О некотором семействе когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна c 1= —1, c 2 = 2, c 3 = 0 на трехмерном проективном пространстве. (часть II) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.7

М. А. Заводчиков

О некотором семействе когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна c1 = — 1, c2 = 2, c3 = 0 на трехмерном проективном пространстве. (Часть II)

В настоящей статье рассматривается схема модулей Гизекера - Маруямы M:= Мр3 (2;—1,2,0) стабильных когерентных пучков без кручения ранга 2 с классами Черна Cj = — 1, С2 = 2, С3 = 0 на трехмерном проективном пространстве P3 . Мы изучаем неприводимое семейство M пучков E из M, для которых пучок Q = Ew/Е включается в точную тройку 0 ^ Q0 ^ Q ^ Om (—1) ^ 0 , где Q0 - артинов пучок длины 2, а Ш - прямая в P3 . Доказывается, что замыкание M в схеме модулей M лежит в замыкании множества N пучков из M таких, что Evv/Е = kx Ф ky, где X и y - различные точки в P3 .

Ключевые слова: компактификация, схема модулей, когерентный пучок ранга 2 без кручения, трехмерное проективное пространство.

М. А. Zavodchikov

About Some Family of Coherent Bunches of the Rank 2 without Torsion with Chern's Classes c1 = —1, c2 = 2 , c3 = 0 on the Three-Dimensional Projective Space. (Part II)

In the present article is considered the scheme of modules of Gizeker - Marujama M:= Mp3 (2;—1,2,0) stable coherent bunches without torsion of the rank 2 with Chern's classes C^ = — 1, C2 = 2 , C3 = 0 on the three-dimensional projective space

P3 . We study the irreducible family M of bunches E from M , for which the bunch Q = Evv/Е includes into the exact triplet 0 ^ Q0 ^ Q ^ Om (—1) ^ 0, where Q0 - a bunch of length 2, аМ Ш - a straight line inP3 . It is proved that abridgement M in the scheme of modules M lies in abridgement of variety N bunches from M such as that Evv/E = kx Ф ky, where X and y - different points in P3 .

Keywords: compactification, the scheme of modules, a coherent bunch of the rank 2 without torsion, three-dimensional projective space.

1. Введение

В настоящей статье рассматривается схема модулей Гизекера - Маруямы M := Mp3 (2;—1,2,0) стабильных когерентных пучков без кручения ранга 2 с классами Черна С1 = —1, С2 = 2, c3 = 0 на трехмерном проективном пространстве P3. В статье [1] доказано, что множество

M :={E е M | Evv/E « Q}, (1)

0 ^ Q0 ^ Q ^ Om (-1) ^ 0, (2)

© Заводчиков М. А., 2011

где Q 0 - артинов пучок длины 2, а m - некоторая прямая в P3, неприводимо. Рассмотрим в M множество

N := {E е M | Evv/Е « kx Ф ky, где x и y - различные точки в P3}. (3)

Основным результатом настоящей статьи является следующая теорема. Теорема 1. M с N.

2. Включение множества M в N

В настоящем параграфе мы показываем, что M с N . В силу неприводимости M нам достаточно

убедиться в том, что общая точка [Е] е M лежит в неприводимом множестве N . В схеме QuotM,

**

определенной в [1, формула 6] имеется открытое плотное множество Quot , определенное в [1, формула 13]. В схеме W (см. определение в [1] после диаграммы (20)) рассмотрим открытое плотное множество W** = W xQUOt Quot**. Обозначим через M* образ множества W ** в схеме модулей M

при модулярном морфизме f . По определению множество

M* ^{Е е M | Еvv/Е = Om(-1) Ф kx Ф ky, где x е m, y е m и x * y}. (4)

Рассмотрим схему T := G x G x P3 x P3, где G - грассманиан прямых в P3. В этой схеме определим открытое множество T :={(/, m, x1, x2) е T | m и l скрещивающиеся прямые, xx, x2 е m, Xj, x2 е l и x1 * x2}. Пусть £ : P3 x T'^ P3, £2: P3 x T'^ T, £2: P3 x T'^ P3 x G и £345 : P3 x T ^ P3 x G x P3 x P3 - проекции. Обозначим через Г график инциденции в P3 x G . Рассмотрим пучок £*21Г на P3 x T . Пусть д12 : P3 x G x P3 x P3 ^ P3 x G ,

g13: P3 x G x P3 x P3 ^ P3 x P3 и ды: P3 x G x P3 x P3 ^ P3 x P3 - проекции. Пусть A - диагональ в

P3 x

P3. Положим Г1 := £2(Г), A1 := £-1(A) и A2 := £4 (A) - прообразы этих множеств. На T имеется пучок A := Ext£ (£*21Г)£*Op3 (-1)). Прямые вычисления показывают, что

Extl(Il, ImUx1Ux2(-1)) = k 4 и Ext 2(Il, ImUx1Ux2(-1)) = 0 для любой точки t = (/, Щ XJ, x2) е T . Тем самым, для произвольной точки t е T замена базы дает, что A ® kt = Ext1 (Il, Imu и (-1)) . Поэтому, согласно [2, Следствие 12.9], пучок A локально свободен ранга 4. Рассмотрим схему

Y , ,

О := Proj(A) ^T . Так как T очевидно неприводимо, то в силу локальной свободы пучка A получаем, что О неприводимо.

Рассмотрим в Q открытое плотное подмножество

О* :={© = (/, m, x1, x2,< £ >) еО | £е Ext J(I/, U^x2(-1))\S(Hom(I/, O m (-1) Ф k ^ Ф k x2))}, где S - связывающий гомоморфизм в точной последовательности Ext -групп:

5 и

0 ^Яат(\1,0т(-1)0кХ1 0кХ2)^Ех?^Л^Н))^Ех^(\г,0(-1)) ^ 0. Из универсальных свойств пучка Ех(1 (£12\г ®£*0рз(-1)) (см. [5]) следует, что на Р3 хО* определен

пучок Е такой, что его ограничение ЕО = Е 3 на произвольную точку о = (I, т, Х1, Х2, < £ >) Е О* есть средний член расширения

0 ^ I^Н) ^ Ео^ \, ^ 0. (5)

задаваемого элементом £ Е ЕХ^^ , ^^Х2 (-1))\ 5(Н°т(1г, 0т (-1) 0 кх1 0 кх2 )) .

Рассмотрим модулярный морфизм / : О " а М : а а [Еа].

Предложение 1. Образ О* при модулярном морфизме / лежит в М*.

Доказательство. Выберем произвольную точку а = (/, т, х1, х2,< £ >) еО*. Покажем, что Еа е М*. Имеем каноническое вложение !тих их (— 1) а 0(—1), коядром которого является пучок

O m (-1) Ф k Ф k . Далее, точные тройки 0 a Im и (5) достраиваем до коммутативной диаграммы:

^х2(-1) a O(-1) a Om (-1) Ф k^ Ф k^ a 0

Расширение 0 a O(— 1) a F a \ a 0 задается элементом u(£) Ф 0, согласно определению Q*. Поэтому F - рефлексивный пучок (см. [4, Example 4.2.3]). Поэтому F = E(v. Таким образом, пучок E включается в точную тройку 0 a Effl a E(v a O m (— 1) Ф k x Ф k x a 0. Тем самым, по

определению Еа е M*. Поэтому f (Q*) ^ M*.

W

Предложение 2. Морфизм f : Q* a M* сюръективен.

Доказательство. Покажем, что для любого наперед заданного класса изоморфизма пучка [E] е M* существует точка а = (l, m, Xj, x2, < £ >) е Q* такая, что f (о) = [E]. Фиксируем пучок E е M*. Для любого 0 ^ s е H0(Evv (1)) имеем coker(s : O a Evv (1)) = Il, где l - прямая нулей сечения s [4, Example 4.2.3]. Тогда для общего сечения s пучок E е M включается в диаграмму:

О О §Г

Щ =4

о--г-'-и и-?^* -о

и I.

$

О——0(-1)—-0,„(-1) ф к,, ф к.,.2—>0. О О

По построению расширение 0 а 0(—1) а а !/ а 0 нетривиально. Поэтому левая

вертикальная тройка в (7) как расширение задается элементом

£ е Бх?1(!/,!т^хих2 (—1))\^(Иот(!/, 0т(—1) Ф к Ф к )) (см. определение О*). Тем самым, левая

вертикальная тройка в (7) совпадает с тройкой (5), где Е = Еа для а = (/, т, х1, х2, < £ >) е О*, то есть [Е] = / (а).

Пусть т и / - скрещивающиеся прямые в Р3, хх и х2 - точки в Р3, не лежащие ни на т, ни на /, и Р2 - произвольная плоскость, проходящая через / и не содержащая точек хх и х2. Рассмотрим 0 3 - пучок

О = кФ кх2 Ф 0р2 ( 1) (8)

и произвольное нетривиальное расширение

0 а!_х1их2(—1) а X а О а 0. (9)

Можно проверить, что для произвольного нетривиального расширения (9) пучок X является пучком без кручения ранга 1 с Сх(X) = 0 . Поэтому X - пучок идеалов !г некоторой подсхемы Z в

Р3 . Тогда тройка (9) включается в коммутативную диаграмму:

рг

где Л - композиция проекции на прямое слагаемое О ^ 02(-1) и инъективного морфизма

02 (-1) ^ 02 , рассматриваемого как сечение пучка 02 (1), нулями которого является некоторая

прямая тс Р2. Из правой вертикальной последовательности этой диаграммы следует, что Z = т . т - распавшаяся коника, где прямые т и т пересекаются в точке т о Р2. Итак, имеем расширение

$ : 0 ^ и .х, (-1) ^ \........ ^ О ^ 0. (11)

Так как I с Р2 и х1, х2 Е Р2, то однозначно с точностью до пропорциональности определена сюръекция г/: \г ^ О, ядро которой есть пучок \х .х (-1) . Тем самым, с учетом (8) получаем точную

12

тройку:

0 ^ \х. * (-1) ^ \г ^ О ^ 0

Точные тройки (11) и (12) достраиваются до коммутативной диаграммы:

(12)

о

о

(13)

-3

о

о

mXJm.

-О

—1)-^mütTjUiat-1)

О

0.

в которой Е - некоторый пучок ранга 2.

Рассмотрим пучок Р из N . Вычислив классы Черна пучка , из [4] легко получить, что включается в точную тройку:

0 ^ 0(-1) ^ ^ !с ^ 0,

где C - некоторая коника в Р3. Нетрудно видеть, что существует плотное открытое подмножество N в N такое, что для Р из N вышеуказанная тройка продолжается до коммутативной диаграммы:

0

0

0

0

JC

-:f/v ь >кЛ1 фк^—-о

О——-0(-1)—ekJ?—-о

о

Таким образом, всякий пучок Р из N включается в точную тройку

0 ^ Ц.^(-0 ^ Р ^ \е ^ 0.

Поэтому, рассматривая в качестве такой тройки центральную горизонтальную тройку

0 ^ к ^ (-1) ^ Е ^ \ 0.

■4^2

(14)

(15)

из диаграммы (13) (действительно, в этой тройке т. т - коника), получаем следующее утверждение.

Предложение 3. Всякий пучок Е в диаграмме (13) содержится в Ы*.

Построим многообразие, параметризующее диаграммы (13). Для этого рассмотрим многообразие X :={(* = (/, т, х1, х2), Р2) е Т х Р31 / с Р2}. Так как Т = {(/, т, х^ х2) е Т | т и / -скрещивающиеся прямые, х1, х2 е т, х1, х2 е I и х1 Ф х2}, то определены проекции 71: Р3 х X а Р3, у2: Р3 х X а X, у12 : Р3 х X а Р3 хО, 713: Р3 х X а Р3 х О, 714 : Р3 х X а Р3 х Р3, 715 : Р3 х X а Р3 х Р3, 716 : Р3 х X а Р3 х Р3 - проекции. Обозначим через Г график инциденции в Р3 х О, через А - диагональ в Р3 х Р3, а через Е = {(х, Р2) е Р3 х Р3 | х е Р2} - график инциденции в Р3 х Р3. Положим Г12 := у121 (Г) , Г13 := 7131(Г) , А14 := 41(А), А15 := 7151(А) , Е16 := 7-1(Е). Пусть К := 0, Ф 0л Ф 0. 3(—1), Ц*00 3(—1)

и

15 ^б'"" P3V " '13^14^15 P3

B := Ext1 (K, 1г иД иД )j*O 3 (-1)) - пучки на P3 х X . Нетрудно видеть, что для дизъюнктных m ,

■Л 13 14 15 P

l, xl и х2 верно равенство Ext:(G, Imu и (-1)) = k8. Тем самым, для произвольной точки t е T замена базы дает, что B ® kt = Ext1(G, Im wx2 (-1)) . Поэтому, согласно [3, Satz 1], пучок B локально свободен ранга 8 и У := Proj(B) - многообразие (то есть целая схема), точками которой являются наборы (l,m,Xj,х2,P2,t), где те Ext!(G,Im(-1)). Для произвольной точки

y = (l,m,Xj,x2,P2, т) е У элемент т определяет правую вертикальную тройку в (13), а сюръекция п в (13) определяется парой l, P2, согласно сказанному выше. Таким образом, У есть искомое многообразие, параметризующее диаграммы (13). Тем самым, получаем отображение

v: У aQ :(l, m, Xj, x2, P2,t) a (l, m, Xj, x2,< £ >), (16)

где £ - элемент группы Ext1^, Im ux (-1)), задающий центральную вертикальную тройку в

диаграмме (13) как расширение. В силу того, что У и Q - многообразия, отображение v является морфизмом.

Предложение 4. Отображение ~ :Ext:(G, Im ux2 (-1)) a Ext1^, Im (-1)) , индуцированное

морфизмом п в диаграмме (13), сюръективно. Тем самым, морфизм многообразий v, определенный в (16), доминантен.

Доказательство. Применим функтор Hom(*,Imu (-1)) к точной тройке (12), получим точную последовательность:

Ext1(G,Imux1u х2(-1)) a Ext1 (I,, Imu ^ x2(-1)) a Ext^u x2,Imu x^ x2) a

a Ext2(G, I(-1)) a Ext2(!г, IUJt, (-1)). (17)

Вычислим ЕХ^(Циx2, Lxjux2). Применим к точной тройке 0 a Ix u^ a O a kx Ф k^ a 0

функтор Hom(* Imux u. ) , получим:

Нот(! ,1 ) а БхПк Ф к ,1 ) а БхП0,1 ) а

Ext1 (I u*„, !ииx ux,) ^ Ext2(kx Ф k^,x ux,) ^ Ext2 (O, I ux,). (18)

Aj wx^ ' muAj ux?2 ' 4 xj x^ ' muAj ux2

Ext2(O,!mu,1ux2) = H2(!mux1ux2) = 0. (19)

Вычислим Ext2(kx ф k ,lmux ux. ).

'2ik „

x1 x2 mux1 ux2

Ext2(kX1 Ф kx2,!mux1ux2); Ext1(!mux1ux2, ^ Ф k ^ . (20)

Применим к точной тройке 0 ^ !mux1ux2 ^ !m ^ kx, ф kx2 ^ 0 функтор Hom(* k^ ф k^ ) :

получим:

Ext1(!m,kx1 Фkx2) ^Ext1^^,kx1 Фkx2) ^Ext2(kx1 Фkx2,kx1 Фkx2) ^

^ Ext2 (m , ky1 Ф kx2). (21)

Вычислим Ext1 (!m, k Ф k ). Применим к точной тройке 0 ^ O(-2) ^ 2O(-1) ^ !m ^ 0, получим:

0 ^Hom(!m,kx1 Фkx2) ^Hom(2O(-1),k^ Фkx2) ^Hom(O(-2),k^ Фkx2) ^

^ Ext1 (!m, kx Ф k^ ) ^ Ext1(2O(-1), kx Ф kx,). (22)

12

Так как xl £ m и x2 £ m, то Hom(!m, k Ф k ) = k

2

Hom(2O(-1),kx1 Фkx2) = 2H0(kx1 Фkx2) = к . Hom(O(-2),k^ Фkx2) = H0(k^ Фkx2) = к2, Ext1 (2O(-1), k Ф k ) = 2H1 (k Ф k ) = 0. Отсюда и из (22) следует, что

Ext^Im, k x1 Ф k x2) = 0. (23)

Вычислим Ext2(Im, k Ф k ). Применим к точной тройке 0 ^ O(-2) ^ 2O(-1) ^ Im ^ 0 функтор Hom(*, k Ф k ) , получим точную последовательность:

Ext1 (O(-2),kx1 Фkx2) ^ Ext2(Im,k^ Фkx2) ^Ext2(2O(-1),k^ Фkx2). (24)

Ext1 (O(-2),kx1 Ф kx2) = H1 (kx1 Ф kx2) = 0, Ext2(2O(-1),kx1 Ф kx2) = 2H2(k^ Ф kx2) = 0. Поэтому

Ext2 (Im, k x1 Ф k x2) = 0. (25)

По двойственности Серра имеем:

Ext2(kx Фkx ,kx Фkx ) = Ext1 (kx Фkx ,kx Фkx )v = k6. (26)

v x1 x2 x1 x2' ^ x1 x2 x1 x2

Используя (23), (25), (26) и (21), получаем, что

Ext4ImUWkx1 Ф kx2) = k6. (27)

Из (20) следует, что

Ext2(kx Ф k^ x „^ ) = k6. (28)

Л1 Л^ '

Вычислим Ext1(O,!mu x u x, ) из (18).

Ext1(O,!mux1u x2) = H1(!mu x1 ux,) = k 2. (29)

Вычислим Ext'(k x1 Ф k x2,!mux1ux2) из (18).

Ext1 (k Ф k ,! ) = Ext2(! , k Ф k )v. (30)

x x mux ux mux ux x x

^2 //tW-A^ »IWA^A^ Л-2

Вычислим Ext2(Imu^ их2, kXj Ф k ). Для этого применим к точной тройке 0 a Luxj ux2 a m a kXj Ф kx2 a 0 функтор Hom(* kx1 ф kx2) , получим точную

последовательность:

Ext (Im,kx1 Ф kx2) a Ext2(Imux1ux2,k^ Ф k^) a a Ext3(kx1 Ф kx2, kx1 Ф kx2) a Ext3(Im, k^ Ф k,.).

(31)

Вычислим Ext2(Im, k Ф k ). Применим к точной тройке 0 a O(—2) a 2O(—1) a Im a 0 функтор Hom(*, k Ф k ) , получим точную последовательность:

Ext1 (O(-2),kx1 Фkx2) a Ext2(Im,kx1 Ф kXi) a a Ext2(2O(-1),kx1 Ф kx2).

(32)

Ext1 (O(-2),kx Фk^) = H1 (kx Фkx„) = 0, Ext2(2O(-1),k^ Фkx2) = H2(kx1 ФkXi) = 0.

(33)

(34)

Ext2 (Im , k x1 Ф k x2) = 0.

Следовательно, Очевидно, что

Вычислим Ext (k x Ф k x , k x Ф k x ). По двойственности Серра имеем:

Ext (Im,kx1 Ф kx2);Hom(kx1 Ф kx2,Im) = 0.

1 x2 ' X1 x2 ' Ext3(kx1 Фkx2,kx1 Фkx2) = Hom(kx1 Фkx2,k^ Фkx2)v = k2.

(35)

Используя (33), (34), (35) и точную последовательность (31), заключаем, что 2п k Ф k 4 _ '-2

muX ux0 ' X xn

Ext 2(Imux1ux2, k x1 Ф k x2) = k2. Из (30) следует, что

Ext (k x1 Ф k x2, Imu x1u x2) = k 2.

(36)

Используя то, что Hom(Ixu , Imu u ) = 0, равенства (19), (28), (29), (36) и точную

последовательность (18), заключаем, что

(37)

Ext1(Ix1ux2(—1), Imu x^ x2( —1))= k 6.

Вычислим Ext 2(G,Imu (—1)) из (17). По двойственности Серра, имеется равенство:

Ext 2(G,Imux1ux2(— 1))=Ext1(ImUx1ux2, G(—3))v . (38)

Вычислим Ext:(Imu и , G(—3)). Применим к точной тройке (8) функтор Hom(Im их2 ,*), получим точную последовательность:

Hom(Imux1ux2, OP2 (-4)) a Ext1 (^x2, kx1 Ф kx2) a a Ext1 (Imux1ux2, G(-3)) a Ext1 (I^^x2, Op2 (-4)).

Вычислим

Ext4Imux1ux2, OP2(-4)).

Применим

точной

(39) тройке

0 a O(-5) a O(-4) a O 2 (-4) a 0 функтор Hom(Imux ux ,*), получим точную

последовательность:

Ext4U u„, O(-4)) a Ext1^x , O 2 ( 4)) a

к

^ Ext2 (mu x1u x2, O(-5)).

(40)

По двойственности Серра EAt1(Imux1ux2, O(-4)) = E^O^u^ =H2(!mux1ux2) = 0. Аналогично, Ext2^,ux,,O(-5)) = Ext1(O,!mux1ux2(1))V =H1(!muxu^(1)) = 0. Следовательно, из

12

12

(40) получаем, что

Ext1(!mux1ux2, Op2 (-4)) = 0.

(41)

Вычислим Hoда(Iя

О2 (-4)). Для этого применим к точной тройке

.х ,*) , получим точную

0 ^ O(-5) ^ O(-4) ^ O2 (-4) ^ 0 функтор Hom(!

последовательность:

Hom(!

mux ux-,

, O(-4)) ^ Hom(!mux1u x2, Op2 (-4)) ^

^ Ext^ (!mux1ux2, O(-5)). (42)

По двойственности Серра имеем Hom(|mux1ux2, O(-4))=Ext 3(O, !mux1ux2)V = =H3(!mux1 ux2 ) V =0.

Аналогично, Ext1 x ux,, O(-5)) = Ext2 (O, x ux, ,(1)) = H2 (Lux ux, ) = 0. Из (42) заключаем, что

Вычислим

Ext1 (!

m u x1 u x2 x1

Hom(I

, k x Ф k x,).

12

O (-4)) = 0

m u x1 u x2 p 2

Применим

2

точной

0 ^ !mux1 ux2 ^ !m ^ kx1 Ф kx2 ^ 0 функтор Hom(* k^ Ф kx2) , получим

последовательность:

mux^x2 , kx1 Ф kx2 ) ^

Ext1(!m, k x1 Ф k x2) ^ Ext !(!

^ Ext2(kx1 Ф kx2, kx1 Ф k^ ) ^ Ext2 (m , kx Ф k^ ).

2

m x x

(43) тройке точную

(44)

Ext1(!m,kx1 Ф kx2) = 0 (см. (23)) и Ext2(!m,kx Ф kx2) = 0 (см. (25)). Так как

1

Ext2 (k Ф k , k Ф k ) = k6, то, используя (44), получаем, что

W k x1 Ф k x2) = k 6.

Ext1 (!

Используя (41), (43), (45) и точную последовательность (39), получаем, что

Ext'(Im. ^ x2, G(-3)) = k6.

Из (38) следует, что

Ext 2(G,I . * (-1)) = k6.

Вычислим

Ext2(!г, !muxux. (-1)) из (17). Применим

(45)

(46)

(47)

точной тройке

0 ^ O(-2) ^ 2O(-1) ^ ^ 0 функтор Hom(*, ^ux2 (-1)), получим последовательность

Ext1 (O(-2), !mux1ux2 (-1)) ^ Ext 2a, !mux1ux2 (-1)) ^

^ Ext2(2O(-1), !mux1ux2(-1)).

1 2 2

точную

Ext1 (O( 2), !mux1ux2 (-1)) = H1(!mu^ux2 (1)) = 0 и Ext2 (2O( 1), !mux1ux2 (-1)) = 2H2(!mux1ux2

Из (48) следует, что

Ext 2(! !

V 7' mux ux0

(-1)) = 0.

(48) )=0.

(49)

к

к

Таким образом, используя (37), (47), (49), точную последовательность (17) можно записать в виде

E^^1(G,|mUxlUx2(-1))aExtl(\i,L,^x2(-1)) ak6 a k6 а 0. Отсюда немедленно следует, что отображение r¡ - сюръекция. Поэтому морфизм V доминантен.

Обозначим через У* прообраз при морфизме V плотного открытого множества Q* в Q. В силу предложения 4 У* является открытым плотным подмножеством в У и морфизм v : У* a Q* доминантен. Отсюда ввиду предложения 2 и того, что множество M неприводимо и M открыто и плотно в M , следует, что f ° v(y*) плотно в M :

f °v(y*) = M. (50)

Заметим, что по построению f °v : У a M есть отображение va [E], где E - пучок в диаграмме (13), определенный данными оеУ*. Поэтому, в силу предложения 3, получаем f °v(y*) с M*. Так как M* плотное и открытое в M, то из (50) следует M с N . Тем самым, получаем теорему 1 - основной результат настоящей статьи.

Библиографический список

1. Заводчиков, М. А. О некотором семействе когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна С1 = — 1, С2 = 2, c3 = 0 на трехмерном проективном пространстве. I [Текст] / М. А. Заводчиков //

Ярославский педагогический вестник. Серия «Естественные науки». - № 3. - 2011.

2. Хартсхорн, Р. Алгебраическая геометрия [Текст] / Р. Хартсхорн. - М. : Мир, 1981.

3. Banica C., Putinar M., Schumacher G. Variation der globalen Ext in Deformationen kompakter komplexer

Raume. / C. Banica, M. Putinar, G. Schumacher // Math. Ann. 250, 1980, 135-155.

4. Hartshorne R. Stable reflexive sheaves / R. Hartshorne // Math. Ann. 254, 1980, 121-176.

5. Lange H. Universal families of extentions / H. Lange // Journal of algebra 83, 1983, 101-112.