Компактификация многообразия модулей Mq(—1, 2) стабильных расслоений ранга 2 на трехмерной квадрике Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.7

А. Д. Уваров

Компактификация многообразия модулей MQ(—1, 2) стабильных расслоений

ранга 2 на трехмерной квадрике

В настоящей статье приводится описание компактификации пространства, модулей стабильных векторных расслоений на проективной трехмерной квадрике Q с классами Черна c1 = -1 и с2 = 2. А именно, показано, что замыкание есть 6-мерное гладкое проективное рациональное многообразие.

Ключевые слова: пучок, тройка, диаграмма, спектральная последовательность, функтор, семейство, морфизм, расслоенное произведение, многообразие.

А. D. Uvarov

Compactification of Varieties of Modules MQ (-1, 2) of Stable Stratifications of the Rank 2

on a Three-Dimensional Quadric

In the present article the description of space compactification is resulted, modules of stable vector stratifications on the projective three-dimensional quadric Q with classes of Cherna c-1 =-1 and с2 = 2. In Particular, it is shown that short circuit is a 6-dimensional smooth projective rational variety.

Keywords: a bunch, triad, a diagram, spectral sequence, functor, family, a morphism, a stratified product, variety.

В настоящей статье приводится описание компактификации пространства модулей стабильных векторных расслоений на проективной трехмерной квадрике Р с классами Черна 01 = - 1 и с2 = 2.

Пусть Ы<2 (2; -1, 2, 0) - схема модулей стабильных пучков ранга 2 на проективной трехмерной квадрике Р с классами Черна с1 = -1, с2 = 2, с3 = 0, а М = Ы<2 ( -1, 2) - многообразие модулей расслоений ранга 2 на Р с классами Черна 01 = -1, с2 = 2. Нас интересует замыкание М многообразия М в схеме М<2 (2; -1, 2, 0). Для этого мы построим семейство пучков Е из М<(2; -1, 2, 0), получаемых как расширения вида

(1)

где С = /х и 12 — пара скрещивающихся прямых на Р либо вырождение этой пары такое, что база этого семейства сюръективно отображается на М при модулярном морфизме.

Теорема. Замыкание М пространства М = М<( -1, 2) модулей стабильных векторных расслоений ранга 2 на < с с1 = -1, с2 = 2 в схеме модулей Гизекера -Маруямы, М<(2, -1, 2, 0) есть 6-мерное гладкое проективное рациональное многообразие.

Доказательство теоремы будет вытекать из доказанных ниже предложений 1 и 2 статьи.

Пусть а : В := Р х Р3 ^ Р3 х Р3- раздутие Р3 х Р3 вдоль диагонали А . Рассмотрим прямое произведение Т := В х < с проекцией / : Т ^ В . Пусть Оа = а_1(А) - исключительный дивизор раздутия а . Как известно, база семейства прямых на < изоморфна Р3. Поэтому рассмотрим график инциденции Т = {( прямая / точка х) е Р3 х < | х е /}. Пусть Ех, Е2 - прообразы Т при проекциях р1, р2 : Т := В х < ^ Р3 х < соответственно, Е := Г и Л, /Е := / |Е: Е ^ В - проекция и УА = /Е-1(Оа) . Пересечение ГпЛ есть объединение двух дивизоров Уа и У в Е , где У - замыка-

© Уваров А. Д., 2011

ние в Е множества {(/15 /2, х) е (Р3 х Р3 , А) х Q | х = /1 п /2}. Пусть Н := ИПЪ2Р3 - схема Гильберта пар точек в Р3. Обозначим через Z := Н х Q прямое произведение и рассмотрим расслоенное произведение

(2)

где g, р,т - проекции.

В дальнейшем будем пользоваться следующими обозначениями: Ог(а, Ь, с,О):= Ов(а, Ь, с)) О, Ог(а,Ь, с,ё) := Ов(а, Ь, с)) OQ(ё)

Ов (а, Ь, с) := а* (Ор3 (а)) Ор3(Ь)) ® Ов (сБк) О2 (0, е) := Он ) OQ (е), где а,Ьс,4ееП2,, а О - произвольный OQ -пучок.

Воспользовавшись тем, что I Л = Ол (—Гп) = Ог (0,0, -1,0) |л = Ол (0,0, — 1,0) и

1 Гпл,л = 1 г,л (~¥и) = 1 7,л °) > из точной тройки:

0-Тгпл,л-^ Се-" Ог-> 0

(3)

получаем диаграмму

0У(О,О,-1,О)

(4)

0-^ 1у,А( 0,0, -1,0)-ä. Os-s- О г-э- 0.

0А(0,0,-1,0)

Вычислим пучок относительных Ext -ов F := Ext^(I Е T (0,0,0,1), OT ) . Рассмотрим точную трой-

ку:

(5)

0-0, 0,0,1)-^ от{О, о, 0,1)-> Ое(0,0,0,1)-> о

и применим к ней функтор Ех^ (—,ОГ ) :

£хЛ)(От(0,0,0,1), От) Т £хЬ){Оъ{0,0,0,1), От) £хЬ)(От(0, 0,0,1), От). (6)

Из нее следует, что

Т = £оЛ^(0Е(0,0,0,1), От), (7)

так как

£хь)(0т(0,0,0,1),От) = £х$(0т(0,0,0,1),От) = 0. (8)

Для доказательства последних равенств рассмотрим спектральную последовательность локальных и относительных Лх/-ов:

Е™ = ДрД5а^(0г(0,0,0,1), От) £х1Р1+ч(От(0,0,0,1), От), (9)

которая дает длинную точную последовательность:

Rlf*{Hom{0T{0,0,0,l),0T)) ^ £xt){0T{0,0,0,1), От) U{£xt\0T{0,0,0,1), От)) К2МНот(От(0,0,0,1), От)).

Имеем Hom(OT (0,0,0,1),0T ) = 0B ) Oq (-1) и по формуле Кюннета

(Ob ) 0е (-1)) = Ob (0,0,1) ® H\0Q (-1)) = 0. Аналогично доказывается, что R2 f (H om(0T (0,0,0,1),0T )) = 0 и, соответственно, Extf (0T (0,0,0,1),0T ) = f (Ext1(0T (0,0,0,1),0T )) = 0. Также заметим, что поскольку все пучки Ext1 (OT(0,0,0,1),OT) = 0 для i > 0 [1, с. 301], то спектральная последовательность (9) дает Ext2 (0T (0,0,0,1),0T ) = 0. Равенство (7) доказано. По аналогии с (7) доказывается равенство:

и равенство:

Ext){0T{Q, -1, -1, S), От) = 0. £xt){0T{-1,0,0, S), От) = 0.

(10)

(11)

Далее, для нахождения пучка F = Ext^ (0Z (0,0,0,1),0T ) выпишем кусок длинной точной последовательности относительных Ext -ов для верхней строки диаграммы (4), подкрученной на 0T (0,0,0,1), и воспользуемся формулой (7):

Вычислим входящие в эту последовательность пучки ЕХ^ (IУЛ (0,0, —1,1), ОТ ), Щ (IУ Л (0,0, — 1,1),От ), Щ (Ог (0,0,0,1), От ) и Ех^ (Ог (0,0,0,1),0т ) .

Во-первых, вычислим пучок ЕХ^(IУ Л (0,0, —1,1),От ) из столбца диаграммы (4), применяя к нему функтор ЕХ^ (—, ОТ ) :

Далее, для последовательности (13) вычислим пучок Ех^ (ОЛ (0,0, —1,1), ОТ ).

Рассмотрим ОТ - резольвенту для пучка ОЛ и подкрутим ее на ОТ (0,0,0,1); получим:

о От{о, -2, -1,0) От{о, -1, -1, 5) ^ От{0,0, -1,1) Ол(0, 0, -1,1)^ 0, (14)

где S - спинорное расслоение на квадрике < [2]. Применяя к точной тройке:

0 Хе2,т(0, 0, 0,1) От{0,0, -1,1) Оа(0, 0,-1,1) —^ 0 (15)

функтор Extf (—,ОТ ), получаем точную последовательность:

£хЬ)(От(0,0, -1,1), От) £х1)(1я2,т(0, 0, 0,1 ),От) £Щ{Ок{0,0, -1,1), От)

^£х%(0т(0,0,-1,1),0т), (16)

из которой следует, что

£хЬ)(1^2,т(0, 0, 0,1), От) = £хЬ}(0А(0,0,-1,1), От), (17)

так как Ех^ (ОТ (0,0, —1,1), ОТ ) = Ех^ (ОТ (0,0, —1,1),ОТ ) = 0. Доказательство последних равенств полностью повторяет доказательство для равенств из формулы (8).

Далее, пользуясь формулой Кюннета и соотношением Н 0( £) = 0, находим:

£хЬ){От{0, -1, -1, в), От) = МОв{0,1,1) И 5) = Ов(0,1,1) ® Я0^) = 0. (18)

Аналогичным образом получаем:

£xt°f{0T{0, -2, -1,0), От) = f*{0T{0,2,1,0)) = Ов{0,2,1) ® H°{0Q) =

Далее, в силу (14) пучок I Е T (0,0,0,1) входит с следующую точную тройку:

0 От{0, -2, -1,0) От(0, -1, -1,5V(1)) IE2iT(0, 0,0,1) 0. Применяя к ней функтор Extf (—,OT ), получим:

£xt)(0T(0, -1, -1, S), От) £xt°f(0T(0, -2, -1,0), От) £х^{1^т{0,0,0,1), От)

(19)

(20)

^£х^(От(0,-1,-1,3),От). Из последовательности (21) и формул (18), (19) и (10) Extf (I s ,T(0,0,0,1),OT) = O5(0,2,1). Отсюда и из формулы (17) имеем:

(21)

заключаем, что

Вычислим теперь пучок Ех^ (О7 (0,0, —1,1),ОТ ), входящий в последовательность (13). Пусть 1пс - замыкание в Р3 х Р3 множества {(/1, /2) е (Р3 х Р3) , А | Т = /1 п /2} и 1Пс := сг_1( 1пс) . По двойственности Серра и с учетом изоморфизма , сопоставляющего паре пересекающихся прямых Q их точку пересечения на Q, получаем:

на

так

Ext3 (OY (0,0, -1,1),OT) = (Exf (OT ,OY (0,0, -1,1)) OT (0,0,0, -3)))v = ((f |Y ).OY (0,0, -1, -2))v = H om(Oae (0,0, -1),Ofi) = 0, как codimB Иге = 1. Итак,

£a4(0y(O,O,-l,l),0T) = O. (23)

Далее, найдем пучок Ext2 (OY (0,0, -1,1),OT ) , также входящий в последовательность (13). Поскольку

codimTY = 4, то все пучки Ext' (OY (0,0, -1,1), OT ) = 0 для i > 0 . Поэтому из спектральной последовательности локальных и относительных Ext-ов

Щл = Rpf*£xtq(0Y(о, 0, -1,1), От) £xtpf+q(0Y(0, о, -1,1), От), (24)

получаем:

£xt2f(0y(0,0, -1,1), От) = 0. (25)

Теперь из последовательности (13) и равенств (25), (23), (22) получаем, что

£xt2(TYk(0,0, —1,1), От) = ОБ (0, 2,1). (26)

Далее, вычислим пучок Extf (I Y л(0,0, -1,1),OT), используемый в (12). Для его нахождения применим функтор Extf (-, OT ) к столбцу диаграммы (4):

£xt){0Y{0,0, -1,1), От) £xt){Oh{0,0, -1,1), От) £xi}(Ty,A(0,0, -1,1), От)

£xt2f(0Y(0, 0, -1,1), От) £xt)(Ok(0,0, -1,1 ),От). (27)

Докажем равенство

' ^(0Л(0,0,-1,1),0Г) = 0. (28)

Для этого воспользуемся спектральной последовательностью

ер,q = RPf*Extq(OA(0,0,-1,1),OT) ^ Extf+q(OA(0,0, -1,1),OT), которая дает:

0 ^ R1^(Hom(OA(0,0,-1,1),Ot )) ^ Extf (OA(0,0,-1,1),Ot ) ^ f.(Ext1^(0,0,-1,1),Ot )). Так

как codimTЛ = 2, то H om(Oл (0,0, - 1,1),OT) = Extx(Oл (0,0, - 1,1),OT) = 0, откуда следует равенство (28). Из последовательности (27) с учетом равенств (28) и (25) получаем, что

£xi}(IyiA(0,0,-l,l),0T) = 0. (29)

Теперь вычислим пучок Extf (0Г (0,0,0,1), 0T ) . Воспользуемся морфизмом замены базы для пучков относительных Ext -ов : Extf (0Г (0,0,0,1),0T ) ® kT ^ Ext3(0, (1),Oq ), который является изоморфизмом, так как Ext 4(0, (1),0Q) = 0. По двойственности Серра имеем:

Ext3 (0 (1), Oq ) = (Ext0 (Oq ,0, (1) ® oq ))v = (Ext0 (Oq , Ol (-2)))v = (Hom(0Q, O, (-2)))v = 0, откуда

Далее, вычислим пучок Extf (0Г (0,0,0,1),0T ). Для этого рассмотрим OT - резольвенту для пучка 0Г и подкрутим ее на 0T (0,0,0,1) :

о 0т(-2,0,0,0) 0T(-1,0,0,5V(1)) От(0,0,0,1) 0Г(0,0,0,1) 0. (31)

К точной тройке:

0^ 2г,т(0,0,0,1) ^Ст(0,0,0,1) ->0Г(0,0,0,1) ^0 (32)

применим функтор Extf (- ,0T ) и рассмотрим кусок длинной точной последовательности:

£xt)(0T(0, 0, 0,1), От) £xt)(lTiT(0, 0,0,1), От) £xt){0T{0,0,0,1 ),От) Из нее следует, что

£хЬ){1г,т{0,0,0,1), От) = Sxtj(0r(0,0,0,1), От), (34)

так как Extf (0T (0,0,0,1), 0T ) = Extf (0T (0,0,0,1),0T ) = 0. Два последних равенства следуют из формулы (8).

Далее, вычислим пучок Ext} (I TJ (0,0,0,1),0T ). Для этого нам понадобятся следующие пучки: Ext0 (0T (-1,0,0, £), 0T), Ext° (0T (-2,0,0,0), 0T), Ext} (0T (-1,0,0, £), 0T), Extf (IГД, (0,0,0,1), 0T).

По формуле Кюннета получаем:

£xt°f(0T(-l,0,0,S),0T) = 0B(1,0,0)®H°(S) = 0. (35)

Аналогичным образом имеем:

£хЛ){От{-2,0,0,0), От) = U{0T{2,0,0,0)) = Ов{2,0,0 )®к = Ов( 2,0,0). (36)

Пучок I ГT(0,0,0,1) входит в следующую точную тройку:

0 от(0, -2,0,0) От(-1,0,0, Sv(l)) 1г,т(0,0,0,1) 0. (37)

Применим к ней функтор Extf (-, 0T ) :

0 -»■ £xt°f (1г,т(0,0,0,1), От) -> £xt0f(OT(-1,0,0, S),Ot) £xt0f(OT(-2, 0,0,0), От)

£хЛ){1ГуТ{0,0,0,1), От) £xt){0T{-1,0,0, S), От). (38)

Из точной последовательности (38) с учетом равенств (35), (36) и (11) получаем, что Extf (I Г7 (0,0,0,1), 0T ) = 0B (2,0,0). Отсюда и из формулы (34) находим:

£xt){Or{0,0,0,1), От) = Ов(2,0,0). (39)

В итоге с учетом формул (29), (39), (26) и (30) последовательность (12) приобретает вид:

0 —> 0В(2,0, 0) ^ Т ^ Ов(0, 2,1) —> 0. (40)

Отсюда следует, что пучок F на B локально свободен, имеет ранг 2 и, соответственно, F = F vv. Покажем, что пучок G := Extlg (I п Z (0,1), 0Z ) также локально свободен, и имеет ранг 2. Обозначим через П := р(Г) . Нетрудно заметить, что Г □ П, имеем расслоенную диаграмму:

(41)

в х д

В силу того, что морфизмы g, /,т,т в этой диаграмме - плоские, замена базы дает равенства.

Т = £хЬ)(Хъ,т{ 0,0,0,1 ),От) = £тЛ)(т*1п<г(0,1),т*Ог) = т* £хЬ1д(1и,2( 0,1 ),Ог) = т*д,

Отсюда, так как Б локально свободен и т - конечный плоский морфизм, следует, что О локально свободен и имеет ранг 2.

Так как Н = Ш1Ъ2Р3 рационально, то Ж := Р(О" ) - рациональное многообразие размерности 7.

Предложение 1. Ж := P(GV) рациональное семимерное многообразие, параметризующее универсальное семейство расширений вида: 0 ^ OQ (—1) ^ Е ^ I ^^ 0, где (/1, /2) - пара прямых на Q, возможно совпавших, задаваемое (после подкрутки на пучок О2 (0,1) как расширение пучков на $ :=Жх()

0-1))-^Е-^Г?п,2(0,1)-^0, (42)

где ОЖ (1) - пучок Гротендика на Ж, а

^ 7 и

^ Ж - естественные проекции.

Доказательство. Пусть р : Ж ^ Н - структурный морфизм. Рассмотрим расслоенное произведение:

пусть

вычисления. Заметим,

Тогда что

еу : р GV ^ ОЖ (1) - отображение еу е Н0(И от(р*Ох/,ОШ(1))) = Н°(р*GVV ® О^(1)) = Н°(р*О® О^ (1)).

р * о=р * Ех^ (I п,2 (0,1), О2) = (¡А п ,7 (0,1), $О2).

Отсюда р*О®ОД1) = Ей£ $1Ц2(0,1),^ ) ®СЖ(1) = Ц$1 д2(0,1), g*CW(1)). Спектральная последовательность глобальных и относительных Ех^ов: Е™ = Нр(Ж,Ехг\("р'х п,2 (0,1), g Ож (1))) ^ ЕхЩ"(р*I п,2 (0,1), g 0Ж (1)) дает точную последовательность:

Но §„И от(р\ п,2 (0,1), £ О (1)) = р^И от( 'р * I п,2 (0,1),О^ (1)) = 0, поскольку

п g. И от(I п 2 (0,1), рр О2 ) = 0. (Последнее равенство следует из того факта, что ^Иот(! п,2(0,1),О2) = gOz(0, —1).) По формуле Кюннета gCz(0, —1) = Он ® Н0(OQ(—1)) = 0,

соответственно, Н \ ^ И от(р I п,2 (0,1), (1)) = Н 2( от(р I п, (0,1), (1))) = 0. В итоге последовательность (44) дает изоморфизм:

1: Ех(1^ (р I п,2 (0,1), ОЖ (1)) □ Н0(р* О® ОЖ (1)). Элемент £ = ¡1Х(еу) задает искомое расши-

рение (42). По построению ограничение этого расширения на слой проекции % над точкой w из Ж есть подкрученная на Од (1) тройка (1):

о->Оя-^Е \шхЯ-^2^,^(1)-(45)

в которой пара и 12 упорядоченна. Подкрутив эту тройку на Од (-1) , мы получаем, что ЕЁ^д О—1) - стабильный пучок ранга 2 с с1 = -1, с2 = 2, с3 = 0 на д такой, что [ЕЁ^д <0—1)1 е М . Предложение 1 доказано.

Замечание. По конструкции, Ж - база универсального семейства всех классов расширений вида (1). Поскольку а : Ж а ИЯЬ2(Р3) - проекция со слоем Р(Ех^и1 (1),Од)) □ Р1, то Ж - гладкое многообразие.

Предложение 2. Морфизм р : Ж а М : w а [ЕЁ^д 0—1)1 является структурным морфизмом проективизации векторного расслоения ранга 2 на М со слоем В°(Е(1)) над произвольной точкой [Е] е М.

Прежде всего, М есть тонкое многообразие модулей, М с М' := Мд (2; —1,2,0) , а М' является тонким многообразием модулей. Докажем последнее утверждение. Пусть 8( В) = НОД (а0, а1,..., ап) и В = ВЕ (т) = Ег"=0аСт+1 _ многочлен Гильберта пучка Е ранга 2 на 0 с классами Черна с1 =-1, с2 = 2, с3 = 0. Проверим, что <5( В) = НОД(а0, а1,..., ап) = 1. Имеем

. . ( 3а2 11а3 Л (а2 Л 2 а3т3

И (т) = 2..=0аут+. = (а0 + ах + а2 + а3) + 1 ах +--- +--3 I т + I — + а3 I т + ——. С другой

г- 1 т 1 ^ 26 ^^ 2 ^ 6

стороны, используя известную формулу для ИЕ(т) [5, с. 194], получим:

7 2

И(т) = ^(Е(т)) = (1 - с2) = (3 - с2)т + 2т2 + — т3. Отсюда а0 = -10,ах = 9,а2 = -4,а3 = 4.

Таким образом, НОД(а0, а1, а2, а3) = 1. Так как с1(Е) =-1 для [Е] е Мд (2;-1,2,0), то, согласно [4, с. 598], универсальное семейство стабильных пучков на М' х д существует, поскольку 5(В) = 1.

Тем самым, существует универсальный пучок Е на д х М. Рассмотрим проекцию рг : д х М а М и определим пучок N := рг(Е 0 (Од (1)) Ом )) . Заметим, что для любой точки у е М имеем И0(Е |дх (1) = 2,\ИХ(Е |дх (1)) = 0, а М является целой схемой [3, с. 217]. Отсюда следует, что отображение замены базы N 0 к а И0(Е |дх (1)) = к2 для любого у е М является

изоморфизмом [1, с. 368], так что N - локально свободный пучок ранга 2 на М. Рассмотрим проек-тивизацию этого пучка п : Р^ ) = Рго)^ У ) а М. Тогда слой п_1(у) равен Р(И0(Е |дху (1))), и

отсюда следует, что P(N ) := {(у, < 5 >)Ё у еМ, < 5 >е Р(Е |дх (1))}. В силу того, что Ж - база

универсального семейства всех классов расширений вида (1), существует морфизм ц : Р^ ) а Ж,

5

который паре (у, < 5 >) ставит в соответствие расширение % :0 а Од а Е |дху (1) а I ^(1) а 0,

где 1Х и 12 = (5)0. По построению ц - изоморфизм и р°ц : Р^ ) а М - структурный морфизм

проективизации расслоения N над М. Предложение 2 доказано.

Заметим, что М является рациональным многообразием, поскольку М рационально согласно [5, с. 217]. Кроме того, из предложения 2 и гладкости Ж (см. замечание перед предложением 2) следует гладкость М . Отсюда непосредственно вытекает теорема 1.

Библиографический список

1. Хартсхорн, P. Алгебраическая геометрия [Текст] / Р. Хартсхорн. - М. : Мир, 1981.

2. Arrondo Е. Sols I. Classification of smooth congruence of low degree // J.Reine Angew. Math.1989. V. 393 P. 199-219.

3. Lange B. Universal Families of Extensions // Journal of Algebra 1983. V. 83. P. 101-112, 1983.

4. Maruyama M. Moduli of stable sheaves. II // J. Math. Kyoto Univ. 1978. V. 18. P. 557-614.

5. Ottaviani G., Szurek M. On Moduli of Stable 2-Bundles with Small Chern Classes on Q3 // Annali di Matematica pura ed applicata (IV). 1994. V. CLXVII. P. 191-241.