Свойства стабильных пучков ранга два на трехмерной квадрике Текст научной статьи по специальности «Математика»

Д.И. Артамкин

СВОЙСТВА СТАБИЛЬНЫХ ПУЧКОВ РАНГА ДВА НА ТРЕХМЕРНОЙ КВАДРИКЕ

Введение

Введем несколько обозначений, которыми, для краткости, будем пользоваться

ниже.

• Q - гладкая трехмерная квартика в Р4.

• М£(2;0,2) - многообразие модулей стабильных векторных расслоений Е на Q, с гкЕ=2 и классами Черна с^Е)=0 и с2(Е)=2.

• М^2;0,2,0) - схема модулей Гизекера-Маруямы полустабильных пучков без

кручения ранга два на квадрике 0 с классами Черна с1=0, с2=2, с3=0. -о

• Через ^^ (2;0,2) обозначим замыкание многообразия модулей расслоений

М^(2;0,2) в схеме MQ(2;0,2,0).

• Пусть хеК произвольная точка некоторого векторного пространства V над полем

к. Обозначим <х> подпространство кхеР(К).

Известно, что MQ(2;0,2,0) не пусто и содержит неприводимую компонен--о

ту^^ (2;0,2) , содержащую в качестве открытого плотного подмножества многообразие MQ(2;0,2) модулей стабильных голоморфных векторных расслоений ранга два на квадрике с нулевым первым классом Черна и минимально возможным, согласно условию Шварценбергера (см. [6. С.194]), вторым классом Черна, равным 2.

Также известно (см. [1]), что MQ(2;0,2,0) содержит еще одну неприводимую 13-

о

мерную компоненту, пересекающую компоненту MQ (2;0,2) по замыканию неприво-

-о ----о

димого восьмимерного многообразия в границе дMQ (2;0,2) := MQ (2;0,2) \ MQ (2;0,2)

В работе дается геометрический метод описания компонент схемы Mq(2;0,2,0). Для этого выясняется, что схема Mq(2;0,2,0) не содержит чисто полустабильных пучков, и любой пучок из Mq(2;0,2,0), подкрученный на 1, имеет сечения, причем нулями общего сечения является кривая степени 4, возможно, с добавленными точками. В работе рассмотрены все квартики без кратных компонент. Новых компонент схемы Mq(2;0,2,0) не обнаружено.

Основные результаты статьи заключены в следующих теоремах:

Теорема 1. Пусть [Е]е Mq(2;0,2,0), тогда ¿°(Б(1))>0, причем нулями (я)0 общего сечения 5еЯ°(Е(1)) является кривая степени 4.

Теорема 2. В Mq(2;0,2,0) не существует стабильных пучков Е таких, что нулями сечений пучка Еуу(1) являются следующие кривые:

1) гладкая эллиптическая квартика;

2) несвязное объединение нормкубики и прямой;

3) несвязное объединение коники и двух прямых;

4) несвязное объединение четырех прямых.

Статья состоит из четырех параграфов. Первый параграф посвящен доказательству теоремы 1. Последующие параграфы последовательно доказывают различные пункты теоремы 2.

§1. Наличие сечений у подкрученного пучка

Рассмотрим общую точку [Eje Mq(2;0,2). Оттавиани и Шурек в [6] показали, что множеством нулей общего сечения seH°(E(1)) является объединение двух гладких непересекающихся коник С1 и С2. Обратно, конструкция Серра для двух непересекающихся коник нам дает расслоение E на Q.

£ : 0 ^ Oq (-1)E ^ Iccc2q СО ^ 0. (1 1)

Тогда £e Ext^I^yс2 Q (1), Oq (-1)). Необходимо также заметить, что Ext^I^c C2 Q (1), Oq (-1)) = H0(Oc1 Ф OC2), и при этом отождествлении компоненты

e H°(Oc. ) (i=1,2) элемента £, будучи образующими в H°(OC ), обеспечивают ло-

' i

кальную свободу пучка E.

Отображение S, сопоставляющее квартике С на квадрике и сечению

£e Ext1(Icq(1),Oq (-1)) пучок из точной тройки 0^0q(-1)^E^Ic,q(1)^0, будем называть отображением Серра:

S:(C,<£» aE. (1.2)

Поскольку по конструкции Серра кривые степени 4 на Q возникают как сечения пучка E(1), то естественно поставить вопрос: всякий ли пучок [Eje Mq(2;0,2,0) можно получить по кривой С, являющейся нулями сечения E(1), и соответствующему расширению £ e Ext1(Icq (1), Oq (-1)) ? Ответ на него дает теорема 1, доказательство которой

мы разобьем на несколько лемм.

Лемма 1.1. Пусть E - рефлексивный пучок ранга 2 без кручения на квадрике Q, причем E не является стабильным пучком, тогда Е является нестабильным пучком (то есть в Mq(2;0,2,0) нет полустабильных, но не стабильных пучков).

Доказательство. Пусть Е не является стабильным пучком, тогда в Е существует дестабилизирующий подпучок L такой, что pL(m)>pE(m).

Заметим сразу, что в силу рефлексивности пучка Е пучок Lvv тоже лежит в Е:

L ^ Е

can I || (1.3)

Lvv ^ Е = Evv

Очевидно, можно считать, что пучок Q:=E/L не имеет кручения, также можно считать, что rk(L)=1. То есть L - пучок без кручения, причем rk(L)=1, но тогда L=Iv,q(n) и

Q = Iw,q( n), где V и W - некоторые схемы, причем degV=degW, а n>0 вследствие того, что пучок L дестабилизирующий. Тогда имеем Lw=0q(w), итак, из второй строчки диаграммы (1.3) получаем пучок Oq(w), где n>0 лежит в Е и, следовательно, пучок Е -нестабильный.^

Следствие 1.1.1. Нестабильный рефлексивный пучок ранга 2 на квадрике Q имеет сечения.

Лемма 1.2. Пусть Е - рефлексивный пучок ранга 2 на квадрике Q с с1(Е)=0, тогда с2(Е)^0.

Доказательство. Предположим противное. Очевидно, что стабильным такой пучок быть не может. Если пучок Е нестабилен, то у него есть сечения, что дает тройку

0 ^ OQ ^ Е ^I% Q ^ 0, где в силу с2(Е)=0 ё1ш20=0. Но нетрудно видеть, что эта тройка распадается.1

Лемма 1.3. Пусть Е - пучок без кручения ранга 2 на квадрике Q с с1(Е)=0, с2(Е)=2 и с3(Е)=0, причем Е=Е44 - нестабильный пучок, тогда пучок Е также нестабилен.

Доказательство. Предположим противное. Так как пучок Е нестабилен, то по следствию 1.1.1 у него есть сечения, но тогда нетрудно видеть, что пучок Е также имеет сечения.1

Лемма 1.4. Пусть [Е]е Mq(2;0,2,0), причем Е=Е44 - стабильный пучок, тогда ¿0(Е(1))>3.

Доказательство. Рассмотрим эйлерову характеристику пучка Е(1): очевидно равенство

И\Е(1)) = х(Е(1)) + ^(Е(1)) _ - Ь\Е(1)) + ¿3(Е(1)), (1.4)

из которого ввиду неотрицательности И1(Е(1)) имеем: И°(Е(1))>%(Е)-И2(Е(1)). Так

Г1, либо

как Е=Е , то с1(Е)= с1(Е)=0, а с2 = < ^ .

Разберем отдельно эти два случая (различные с2):

с2(Е)=1. Оценим х(Е(1)). Ввиду неотрицательности с3(Е) [3] х(Е(1))>8. Для вычисления И2(Е(1)) воспользуемся теоремой о спектре [2, теорема 2.2] h2(E(1))=h1(Oq(k+2)), где {к} - спектр пучка Е. Из той же теоремы следует, что к<1, значит ^(Е(1))<^^(3))=0, то есть ^(Е(1))>7, что доказывает 2).

с2(Е)=2. Аналогично предыдущему случаю имеем х(Е(1))>3, h2(E(1))=h1(Oq(k1)Ф Oq(k2)(2)), где {к1,к2} - спектр пучка Е. Нетрудно видеть, что «максимальным» спектром является {1,0}, а значит h2(E(1))<h1(Oqф Oq(1)(3))=0, то есть ^(Е(1))>3, что доказывает утверждение 2).

Лемма 1.5. Пусть Е - рефлексивный пучок ранга 2 на квадрике Q с с1(Е)=0 и с2(Е)=1, тогда Е - нестабилен.

Доказательство. Предположим противное, то есть что пучок Е стабилен, тогда по лемме 1.4. пучок Е(1) имеет сечения. Таким образом, получаем точную тройку 0^•Oq(-1)^Е^1с^(1)^0, где ёе§С=3. Но тогда то есть пучок Е имеет сече-

ния, а значит он нестабилен.

Лемма 1.6. Пусть [Е]е Mq(2;0,2,0), тогда Е - стабильный пучок.

Доказательство. Предположим противное, то есть существует пучок [Е] е Mq(2;0,2,0) - полустабильный, но не стабильный. Это означает, что имеется точная тройка Ь2^-0, где

Рц(т) = РЕ (т) = Рь2(т) (15)

Откуда следует с1(Ь1)=с1(Е)=с1(Ь2)=0. Тогда Ь1 = ^, где 1(21пИ)+1(22пИ), а Н -

общее гиперплоское сечение квадрики. Нетрудно видеть, что ввиду (1.5) 2 - прямая с, быть может, добавленными точками. Другими словами, имеем точные тройки:

0 ^ к ^ 02_ ^ 01_ ^ 0, (1.6)

где к - артиновы пучки, а I - приведенные прямые.

Обозначим ^г=1(кг)>0, нетрудно видеть, что для выполнения условия (1.5) необходимо С другой стороны, имеем с{(Е) = с{)с(Iz2,Q), откуда ^1+^2=1, что

дает противоречие.1

Лемма 1.7. Пусть [Е]е Ы2(2;0,2,0), тогда Е и Е=ЕУУ - стабильные пучки, причем факторпучок Е/Е - артинов и ^(Е(1))>0.

Доказательство. Рассмотрим точную тройку:

сап

0 ^ Е^Е ^ к^ 0.

В силу артиновости пучка к

Ьо0т(1)) = Ь0(О = 2сз(к) = ^Сз(Е).

Из вышеупомянутой теоремы о спектрах следует, что с3(Е)<4, следовательно, И0(к (1))<2. По лемме 1.4. И0(Е(1))>3. Следовательно, И0(Е(1))>Н

Это означает, что любой пучок мы можем получить, рассматривая его рефлексивную оболочку как конструкцию Серра от кривых степени 4 на квартике.

§2. Эллиптическая квартика 1С4

Пусть 1С4 - эллиптическая квартика, тогда справедливо следующее предложение.

Предложение 2.1. Пусть Е^^С4,^», где яеЕх^Т^^), тогда

1) пучок Ерефлексивен;

2) сг(Е)=1+2№2+4ИГ3;

3) пучок Е нестабилен по Гизекеру.

Доказательство. Пучок Е рефлексивен в силу того, что 1С4 - гладкая приведенная кривая, являющаяся локально полным пересечением. Утверждение 2) доказывается простым вычислением многочлена Черна пучка Е.

3) Рассмотрим расширение, задающее пучок

с -.........Л0е(-1))=0, а И 0(. с ^

Е:£ : 0 а О0 (-1) а Е а Iс 4 0 (1) а 0. Так как Ии(0е(-1))=0, а И°(/с 4 0 (1)) > 0 (из-за

того, что 1С4еР3), то И (Е)>0, то есть Е имеет сечение, и следовательно, нестабилен.!

§3. Нормкубика и прямая °С3Ц/ Рассмотрим теперь кривую 0С3Ц/ - несвязное объединение нормкубики 0С3 и прямой /.

Предложение 3.1. Пусть Е:=£(0С3Ц/, (£», где £ е Ех11(10с3ц^ (1), Оо )

1) сг(Е)=1+2№2;

2) Е не является рефлексивным;

3) Е нестабилен по Гизекеру.

Доказательство. Утверждение 1) доказывается простым вычислением многочлена Черна.

Докажем утверждение 2): рассмотрим

с то*----------- Е'Л,Т ,ллО ( 0 Н 0(

Н°(Ех^(11о(1),Оо(-1)))=0, откуда следует, что /оте^Е, то есть пучок Е не является рефлексивным.

Докажем 3): нетрудно видеть, что пучок Е=ЕУУ задается расширением £ : 0 а О0 (-1) а Е а Тс3,о (1) а 0, где пучок Е очевидно нестабилен, тогда (см. лемма 1.3) пучок Е также нестабилен.!

§4. Коника и прямые Предложение 4.1. Следующие кривые не являются нулями сечений пучков Е(1), где Е=Е44, для некоторого стабильного пучка Е ранга 2 без кручения на 0 с с1(Е)=0 и С2(Е)=2:

1) две непересекающиеся прямые и коника;

2) четыре непересекающиеся прямые.

ЕхХ1(Т0С3цш(1),Оо(-1)) = Н\Ext\l0С3,0(1),Оо(-1)))0 Н\Ех1\Тш(1),Оо(-1))), где

Доказательство. Рассмотрим кривую С=С2Ц11Ц12, где С2 - коника, а / (/=1,2) - две прямые, и рассмотрим пучок ЕЧ^СШЛЦ^ХО), где Ext1(/C2ц^цl q (1), Oq (-1)) . Заметим однако, что

Ext1(Ic2 ц/,Ц/2,Q (1), Oq (-1)) = Ext 2(Oc2 (1), Oq (-1)) 0 Ext 2(Oh (1), Oq (-1)) 0

2 2 Ext (0/2(1), Oq (-1)), где Ext (0/ (1), Oq (-1)) = 0, то есть аналогично прошлому параграфу IjCsingE, то есть E не является рефлексивным.

Вычислим многочлен Черна полученного пучка ct(E)=ct(0q(-1)). C (Ic2 Ц/Цl Q (1)) = 1+2[/]t2-2[p]t3. Необходимо заметить, что, если исправить

С3 :0 ^ E ^ E ^ k x ^ 0, то у пучка E очевидно появится кручение.

2) Рассмотрим теперь объединение четырех непересекающихся прямых. Пусть пучок Е имеет нулями сечений Е(1) четыре непересекающиеся прямые. Тогда имеется точная тройка:

£ : 0 ^ 0Q (-1) ^ E ^ /Щ12Ц/3Ц1Q (1) ^ 0, (41)

где £ е Ext1(//1ц / 2 ц/3 ц / 4,q (1), Oq (-1)); но

Ext1(//1C 1Ц3Цl Q(1),Oq(-1)) = 04=1 H0(Ext2(Oh (2),Oq)=0. Это означает, что тройка (4.1) распадается, что противоречит и стабильности, и рефлексивности пучка ЕЛ

Библиографический список

1. Артамкин Д.И. Компонента не локально свободных полустабильных пучков ранга два на трехмерной квадрике // Совершенствование структуры и содержания физико-математического образования. Материалы конференции «Чтения Ушинского». Ярославль: Изд-во ЯГПУ. 2004.

2. Ein L., Sols I. Stable vector bundles on quadric hypersurfaces // Nagoya Math. J., 1986. V.96. P. 11-22.

3. Hartshorne R. Stable reflexive sheaves // Math. Ann., 1980. V.254. P.121-176.

4. Maruyama M. Moduli of stable sheaves, I // J. Math. Kyoto Univ, 1977. V.17. P.91-126.

5. Maruyama M. Moduli of stable sheaves, II // J. Math. Kyoto Univ, 1978. V. 18. P.557-614.

6. Ottaviani G., Szurek M. On Modilu of Stable 2-Bundles with Small Chern Classes on q3 // Annali di Matematica pura ed applicata, 1994. Vol.CLXVII (VI). P.191-241.

7. Оконек К., Шнейдер М., Шпиндлер Х. Векторные расслоения на комплексных проективных пространствах. М.: Мир. 1984.