Компоненты схемы модулей полустабильных пучков ранга два на трехмерной квадрике Текст научной статьи по специальности «Математика»

Д.И.Артамкин

КОМПОНЕНТЫ СХЕМЫ МОДУЛЕЙ ПОЛУСТАБИЛЬНЫХ ПУЧКОВ РАНГА ДВА НА

ТРЕХМЕРНОЙ КВАДРИКЕ

Введение

В статье изучается схема модулей Mq(2;0,2,0) Гизекера-Маруямы полустабильных пучков без кручения ранга 2 на квадрике Q^P с классами Черна ci=0, с2=2, с3=0 [1,2].

Введем несколько обозначений, которыми будем пользоваться ниже.

• M:=Mq(2;0,2) — многообразие модулей стабильных векторных расслоений E на Q, с

rkE=2 и классами Черна c1(E)=0 и c2(E)=2.

— -G

• Через M = M q (2;0,2) обозначим замыкание многообразия модулей расслоений

Mq(2;0,2) в схеме Mq(2;0,2,0).

• Пусть xg V произвольная точка некоторого векторного пространства V над полем k.

Обозначим <х> подпространство kxeP(V).

Известно [2], что Mq(2;0,2,0) не пусто и содержит неприводимую компоненту M, содержащую в качестве открытого плотного подмножества многообразие Mq(2;0,2) модулей стабильных голоморфных векторных расслоений ранга два на квадрике с нулевым первым классом Черна и минимально возможным, согласно условию Шварценберга [2. C.194], вторым классом Черна, равным 2.

В статье доказывается, что Mq(2;0,2,0) содержит также еще по крайней мере две неприводимые 13-мерные компоненты, пересекающие компоненту M по компонентам границы d M:=M\M.

Основной результат, дающий описание этих двух компонент, заключается в следующих теоремах:

Теорема 1. В Mq(2;0,2,0) существует неприводимая компонента M0, которая есть замыкание неприводимого многообразия M0, dimM0=13. Все точки M0 - стабильные пучки, Mq(2;0,2,0) неособо вдоль M0, и M0 пересекает M по неприводимому 8-мерному многообразию, лежащему в M, точное описание которого дается формулой (1.13).

Теорема 2. В Mq(2;0,2,0) существует неприводимая компонента M1, которая есть замыкание неприводимого многообразия M1, dimM1=13. Mq(2;0,2,0) неособо вдоль M1, и M1 пересекает M по неприводимому 8-мерному многообразию, лежащему в M .

Статья состоит из двух параграфов, первый из которых посвящен доказательству Теоремы 1, а второй - Теоремы 2.

1. Компонента M0

Рассмотрим общую точку [E]gM, Оттавиани и Шурек в [2] показали, что нулями общего сечения seH°(E(1)) является объединение двух непересекающихся коник. Обратно, если мы имеем пару непересекающихся коник C1nC2 на Q, то конструкция Серра нам дает расслоение E на Q.

£ : 0 ^ oq (-1) ^ E ^ Cпc2,q (1) ^ 0. (П)

Тогда g Ext1(Ic1nc2,q (1)oq (-1)X но

Ext1(/C1n C2,Q (1), Oq (-1)) = H 0( Ext 1(/С1п c2,q (1), Oq (-1))) =

ф ) ((1.2)

C2 '

= H"(Ext*Щсc2q(1),Oq(-1))) = (OCi е Oc2 )

и при этом отождествлении компоненты i)i е H0(Oc ), i=1,2 элемента будучи обра-

i

зующими в H 0(Oc ), обеспечивают локальную свободу пучка E.

i

Введем несколько дополнительных обозначений:

• H2 2 - объединение всех неприводимых компонент схемы Hilb4n+2(Q), содержащих несвязное объединение C1CC2 двух различных непересекающихся коник в качестве общей точки.

• Z={(C,<s>)|CeH2,2, seH°(Ext\Ic,O(1)OQ(-1))) - сечение без нулей}.

• H*2,2={CeH2,2| C=C1CC2, CbC2 - гладкие коники, C1nC2=0}.

• Z*={(C,<s>)eZ|CeH*2,2}.

Лемма 1. H*2,2 неприводимо. Доказательство. Действительно, ввиду неособости Q любая коника C на квадрике Q высекается из нее единственной плоскостью P 2=Span(C) в P , а значит, получаем биекцию

sec: H*2,2 ^ Sym2G(2,4) \ Y: СшС2 a(Span(C0, Span(C2)), где Y={(Pa2,Pb2)eSym2G(2,4)| Pa2nPb2nQ^0}. Учитывая неособость Sym2G(2,4) и то, что Y является собственным замкну-

тым подмножеством, получаем неприводимость H*2,2.

Рассмотрим кривую В в £ такую, что В=В*о>(Ь0}, где Ь0=(С0,<£0>), а В*=Вп£*, причем:

a) C0= C1 u C2 - схема, определяемая нерасщепляющейся точной тройкой

0 ^ kХ0 ^ O ~ ^ O ^ 0, (1.3)

C1UC2 C1UC2

где x0=C1n C2 - точка трансверсального пересечения C1 и C2, где C1 и C2 - гладкие коники.

b) S0 е Ext1(Ic0(1), Oq (-1)).

Итак, мы имеем отображение S:B*^M, задаваемое конструкцией Серра.

_G

Предложение 1.2. Конструкция Серра (1.1) определяет отображение S : B ^ M такое, что

1) S(V)=[E0], где [E0]edM :=M\M,

2) E0 стабилен по Гизекеру,

3) Пусть E0 = Eqv и can:E0^ E 0 - каноническое отображение пучка E0 в свой дважды

двойственный пучок E 0, тогда coker can =kХ0, E 0 - рефлексивен, c3( E 0)=2 и имеет место коммутативная диаграмма:

0 ^ oq(-1)

||

0 ^ oq(-1)

0 I

E0

canX

E 0

k

X 0

0

X

^ I ~ (1)

C1uC2,Q

X

^ I (1)

C1uC2,Q

X

x0

k

x0

X 0

^ 0

^ 0

Доказательство. Докажем сначала утверждение 3). Из (1.3) имеем: 0 ^ —1с1ис2,0(1) —кХо ^ 0. Применяя к этой точной последовательности функтор Нош(-,Од(-1)), получим следующую точную последовательность: ... ^ Бх11(кх0,Ое( -1)) ^ Ех^^,Ое( -1)) -—^

2

2

>ExtVc q,Oq(-1)) ^ Ext2(kx0,Oq( -1)) ^ ... (1.5)

По двойственности Серра Ext1(kXq,Oq( -1)) = Ext2(OQ( -1),kX0(-3))v, но, в свою очередь, Ext2(OQ(-1),kх0 (-3)) = Ext2(OQ,kх0 (-2)) = H2(kх0 (-2)) = H2(kXq) = 0. Аналогично Ext2(kXq,Oq(-1)) = H 1(kX0)v= 0, поэтому отображение i* в (1.5) является изоморфизмом. Следовательно, для любого элемента £ g Ext1^^ q (1), Oq (-1)) найдется

такой элемент £0 g Ext1(I^1UC2 Q (1), Oq (-1)) такой, что £= i*£0. Последнее означает, что

расширение, определяемое элементом £:

0 ^ Oq (-1) ^ E0 ^ Ic0q (1) ^ 0, (1.6)

получается из расширения

0 ^ Oq (-1) ^ E0 —^Ic1^c2,q (1) ^ 0,

определяемого элементом £0, при помощи так называемой операции "push out", то

есть из двух точных троек 0 ^ Ic q (1) —^ Ic uc Q (1) —k X ^ 0 и (1.7) получает-

0 ^ 1 2 0

ся коммутативная диаграмма:

(17)

0

0

Oq(-1)

II

Oq(-1)

I

E0

I

E 0

IeoV k x

I

^Q (1)

I

IC1uC2,Q (1) ^

x0

2

Ie k

x0

I 0

I 0

что доказывает утверждение 3). Для доказательства утверждения 2) нам достаточно показать, что пучок Е стабилен. Предположим противное, рассмотрим подпучок Ь ранга 1 пучка Е, тогда пучок

является, очевидно, подпучком пучка Е= Е, а так как - рефлексивный пучок ранга 1, то =Од(и). Тогда если Е не является стабильным, то п>0. Получаем две

точных тройки: 0 ^ Oq (-1) ^ E ^ I

'q\-4^"-"cujcvq(1) ^ 0 и 0 ^ Oq(n) —^E ^ cokeri ^ 0,

домножив которые на OQ(-n), получаем противоречие: у пучков OQ(-n-1) и

¡с uc Q (1 - n) n>0 нет сечений (наличие сечений у ¡с ис Q (1) равносильно принад-

1 2 1 2

лежности обеих коник одному P3), а у E (-n) - есть. Таким образом E, а, значит, и E стабильны. Утверждение 2) доказано.

Утверждение 1) теперь очевидно.^ Пусть теперь

• S2,2={CeH2,2|C= C u C2 - схема вида (1.3)}.

• H2,2 = H2,2 u S2,2.

• E = {(C,< s >) е E | C е H^a}.

• ^2,2=S(E**\E*).

• H4,0 - объединение всех неприводимых компонент схемы Hilb4n+Q, содержащих гладкую нормквартику °C4 в качестве общей точки.

• S4,0={CeH4,0|C=C1uC2, C1^C2={pt}}.

Замечание 1.2.1. dimD2,2=8, то есть D2,2 - неприводимая компонента в д M . Лемма 1.3. S4,0 неприводимо.

Доказательство. Каждой гладкой конике C на Q соответствует единственная плоскость

P-Span(C), причем C=Span(C)nQ. Таким образом, получаем инъективный мор-физм ц S4,0^Sym2G(2,4):C=C1uC2a(Span(C1),Span(C2)). Очевидно что если C=C1uC2eS4,0, то Span(C1)n Span(C2)nQ=(pt}. Рассмотрим

^:=Ц4,0)={( Pa2,Pb2)eSym2G(2,4)|Pa2nPb2nQ=^t}. (1.8)

Нетрудно видеть, что Y - неприводимо, откуда следует неприводимость S4,0.^

Лемма 1.4. 1) Схема Hilb4n+Q неприводима, и dim Hilb4n+Q =12. 2) Схема Hilb4n+Q неособа в точках S4,0, и общая кривая из S4,0 деформируется в гладкую кривую 0C4

Доказательство. Рассмотрим график инциденции

r={(Q,0C4)| °C4eQ}. Имеем проекции p1 : Г^ Op4 (2) со слоем Hilb4n+Q и p2T^Hilb4n+1P4 со слоем \I0c4q (2) |. Из

неприводимости | Op4(2)| =P14, H40 0 (P4) :={CeHilb4n+1P4|C - гладкая нормквартика} =

г0

,4

4n+1 4

0

0

0

0

PGL(P4)/PGL(P1) и \I0c4 q (2) | следует неприводимость Hilb4n+1Q. Отсюда же, очевидно, следует dim Hilb4n+1Q =dim H^P4) + h0(I0c4q (2)) - h0(0p4 (2)) =21+5-14=12. Утверждение 1) доказано.

Для доказательства утверждения 2) покажем, что h°(NC/Q)=12, а H1(Nc/q)=0. Действительно, рассмотрим отображение Nq/q ^ Nq ^q /q Ic1 , коядром которого, очевидно, будет kx, где х - точка пересечения C1 и C2 [6]. С другой стороны,

Nq1 / q = Oq1 (1) 0 Oq2 (1) = Op1 (2) 0 Op1 (2), (1.9)

откуда получаем точную тройку:

0 ^ Op1 (2) 0 Op1 (2) ^ Nc uC2/Q |C1 ^ kx ^ 0.

Следовательно,

NC1uC2/ Q Ic1 = Op1 (2) 0 Op1 (3). (1.10)

Рассмотрим три точные тройки:

0 ^ N ^ Nc1uC2/Q ^ NC1uC2/Q |C1 ^ 0,

0 ^ Nc1/Q ^ Nc1uC2/q Ic1 ^ kX ^ 0, (1.11) 0 ^ N'^ Nc2/Q ^ kX ^ 0. Подставляя в них (1.9) и (1.10), получим:

0 ^ Oq2 (2pts) 0 Oq2 (pt) ^ Ncxuc2 /q ^ Oq1 (2pts) 0 Oq1 (3pts) ^ 0. (1.12)

Нетрудно видеть, что h°(0Cl (2pts) 0 Oq (pt)) = 5, h0(0q (2pts) 0 Oq (3pts)) = 7 и

h1(0C2 (2pts) 0 0C2 (pt)) = h1(0C1 (2pts) 0 Oq (3pts)) = 0. Следовательно, h°(Nc/Q)=12 и

h1(Nc/Q)=0. +

Тогда, согласно теории деформаций (см., например, [6]), схема Hilb4n+1Q неособа в точке C. При этом общая кривая из S4,0 деформируется в гладкую кривую °C4.^

Следствие. Все S4,0 содержатся в замыкании некоторой неприводимой компоненты H°0 схемы Гильберта Hilb4n+1Q. Пусть также

• H4,0 = {C g H4,0 |C - нормквартика }.

** *

• H4,0 = H4,0 US4,0.

• z4*0 = {(C, <s>) I C g H4*0, sgH°(Ext(Iq,q(1),Oq(-1)))}.

**

Лемма 1.5. Z 4 0 неприводимо.

**

Доказательство. H4 0 неприводимо, так как H4 0 - общие точки неприводимой компоненты H 40 0. Следовательно, H 40 неприводимо.

Имеется проекция p4,0 : Z4,0 ^ H4 0 :(C,<s>)aC. Нетрудно видеть, что p4,0 - проекция со слоем

P(H°(Ext1 (Ic,q(1),Oq(-1))))=P2. Отсюда получаем, что Z4 0 неприводимая

Введем дополнительные обозначения:

К4,0=£( Е40)еМд(2;0,2,2), где Е4 0 ^К4,0(С,<5»а[ Е 0], расслоенное над своим образом пространство со слоем Р(#°(Е0(1))).

М4,0={([Е0],<Б0»|Е0еК4,0, Е0 ——^кх - эпиморфизм, xоeQ}.

л0

Замечание 1.5.1. Очевидно из леммы 1.5 следует также и неприводимость

N4,0.

Замечание 1.5.2. M4,0^N4,0:([ E0],(s0»a[E0] - проекция с неприводимым слоем P( E 0).

Неприводимость P( E 0) следует из следующей леммы. Лемма 1.6 (см. [4. Лемма 4.5]).Дусть F - рефлексивный пучок ранга два на неособом многообразии, и hdF<1. Тогда P(F) неприводим.

Так как E 0 - стабильный рефлексивный пучок, то (см. [3. Гл.11, §1]) коразмерность множества его особенностей не меньше трех, то есть hd E 0<4-3=1.

Лемма 1.7. N4,0 - гладкое многообразие, и dim N4,0=9, при этом N4,0 - открытое подмножество неприводимой компоненты схемы Mq(2;0,2,2).

Доказательство. Рассмотрим график инциденции: Г={( E ,0C4)| E =S((0C4,<s»)}, как и в доказательстве леммы 1.4, имеем две проекции: p1:r^N4,0 со слоем

P(H°( E 0(1))) и p2:r^Hilb4n+1Q со слоем P(Ext1(10C 4q (2), OQ)). Отсюда получаем

dimN4,0=dim Hilb4n+Q+dimP(Ext1(10C4 Q(2),OQ))-dimP(H°(E0(1))). Для вычисления h°(E(1)) рассмотрим точные тройки

0 ^ OQ ^ E (1) ^ 10C4,q (2) ^ 0, 0 ^ 10C4Q (2) ^ Oq (2) ^ O0C4 (2) ^ 0.

h 0(O 0c4(2)) = 9, h0( Eq(2))=14, следовательно, h0( E (1))=6. Итак, получаем: dim N4,0=12+2-5=9.

Для доказательства неособости многообразия N4,0 применим функтор Hom(-, E ) к (1.6):

¡C1UC2,Q(1),E) ^ Ext2(E,E) ^ Ext2(OQ<

C2,Q СО ^ OQ (1) функтор Hom(-, E ), получаем

... ^ Ext2(OQ(1),E) ^ Ext2(Ic1uc2,Q(1),E) ^ Ext3(Oc1uc2 (1),E) ^ ... Заметив, что

Ext2(OQ(1), E )=H2( E (-1)), из точной последовательности (1.6), домноженной на Oq(1), получаем Ext2(OQ(1), E )=0.

По двойственности Серра имеем Ext3(OC1uC^ (1), E) = Hom(E, OC ^ (-2)). Применяя функтор Hom(-, Oc1UC2 (-2)) к (1.6), получим

... ^ Homl^Q (1), Oc1uc2 (-2)) ^ Hom(E, O^ (-2)) ^ HomOQ (-OO^ (-2)) ^..

Но Hom(OQ (-1), Oc1uc2 (-2)) = H 0(OquC2(-1)) = 0. Заметим также, что Hom(rc1uC2,Q (1), Oc1uC2 (-2)) = H0 ((Ic^q (1) C1uC2 )V (-2)) = H0 (N^ / q (-3)),

... ^ Ext2(Ic1uc2,Q(1),E) ^ Ext2(E,E) ^ Ext2(OQ(-1),E) ^ ...

Из точной последовательности 0 ^ Iс uC Q (1) ^ Oq (1) ^ Oc uC (1) ^ 0, применяя

1 2 1 2

так как Ic^qq (2) |c1^C2 = Nq^c2/Q •

Но из точной последовательности (1.12) h°(NVuc /q (-3)) = 0, откуда получаем что

1 2

Ext2(Ic ^c.q (1)q e) = 0q а значит и Ext2(E, E )=0. Вспоминая, что E - стабильный

пучок, получаем гладкость Mq(2;0,2,2) в точке [ E ]eN4,0,

dim MQ(2;0,2,2)=dim Ext1( E, E ), по теореме Римана-Роха dim Ext1( E, E )=6c2-3=9, то есть размерность N4,0 совпадает с размерностью Mq(2;0,2,2), откуда следует гладкость N4,0.^

Следствие. M40 неприводимо размерности 13. Действительно, dim M40=dim N4,0+dimP( E )=9+4=13.

Рассмотрим отображение ^»:M4,0^Mq(2;0,2,0):([E0],(s0))aE=kers0, корректно определенное в силу предложения 1.2.

Предложение 1.8. р- инъективный морфизм.

Положив М0=ррМ4,0), имеем Mo - гладкая неприводимая 13-мерная (из леммы 1.7) компонента схемы Mq(2;0,2,0) (предложение 1.8). Неособость схемы Mq(2;0,2,0) вдоль Мо мы получаем, дословно повторяя доказательство неособости Mq(2;0,2,2) вдоль N4,0. Из определения D, предложения 1.2 и построения Мо непосредственно следует D^M0, откуда очевидно следует

М0 п М = D. (113)

Из предложения 1.2 следует также стабильность пучков из М0. Этим мы заканчиваем доказательство теоремы 1.

2. Компонента М1

Пусть #2,2, £, H*2,2, £* те же, что и в предыдущем параграфе.

Рассмотрим теперь кривую В в £ такую, что B=B*u{b0}, где b0=(C0,(s0)), а В*=Вп£*, причем:

л

a) C0= Ci u C2 - схема, определяемая нерасщепляющейся точной тройкой

о ^ kХо еkл ^о л ^о ^о, (2.i)

C1 uC2 C1 uC2

где (х0гу0}= C1nC2 - две точки пересечения гладких коник C1 и C2, на Q.

b) soGExt\Ic0 (1),Oq(-1)).

Как и в предыдущем параграфе, имеем отображение S:B*^M, задаваемое конструкцией Серра.

_G

Предложение 2.1. Конструкция Серра (1.1) определяет отображение S:B^ М такое, что

1) S(bo)=[Eo], где [Eo]edМ :=М\М,

2) E0 стабилен по Гизекеру,

3) пусть E 0=EgV и can:E0^E 0 - каноническое отображение пучка E0 в свой дважды

двойственный пучок E 0, тогда coker can = k Хо е k ^, E 0 - рефлексивен, c3( E 0)=2 и имеется коммутативная диаграмма:

0 0

0 ^ oq(-1) ^

II

0 ^ oq(-1) ^

1 X

E0 I Л (1) QuC2Q

canX X

E0 I (1) QuC2Q

X X

k x0 Ф k у0 = k x0 ® k у0

X X

0 0

(2.2)

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству предложения 1.2. Пусть теперь

Л

S*2,2={CgH2,2|C= C1 u C2 - схема вида (2.1)}. H2 2 =H*2,2uS*2,2. e***={(C,<S»ge|Cg H 2*2}. D*=S(E***\E*).

H4;1 - объединение всех неприводимых компонент схемы Hilb4nQ, содержащих гладкую эллиптическую квартику 1C4 в качестве общей точки.

• S4,1={CeH41|C=C1uC2, C1, C2 -гладкие коники, C1nC2={2pts}}. Замечание 2.1.1. dim D*=8, то есть D* - неприводимая компонента в дM. Лемма 2.2. S4;1 неприводимо.

Доказательство. Неприводимость S4;1 получаем так же, как и неприводимость S4,0.^ Лемма 2.3. 1) dim Hilb4nQ =12. 2) схема Hilb4nQ неособа в точках S4;1.

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству леммы 1.4.^

Следствие. Все S4;1 содержатся в замыкании некоторой неприводимой компоненты H° 1.

Пусть также

• H*4,1={1C4

g H11 C - гладкая эллиптическая квартика}.

**

• H 41=H*4,1uS4,1.

• z4*1={(C,<s»|Ce H4*1, SGH°(Ext\Ic,Q(1),OQ(-1)))}.

**

Лемма 2.4. E 41 неприводимо.

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству леммы 1.5.^ Введем дополнительные обозначения:

• N4,1=S(e4* )cMq(2;0,2,2), где S:(C,<s»a[E0], расслоение со слоем P(H°(E0(1))).

M4,1={([E0],<S0»| E0gN4,1, E0-

^^kX0 Ф k - эпиморфизм, X0, y0GQ}.

Замечание 2.4.1. N4;1 неприводимо (из Леммы 2.4).

Замечание 2.4.2. M4;1^ N4;1:([E 0],(s0»a[E 0] - проекция с неприводимым слоем P(E 0). Лемма 2.5. N4;1 - гладкое многообразие, и dim N4;1=9. Доказательство. Аналогично доказательству леммы 1.7 имеем:

dimN4,1=dim Hilb4"Q+dimP(Ext1( I с 4 (2),OQ))-dim P(H°( E (1))).

Для вычисления h0( E (1))=dimH0( E (1)) рассмотрим две точные тройки:

0

0

0 ^ OQ ^ E (1) ^ I C4>ß (2) ^ 0, 0 ^ IiC4,q (2) ^ Oq (2) ^ OiC4 (2) ^ 0.

h\OiC 4(2)) =8, h0(OQ(2))=14, следовательно, h0( E (1))=7.

Гладкость N4;1 получается аналогично лемме 1.7.^ Следствие. M4;1 неприводимо размерности 13.

Доказательство. Действительно dim M4;1=dim N4;1+dimP( E )=9+4=13.^ Рассмотрим отображение

pM^ Mq (2;0,2,0): ([ E 0],<S0»aE=ker 80, корректно определенное в силу предложения 2.1. Предложение 2.6. р - инъективный морфизм.

Нетрудно видеть, что многообразие M1=p(M4,1) удовлетворяет всем условиям теоремы 2.

Библиографический список

1. Ein L., Sols I. Stable vector bundles on quadric hypersurfaces // Nagoya Math. J. 1986.V. 96 P. 11-22.

2. Ottaviani G., Szurek M. On Moduli of Stable 2-Bundles with Small Chern Classes on Q3 // Annali di Matematica pura ed applicata 1994. Vol. CLXVII (VI) P. 191-241.

3. Оконек К., Шнейдер М., Шпиндлер X Векторные расслоения на комплексных проективных пространствах. М.: Мир, 1984.

4. Stromme S.A. Ample Divisors on Fine Moduli Spaces on the Projective Plane // Mathematishe Zeitschrift 1984. V. 187. P. 405-423.

5. Hartshorne R. Stable reflexive sheaves // Math. Ann. 1980. V. 254, P. 121-176.

6. Hartshorne R. Hirshovitz A. Smoothing algebraic space curves. In: Algebraic geometry, Sitges (Barcelona), 1983, Lecture Notes in Math., 1124. Springer, Berlin-New York, 1985. 98-131.

7. Maruyama M. Moduli of stable sheaves I, J. Math. Kyoto Univ. 1977. V. 17, P. 91-126.

8. Maruyama M. Moduli of stable sheaves II, J. Math. Kyoto Univ. 1978. V. 18, P. 557-614.