Конструкция компоненты схемы модулей m p 3 (2;0,4,4) стабильных рефлексивных пучков ранга 2 на пространстве р 3

Сорокина Мария Евгеньевна

УДК 512.7

М. Е. Сорокина

Конструкция компоненты схемы модулей Мрз (2; 0,4,4) стабильных рефлексивных пучков ранга 2 на пространстве P3

В настоящей статье построена неприводимая компонентам ожидаемой размерности 29 схемы модулей МР з (2; 0,4,4) стабильных (по Гизекеру) рефлексивных пучков ранга 2 с классами Чженя c-i = 0, с2 = 4, с3 = 4 в проективном пространстве Р3, откуда следует непустота схемы Мрз (2; 0,4,4) и ее приведенность в общей точке компоненты М.

Ключевые слова: схема модулей, стабильный рефлексивный пучок ранга два в проективном пространстве P3.

М. Е. Sorokina

^^traction of a component of the moduli space Мрз(2; 0,4,4) of stable rank two reflexive sheaves on the projective space P3

In this article we construct an irreducible component M, having the expected dimension 29, of the moduli space MP з (2; 0,4,4) of Gieseker-stable rank two reflexive sheaves with Chern classes = 0, c2 = 4, c3 = 4 on the projective space P3. This implies that the moduli space MPa (2; 0,4,4 i^ nonempty and reduced at a general point of M.

Keywords: moduli space,stable rank two reflexive sheaf, projective space P3.

Мы работаем над произвольным алгебраически замкнутым полем к характеристики 0. В настоящей работе мы начинаем изучение геометрии схемы Мрз (2; 0,4,4) модулей стабильных (по Гизекеру) рефлексивных пучков ранга 2 с классами Чженя Су = 0, с2 = 4, с3 = 4 в проективном пространстве Р3. А именно, доказываем непустоту схемы Мрз(2; 0,4,4). Для этого мы опираемся на работу [2].

Идея, предложенная в [2], заключается в использовании конструкции Серра, которая устанавливает связь между рефлексивными пучками Е ранга 2 на Р3 и дробно-каноническими кривыми Коэна-Маколея Y в Р3. По этой конструкции пучок Е строится как расширение вида

0 -» О -» Е -» Iyfa) -> 0,

где /у - пучок идеалов схемы Y, О: = Орз, Су = сг(Е) (см. [2]). Используя данное соответствие, можно строить (полу)стабильные рефлексивные пучки на Р3. Примеры таких построений приведены в [2].

В частности, используя конструкцию Серра и другие результаты из [2], М.-Ч. Чанг в работе [1] рассмотрела случай стабильных пучков ранга 2 на Р3 c с2 <3. Она доказала, что соответствующие многообразия модулей при с2 < 3 неприводимы, неособы и рациональны, а при с2 = 3 и с3 = 1,.. ,8 неприводимы, унирациональны, а для некоторых из этих с3 рациональны. Точные описания многообразий модулей полустабильных пучков ранга 2 на Р3 со вторым классом Чженяс2 > 4 до сих пор не были получены.

В настоящей статье мы применяем конструкцию Серра к построению неприводимой компоненты М ожидаемой размерности 29 схемы модулей Мрз (2; 0,4,4) . Отсюда следует непустота схемы Мрз(2; 0,4,4) и ее приведенность в общей точке компоненты М.

Пусть Y:= Су И С2 И I - подсхема в проективном пространстве Р3, являющаяся дизъюнктным объединением гладких коник Су, С2 и прямой I. Мы рассматриваем пучки Е на Р3, являющиеся нетривиальными расширениями вида

0 -> 0(-1) IY(1) -» 0. (1)

Такие пучки существуют, поскольку Ext1 (/у(1),0(—1)) = Я°(^1(/у(1)|0(-1))) = H°(Ext2(0Y(l),0(-l))) = H°(det NY/p3 (-2)) = Я0(ОС1(1) Ф 0с2(1) © 00 = H0(Opi(2) © Opi(2) © Opi) S к7. Классы Чженя пучка E равны сг = 0, с2 = 4, с3 =4, и нетрудно видеть, что данный пучок стабилен по Гизекеру, т. е.[£] е Мрз(2; 0,4,4), где

Мрз (2; 0,4,4) - схема модулей когерентных полустабильных по Гизекеру рефлексивных пучков ранга 2 на Р3 с названными классами Чженя. Таким образом, схема Мрз (2; 0,4,4) непуста.

Вычислим размерность касательного пространства к схеме Мрз(2; 0,4,4) в точке [Е]. Применим функтор Hom(*, Е) к точной тройке (1):

0 -» Hom(/y( 1),Е) Нот(Е,Е) -» Нот(0(-1),Е) -> Ext1 (/у (1), Я) -> Extг(Е,Е) Ех^(0(—1), Е) ->... Здесь Нот(/у(1),Е) = 0 по стабильности Е, Ext 1(Е,Е) = к (см. [2]), Нот(0(-1),Е) = Я0(Е(1)), Ext1 (О (-1),Е) = Я г(Е(1)) = ЯЧ/у(2)). Из точной последовательности

0 -> /у(2) 0(2) -> Оу(2) 0

в силу того, что H°QY(2)) = 0 по определению схемы Y , Я0(О(2)) =/с10 , Я0(Оу(2)) =

Я0( 0Cl(2) © 0Cz(2) ф Oj(2)) = Н0(ОРМ® 0РЛ4 )© 0Рi(2)) = к13, получаем Я1^(2)) = /с3 .

Кроме того, равенство Я0(/у(2)) = 0 дает нам, что Я0(Е(1)) = к. Тем самым, получаем следующую точную слева последовательность:

0 -> Ext^/rCl), Е) -> Ext1 (Е, Е) fc3 ->... (2)

Вычислим Ext1 (IY (1), Е). Для этого рассмотрим длинную точную последовательность

0 Я1(Яот(/у(1), Е)) Ext1(/y(l), Е) -> Н0(Ех^(!г(1), Е)) -> Я2(Яот(/у(1), Е)) ->... (3)

Имеем: Яот(/у(1),Е) s Е(-1) , откуда Нг(Нот(1г(Х).ЕУ) = к2 и H2(Hom(IY(1 ),Е)) = 0 . Пучок Ext1(/y(l), Е) включается в точную последовательность

0 -> Е(-1)-» Нот (/у (1), Е) Ext1 (Оу( 1)Е)-> Ех^( 0(1),Е)-> (4)

ExtH/yCl)^) Ext2(0y(l),E) Ext2(0(1),Е), которая получается применением функтора Нот(*, Е) к точной тройке 0 -» /у(1) -> 0(1) -» Оу(1) -> 0. Из (4) следует изоморфизм

Ext1(/y(l), Е) = Ext2(Oy(l), Е). (5)

Применим функтор Яот(Оу(1),*) к тройке (1):

Ext^OyCLXE) -> Ех^(Оу( 1),/у(1)) -» Ext2(Oy(l), O(-l)) (6)

-» Ext2(0Y(l),E) -> Ext2(0y(l),/y(l)) Ext3(0y(l),0(—1)). E;ct1(Oy(l), Е) = 0, как видно из точной тройки

0 Яот(0(1),Е) Яот(/у(1),Е) -> Ех^(Оу(1),Е) О, в которой Яот(0(1), Е) = HomQY(l),E) = Е(—1) . Далее, Е;с^(Оу(1),/у(1)) = Ех^(Ог,1г) включается в точную тройку

О -> Hom(0Y> 0Y) Ext1 (Оу, /у) -» Eart1^, О), где Ext1 (Оу, О) = 0, Hom(0Y, 0Y) = 0Y, а значит, Ех^(Оу,1у) s Оу. Пучок Ext2(Oy(l), 0(-1)) = Ext2(0y,0) (Е> 0(—2) , как показано выше, изоморфен 0Cl (1) 0 0Cz (1) © Oi . Пучок E;ct3(Oy(l), 0(—1)) равен нулю, поскольку соШшрзУ = 2.

Для нахождения пучка Ext2(Oy(l), /у(1)) = Ext2(Oy,Iy) рассмотрим точную последовательность

О ЕхЬ\Оу, Оу) Ext2(0Y,IY) Ext2(0Y, О )-»

-» Ext2 (Оу,Оу)-> Ext\Oy,ly). ( )

Здесь Ext^Oy.Oy) = NY/p3 = NCi/p3 © N^p* © Nl/p3 = 0Cl(l) © 0Cl(2) © 0Ca(l) © 0Cz(2) © 20{(1), Ext2(0Y, 0) s 0Cl(3) © 0c2(3) © 0j(2). Для пучка Ext2(0Y, 0Y) верно равенство Ext2(0Y, Оу) = Ext2(0Ci, 0Ci) © Ext2(0C2,0Cz) © Ext2(Oi; Ог). Имеем: Ext2(0Ci, 0Ci) = Ext1^^ , 0Ci) . Пучок идеалов Ic коники С в P3 имеет локально свободную резольвенту

0->0(-3)->0(-2)©0(-1)->/с->0. (8)

Применяя к тройке (8) функтор Яош(*, 0^), получим точную последовательность О -> НотОс, 0С) -> 0С(1) © 0С(2) -» 0С(3) -» Ext\lc, 0С) О, в которой Hom(lc,Oc) = Nc/P3 = 0С(1) © 0С(2), а тем самым, Ех^(1с,0с) = 0С(3). Аналогично, применяя локально свободную резольвенту

О 0(—2) 20(—1) -» /г О

Конструкция компоненты схемы модулей Мрз (2; 0,4,4) стабильных рефлексивных пучков ранга 2 на пространстве Р3

для пучка идеалов /г прямой I в Р3 , получим, что Ext2 (Oj, Oj) = Ext1 0{) = Oi (2) . Таким образом, Fxt2(0y,Oy)sOCi(3)©Oc2(3)©Oi(2). Далее, Ext3 (0Y,IY)= Ext3(0Cl,IY) © Ext3 (0c2,Iy) Ф Ext3{Oi,lY). Для нахождения пучка Ext3(0Ci,IY) воспользуемся точной тройкой

о -> h /Cl 0Cz Ф Oj -» 0.

Применяя к ней функтор Hom(flY,*), получим точную последовательность Ext2(0Cl,0C2 ф Ог) -» Ext3(0Cl,IY) -> Ext3(pCi,lCi\ в которой Ext2(0Ci, 0С2 © Ог) = 0 и Ext3(0Ci,ICi) = 0 , поскольку hd(/Ci) = 1 . Но тогда Ext3(0Cl,IY) = 0, а следовательно, и Ext3(0Y,IY) = 0.

Подставим все найденные результаты в (7):

Отсюда

Подставляем последнее равенство и формулы Ех^(Оу (1) £") = 0, Ext1 (Оу(1), /у(1 )) = Оу, Ext2(0Y (1), 0(-1 ))= 0Ci (1) © 0Cz (1) © Ог, F*t3(Oy(l), 0(-1)) = 0 в (6):

Таким образом, Ext2(0Y(l),E) s 0Ci(l) © 0Ci(2) Ф 0C2(1) © 0Cz(2) © 20г(1) © Oz , где Z = Supp(coker(Oy -» 0Ci (1) © 0Cz (1) © Ог)) - нульмерная схема длины 4 в Р3. Тем самым,

H°(Ext2(0Y(l),E)) = к24.

Отсюда и из (5) и (3) получаем, что Ext1(/y(l), Е) = fc26, а значит, в силу (2)

dimExt\Е,Е) < 29.

C другой стороны, согласно [2], dimExt1^, £") —dimExt2(Я, £") = 8c2(ii) — 3 = 29 . Из двух последних формул следует, что

Ext1 (Е, Е) = к29, Ext2 (Е, Е~) = 0. (9)

Так как пучок Е стабилен, то ТщМрз (2; 0,4,4) = Ext1 (Е, Е). Отсюда и из (9) по теории деформации следует, что схема Мрз(2; 0,4,4) неособа в точке [£"] и имеет в этой точке размерность 29. Тем самым, неприводимая компонента М схемы Мрз (2; 0,4,4), содержащая точку [E], имеет размерность 29, ожидаемую по теории деформации, и схема Мрз(2; 0,4,4) приведена в общей точке компоненты М.

Библиографический список

1. Chang M.-C. Stable rank 2 reflexive sheaves on P3 with small c2 and applications// American Math. Soc. 1, July (1984), 57-89.

2. Hartshorne R. Stable Reflexive Sheaves// Math. Ann. (1980), 121-176.

Bibliograficheskij spisok

1. Chang M.-C. Stable rank 2 reflexive sheaves on P3 with small c2 and applications// American Math. Soc. 1, July (1984), 57-89.

2. Hartshorne R. Stable Reflexive Sheaves// Math. Ann. (1980), 121-176.

Конструкция компоненты схемы модулей m p 3 (2;0,4,4) стабильных рефлексивных пучков ранга 2 на пространстве р 3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Сорокина Мария Евгеньевна

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Сорокина Мария Евгеньевна

Construction of a component of the moduli space M p 3 (2;0,4,4) of stable rank two reflexive sheaves on the projective space Р 3

Текст научной работы на тему «Конструкция компоненты схемы модулей m p 3 (2;0,4,4) стабильных рефлексивных пучков ранга 2 на пространстве р 3»