CC BY
12
ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ
Т.Н. Матыцина
ОТОБРАЖЕНИЕ БАРТА ПРОСТРАНСТВА МОДУЛЕЙ М р 2(-1, п) СТАБИЛЬНЫХ ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЙ РАНГА Д ВА НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ
В настоящей работе мы рассматриваем отображения Барта фп для многообразия Мп:= Мр2 ( 1,п) модулей расслоений ранга 2 на проективной плоскости Р2 с классами Чжэня с1= -1, с2=п>3. Как показал К. Хулек [4], Мп - гладкое неприводимое многообразие размерности 4п-4, п>2. Морфизм Барта определяется как отображение срп : Мп ^ | ОР2 (2п-2)| : [Е] ^ С(Е), где С(Е):={1 е Р2|й0(£|1(2)) ф 0}- кривая степени 2п-2 в двойственной плоскости Р2 (называемая кривой двойных прямых подскока расслоения Е), где под 1(2) понимается прямая I с двойной структурой как подсхема в Р2, то есть схема с носителем I и пучком идеалов
I(2) р2 := 1;2Р2 = Ор2 (-2). Кривая С(Е) имеет согласно [4] естественную структуру дивизора степени 2п-2 в Р2, то есть является точкой линейного ряда Р" :=| ОР2 (2п-2)|, где "п=(п-1)(2п+1). В настоящей работе мы рассматриваем продолжение морфиз-
ма фп на компактификацию Мп := Мр2 (-1,п) Ги-зекера - Маруямы многообразия Мп для п>2 (такое продолжение существует - см. [9]) и доказываем следующую теорему:
Теорема 1. Отображение Барта
рп : Мп ^ Р": [Е] ^ С(Е), где п>2 и С(Е) - кривая двойных прямых подскока пучка Е, инъек-тивно в общей точке.
Всюду в статье основное поле к является алгебраически замкнутым. Будем пользоваться следующим упрощением обозначения: НЕ: =Н'(Е) для произвольного когерентного пучка F на схеме X.
Определим в М„, п>2, следующие подмножества: дМп := Мп \Мп={[Е]еМп| Е- не локально свободный пучок, т. е. length( Еуу / Е)> 1} - дивизор в Мп классов не локально свободных пуч-
ков, Mn :={[£] е M„ | length(Evv / E)<1} (это очевидно, плотное открытое подмножество в Mn)
и D:=MnngMn ={[E] е dMn | lengthEvv/ E)= 1}. Замечание 2. Общая точка [E] е dM n удовлетво-
ряетусловию: E vv /E=k для некоторой точки хеР2. Другими словами D - открытое плотное подмножество в dMn и codim M D = codim— dM n = 1
M n Mn
(см. [6]).
Далее, для [E] eD с dMn обозначим x=x(E):=Supp( Evv / E); имеем точную тройку:
0 ^ E ^ Evv —kx ^ 0. (1)
Проекция жп : D ^Mn_l x P2 : [E] ^ ([Evv],x(E)) есть Р1-расслоение: в самом деле, для любой пары (E0, x)eMn-1xP2 имеем последовательность (1), где
eeHom(E0, kx )=Hom(E0®k, kx) s Hom( k 2, kx)= k 2 и, следовательно,
ж;1 ([EJ, x) = P(Hom(E0, kx)) s P( k 2 )s P1. (2)
Замечание 3. Если [E] eD, то из (1) непосредственно следует, что кривая двойных прямых подскока C(E) пучка E имеет вид
C(E)=C (E vv )u Х( E )(2), (3)
где х :={le Р21 xel} есть прямая в Р2 двойственная точке xe Р2, а x(2) - двойная структура на
x как на прямой в Р2.
Доказательство теоремы 1 будем вести методом математической индукции. При n=2 справедливость этой теоремы очевидна. База индукции: согласно статье [12] для n=3 утверждение теоремы 1 верно. Предположим, что для n-1 утверждение теоремы 1 верно. Наша цель - доказать его для n. Для удобства читателя сначала кратко опишем план доказательства.
Заметим, что согласно [4, 11] непосредственно из равенства (3) следует, что отображение q>nD пропускается через отображение л в диаграмме:
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 12, 2006 © Т.Н. Матыцина, 2006
(4)
где Zn :=фпф) и С2п-2 := Фп (М п). Нетрудно вычислить, что
со&т с 2п = 2, п>3. (5)
Пусть С2*п-2 :={ Се С2п_2 | С - приведена и имеет
I 2 I бифлекнодов1}. С2п-2 - это плотное открытое
подмножество в С2п-2, п> 2, поэтому М* = Ф-1 (С2*п-2) - также плотное открытое подмножество в Мп; соответственно, 2* = ц/п(М*-1 х Г2) - это подмножество, содержащее плотное открытое подмножество в 2 , п>3. Теперь согласно базе и шагу индукции - инъ-ективное в общей точке отображение для п>4. Следовательно, согласно диаграмме (4)
Ч/п I (Мп*-1 х Р2):М*, х Р2 ^ 2* есть бирациональ-ный морфизм, т.е. существует плотное открытое подмножество 2** в 2* такое, что ц/п '(2**) есть изоморфизм:
V. '(2**) —^2**. (6)
Покажем, что существует плотное открытое подмножество 21 в 2**, 2п ——п > 2 такое, что
% 'Ю=V; 'Ю,
(7)
другими словами, что в M„ нет локально свободных пучков в прообразе при отображении q> общей точки из Z . В самом деле, рассмотрим множество L ={[£]eM | C(E) содержит двойную прямую}. Нетрудно проверить, следуя методом Стремме [11, Theorem 3.3], что
codim M Ln > 3 при n>4. (8)
Теперь покажем, что
C(E)e Z*, [EE] е dMn \ D, (9)
откуда будет следовать, что ФП '(Z*) \ л;'(Z*) = = Ф„ 1(Z*) n M п с Ln и, тем самым, (7) будет вытекать из (5) и (8). Для этого, возьмем [E] е dM п \ D,
такчто ¡к := Еии / Е) > 2, т.е. Еии / Е = Ф*=1 Д., $ирр(Д.) = х(, для /=1,..., Л, где хр..., - различные точки и ¡к = ¡вщ1к(А.) > 2. Рассмотрим
флаговое многообразие F = {(х, ¡) е Р2 х Р21 х е 1} и пусть F(2) - многообразие Р, снабженное двойной структурой как дивизор в Р2 х Р2 . Рассмотрим естественные проекции
Р2 — Р(2) —^ Р2. Слой проекции над точкой {¡} е Р2 есть схема I(2) - двойная прямая ¡.
Заметим, что к0(Е | ¡(2)) = к1(Е | ¡(2)) (см. [12], стр. 10), откуда получаем, что кривая С(Е) определяется как множество {I е Р21 к'(Е11(2)) ф 0}. Отображение замены базы
Rlq2*p*2E®к{1} ^Н'(Е|¡(2)) - изоморфизм: действительно, д2 имеет относительную размерность 1, поэтому R'q2*p¡E = 0, />2, и применима теорема о замене базы. Тем самым, С(Е)=$иррЯ22*р*Е. Пучок идеалов Фиттинга R1q2* р*Е, согласно [4], определяет кривую
С(Е) как схему: Я 2 = ^й0^^*р*Е). Таким
С (Е ),Р
образом, применяя функтор R'q2*p2 к точной тройке 0 ^ Е ^ Еуу ^ Ф*=1 А.. ^ 0, получаем в
ИЧ Р2) равенство С(Е)=С( Еии)+ 2"= )х,,
где ЗС'. - прямые в Р2, двойственные точкам х.еР2.
Отсюда и из неравенства " ¡вngtк(А.) > 2 получаем, что кривая С(Е) содержит компоненту
С( Еуу) степени 2(п-2)-2ф2п-4. Тем самым, доказано (9) и, как следствие, равенство (7).
Из (7) следует, что достаточно исследовать поведение отображения фп в окрестности открытого подмножества D офГп'(2-') дивизора D. Для этого заметим, что по аналогии с [8, предл. 11.6] нетрудно проверить, для у=([Е0], х)еМп-1хР2
и Р^ := жп 1(у) имеем:
Ом (D) | Р1 = Ор,(-2), (10)
где D понимается как гладкий дивизор Картье в ММп (действительно, %п: D ^ М х Р2 - гладкий морфизм со слоем Р1). Далее, по аналогии с теоремой 0 из [7] справедлива
Теорема 4. Морфизм рп | М*: М* ^ С2*п-2 -неразветвленный квазиконечный морфизм.
Далее, пусть D' := ж-1(М*_1 хР2), п>3; тогда из диаграммы (4) имеем, что рп | D' =уп -жп, где хп: D* ^М*-1 х Р2 есть Р'-расслоение и в силу теоремы 4 морфизм у/п КМ*^ х Р2) =
= (%-11 М*ч) х idрг - неразветвленный и квазиконечный. Следовательно, если рассмотреть факторизацию Штейна рп: ММп —^^ ¿2п-2 —^^ ¿2п- 2 отображения рп, где <~п - бирациональный регулярный морфизм со связными слоями и морфизм Уп квазиконечен, то <~п | Б* = жп, и имеем коммутативную диаграмму:
(11)
такую, что = уп | (М*-1 х Р2). Поскольку <~п би-рационален, то для доказательства бирациональ-ности морфизма ф, достаточно показать, что V также бирационален. Ввиду (6) и (7) для любой
точки у еу- 'Ю =у-слой V-^ (у)) в теоретико-множественном смысле состоит из этой точки у. Теорема 1 будет доказана, если найдем
точку у еу-\2'п) такую, что Уп неразветвлен в точке у, т.е.
кег^ |у:Ту2 ^^(у)С2п-2) = 0, (12)
(здесь и ниже для данной схемы X и любой точки хеХ через ТхХ обозначается касательное по За-рискому пространство к X в х). В самом деле, условие (12) означает, что пучок относительных дифференциалов □ ~ - нулевой в этой точке у.
¿2п-2/'-2п- 2
Таким образом, V - это отображение с невырожденным дифференциалом в общей точке
у е Vп ^п), биективное в точке у. Следовательно, Уп - бирациональный морфизм многообразия
2 на свой образ ¿2п- 2.
Для доказательства (12) мы покажем, что в точке у многообразие ¿2п-2 имеет рациональную
особенность, аналитически изоморфную прямому произведению A4n-6хX аффинного пространства A4n-6 и поверхности X, имеющей простейшую квадратиную особенность типа А . Более того, выбирая ниже точку у специальным образом,
а именно, полагая у = ([Еуу ], х(Е)), где Еуу - специальное расслоение Хюльсбергена, мы, таким образом, получим описание касательного пространства к С1п_2 в точке со=уп (у) (см. лемму 13 ниже). Наш метод состоит в построении с помощью расслоения Хюльсбергена Еуу гладкой квазипроективной поверхности £ в Мп, пересекающей Б трансверсально вдоль слоя ж~п 1 (у) и отображающейся посредством рп (локально в аналитическом смысле вблизи точки о) в образ при Уп слоя {0}хХ прямого произведения A4n-6хX. В итоге, сравнивая получаемые описания касательных пространств Ту¿2п-2 и ТшС2п_2, придем
к доказательству (12) (см. (57)).
Теперь перейдем непосредственно к выполнению намеченного плана доказательства. Начнем с построения гладкой квазипроективной поверхности £ в М такой, что: (0 £ содержит проективную прямую ! такую, что
Os (l)|l = O, (-2);
(13)
(и) существует морфизм' : £ ^ М такой, что' -вложение в окрестности ! такое, что
'(£ \ l) с Мп (14)
и, кроме того,
(ш) '(£) п Б ')= Ру (15)
- трансверсальное пересечение Б и'(£) вдоль слоя Р1 = ж-1 (у) проекции л : Б ^ М х Р2 над точкой у=([Е0], х)еМп-1х Р2, где [Е0]еМп-1 есть расслоение Хюльсбергена, т.е. такое расслоение Е0, что ^(Е0(1))Ф0.
Для этого проведем несколько предварительных построений. Зафиксируем проективную прямую I в Р2 и пусть х0еР2 \ I - фиксированная точка, Gr(1, £п-11) - грассманиан прямых проективного пространства £п-11 = Рп-1, так что любая точка g е Gr(1, £п-11) естественно понимается как одномерный линейный ряд g = gn-1 степени п-1 на I. Другими словами, g - двумерное подпространство (которое обозначим ниже через Vg)
в п-мерном векторном пространстве Н 0О, ^), где Zеg - произвольный дивизор степени п-1 на I.
Пространство Vg таким образом, определяет композицию:
e(g): Ve ® Op.
-+V ®Ol ^
^ Н 0О1 (2) ® (О —^ (О (2),
и сюръективность в(,) эквивалентна тому, что § не имеет фиксированных точек. Нетрудно показать, что справедливо следующее утверждение.
Утверждение 5. Множество G: = {§е Gr(1, 5п-Ч) | линейный ряд , - не имеет фиксированных точек} - плотное открытое подмножество в Gr(1, Sn-1¡), и для любого gеG пучок Е0(,):=кег е(,) есть стабильное векторное расслоение с с2=п-1, т.е. [Е0(,)]еМ. Более того, Е0(,) - расслоение Хюльсбергена. Тем самым, определен морфизм р^ ^ Мп-1 : § ^ [Е0(,)].
Далее, пусть Р,=Р(К). Рассмотрим каноническое отображение
сап: Ор1 ^ Vg ® Ор1 (1) = Н)(1))® Ор1 (1) и определенную им композицию:
/(О ,0 сап п _ _,
8 : Ор2хр1-->Н°(Е0(,)(1))® Ор20
0 О (1) —и Е0(, )(1)0 Ор1 (1). Пусть б0=(«)0 - схема нулей сечения 8, так что сокег 8 = Яе ,р2хр,(1,2). Пусть ¡0={х0}х Р,, где
х0еР2 \ ¡, и обозначим через Q несвязное объединение Qty¡0. Тогда имеем точные тройки:
0^2 ,(1,2)^Я 2 ,(1,2) —(2)^0,
Q,P2хР, у ' 7 Q0,Р2хР, у ' ' ¡0 у 7 '
0 ^ Ор2 хр1 —^ Е0(, )(1) 0
0 Ор, (1) --^ЯQ0,p2xpg (1,2) ^ 0, (16)
которые дают пучок Е := кег(е • ) ® О 2 ! (-1,-1).
Р хР,
Заметим, что справедливо следующее утверждение.
Утверждение 6. а) Пучок Е удовлетворяет условиям: [Е| (Р2х{г})] еD, Sing(E| (Р2х{г}))=х0, ¿е Р,.
Ь) Поскольку ¡ - это схема нулей сечения л2 (еу) : Ор2 = л2 V, ® Ор2 ^ л2 (Е0 (,)(1)) = Ор2 (1) и x0í¡, то отображение
Vg=Н°(Е0(Е)(1)) ———^(1)® к хо: . ^ З(х0) есть изоморфизм. Кроме того, пустьу=([Е0(,)], х0), тогда получаем естественное отождествление: Р,= Р(V,) )(1)® к^ )
P( E0V (g)Lo)=P(Hom(Eo(g)| Хо, k 1о))=ж; 1(у) = P1 cD.
c) Более того, имеем изоморфизм Extl(3 2 i (1,2),O 2 1) s Ext2(OQ (1,2),O 2 1) s OQ
v Q 0,P2xP^^ '' P2xP^ ' v Q 0V ' '' P2xPg ' Q o>
а тем самым, изоморфизм
Ext1 (I 2 ,(1,2),O 2 ,) s
4 q 0,p2xpg4' y' P2xpg y
sH0(Ext2(Oq„ (1,2),Op2xp1)) sH°Oq„ ,
который элементу 1 е H 0£Q ставит в соответ-
ствие элемент
^ е ^Q 0,p2xp¿(1,2), Op2 xpg ),
(17)
определяющий расширение (16).
Далее, по аналогии с утверждением 6.с) имеем изоморфизм:
Ext1 (1~ 2 .(1,2),O 2 1) s
4 Q,P2xPg 4 ' '' P2xPg '
sExt2(O~(1,2),Op2xp,) sOq0 ©O0(-2). (18)
По конструкции кривая Q0=(s)0 - это дивизор типа (п-1, 1) в l x Pg1 (l - прямая в P2), а значит, он удовлетворяет тройке:
0 ^ O 1(1-п, — 1) ^ O 1 ^ OQ ^ 0.
lxPg v ' J lxPg Q 0
Рассмотрим проекции: P2 — P2 x Pg1 —^^ Pi1 и применим к последней тройке функтор R' p2*; получим: 0 ^ Op1 ^ p2.OQ ^ (n — 2)Op1 (—1) ^ 0,
то есть
P2*Oq0 s Opl © (n — 2)Opl (—1).
(19)
При этом, поскольку p21;: l0->Pg1 есть изоморфизм, где l0={x0}x Pg1, то p2.Ol0 (—2) s OP1(—2). Следовательно, из (18) и (19) имеем:
P^-V xp,(1,2), Op2 xp0 s
s OP1 © (n — 2)OP1 (—1) © OP1 (—2). (20)
g g g
Поскольку Ext'(JQ,P2xP1 (1,2), Op2xp>) = 0, 1, то
имеем Rip1,Exti (JQp2xP, (1,2), Op2xp,) = 0, '*1. Ввиду спектральной последовательности локально-относительных Ext -пучков имеем:
F := Ext1 2 1(1,2),O 2 1) =
P2 v Q,P2xP^g ^ ' '' P2xP^g '
= OP1 © (n — 2)OP1 (—1) © OP1 (—2).
Рассмотрим многообразие Р(Fv ): = =Proj( SymO Fv) с естественной проекцией
Pg
p: P(Fv pg, и пусть p: P2 x P(Fv) ^ P2 x pg и
p2: P2 x P( Fv) ^ P( Fv) - индуцированные проекции. Аналогично (20) находим:
Extp2 (1~,P2xP1 (1,2), 0p2xP,) = 0,1. Следовательно,
спектральная последовательность глобальных и относительных Ext -пучков, вместе с заменой базы дает:
H 0( pF ® Op( f v )(1)) =
=Н Ч£< (p*1Q~,P2xPg (l,2), OP2 0°p (F v )(!))) =
= Ext1 (p* p2xP, (1,2), 0p2 SOp(fv) (1)). Далее, канонический морфизм
evF : OP(Fv) ^ p'F ® 0p(Fv) (1), рассматриваемый как элемент
evF e Ext1(p*1g,p2xP. (1,2),Op2SOp(Fv)(1)), (22)
определяет расширение:
0 ^ ©p2HOP(fv)(1) ^ E(1) ^ p*1~,P2xP> (1,2) ^ 0. (23) Согласно (21) имеем сюръекцию
т : Fv ^ Ор 1 © Ор 1 (2) (или cv : 01 0 О, (-2) ^ F), pg pg pg pg
которая влечет вложение:
S := P(0P1 © 0p1 (2)) —^ P(Fv).
g g
\>2^ ё v T>2
Пусть : О ^ О- Р, (1) ® т 'О, (-2) - канони-
£ ' Р£ Р£
ческий морфизм, такой, что
1 := (5,)с —^ Р^ (25)
есть единственная (-2)-кривая на £ (это действительно имеет место, так как
(s,)о e| OS7P,(1) ® r*öpl (-2)1,
где
Н 0(<О / р,(1) ® ^,(-2)) = к). Далее, общее сечение 5е Н , (1) такое, что (5)„
£' Рг 0
есть гладкое сечение для проекции г= p•t: £ ^ Р1
несвязное с 5,. Тогда морфизм ev- можно переписать следующим образом:
е^ : г*(ОР, ©ОР, (2)) —5,(2)) > ££/Р, (1).
Пусть £ := £ \ (5)0. Заметим, что поскольку 1 с £ -это (-2)-кривая на £, то поверхность £ удовлетворяет условию (13). Покажем, что £ - искомая поверхность, то есть существует морфизм£^-Мп, удовлетворяющий условиям (14) и (15). Для этого
фиксируем точку у0 е Р^, (:= Р^ \ у0 = А1, и пусть
£*=г~1(Ц)п £= £ \ (г^1(у0)и(5)0). Нетрудно видеть, что £*= А2 с аффинными координатами ^, t) в А2, где z есть стандартная координата в и=А1, а координата t определена как образ единицы при отображении групп сечений Н 0££ ^ Н °О„,, задава-
Пусть t:=1xt : P2x S ^ P2x P(Fu ), r:=p°t : S ^ Pg емый морфизмом:
и r:= p °t: P2x S ^P2x P^ — индуцированные
■(2r-1( yo))
>r*Ov 1 (2) | S * J||S' >
проекции.
Естественный
морфизм
evS : О ^ r*(Cp1 © 0Р1 (-2)) ® 0S , (1) включается
pg pg S' pg
в диаграмму:
Аналогично (22) морфизм evS можем рассматривать как элемент
evS е Ext\r3~ 2 1(1,2),О г0Л 1(1)),
S v e,p2xpg1 v' 7' p2 s/pgv JJ'
определяющий расширение:
0 ^ Op2H0s/p. (1) ^ Ess(1) ^ r*jQ~,p2xp. (1,2) ^ 0, (24) которое получается из (23) применением функтора t .
О£ ——^ О .
£ £ о
О / Р1(!)1£ * —5^ О£-В этих координатах ясно, что
1* := 1 п £ * = {/ = 0}. (26)
Ограничим расширение (24) на и обозначим г0:= г£": £*^и, г0:=1х г0, получаем ОР2х£, -расширение:
0 ^ ^ М1) ^ г^хР.а2) ^ 0, (27)
определенное элементом
Г е Ех(\гоЗ~ Р2ХР, (l,2),ОР2Х£.),
который ввиду (17) и определяет t, а следовательно, элемент:
(1, t ) e H0 OS, © H0 OS,
(28)
Из (26), (27) и (28) следует, что
a) [Е^ | (Р2 х{(г,/)})]£ Мп для любых (г, г)е,У, т.е. получаем морфизм
у: 5*^Мп : (г, г)^ [Е^ | (Р2 х{(г,г)})]; (29)
b) по конструкции это отображение продолжается до морфизма у: 5 ^Мп, удовлетворяющего (14) и (15); п
c) ограничение (27) на Р2х1* = Р2х и с Р2х Р,
совпадает с ограничением тройки (16) на Р2х и.
Покажем трансверсальность пересечения с D вдоль 1. Для этого возьмем любую точку
геи с Р,, то есть точку (г, 0)е 1* (используем здесь (26) и отождествление (25)), и обозначим к:= г0-1 (г) ={(г, г) | ге А1}. Тогда простое вычисление с использованием (28) дифференциала З(Цк) в точке (г, 0), показывает, что этот дифференциал не вырожден и его образ V трансверсален к пространству Т 0) D, так что у (к) пересекает D транс-версально в (г, 0). Это вместе с утверждениями а)-с) выше показывает, что 5 удовлетворяет условиям (14) и (15). Кроме того, имеем:
Т М =TD ©V, ге Р1. (30)
г п г г у 4 '
Поскольку поверхность 5 (соответственно, ее открытая аффинная часть 5*) зависит от выбора пары (,, x0)еGr(1, 5п-1()х(Р2 \ ¡), то будем иногда
обозначать 5 через (соответственно, 5* через 5* ). Изучим образ поверхности х при отображении Барта <рп. Сначала введем некоторые обозначения. Пусть прямая х в Р2 с уравнением / =0}, где /х е Н"О2(1) соответствует произвольной точке хеР2, и пусть "п^х. (г) е В.у ¡ - дивизор степени п-1 в ¡ (где ¡ - фиксированная ранее проективная прямая в Р2), соответствующий точке ге,, где линейный ряд gеGr(1, S-1¡) понимается как прямая в ^Ч. Для произвольного , е Gr( 1, Sn-1¡) и произвольной точки ге, кривая
Вп2(г)= Еп=;2 х(г) е| ОР2(2п 2)|- приводимая не-приведенная кривая с уравнением {^2п-2 = 0}, где
^2 :=ПП:; fx2(z) е H°ср2(2n — 2).
(31)
Тогда ©(д):={Д2и-2(г)е | OP2 (2n — 2) || zеg} - коника в пространстве | Op 2 (2n — 2) |.
Теперь для любой точки (z, t) е S*g , понимаемой через отображение j, определенное в (29), как пучок из M , рассмотрим соответствующую этому пучку кривую прямых подскока C(z, t):=q>(z, t). В силу [4, Prop. 10.5] уравнение кривой C(z, t) в P2 имеет вид:
с(z,t) = {cJl{z) ••• fl,z) +
+ IIJ^JI,z) ••• fl(z) ••• fU)) = 0Ь С'ек. (32)
Для gе G рассмотрим расслоение Хюльсбергена E0(g), определенное в утверждении 5. Кривая Muls(gy=q>n1([E0(g)]) называется кривой Хюльсбергена. В силу [4, Prop. 10.5] для произвольного
дивизора z = Xn= 1xi (z) е g определены константы c,,..., c ,ек такие, что:
Р ' n-1 '
j2n—4
Huls( g ):= {Ф g
= X,=1 C'fx2 (z ) ••• fx,(z ) ••• fxn—1 (z ) = 0} е
е| Op2(2n — 4) |= PWn—1.
(33)
По определению кривая Хюльсбернега Hu¡s(g)
не зависит от выбора точки геи, где и= Р,\у0 =
А1, а зависит только от выбора самого линейного ряда gеG. Заметим, что для каждого фиксированного геи в силу (27) и (28) получаем, что константа с0 в (32) пропорциональна г:
СтМ, (34)
где Хг ф0 зависит только от выбора скалярных множителей в формах /х2(г), /-1,..., п-1. В частности,
для г=0 получаем: С(г, 0)= х0(2) иНи&(§-). Нетрудно проверить, что верно следующее утверждение.
Лемма 7. Пусть (Р*п )* :={Се Р*п1 С - приведена }. Тогда НиЬ(,) е (Р"п->)* для общего gеGr(1, Sn-1¡). Другими словами, О* := {, е О | МиЬ(,) е (Р"п-1)*} - плотное открытое подмножество в Ог(1, 5-1(). Тем самым,
(р х 1)(О* х (Р2 \ ¡)) с М*-1 х Р2, где р:О ^ Мп-1 : , ^ [Е0(,)] - морфизм, определенный в утверждении 5.
Теперь, фиксируя для (,, х0)е О* х (Р2\¡) уравнение {Ф,п-4 = 0} кривой Hu¡s (,),
Ф2,п 4 е| Ор2 (2п - 4) |, и выбирая подходящий скалярный множитель в форме ^2п-2 из (31), ввиду
(34) мы можем переписать уравнение (32) кривой С(г, t) в виде: C(z, г)={№г2"-2 + /2Фgn-4 = 0},
(2, г) е £g,Xo. Это показывает, что срп (^)={С(г, г) | tеA1}. Таким образом, в силу (13), (14) и приведенного выше описания коники ©(д) получаем следующую лемму.
Лемма 8. Для общей точки (д, х0)е Gr(1, £п-11)х(Р2 \ I)
^ поверхность = фп (£дХо) является открытым подмножеством квадратичного конуса в проективном пространстве Р"п, и морфизм (Рп:£дХо ^Rgxt¡есть стягивание (-2)-кривой
Ру = <~-1 (у) = 1 с £д,Х0, где у=([Е0(я)], х„);
И) для со=Уп(у), касательное пространство ТаДех описывается следующим образом:
Т(С, х):= Т ТХ =Span(м(Р"п-1 х {х}), »({С} х Р2)), (С,х) е (Р"п )* х Р2. (37)
Далее, пусть
ип := {(С,х) е Р"п-1 х Р2 | ТЖс,х)МР"п-1 х {х}) п
п ТМ(Сх )^({С}х Р2) = {0}}.
Поскольку в силу (36) имеем включение
(Р"п-1)* х Р2 с ип, то отсюда следует, что ип -
плотное открытое подмножество в Р "п 1 х Р2. Кроме того, ясно, что для любой пары
(С, х)е Р "п-1 х Р2 имеем | (С, х)): ТЖС,х)(Р"п-1 х Р2) ^ Т„(С,х)Вп =
= 8рап(Т^(С,х)^(Р"п-1 х {х}), Тм(Сх)М({С} х Р2)) . Тогда можно продолжить определение Т(С, х) из (37) с (Р"п-1)* х Р2 на и : Т(С, х): =
ТА^Р^ У |2Ж)) = к3, где Vz=Tz hz, =Span(^(P"n-l х{х}), М{С}х Р2)), где (С, х)еП .
й={(2, г) | геА1}, ге Ру.
Далее, здесь и всюду ниже для произвольной
подсхемы X в проективном пространстве Р"п и точки хеХ через ТТ X обозначим касательное проективное подпространство к X в точке х, т.е.
подпространство в Р п проходящее через х и однозначно определенное условием Т^ТТ^^^, где IX - это касательное по Зарискому пространство к X в точке х. Тогда утверждение и) леммы 8 может быть переформулировано следующим образом:
Т ТаЯе хп = $рап(ю, ©(д)^рап(Rg,xo )= Р3. (35) Замечание 9. Рассмотрим морфизм:
Р"п-1 х Р2 ^ Р"п : (С,х) ^ С и х(2) и пусть Вп:=Ш(ц), соответственно В* := /и((Р"п-1)* х Р2). Заметим, что морфизм р: (Р"п )* х Р2 ^ В* - изоморфизм, так как кривая С е (Р"п- )* приведена.
Тем самым, л : Р"п-1 х Р2 ^ Вп - бирациональный морфизм. Кроме того, из определения л вытекает, что для любого со = /л(С, х) е В*имеем:
Тш/и(Р"п1 х{х}) п Тш/и({С}х Р2) = {0}, (36) а следовательно,
ТВ* = ТаМ(Р"п-1 х{х}) © ТаМ({С}х Р2) = к2п2-5п+4. Поэтому
Таким образом,
(С, х))= ТМ(С х)Т(С, х) = к2п2-5п+4, кег(^и | (С, х))=0, (С, х) е Пп. (38)
Заметим, что поскольку ип открыто в Р"п 1 х Р2, то множество Vn:={(g, х0)еGr(1, £п-11)х(Р2 \ I) | (НиА^), х0) е ип} есть открытое подмножество в Gr(1, £п-11)х(Р2 \ I).
Теорема 10. Множество V есть открытое плотное подмножество в Gr(1, £п-11)х(Р2 \ I), и для почти любой замкнутой точки (д, х0)е V имеет место равенство:
$рап(ю, ©(¿»прЯи&ф, х0)={ю}, (39) где а =/л (МиЬ^), х0).
Доказательство. Так как Gr(1, £п-11)х(Р2 \ I) -неприводимое многообразие, то всякое непустое открытое его подмножество будет плотным. Поскольку V - открытое подмножество в Gr(1, £п-11)х(Р2 \ I), то для доказательства плотности Vn необходимо найти хотя бы одну точку (д, х0)е V,. Для этого в линейном ряду д фиксируем точки х4,..., хп-1; по конструкции Серра это соответствует тому, что с4=.. .=с=0 в уравнении (33). В этом случае получаем:
Ф 2
/х„ ••• /х„_ 1 (С1/хг(г )/х,( 2) +
+ С2/х1( г) /х3( г) + СЪ/х1(г )/х1( г)).
(40)
Пусть Фд := С^г)/1(2) + С2/1{2+ ^(г)/1(2). Имеем, ^г2"-2 = /х2 ••• У^СС<г) • /2(г) • /1(,г)), где
2 2 2
/х1(г) • /х2(г) • /х3(г) - форма степени 6. Обозначим
Р* := Р(Н 0ОР2 (2п -2)); тогда
®(,) = {^Г2 = /х2 ••• /Ц /2
х4 ^ хп-1 х1 (г )
• /х2(г) • /х2(г)) = 0 I г е с Р". (41)
Если точка С2п-2={Р2п-2=0} лежит в врап(©(,))с Р", то существует форма степени 6, то есть Р6 е врал/г) • /2г{,) • Д2(г) I г е ,}) с
с Н10 Ор 2 (2п - 2) такая, что
Р2п-2 = Р \/1 ••• /х2_ 1). (42)
Кроме того, ряд , определяет кривую Хюльсбер-гена МиЬ, е | О 2 (2п - 4) |, которая распадается
и содержит двойные прямые х(2),...,хп-) как компоненты:
ЯиЬ(,) = х42) и... и хй и С4,
мы Р6, L, Ф 2п-4 такие, что Р6(/2 ••• /2 ) =
х4 ц хп-1 у
= L2ф, (/1 ••• /хп1) + Ух2 Ф,п-4. Таким образом, ф,п-4 = р4(/2 ••• /2 ), так что получаем:
Р6 = ¿2ф , + /2 Р 4. (47)
Далее, заметим, что {Ф, = 0} - кривая степени 4,
имеющая особую точку порядка 4 в точке ¡, а значит, распавшаяся на 4 прямые через точку
¡. Поэтому пересечение поверхности Веронезе
Р({12Ф, 11 е Н°Ор2(1)}) =: Wg с проективным пространством
Р({/2Р4 IР4 е Н10Ор2 (4)}) =: Р£ (48) состоит из одной точки
р1 = {к • /2ф}
(49)
С4 = {Ф, =0}.
(43)
Тогда
Миь;={Ф2;-4 = 0}
ф 2
/х. '•• /хп-. (с1/х2(г)/х
(г Ух3( г)
+ С2/1( г) Д2( г) + СЪ/1( г )Д( гД (44)
Заметим, что по определению (43) все приведенные компоненты кривой со = МиЬ(,) и х02) раз-
Пусть Р, = врап(Г,) = {Ф2Ф, | Ф2 е Н0Орг (2)} .
Нетрудно видеть, что пересечение Р, с Рх4 - это
та же точка (49). Следовательно,
Р19(,, х0):=врап({ Р,, Р^^ })=врап({ Wg, Рх; })=
=врап({12Ф4, + /2Р4 II еН0^®, Р4 еН0^)}) -1 9-мерное проективное подпространство в Р" = Р(Н"0,2 (6)) = Р27.
Согласно (47) имеем кривую степени 6:
личны; следовательно, ^(ю) - это конечное мно- С6:={Рт5=0}еР19(,, х0). Рассмотрим линейную
проекцию г: Р19(,, х0)---> Рх6 := Р(Н0Ос (6)):
жество из п-3 различных точек: /и-1(ю)={ю0,., юп_4}, = (С,! иух(2),х..), /=0,..., п-4, такое, что ц-
это вложение с невырожденный дифференциалом для каждой точки а, то есть дифференциал инъективен. Это означает, что .
В частности, беря .=0, имеем а=(МиЬ(,), х0)е ип.
Покажем, что дифференциал невырожден. Для этого достаточно доказать, что
враЫв^о^ШЩ), х0)=0. (45)
Предположим обратное, то есть, что существует точка C2n-2еSpan(©(g))nP(Hu¡s(g), х0). Эта точка С2п-2 как кривая степени 2п-2 в Р2 имеет уравнение {Р 2п-2=0}, где Р2п-2еН°Ор2(2п-2). Поскольку т = МиЬ(,) и х02), то ввиду (44) имеем:
ПМиЩ), х0у=Р№2Ф,/ ••• /2-1 + +/х2ФГ41ФГ4 еН0Ор2(2п-4),LеН0Ор2(1)}). (46) Следовательно, ввиду (42) и (46), существуют фор-
С6 ^ С6 о х0. По определению подпространства Рх4 в (48) видим, что г не определено в Рх4, а значит, Рх4 лежит в центре проекции г. Таким образом, Р2(,, х0):=г(Р19(,, ^))= Р({Ь2Ф, ^ ^ е Н0Ор2(1)}) = = Р({Ф2Ф, ^ IФ2 е Н0Ор2 (2)}) - 2-мерное подпространство в Рх6.
Далее, согласно (41) и (42) Р6= • • Д2^
=(Р 3(г))2, где Р3= /х1(г) • /х2(г) • Д« е Н°О]]г(3) -форма, линейно зависящая от ге,.
Пусть х - аффинная координата на х0, а. -аффинная координата точки х.(г), .= 1, 2, 3. Тогда
Рх0(г) := Р3(г) |х0 =(х-а1)(х-а2)(х-а3)=х3-о-1х2+огх--ст, где ст1=а1+а2+а3, о_2=а2а3+а1а3+а1а2, о_3=а1а2а3.
В частности, полагая в (40) с1=с2=с3=1, получаем: Фк := ФI(2) х =(х-а1)2(х-Я2)2+(х-а1)2(х-а3)2+ +(х-а2)2(х-а3)2=3х4-4ст1х3+ 2ст2 х2- 2(сгсг2-3сг)х+ +(а2-2а1а3); Fl (г) ^РгУ^-а^+^х-а^ =х6-2сгх5+(ст2+2сг)х4- 2(<т3+<т1<т2)х3+(ст22+<т1<т3)х2--2о"2о"3х+ст32. Рассмотрим многочлены Fl6 := F-l(z)lí =1^=СТз=0 =х6-2х5+х4, F26:= =,3=0,^2=1 =х6+2х4+х2,
Fз6:= (г) Ц ^^ =1=Х-2хЧ1, F^= 1•Ф4g,хХo( г)Ц =,2 =0,.3=1 =3х4+6х, F56 := х • Ф1 д (г) Ц =1 =3х5+6х2, F66 := х2 • Ф4^ (г) Ц ^ ^ =1 =3Х6+6х3. Нетрудно видеть, что многочлены Е16, Е26, F36, Е46, F56, F66 - линейно независимы в Н °Охо (6). Далее, если С2п-2еЗрап(©(д))пР(Ни15(д), х0),
то С6еЗрап({ /2г) • /х](г) • /Х2(^ гед})п Р19^),
а значит,
6
г(С6)ег(Зрап({ • /^) • | гед}))п пг(Р19(д, х0))Ф0.
С другой стороны, имеем, Е16, Е26, F3 е
ег(Зрап({ /х2(г) • /х2(г) • /х2(г) I гед})), а , , F66 е
ег(Р19(д, х0)). Поскольку Е16, Е26, , Е46, , F66 - линейно независимы, то пересечение
г(Зрап({ /х2(г) • /х2(г) • /х2(г) I гед}))пг(Р19(д, х„)) пусто, вопреки (50). Следовательно, имеет место (45), а значит дифференциал d^|ю0 невырожден.
Далее, заметим, что ввиду (35) условие (39) можно переписать в виде ТТаКе п Т (С, х0) = {ю}, где
а=л(С, х0), С = Ни15(д), (д, х0)е V или, что то же самое, в виде
^Ах п 1 ^ х0)) ={0}, ®=МС, х0),
С = Яи&ф, (д, ^еТ.
(51)
Таким образом, ввиду (38) получаем равенство (39). Теорема доказана.
Из теоремы 10, (51) и (38) непосредственно вытекает следующее утверждение. Утверждение 11. Множество
X :={& х„)е'X I ТКС,ЧА,Ч п I (^ х„))=
=кег^ | (С, х0))={0}, С=Ни15(д)}={(д, ^)е V |
ТМС,х0)^,х0 + im (¿V I (С, х 0)) = Т^,^ ©
©ш^ I (С, х0)), кег(^и I (С, х0))={0}, ОНи/я®} (52) - плотное открытое подмножество в V. Ввиду леммы 7 множество
V* := V п (О* х (Р2 \ I)) есть также плотное открытое подмножество в V.
Вернемся к диаграмме (11) и заметим, что по конструкции имеем диаграмму:
Поскольку, жп: Б * ^ М*-1 х Р2 есть Р1-рассло-ение, то из этого вытекает, что для любой точки
у е М*-1 х Р2 верно Зрап(ЦеР, (¿жп I г)(ТжБ')) =
=Ту (М*-1 хР2).
Так как л I ((Р"п-1)* х Р2) - изоморфизм (см. замечание 9) и (^п-1 х id) I (М*-1 х Р2) неразветв-лен (теорема 4), то в силу диаграмм (11) и (53) ц/п = уп I (М*-1 х Р2) - неразветвленный морфизм.
(50) Тем самым,
(54)
(¿У I у)(Ту(Мп-1 х Р2)) ст^л ^0),
®о =(фп-^<?)(у). Кроме того, из диаграммы (11) имеем:
ЗрапЩ^фп^ХТгБ')) = =Зрап(УгеР1 ^(уя •Жп^г^ТБ')) = =Зрап(ЦеР, (¿Уп I у)^ I г)(ТгБ')) =
^ВД (Мп-1 х Р2)) =
= (d(^ I (Мп-1 х Р2)) I у)(Ту(Мп-1 х Р2)) =
= I у)(Ту(М*-1 х Р2)) =
= (¿Лп I (%-1 х id) I у)(Ту (М*-1 х Р2)) =
= Ту (М*-1 х Р2) = к4п-6.
Таким образом, беря у=(р х1)(д, х0)е М*-1 х Р2
для (д, х0)е V* и применяя (30) и лемму 8, получаем:
Зрап(Ц (¿^^М.)) =
= Span(JeP(dyn|z)(TzD')) +
+ Span(|Jzep,(d^„ | z)(V)) =
= (dyn | y)(Ty(M*, x P2))+TaRg^, (55)
где a = yjy). Тем самым, из (52), (54) и (55) вытекает следующее
Утверждение 12. Для точек (g, x0)e V*, У=(Р xl)(g, x0)e M*- x P2, ю =yn(y) и прямой РУ = Ф„1 (у) имеем равенства: Span(Jzep,(d^„|z)(TzM„)) =
= (dw„ | y)(Ty (M„*_i x P2)) © TaRg Xo s k4n-6©k3skn3.
Далее, докажем следующую лемму.
Лемма 13. В условиях утверждения 12 справедливы равенства:
i) dim Ty ¿2„_ 2 = 4n- 3;
ii) Ty~„-2 = Span( Jz£p, (dq,n | z)(TM))■ Доказательство. Рассмотрим диаграмму (11)
и введем обозначения Z: = <рп (D*) = M*-1 x Р2, codim с Z = 2 такое, что yeZ. Для выбранной точки У имеем: py := ф-Чу) s Р1, Om (D) | Р^ s s Op1 (-2), а значит, | p1 s Op1. Поскольку
C,n- 2 - нормальное многообразие (по разложению Штейна), то по теореме Грауэрта-Рименш-найдера (см. [3]) имеем R'~n,OM = 0, />1. Тем самым, y - рациональная (а также каноническая) особенность на C2n-2, такая, что локальное кольцо O~ есть кольцо Коэна-Маколея (см. [5,
¿2п-2,y
chap.1, §3]). Пусть C2n-2 ^ pM - любое проективное вложение и H,..., H4n-6 - гиперплоскости в p" через точку у, тогда по теореме Бертини существует окрестность U е C2n-2 для точки y со следующими свойствами:
1) X=LnU - неприводимая поверхность, гладкая вне у, где L:=H , и локальное кольцо
OX, есть также кольцо Коэна-Маколея, а значит, по критерию Сера [2, Theorems 11.5, 18.15], поверхность X нормальна;
2) L пересекает Z трансверсально в у, то есть
XnZ=y как схема есть приведенная точка (здесь и ниже Z рассматривается как приведенное неприводимое многообразие; напомним, что Z би-рационально изоморфно Mn1xp2); в частности,
T ZnTX={0}. "п
У У
Далее, докажем, что X = <р~1 (X) - гладкая поверхность. Поскольку py с X и по построению
<~n | (X \ p1): X \ py ^ X \ y - изоморфизм (так как <рп - бирациональный регулярный морфизм со связными слоями), то X\p1 - гладкая поверхность. Покажем, что X неособа вдоль py и, тем
самым, получим, что X - гладкая поверхность. Предположим обратное, то есть пусть существует точка z е p1 такая, что zeSing X . Поскольку
D - гладкий в z, то dimTz( X nD)>2, а значит, существует вектор 0^reTz(X nD) такой, что rg Tz py. Следовательно, т' = d~n(т) ф 0. Рассмотрим т' как
схему Speck[t]/(t2). Имеем z' eq>n(D)mq)n(X )= =ZnX=y. Так как по свойству 2) выше y есть приведенная точка, то получаем противоречие. Таким образом, X неособа вдоль py.
Поскольку X - гладкая поверхность, то X нормальна, и <рп | X: X ^ X есть стягивание py в точку y. Так как согласно (10) Of(pJ)|pJ s Om (D)| pi s Op1 (-2), то p1 есть
(-2)-кривая на X. Отсюда согласно [1, Cor. 6] получаем, что y - это рациональная особенность типа A в X. Поскольку рациональные особенности не имеют модулей, то стандартное рассуждение показывает (см. [10, Cor.1.14]), что C2n- 2 локально-аналитически в окрестности y изоморфно Xx Z; в частности,
0уД -2 s k[[x^.,xAn-б]] ® k[[x,y,z]]/(xxy-z2). (56)
Тем самым, Ty 2 = TZ®TyX= Ty (Sing ¿2-2) © © Ty X =k4n-3, то есть получаем утверждение i) леммы. Утверждение ii) леммы следует из (56). Лемма доказана.
Доказательство равенства (12). Применим лемму 13, утверждения 12 и 11 имеем:
(dv„|y)(Ty 2) =
= (dv„ | y)(Span(UzeP, (d< | z)(TzMn)) =
= Span(UzeP, (dv„ | y)(dip„ | z)(TzMn)) =
= Span(UzeP, (d% | z)(TzMn)) = k4-3=Ty¿2„_2. (57)
Следовательно, ker(d vjy)=0, что и требовалось доказать.
Примечание
1 Здесь и ниже под бифлекнодом понимается обыкновенная двойная точка х на кривой C, в которой каждая ветвь кривой имеет в х точку перегиба.
Библиографический список
1. Artin M. On isolated rational singularities of surfaces // Amer. J. Math. - 1966. - №№88. - Рр. 129-136.
2. Eisenbud D. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry // Springer. - NY, 1995. -785 pp.
3. Grauert H., Riemenschneider O. Verschwindungssätze für analytische Kohomologiegruppen auf komplexen Räumen // Invent. Math. - 1970. - №>11. - Pp. 263-290.
4. Hulek K. Stable Rang-2 Vektor Bundles on P2 with c Odd // Math.Ann. - 1979. - №>242. - Pp. 241-266.
5. Kempf G., Knudsen F., Mumford D., Saint-DonatB. Toroidal embeddings I // Lect. Notes Math., Berlin-Heidelberg-NY: Springer. - 1973. - №>339.
6. Le Potier J. A propos de la construction de l'espace de modules des faisceaux semi-stables sur le plan projectif // Bull. Soc. math. France. - 1994. -№122. - Pp. 363-369.
7. Le Potier J. Fibrédéterminant et courbes de saut sur les surfaces algébriques // Complex projective geometry (Trieste, 1989/Bergen, 1989) // London Math. Soc. Lect. Note Ser. - 1992. - №»179. -Pp. 213-240.
8. Le Potier J., Tikhomirov A.S. Sur le morphisme de Barth // Ann. Scient. Éc. Norm. Sup.,4e série, t. -2001. - №>34. - Pp. 573-629.
9. Maruyama M. Moduli of stable sheaves I,II // J. Math. Kyoto Univ. - 1977. - №>17. - Pp. 91-126; 1978. - №>18. - Pp. 557-614.
10. Reid M. Canonical 3-folds // Algebraic Geometry Angers. - 1979. Sijthoff and Noordhoff. -1980. - Pp. 273-310.
11. Str0mme S.A. Ample divisors on fine moduli spaces on the projective plane // Math. Z. - 1984. -№187 - Pp. 405-423.
12. Матыцина Т.Н. Отображение Барта пространства модулей Mp2 (-1,3) стабильных векторных расслоений ранга 2 на P2 // Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова. - 2005. - №№6. - С. 8-14.
Н.В. Бочкарёв, И.И. Кузьменков, Д.Ю. Тихонов, С.Л. Смирнов
СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ОРГАНИЗАЦИИ ВЕТЕРИНАРНОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ АЛЬТЕРНАТИВНЫМИ МЕТОДАМИ ТЕРАПИИ
Целью деятельности любого сельскохоз-товаропроизводителя (СХТП) является выпуск определенной продукции (выполнение работ, оказание услуг) установленного объема и качества, в определенные сроки. Но при установлении масштабов производства следует исходить не только из народнохозяйственных и индивидуальных потребностей в данной продукции, но и в необходимости учитывать достижение максимального уровня ее эффективности. Поэтому оценивать качество работы СХТП следует прежде всего, посредством определения экономической эффективности производимой продукции (Кантора Е.Л., 2002).
Имеются факторы, которые непосредственно не зависят от деятельности органов хозяйственного управления любого уровня, но оказывают существенное влияние на конечные результаты производства (Королёв Ю.Б. с соавт., 2002).
Молочная корова дает максимальное количество молока, когда она здорова и чувствует себя комфортно. Здоровая корова сможет питаться достаточно для того, чтобы выработать большие количества молока при сохранении хорошей фер-тильности.
Важным фактором здоровья коровы является состояние их конечностей. Молочная корова не должна иметь проблем с ходьбой.
© Н.В. Бочкарёв, И.И. Кузьменков, Д.Ю. Тихонов,
С.Л. Смирнов, 2006
