О некотором семействе когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна c 1 = -1, с 2 = 2, с 3 = 0 на трехмерном проективном пространстве. I Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК512.7

М. А. Заводчиков

О некотором семействе когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна С1 = -1, С2 = 2, С3 = 0 на трехмерном проективном пространстве. I

В настоящей статье рассматривается схема модулей Гизекера - Маруямы M := М 3 (2;—1,2,0) стабильных когерентных пучков без кручения ранга 2 с классами Черна Сх = -1, Сг=2, С3 = 0 на трехмерном проективном пространстве Р3. Мы построим новое неприводимое семейство М пучков Е из M, для которых пучок О = /Е

включается в точную тройку

0 —^Qq —^Q —(—1)—0 и где Q0 - артинов пучок длины 2, а m - прямая в P .

Ключевые слова: компактификация, схема модулей, когерентный пучок ранга 2 без кручения, трехмерное проективное пространство.

M. A. Zavodchikov

About Some Family of Coherent Bunches of the Rank 2 without Torsion with Classes of Chern c1 = —1, c2 = 2, c3 = 0 on 3-Dimensional Projective Space. I

In the present article is regarded the scheme of modules Gizeker-Maruyama M := M 3 (2;—1,2,0) of stable coherent bunches without torsion of the rank 2 with classes of Chern Ci = —1, C2 = 2, C3 = 0 , on three-dimensional projective spaceP3. We will

construct a new not resulted family of M bunches E from M for which the bunch Q = Evv/E includes into exact triad 0 —Qo —Q —^Om(—1)—0 and where Qo - the artin bunch with the length 2, and m - a straight line inP3 .

Keywords: compactification, the scheme of modules, a coherent bunch of the rank 2 without torsion, a three-dimensional projective space.

Введение

В настоящей статье рассматривается схема модулей Гизекера - Маруямы M := Mp3 (2;—1,2,0) стабильных когерентных пучков без кручения ранга 2 с классами Черна c1 = —1, c2 = 2, c3 = 0 на

трехмерном проективном пространстве P3. В статье [4] было показано, что пространство модулей Mp3(—1,2) стабильных расслоений ранга 2 с классами Черна c1 = — 1, c2 = 2 на P3 является

неприводимым неособым рациональным многообразием размерности 11. В статье [6] описано замыкание Mp3(—1,2) схемы Mp3(—1,2) в схеме M. Кроме того, в [6] были приведены примеры

множеств не локально свободных стабильных пучков без кручения ранга 2 с классами Черна c1 = — 1, c2 = 2, c3 = 0 . До настоящего времени описание всех неприводимых компонент схемы модулей M не было известно.

Рассмотрим пучок [E] е M\M 3(—1,2). Ввиду локальной несвободы пучка E и условия

c3(E) = 0 пучок Evv не изоморфен пучку E [5, Section 1] и точна последовательность:

can s

0 — E—Evv— Q — 0, (1)

© Заводчиков М. А., 2011

где Q — Evv/Е , a can : E a Evv - канонический морфизм, инъективный в силу того, что E - пучок без кручения. Поскольку SuppQ ^ SingE и, согласно [2], имеем dimSingE < 1 для пучка E без кручения, то dim Q < 1. Нетрудно показать, что, когда dim Q — 0, возможны случаи: 1) Q - артинов пучок длины 1 и 2) Q - артинов пучок длины 2, а когда dim Q — 1, возможны три случая: 3) Q — Om (1); 4) пучок Q включается в точную тройку вида: 0 a kx a Q a Om a 0, где x е P3, а

m - прямая в P3; 5) пучок Q включается в точную тройку вида:

0 a Qo a Q a Om (-1) a 0, (2)

где Q 0 - артинов пучок длины 2, а m - прямая в P 3 . В настоящей статье мы рассмотрим множество пучков

M:— {E е M | Evv/E; Q, где Q - пучок из точной тройки вида (4)}, (3)

0 a Q0 a Q a Om (-1) a 0, (4)

где Q0 - артинов пучок длины 2, а m - некоторая прямая в P3, в схеме модулей M. Основным

результатом настоящей статьи является следующая теорема. Теорема 1. Множество M неприводимо.

Всюду в статье основным полем является алгебраически замкнутое поле k характеристики 0. Через [E] будем обозначать класс изоморфизма когерентного пучка E .

Неприводимость множества M

В этом мы построим плоское семейство E пучков E из M с неприводимой базой, обозначаемой ниже через W, такое, что образ схемы W при модулярном морфизме f : W a M : w a [E 3 ]

|p x{w}

есть M . Далее, мы докажем, что схема W неприводима. Тем самым, получим основной результат настоящей статьи - теорему 1.

Обозначим через X прямое произведение схем P3 x P3 x Quot, где Quot есть Quot -схема Quot(3O(-1), n + 2) классов эквивалентности фактор-пучков пучка 3O(-1), имеющих многочлен Гильберта n + 2 . Рассмотрим проекции p12 : X a P3 x P3, p13 : X a P3 x Quot, п :— p23 : X a Y :— P3 x Quot. На P3 x Quot имеется универсальный эпиморфизм 3O(-1) ® OQuot a Q . Рассмотрим пучок HomO^ (p^Oд, p*3Q), где A - диагональ в P3 x P3.

Согласно утверждению Гротендика [3, 7.7.8-9] существует когерентный OY - пучок N такой, что для любой подсхемы Z в схеме Y существует изоморфизм пучков HomO (p1*2OA, p13Q 0n*OZ) ~

Hom(N, OZ). В частности, используя в качестве подсхемы Z точку y е Y, получаем, что Hom(kxx{y}, Qp) —Hom(N, ky) ^ 0 тогда и только тогда, когда y е SuppN . Рассмотрим

приведенную подсхему П в Y, заданную идеалом V AnnN . Как множество П совпадает с SuppN — {(x,y — [3O(-1) a Q 3 ^ a 0]) е Y | пучокQp3 ^ ^ содержит подпучок kx }. Обозначим

через OAn пучок p12OA® Op3 п и через Qn пучок Op3 ® Q ® Op3 п . Тогда имеется точная тройка:

can

0 a OAn ® Hom(Oдп, Qn) a Qn a Q' a 0. (5)

Обозначим через nN проекцию P3 x П a П . Пусть в вышеупомянутом утверждении Гротендика подсхема Z в Y есть схема П. Тогда существует когерентный пучок N такой, что имеется

изоморфизм пучков П*Hom(O, Q ® On) « Hom(N , On) . Рассмотрим приведенную собственную

подсхему П в П, задаваемую идеалом •^Ann(N ) . Пусть р : Y — Quot - проекция. Тогда по построению pn' := рп, : П — р(П ) - накрытие 2:1. Обозначим через QuotM образ схемы р(П )

при морфизме p . QuotM является замкнутым подмножеством в Quot в силу проективности морфизма p . Введем на QuotM структуру приведенной подсхемы в схеме Quot . По построению

sets

QuotM ={[3O(—1) — Q — 0] е Quot | Q включается в тройку (4)}. (6)

Далее, рассмотрим схему П := П\ П . Тогда по конструкции морфизм Р|П : П — р(П) =: QuotM является биекцией. Поэтому на QuotM определена структура приведенной локально замкнутой

подсхемы в Quot. По построению

sets

Оро^ ={[30(—1) а О а 0] е Quot |

О включается в тройку (8)}, (7)

0 а kя а О а 0т а 0, (8)

где х - точка в Р3, а т - прямая в Р3. Далее мы покажем, что схема Quotм неприводима (предложение 1).

Рассмотрим в QuotM два подмножества Quot :={[30(—1) а kх Ф 0т а 0] е QuotM | х е т }

и Quotnr :={ [30(—1) ® 0т] е Quotщ | т - схема с носителем на прямой т , неприведенная в точке

х е т }. Нетрудно показать, что существует целая схема У и эпиморфизм пучков 30р3 ® 0У а ОУ, где ОУ = {Оу}уеу - плоское семейство пучков Оу с многочленом Гильберта

Р(Оу) = п + 2, включающихся в точную тройку 0 а kх а Оу а 0т а 0, в которой х - точка в

Р3, а т - прямая в Р3, такое, что Quot * и Quotnr = р( У), где

р: У а QuotM^ : у а [30р3 (—1) ® Оу ] - канонический морфизм в QuotM^ .

Рассмотрим схему УЛ := Р3 х Р3 х У и проекции д12 : Ул а Р3 х Р3, д13 : Ул а Р3 х У и д23 : Ул а Р3 х У . Пусть РД - диагональ в Р3 х Р3, а О - универсальный пучок на Р3 х QuotM^ .

Обозначим через Ол пучок 3 Ф q*l3(id 3 хр)*О . По построению пучок ^23*Ол локально

Рд р

* /

свободен ранга 3. Рассмотрим главное ОЬ(3) - расслоение I:=Is,om(30У , q23q23*Ол) аУл . Имеется композиция отображений 5 : 30р3 ^ ~ / q^3q23*Ол а / Ол а 0 . Тензорно умножая пучки на 0 3(—1) ® 01, получаем отображение 5 :30 3(— 1) х 01 а/О л (—1) а 0. Пучок /Ол (—1) плоский над I, поэтому в силу универсальности схемы Quot существует отображение

3:1 а Quotм такое, что 5 = , где aQuotM :30(—а , а -

универсальный пучок на схеме QuotM. Обозначим через QuotЛ образ I при морфизме 3. Как

О некотором семействе когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами 47

Черна С1 = — 1,С2 =2, С3 =0 на трехмерном проективном пространстве (Часть I)

множество образ QuotA лежит в схеме Qшíм. Поэтому в силу приведенности I и Qw0Íм получаем следующую лемму.

Лемма 1. Замыкание образа Оив1А в схеме QuotM неприводимо. Рассмотрим в QuotM два подмножества

Оио*:={[30(-1)акх 00т а0]еОиоЦ | х $ т } иСио&:={[30(-1) акх 0 0т а0]е Quot | хет}.

Нетрудно показать, что существует целая схема Z и эпиморфизм пучков 30 р3 ® 02 а 02, где

02 ={0г - плоское семейство пучков Ог с многочленом Гильберта Р(Ог) = п + 2, включающихся в точную тройку 0 а к х а О г а 0т а 0, в которой х - точка в Р3, а т - прямая в Р3, такое, что Quot* и Quotds = у/(Т) , где у : Z а QuotM^ : г а [30р3 (-1) а Ог а 0] -канонический морфизм в QuotM^ .

Рассмотрим схему Ув := Р3 х Р3 х Z и проекции Н12: Ув а Р3 х Р3, й13 : Ув а Р3 х Z и И23 : УБ а Р3 хZ . Пусть РД - диагональ в Р3 хР3, а О - универсальный пучок на Р3 хQuotM .

Обозначим через Ов пучок й1*20 3 Ф Ъ*13(}й 3 ху)* О . Замена базы сразу показывает, что пучок

Рд Р

Н23*Ов - локально свободный пучок ранга 3. Рассмотрим главное GL(3) - расслоение

' * и

I :=Ьom(30У , Ь*ЪЬ1ЪО.в) аУв .

в

Имеется композиция отображений 51 :30 3 ' & / а /и Ов а 0 . Тензорно умножая

пучки на 03(-1) ® 0', получаем отображение 51:30р3(-1) х 0' а/Ов (-1). Пучок

/л Ов (-1) - плоский над I , поэтому существует отображение 3 Л а Quotм такое, что 51 = 3 aQuotм , где а^, :30(-1) ® 0Quoíм а

0QUOíM , а 0QUOíM универсаЛьный пучок на схеме

QuotM. Обозначим через QuotB образ I при морфизме 3 . Как множество образ QuotB лежит в схеме Quotм. Поэтому в силу приведенности I и Quotм получаем следующую лемму. Лемма 2. Замыкание образа QuotB в схеме QuotM неприводимо.

Теперь рассмотрим прямое произведение схем Р3 х ИНЬ2 х О , где ИНЬ2 - схема Гильберта нульмерных схем длины 2 в Р3, а О - грассманиан прямых в Р3. Пусть ргх : Р3 х ИНЬ2 х О а Р3, рг13: Р3 х ИНЬ2 х О а Р3 х О, рг23: Р3 х ИНЬ2 х О а ИНЬ2 х О, рг12: Р3 х ИНЬ2 х О а Р3 х ИНЬ2 - проекции. Пусть Г - график инциденции в Р3 х О и Г - график инциденции в Р3 х ИНЬ2. Определим подсхемы Z1 := рг131 (Г ) и Z2 := рг12х(Г ) в Р3 хИНЬ2 х О . Имеем точную тройку:

0 а 0 ^2 а 0 ^ 0 0 ^ а 0 а 0 (9)

на Р3 х ИНЬ2 х О . Пусть Я = {(г, т) е ИНЬ2 х О | г п т ^ 0} - график инциденции в схеме ИНЬ2 х О . Рассмотрим в Я замкнутое подмножество Я2 := {(г,т) е Я | г ^ т} и его дополнение -открытое подмножество Я1 := {(г,т) е Я 11(г ит) = 1}. Пусть 5 : в а ИНЬ2 х О - раздутие схемы ИНЬ2 х О вдоль Я2 . И пусть 5: в а в - раздутие схемы в вдоль замыкания Я1 := 5_1(Я1).

Обозначим через 8 композицию отображений 8 °8 . Применим к (9) функтор (id х 8)*, где id -тождественное отображение на Р3 , получим точную тройку

0 а 0 а 0 Ф 0 а 0 а 0 (10)

г\ ¿2 г\ пЙ2

на Р3 х В, где 21 = ^ х8)—'(¿1), а 2 2 = ^ х8)—1'(22). Докажем, что пучок 0 - плоский

21 и 22

над схемой В. Для этого воспользуемся [6, §7, Следствие 3]. Пусть рг23 : Р3 х В а В и рг1 : Р3 х В а Р3 - проекции. Применим к точной тройке (10), подкрученной на пучок

рг*1 0 3 (п), функтор рг23*, получим

0 а pr23*(O ® pn Орз (n)) a pr23* (O ® pr, Орз (n) 0 O ® pr, Op3 (n)) а

Z1 uZ2 Z2

а рг23*(0 ® рг\ 0Р3(п)) а 0. (11)

21 п 2 2

Докажем, что пучок рг23*(0 ® рг*1 0 3 (п)) - пучок на дивизоре и имеет гомологическую

Z1 nZ 2

размерность 1. Гладкие многообразия Д := 81(Я^) и Д := 8 (- дивизоры Картье в В. Очевидно, что рг23(21 п22) = Д иД. Обозначим через 212 расслоенное произведние 21 п 2 2 х^ инад Д и Д и через 212 расслоенное произведение 21 п 2 2В иВ х Д над

Д и Д. Имеем изоморфизм 21 п 22 ~ 212 и 212. Пусть р = рг23|2' : 212 а Д и

р = рг23|2'' : 21 2 а Д - проекции. По построению р - изоморфизм, р - двулистное накрытие, являющееся плоским морфизмом, поскольку Д - гладкое многообразие, а О := 212 п 21 2 - дивизор

Картье в 212. Имеем точную тройку

0 а 0 (—О) ® рг\ 0(п) а 0 , ® рг\ 0(п) а 0 , ® рг\ 0(п) а 0.

212 Р 212 12 Р 212 Р

Применяя к ней функтор рг 23* , получаем точную тройку

0 а p*(0, (-П) ® pr\ O_3 (n)) a pr23*(0 , ® pr\ Op3 (n)) а

Z12 p Z12 12 p

а р* (0 , ® рг0Р3 (п)) а 0. (12)

Z12 р

0в - пучок р*(0 ' (-О) ® рг*1 0 3 (п)) имеет гомологическую размерность 1 как локально

Z12 р

свободный пучок на дивизоре Картье 01, поскольку р - изоморфизм. Аналогично, так как р -

плоский морфизм степени 2, то 0в - пучок р*(0 " ® рг*1 0 3 (п)) - локально свободный пучок

р

ранга 2 на дивизоре Картье 02 и поэтому имеет гомологическую размерность 1 как 0в -пучок. Поэтому из тройки (12) следует, что

pr23*(0, ,, ® pr 1 0 3 (n)) = pr 23*(0 ® pr 1 0 3 (n)) - 0B - пучок

гомологической

12 12 Z1 nZ 2

размерности 1.

Для любой точки х е ИНЬ2 х О имеют место изоморфизмы

pг23*(0Z ® рг1*0 3(п) ® кх) « Н0(0т(п)), где т - прямая в Р3, и

р

pr23*(0Z ® pr1*0 3(n) ® kх)«H0(0r), где т - двоеточие в P3. Поэтому пучок

р

pr23*((0Z Ф 0Z ) ® pr1*0 3(n)) - локально свободный ранга n + 3. Следовательно, пучок

S pr23*((0z Ф 0, ) ® pr*0 3 (n)) = pr23*(0 ® pr \ 0 3 (n) Ф 0 ® pr\ 0 3 (n))

^ ~ p ~

Z1 Z2

также локально свободен. Поэтому в силу того, что правый пучок из (11) - OB -пучок гомологической размерности 1 и средний локально свободен, получаем, что левый пучок

pr23*(O ® pr*j O 3 (n)) из точной тройки (11) локально свободен. Используя [1, §7,

и Z2

Следствие 3], получаем, что пучок O - плоский над B для любого n > 0 .

Рассмотрим схему B :— Proj((pr23* Hom(3O ® OB, O ))v) и естественную проекцию

рг : В а в . Пучок рг23* Hom(30(-1) ® 0в, 0 (-1)) ~ рг23*30 локально свободен, так

~1 и .~2 и .~2

как по замене базы его ограничение на произвольную точку Ь ев есть P(Hom(30(—1),О)), где пучок О включается в точную тройку (4). Следовательно, схема В неприводима.

Z12

Пусть р : Р3 х Б а Б - проекция. Так как пучок О(1) порождается своими сечениями, то на Р3 х Б тавтологическое отображение аБ : 30(— 1) ® 0Б а ^ х рг)*0 (—1) ® (0 3 ® 0Б(1))

является сюръекцией. Так как пучок O

- плоский над B, то пучок

Z1 и Z 2

(id х pr)*O (-1) ® (O 3 ® OB/B (1)) - плоский над B . Поэтому в силу универсальности схемы

QuotM существует морфизм Ф: B — QuotM такой, что aB = Ф*а,

aQuoU. : 3O(-1) ® OB — QQuotnя и QQuot„ - универсальный пучок на Р3 х QuotM .

QuotM

где

По построению 1т(Ф) = QuotC, где QuotC = {[3O(—1) — Q — 0] е Quot(3O(—1), n + 2) | Q

включается в точную тройку 0 — OT — Q — Om(— 1) — 0, где OT - структурный пучок двоеточия,

а m - прямая в P3 }. Следовательно, верна лемма.

Лемма 3. Замыкание образа QuotC в схеме QuotM неприводимо.

По построению схема QuotM есть объединение неприводимых конструктивных множеств QuotA , QuotB , QuotC , пересечение которых есть открытое в QuotM множество

Quot** := {[3O(-l) a Q а 0] e Quot(3O(-l),n + 2)| Q = kx 0 kv 0 Om(-1),

(13)

где х е т, у е т и х Ф у}. Отсюда в силу лемм 1, 2, и 3 получаем следующее предложение. Предложение 1. Схема QuotM неприводима.

Рассмотрим пучок Е е M. Из определения M следует, что Е включается в точную тройку (1), где О - пучок из точной тройки (4). Нетрудно увидеть, что - стабильный рефлексивный пучок на Р3 с классами Черна С1(ЕУУ) = —1, С2(ЕУУ ) = 1 и С3(Е) = 1, который имеет локально свободную резольвенту

0 a O(-2) a 3O(-1) a Evv а 0.

(14)

Поэтому имеем сюръекцию a : 3O(-1) — Q , и можно построить коммутативную диаграмму:

Z1 uZ 2

Z1 и Z 2

где 1_ - ядро отображения а . Так как многочлен Гильберта Р (п) := ^(О(п)) пучка О из (4) равен

а

п + 2, то из (6) следует, что класс [30(-1) а О] эпиморфизма а по модулю автоморфизмов пучка О есть точка схемы QuotM. Пусть 30(-1) ® 0ди^ а О - универсальный эпиморфизм на

Р3 х QuotM, и пусть Ь - ядро этого эпиморфизма. На Р3 х QuotM рассмотрим пучок Ь(2) := Ь ® (03 (2) ® 0диЛм ). По построению имеем для любой точки q е QuotM:

Ь(2) ® к q = 1_(2),

где 1-(2) - пучок на Р3.

Пусть т - прямая в Р3 и х1, х2 е т - различные точки в Р3. Для произвольного вложения 1: 0(-1) —^ 30(-1) рассмотрим композицию 5 = а ° 1: 0(—1) —^ Е как сечение пучка (1). Из диаграммы (15) непосредственно вытекает следующее замечание.

Замечание 1. Для общего 5 е Н°(ЕУУ (1)) композиция 8° 5 : 0(-1) а О сюръективна.

Лемма 4. Пучок L из коммутативной диаграммы (15) порождается своими сечениями, и

Ь0(1_(2)) = 8.

Доказательство. Рассмотрим точную последовательность

0 а Ц2) а 30(1) а О(2) а 0. (16)

Докажем, что отображение Н :Н0(30(1)) а Н0(О(2)) сюръективно. Мономорфизм 0 а 0г а О, где 0г - структурный пучок двоеточия г, и эпиморфизм 30(-1) а О а 0 определяют подпучок 20(1) в пучке 30(1).

Эти морфизмы (после подкрутки на 0(2)) продолжаются до коммутативной диаграммы:

О

о

о

--20(1)

О--£(2)--30(1)

О

о

т

(IV

-о

-о

О --0(1)-—-о,

ООО

где пучок S включается в точную тройку 0 aIx(1) aS aIx(1) a0. Переходя в этой диаграмме к когомологиям и учитывая сюръективность отображений групп сечений H0(2O(1)) a H°(Or) и H0(O(1)) a H0(Om(1)) , получаем точную последовательность:

0 a H0(L(2)) a H0(3O(1)) a H0(Q(2)) a HX(L(2)). (18)

Используя точную тройку 0 a O a L(2) a E(2) a 0, из диаграммы (15) получаем, что H\L(2)) — 0. Поэтому из (18), следует, что отображение h :H (3O(1)) a H (Q(2)) сюръективно.

Кроме того, из (16) получаем, что h0(L(2)) — 8 . Тем самым, лемма доказана.

□

Пусть рг2 : Р3 х QuotM а QuotM - проекция. Над схемой QuotM рассмотрим проективный спектр

р

W := Pгo/((pг22L(2))v) а QuotM симметрической алгебры пучка (рг2*Ь(2))у, и пусть (1) := (1) - пучок Гротендика на W. В силу замены базы и леммы 4 следует, что пучок

рг2„Х(2) локально свободен. Отсюда ввиду предложения 1 получаем следующую теорему. Теорема 1. Схема W неприводима.

Переходим к доказательству неприводимости множества М . Рассмотрим декартов квадрат

Р3 х W—^Р3 х Quotj

м

(lü)

рг2

рГ-з

W

OuotM.

Существует естественный эпиморфизм £ : р (рг2,Х(2)^ 20w (1) и ему двойственный морфизм 8 : 0W (—1) а р*((рг2Х(2)^ )v. Так как пучок pг22L(2) локально свободен, то пучок ((рг2„Х(2)^ У; pг22L(2). Отсюда и так как диаграмма (19) - декартов квадрат, имеет место

изоморфизм пучков р*((рг2<Х(2)^У « рг2* р* L(2) . Поэтому, поднимая морфизм £ на Р3 х W ,

получаем морфизм пучков ф: рг*2 0W(—1) а рг*2 рг2* р* L(2). Пучок 1_(2) порождается своими сечениями и И0(Ь(2)) = к8 (см. лемму 4). Отсюда и в силу замены базы следует, что отображение ву': рг2*рг2<Х(2) а L(2) - сюръекция. Так как диаграмма (19) - декартов квадрат, то морфизм

ву : рг *2 рг 2* р* L(2) а/?* L(2) - также сюръекция. Определим пучки Е и Е на Р3 х W как

коядра

композиции

Л:= evоф:O 3(-2))Ow(-1)apL

£ : O 3(-2))OW (-1)ap*L a O 3(-1) ® Ow соответственно. Теперь мы можем построить

следующую коммутативную диаграмму:

О

О--Орз(-2) 13 Üw(-1) —El Üw

А

О--^ ЗОрз( —

Е

О

о

о

) и Ow—Qi«rt>T—-о,

о

(20)

и

Определим в W открытую подсхему W :— {w е W | (3Op3 w (-1)/Op3w (-2)) 3 ^ -

рефлексивный пучок на P3 }. По построению ограничение диаграммы (20) на P3 x w, где w - точка в W , есть диаграмма (15). Выберем произвольный пучок [E] из множества M . Используя точную

тройку 0 a E a Evv a Q a 0 и локально свободную резольвенту

0 a O(-2) a 3O(-1) a Evv a 0 пучка Evv , мы можем построить коммутативную диаграмму (15). Тем самым, мы определим точку w — ([a],[s]) еW, где [а] е QuotM, а [s] - класс пропорциональности сечения пучка L(2) . Поэтому всякий пучок [E] из множества M представлен точкой w е W такой, что [E] — [E 3 ]. Итак, M совпадает с образом модулярного морфизма

|p xw

f : W aM : w a [E 3 ]. Тем самым, доказана теорема 1 - основной результат настоящей статьи.

|p xw

Библиографический список

1. Мамфорд, Д. Лекции о кривых на алгебраической поверхности [Текст] / Д. Мамфорд. - Москва : Мир, 1968.

2. Оконек, К., Шнейдер, М., Шпиндлер, Х. Векторные расслоения на комлексных проективных пространствах [Текст] / К. Оконек, М. Шнейдер, Х. Шпиндлер. - М. : Мир, 1984.

3. Grothendieck EGA [Текст] / A. Grothendieck // Publ. Math I.H.E.S. - Ch.III, vol 17, 1963.

4. Hartshorne R. Sols I. Stable rank 2 vector bundles on p3 with Cx — -1, C2 — 2 / Hartshorne R. Sols I. // J. Reine Angew. Math. - 325, 1981. - p. 145-152 .

5. Hartshorne R.Stable reflexive sheaves / R. Hartshorne // Math. Ann. - 254, 1980. - p. 121-176.

6. Meseguer J., I. Sols, S. A. Str0mme Compactification of a family of vector bundles on р3[Текст] / J. Meseguer, I. Sols, S. A. Str0mme // Prog. Math. -11, 1981. - p. 474-494.