (coker j) ® О о™ ЕЗ 1), так что точна тройка:
(21) 0 -> UM Ор2(-1) Л Н ®0Gs. ЙОр2(1) -» Е -> 0. Для произвольной точки у € Gss пучок
Еу = Е\{у} х р2
на Р2 включается в точную тройку (21), ограниченную на {г/} X Р2:
(22) 0 С2 ® Ора(—1) i Я ® Í2pa(l) -» Еу -> 0.
Заметим, что из условия у £ G п pfjy и описания пересечения G п р//д/, приведенного в (10), непосредственно следует, что пучок Еу полустабилеи па р2. Тем самым, получаем морфизм
(23) р : G33 - МР2(2)6' : у^[Еу].
Покажем, что морфизм р сюръективен. Действительно, для произвольного пучка Е, где [£] € Mr- (2) , ввиду полустабильности Е с учетом теоремы Римана-Роха легко получаем:
(24) hl(E(-1)) = hl(E(-2)) = 2; ВД-j)) =0, j =0,0 < i < 2, or j = 1,2, i ф 1. Поэтому, фиксируя отождествления
(25) Н^Н\Е(-1)), С2 ^ Hl(E(-2)),
и рассматривая резольвенту Кошуля диагонали Рд па Р2 х Р2, тепзорио умноженную на ЕМОР2-.
(26)
0 -» Е{-2) М Ор2(-1) -> £(-1) ВÍ2pe(l)
и применяя к ней функтор Wprv*, получаем точную тройку: (27) 0 -» С2 ® 0Р «(-1) ЛЯ® Пр2(1) -» Е -> 0.
Подкручивая эту тройку на Ор<(1) и переходя к сечениям, получаем вложение С2 <—► Я ® (ílpi(2)) ~ Я ® V. Рассматривая в соответствии с (6) образ этого вложения как точку у S G и учитывая стабильность пучка Е, убеждаемся, что у £ G33, так что тройка
(27) совпадает с тройкой (22), в которой Еу — Е, а значит, р(у) — [Я], то есть морфизм р сюръективен.
Для произвольного пучка Е, где [Я] £ Л/р2 (2) , определена кривая прямых подскока с(.е) := {Р1 с Р2 | Я1Р1 ф 20pi}. Эта кривая является коникой в двойственной к Р2 плоскости Р2 = Р(У), то есть точкой линейного ряда |С^з(2)| = P(S'2V), и отображение (так называемый морфизм Барта)
(28) у : Му2(2) ' -> P(S2V) : [Я] i-» С(Е)
является, как известно, изоморфизмом (см., например, [4]). При этом имеет место Предложение 3.2. (i) Коммутативна диаграмма:
(29) G33-2-P(S2 V).
(и) Пусть Д := {С £ Р(52У) | С - приводимая коника в Р2} - детерминантная гиперкубика в Р(52К). Тогда V) \ Д) = Мр>(2) - многообразие модулей стабильных векторных расслоений (локально свободных пучков) ранга 2 с — 0, — 2 на Р2.
(Иг) тг_1(Р(52V) \ Д) = С - открытое подмножество в С" чисто стабильных (в смысле Мамфорда) точек относительно действия группы ЗЬ(Н), имеющее следующее геометрическое описание:
(30) С* = {у £ С83 | 1УП X — 0},
где X с Рг' - многообразие Сегре. определенное в (3).
Доказательство. (¿) Простая проверка (через ограничения тройки (27) на прямые Р1 С Р2) с учетом предложения 3.1. (и) См. [7, Глава 2, §4].
(Ш) Непосредственная проверка по критерию Гильберта-Мамфорда.
4. Семейство расслоений ранга 2 на деревьях раздутий проективной
плоскости
4.1. Перестройки С1Т-фактора С8* Д Р(52\/) в смысле Ф.Кирван
Рассмотрим в С3 замкнутое подмножество
(31) г0 = {у € С33 | 1У = Р{Н® <у>), <ь>Е Р2} и локально замкнутые подмножества
(32) г[ = {у £ С3 I 1у П X = хх и ®2, xi =< Ы ® >, 1ц £ Я, щ £ V, г = 1, 2},
(33) г" = {у € с33 I 1епдЩ1у П X) = 2, Эирр^ П X) =< Н ® V >, Н £ Я, в£ V'},
(34) ¿о = {у £ С" | 1епдЩ1у Г\Х) = 1, 1уПХ =<1г®у>, 1г £ Н, V £ V}.
Положим Zl = Z{ и Z1". Нетрудно видеть, что множества Z^, 2", 2<>, рассматри-
ваемые как приведенные подсхемы в С85, являются гладкими неприводимыми многообразиями, причем
(35) г0, 2'{ с г[ = с Ж,
где Z'1, 2\ и 2-1 - замыкания 2[, 2\ и 2ч в С" соответственно. Далее, рассмотрим в Р(Б2У) поверхность
V := {С £ Р(Б V) | С - неприведенная коника (двойная прямая) в Р2}.
V есть поверхность Всронсзс в Р(5'2 V), то есть образ Р2 при вложении Всронезе V : Р2 ► полным линейным рядом |Ср2(2)|. При этом
(36)
V = Sing Д
- множество особенностей кубического симметроида Д (являющихся обыкновенными квадратичными особенностями типа Лх).
Для произвольной точки у £ 0за через ЗЬа}э(у) будем обозначать стабилизатор в группе 5Х(//) точки у. Из описаний (31)-(34) непосредственно вытекает
Предложение 4.1. (¡) тт(20) = V и 2$ = {у £ С* | с1ип Б1аЬ(у) = 3}. (и) тг^) = Д\ Уи2о = {у£ | с1ип Э1аЬ(у) = 1}.
(¡И) тг(2о) — Д ч V и 2<1 — {у £ С" | с!ш1 Б1аЬ(у) = 0}. При этом 5Ь(Н)-орбита 0(у) произвольной точки у £ 2ч не замкнута в С88, и ее замыкание О (у) в Сяя удовлетворяет условию
(37) Щ^О(у) с Ж.
Пусть сто : Go —> G - раздутие G вдоль подмногообразия 2о, 2\ - собственный прообраз 2\ при (То и 0"i : G —* Go -раздутие G1 вдоль Z\. Обозначим à = оо'^ь А) = ô"_1(Zo), D\ = af1^) и рассмотрим в G открытое подмножество
(38) G* =à~\Gss ч Z2).
Согласно Ф.Кирван [3], на G определено действие группы SL(H), совпадающее на открытом подмножестве <7_1(GS) ~ Gs стабильных по Мамфорду точек с исходным действием группы SL(H) па G" и допускающее новую естественную линеаризацию. При этом из конструкции Кирваи и предложения 4.1 непосредственно следует
Предложение 4.2. (i) G* содержит открытое подмножество Gs стабильных по Мамфорду точек из G относительно новой линеаризации.
(И) Раздутие à согласовано с раздутием о — Blç : P(S2V) —* P(S~V) пространства P(S-V) ~ Р5 вдоль поверхности Веронезе V, то есть определен морфизм
(39) ît : G" P(S*V),
являющийся геометрическим GIT-фактором. который делает коммутативной диаграмму:
G"
P(S*V)^P(S2V).
(пг) Рассмотрим на Р(52 У) гладкие дивизоры £ = а '(V) и А = а 1(А)ргор. Тогда
(41) := Д> П = тг_1(Е), := Д П 6* = п~\А). Заметим, что в соответствии с конструкцией Кирвап имеем:
(42) П ¿Г1^) = 0.
Действительно, нетрудно видеть с учетом (37), что замыкание в С 5Х(Я)-орбиты 0(у) произвольной точки у 6 а~1(г2) — Z2 содержит точки из лежащие в 5/,(//)-орбите отличной от у точки из С. Отсюда вытекает (42).
4.2. Семейство С^-пучков над модифицикацией Р многообразия флагов
¿7(2,3 ,Я®У).
Рассмотрим многообразие флагов Р/2,з = -Р/(2,3, Я ® V) := {(С2, С3) € С X Сг(3, Я ® V) | С2 с С3} с проекциями
(43) СП и его модификацию
(44) Г = Р/2,3Хс<Г
7 <5
с естественными проекциями Сг8 Р —» Р72,з- На Р определены векторные расслоения
(45) и = 6*р2и, W = Ор,
где \¥ — тавтологическое расслоение ранга 3 па Сг(3, Я ® V). Применяя к тройке (21) функтор (р26 X гс/рг)* и обозначая Е/? = (р26 X гс?р2)*Е, получаем точную тройку:
(46) 0-»ий Ора(-1) Ля® С/т И Яр2(1) -» Е/т -> 0, которая но построению включается в диаграмму:
(47) 0
0->U8ÖF(-1)-> Н ®0FMttP2(l)
Ь§0Г2(-1)
Ер
о-* W И cv(-l)-я ® C»F И Прз(1)-^ lz,Fxpi ® CF Kl ör.(l)-о
LHÖfce(-l)
0,
в которой L := W/U - обратимый пучок на F, а Z - подсхема коразмерности 2 в F X Р2. Ниже мы дадим более подробное описание схемы Z. Для этого рассмотрим в Fl2$ локально замкнутые подмножества
(48) Уо = {(С2, С3) € Fh,з | ZQ Э Р(С2) = Р(€3) П X },
(49)
Г, = {(С2, С3) е F/2,3 I с Zu dimP(C3) ПХ = 0 }.
Нетрудно видеть, что
(50) ГоСГь
где У у - замыкание в П^^.
Рассмотрим в Сдивизоры ВЦ и И3, оирсдслсипыс в (41), и их обратные образы
(51) 00=7-4^0). =7_1Рг)
при проекции 7 : Я —> Ст3. Из (31)-(33), (48)-(49), диаграммы (40) и равенств (41) имеем:
(52) Бо^ГЧП),
(здесь замыкание берется в Я). Положим
(53) В0* := \ (ВоПОО, Бх* := Эх ч (Б0 ПОх), \ (Б0 иОх). По определению имеем:
(54) г = Е*ив0*ив1*и(в0пв1).
Возьмем произвольную точку а £ Я и рассмотрим ограничение на плоскость {а} X Р2 правой вертикальной тройки из диаграммы (47):
(55) 0->СИ-1)-> Еа ^ 12аГ.{1) ^ о,
(56) Еа := Ег\{а} х Р2, := 2 П ({а} х Р2),
и использовано стандартное отождествление {а} х Р2 ~ Р2. Из предложений 3.2 и 4.2 непосредственно следует, что
(57) [Еа]=<р-1стп'у{а).
Кроме того, заметим, что точка а определяет флаг векторных подпространств £/а с И а с Н <8> V, где иа := и|{а}, \Уа := Л¥|{а}, то есть, что то же самое, флаг проективных подпространств
(58) Р{иа) =: 1а с Р; := Р(\Уа) с Р{Н ® У).
В соответствии с (54) возможны следующие случаи: (I) а € Я*, (И) а € В0*, (III) а € Ох* и (IV) а € О0 п Эх- Рассмотрим эти четыре случая.
Случай (I): а £ Е*. В этом случае, как нетрудно видеть,
(59) га=ргу{ Р2аПХ)
- нульмерная подсхема длины 3 в Р2, и в силу (57) и предложения 3.2(Н) Еа - локально свободный пучок:
(60) [Еа] б Мр2(2).
Случаи (II) и (IV): а £ О0. В этом случае согласно (52) имеем 6(а) € Уо, то есть 1а — Р(Н® < V >) = ргу1(х) для некоторой точки х —< V >6 Р2, так что имеем отождествление 1)а ~ Н. Поэтому ограниченная па {а} х Р2 тройка (46) есть тепзорио умноженная на Н тройка 0 —> Орз(—1) —► (1) —» Тх Р2 —> 0, так что
(61) Еа = Н®1хГ., и тройка (55) принимает вид
(62) 0 Ог.(-1) Н ®1хГ_ -> 12аГ.{\) -» 0.
Эта тройка естественным образом продолжается до коммутативной диаграммы (63) 0 0
0Р2 (-1)-Я ® ХхГ.-* Т2аГ.{\)-- 0
е : 0-> Ог- (-1)-Я ® 0Г--> ТхГ.{\)-> 0
С;
€
О 0.
Правая вертикальная тройка в этой диаграмме показывает, что
(64) Za = х(1)
- первая инфинитезимальная окрестность точки х в Р2.
Случай (III): а £ Di*. В этом случае в соответствии с (32), (49), (52) имеем Р2^(а) G Z[, и, как и в случае (I), верно равенство (59), причем
(65) Za = prv(Р2 П X) D prv{L П X) = xi U х2, length(Za) = 3.
При этом ограничение тройки (46) на {а} х Р2 распадается в прямую сумму троек 0 —* 0Р2(—1) —> £V>(1) —» Тх.у2 —> 0, г = 1, 2. В частности,
(66) Еа — ТхиР2 ф 1Х2 J>2 .
4.3. Два раздутия многообразия F х Р2. Семейство деревьев раздутий X —> F
На многообразии Х0 :— F X Р2 рассмотрим подсхему
(67) В0 = (Z П (Do х P2))red,
Из (64) нсиосрсдствеино следует, что рт11 Во : Во —> D0 - изоморфизм, где ргу : Х0 —> F -естественная проекция. Тем самым, Во - гладкое подмногообразие коразмерности 3 в Х0:
(68) codimXo ßo = 3. Рассмотрим раздутие
(69) сг0 = Blßo : X' Х0 многообразия Х0 с центром в Во, и пусть
(70) Z0 = (aö1(Z))prop
- собственный прообраз подсхемы Z при раздутии о~о ■ Далее, рассмотрим в Z локально замкнутое подмножество
(71) В{ = Smg(E/r) П ((F \ D0) х Р2). По построению имеем изоморфизм а^1(В1) ~ и пусть
(72) В у = o-q Ч^Г). codimx'Bi = 3. -замыкание <7q1(B1[) в X'. По построению
(73) В1 с Zo,
и из (66) следует, что рг1оо\В[ : В\ —> Ох - двойное накрытие. При этом нетрудно проверить, что В у - гладкое подмногообразие в X'. Пусть
(74) ах = В1в, : X —> X' - раздутие X' с центром Вх. Рассмотрим композицию
V- о-=<Уа<У\ V рг 1
(75) р : X-> Х0-> Я.
Из (67)-(74) иепосрсдствсино вытекает
Предложение 4.3. р : X —> ^ есть плоское семейство деревьев раздутий проективной плоскости Р". Слои Ба — р_1(а), а € Я, суть деревья раздутий плоскости Р" с графами Г(5а) € То вида:
а£Г а€Б о* а € а <Е В0 П Бх
4.4. Семейство расслоений на семействе деревьев раздутий X —»
В соответствии с (73) рассмотрим в открытое подмножество 2^ = 2о \ В\. По построению имеем изоморфизм стр1 (2Щ) ~ 2ц, и пусть
(76) 2 =
-замыкание сг^1^^) в X.
Далее, рассмотрим на X дивизоры
(77) Во = (ао^ГЧДО, Вх = а^О и введем следующие обозначения:
Х0* = Х0 \ (Во и В1), 2* =2 ПХ0*, ¿ = ЫаОрв(-1),
X* - X \ (Во и Вх), 2* - 2 П X*, I - N -
В этих обозначениях правая вертикальная тройка в диаграмме (47) записывается в виде:
(78) 0 -» Ь -> Х2,Хо ® -> 0. Эта тройка как расширение определяет элемент
(79) зоеЕх^^Ло Так как сосЦт^Хо! то имеем изоморфизм пучков
(80) Нот(12Ло ® .V, Ь) ~ I) = ЛГ ® I = Ь Н Ор2 (-2).
Пользуясь заменой базы для проекции ргх : Х0 —> F и обнулением когомологий пучка Ор2(—2), получаем равенства Я'рг 1»(Ь СР2(—2)) =0, г > 0, поэтому спектральная последовательность Лерс для проекции ргх дает Н'(Ь И 0р2 (—2)) = 0, г > 0. Отсюда и из (80) и спектральной последовательности локальных и глобальных Ех^ов получаем изоморфизм
Далее, но построению имеем изоморфизмы
(83) а : X* Д Х0*, а : ¿* ^
поэтому ограничение на Х0* сечения зо можно рассматривать как сечение
(84) е Н°(Л|Х*), А = ъ ® Й, I).
Теперь из рассмотренного в пункте 4.2 ограничения расширения (78) на слои {а} х Р2 для всех возможных случаев (1)-(1У) (в частности, из формул (60), (61) и (66)) следует, что сечение й* продолжается до нигде не обращающегося в нуль сечения 5 пучка Л(2В0 + В1):
(85)
5 € Я°(Л(2Во + Вх)) = Н°{8х^(1г Х ® Й, ¿(2В0 + Вх))).
Нетрудно проверить, что это сечение 5 является образом некоторого элемента 5 группы ЕхЪ1(12 Х®ДГ, ¿(2В0+В1)) при естественном гомоморфизме Ех^!^ Х®Л\ ¿(2В0+В1)) —* ® Дг, ¿(2В0 + В!))). Этот элемент 5 определяет расширение
(86)
0 -» ¿(2В0 + ВО -» Ё -»I.
2,Х
N -»0.
Так как 5 нигде не обращается в нуль на 2, то из конструкции Ссрра (см. [7, глава 1)) следует, что пучок Е на X локально свободен. Более того, вводя для произвольной точки а £ Р обозначение
(87)
Еа =Е\р~1(а),
и рассмотривая композицию р : Р —► С?" Л Р(52У), по построению получаем, что для
любой точки х £ Р{Б-У) класс изоморфизма расслоения Еа принадлежит М2(Р2) и не зависит от точки а £ р~1{х).
Собирая вместе все предыдущие конструкции и результаты, с учетом предложения 4.3 получаем следующую теорему.
Теорема 4.4. 1) Для всех аё Г имеем
(88) [.Ёа] е М2(Р2).
Более того, расслоению Еа на дереве 5а = р_1(а), о Е Г, раздутий плоскости Р2 соответствует взвешенный граф Т(За,Еа) £ Т2 вида:
го :---(2
а £ Р* а £ Бо
а£
а € Б0 П Б1
2) Для любой точки х £ Р(52У) точка [.Еа] £ М2(Р2) не зависит от точки а £ р~[(х). Тем самым, определено отображение ф : Р(5'2 V) —* Л/2(Р"') : х 1—> [¿а], а £ р~1(х).
3) Отображение ф : Р(52У) —> Д/2(Р2) - биекция. Другими словами, семейство Л/2(Р2) классов изоморфизма стабильных расслоений ранга 2 с = 0, с2 = 2 на деревьях раздутий проективной плоскости Р2 ограничено и биективно многообразию Р(52У). Следствие 4.5. Если Л/2(Р2) имеет структуру схемы такой, что ф - морфизм, то
нормализация схемы М2(Р2) изоморфна раздутию пространства Р(52У) ~ Р5 вдоль по-
верхности Веронезе V.
