CC BY
8УДК 512.7
А. С. Тихомиров, М. Е. Сорокина
О конструкции многообразия модулей стабильных пучков ранга два с классами Чженя с1 = 0,
c2=3 на поверхности Хирцебруха F1 (Часть II)
Ранее, в статье [1], было построено многообразие бирационально изоморфное многообразию Mp (2;0,3)
модулей Я-стабильных по Гизекеру когерентных пучков ранга два с классами Чженя Cj = 0, С2=3 на поверхности Хирцебруха p. В настоящей статье получено семейство E с базой
пучков ранга два с указанными инвариантами, такое, что пучки E | S X {х} Я-стабильны для всех X G X вне объединения двух гладких семимерных подсхем в X.
Ключевые слова: многообразие модулей, стабильный пучок ранга два на поверхности, поверхность Хирцебруха.
А. S. Tikhomirov, М. Е. Sorokina
About Construction of Variety of Modules of Stable Bunches of Rank Two with Chzhen's Classes С1 = 0 , С2 = 3 on the Hirzebruch Surface F1 (Part II)
In the previous article [1] we have constructed the manifold
X
birationally isomorphic to the Gieseker-Maruyama moduli space MH (2,0,3) of Я -stable coherent rank-2 sheaves with Chzhen's classes Cj = 0, C2 = 3 on the Hirzebruch surface
F1. In this paper we describe a family E with the base
X
of rank-2 sheaves with the above invariants on p , such one that the sheaf E | S X { X} is Я -stable for all points X G X lying outside the union of two smooth seven-dimensional subschemes of
X.
Keywords: moduli space, stable rank-2 sheaf on a surface, Hirzebruch surface. § 0. Введение
Настоящая статья является продолжением работы [1], в которой мы рассматриваем многообразие MSh (2;0,3) модулей когерентных стабильных относительно специально выбранной поляризации Я пучков ранга 2 на поверхности Хирцебруха S := p с классами Чженя С1 = 0, С2 = 3 и поставили задачу получить точную алгебро-геометрическую конструкцию данного многообразия.
Мы используем следующие обозначения: ф : S ^ P2 - раздутие проективной плоскости P2 в точке х0, p : S ^ P1 - стандартная проекция, OS(1,0):= ф*Ор2(1), OS(0,1):= p*Op1(1),
Cj(OS(1,0)) =: т, Cj(OS(0,1)) =: h, M_ := MH (2;0,3) - многообразие модулей когерентных пучков ранга 2 с указанными классами Чженя, стабильных относительно поляризации Я_ := т + 2h .
В работе [1] построено многообразие X, бирационально изоморфное M_ ; при этом морфизм X ^ M_ не определен в точках объединения гладкого дивизора и гладкой семимерной схемы на X. Многообразие X получается раздутием проективного спектра локально свободного пучка ранга 4 на схеме Гильберта Hilb^S . Получено семейство £ пучков с базой X, общий член которого Н -стабилен.
В настоящей работе мы выполняем элементарную перестройку пучка £ вдоль дивизора; полученное при этом семейство E пучков на S не содержит прямых сумм пучков ранга 2
© Тихомиров А. С., Сорокина М. Е., 2012
(предложение). Основной результат статьи - И- -стабильность пучков семейства Е для точек X, не содержащихся в объединении двух гладких семимерных подсхем на X, - изложен в теореме. В заключение мы формулируем гипотезу о точном виде бирациональной перестройки многообразия X в многообразие М- .
§ 1. Вычисление нормального расслоения к подсхеме У в ИНЬ3$, содержащей коллинеарные тройки
Напомним обозначения работы [1]: И0 := ИНЬ 3$ - схема Гильберта нульмерных подсхем длины 3 на поверхности $ , Г - универсальный цикл в ^ х И0, У - приведенная подсхема в И0, точки которой соответствуют подсхемам Z3 на $ , содержащимся в одном слое проекции р : $ ^ Р1 . Схема У гладкая и имеет коразмерность 2 в И0.
В этом параграфе мы докажем утверждение, необходимое для последующих построений. Пусть п: У = Р($3(О 1 0О 1(-1)))^Р1 - проекция, ОУ(1,0):= О 3 ,(1),
V V Р1 /// Г IV 5 / Р($з(о _ 0О п(-1)))/Р1 4 у
Р1 Р1
ОУ (0,1):= п*О1(1), в := р хп: $ х У ^ Р1 х Р1, /д : Р1 ^ Р1 х Р1 - диагональное вложение, Ж := Р1 х 1 1 ($ х У), в | Ж : Ж ^ Р1 - индуцированная проекция со слоем Р1 х Р3,
оятт = оя(о,1)Яог(о,1), (1)
2 := У хИ^ Г - подсхема в $ х И0, Z ^ Ж - дивизориальное вложение,
0г(г):=08(3,0)®0г(1,0)\цг, (2)
р1 р2
$ ^ $ х У ^У - проекции на первый и второй сомножители.
Лемма. Нормальное расслоение к подсхеме У в И0 изоморфно ОУ (-1,1) 0 ОУ (-1,0). Доказательство. Рассмотрим на $ х У точную тройку
0 ^ О$хУ (-Ж) ^ ¡2$хУ ^ Ож (-2) ^ 0.
Тензорно умножая ее на О$хУ (Ж), с учетом равенств (1) и (2) будем иметь:
0 ов Т 1У >] г ® одод) и а(0,1) о5(-з,1) и а(-1,1) ж о. о)
Пучок 3,1) 0 Ог(—1,1) | Ж включается в точную тройку
О^О5(-3,О)ИОГ(-1,О)^О5(-3,1)ИОГ(-1,1)^О5(-3,1)0ОГ(-1,1)|Ж^О. (4) Применим к точным последовательностям (3) и (4) функтор р2*:
о—>ог —» г ®0,(0,1) 0а(0,1)) ^(05(-з,1)Йа(-1,1)| ж) ^ о ^ г ® о,(0,1) и а.(0,1)) -> 3,1) 0 а(-1,1) I Ж) о,
0 ^ И0(О$(-3,0)) ® Оу (-1,0) ^ И0(О$(-3,1)) ® ОУ (-1,1) ^
р2.Ш-3,1) И Оу{-1,1) I Ж) я1(05(-3,0))®0г(-1,0) Я1(05(-3,1))®Ог(-1,1) ^^(^(-3,1) 0 Ог(-1,1) IЮ
^ H\OS(-3,0)) ® O7 (-1,0) ^ H\OS(-3,1)) ® O7 (-1,1).
Так как # "(ОД-3,0)) = tf 0(O5(-3,l)) = H\Os{-3,0)) = Я 2(0,(-3,1)) = 0:
г 2 ,
Н\Ов(-3,1)) = Н2(Ов(-ЗЩ = к, то р2ДО,(-3,1) 0ОГ(-1,1)|Ж) = О, так что имеет место изоморфизм
р2*{125 т 00,(0,1) 0 0Г(0,1)) = 0Г (5)
и точна тройка 0 От{-\,\) Я1 р2„{05{-3,\) И Ог(-1,1) \ Ж) 0Г(-1,О) 0, из которой следует, что
^(О5(-3,1)ИОГ(-1Д)|Ж) = ОГ(-1,1)0ОГ(-1,О). (6)
Также
я1р2.{12<3 т (0,1)0 ог(о,1)) = я1р2ло5(-зл) 0 ог(-1,1)т. (7)
Пучок R P2*(I,. , у 0 О, (0,1) И Оу (0,1)) изоморфен относительному пучку
,хУ ) , «»ТОрЫ^ как нетрудно видеть, отождествлЯетсЯ с нормальным расслоением
№Т1Н к У в Н0. Из (6) и (7) тогда следует требуемое. □
§ 2. Перестройка семейства £ в семейство Е пучков, Н -стабильных в точках
X\Фи(В )
Многообразие X в работе [1] определяется следующим образом. Пусть р0 : , х Н0 ^ Н0 -проекция на второй сомножитель. Относительный пучок
(/,.,. 00,(0,1)0 Он ,0,(0,-1)0 Он ) на Н() локально свободен и имеет ранг 4. Через
Хп обозначим многообразие Р(Ех^ (/г , н 0 О,(0,1) 0 Он_, 05(0,-1) 0 Он_ )) . Рассмотрим
раздутие сУ : Н ^ Н0 многообразия Гильберта Н0 вдоль У. Тогда X по определению есть расслоенное произведение Х0 хН Н.
Приведем определение пучка £. Рассмотрим универсальное расширение над Л" х Хп:
0 -> О,(0,-1) 0 0Хо ->£000,(0,1)0^0, (8)
в котором g0 : X0 ^ Н0 - проекция, Х0 - антитавтологическое линейное подрасслоение в
Я0 00,(0,1) 0 0Д[1,0,(0,-1) 0 0Д[1). пусть а : X Х0 - морфизм, Z1 := (¡с1Л. х (<т о gn)) 1Г , Ь := <т*Д,. Пучок £ определяется нетривиальным расширением
0 -> 0,(0,-1) 0 Ох х 00,(0,1) 0 ь1 о, (9)
которое получается из (8) применением (¡ё, х с)*.
Пусть В ^ X - исключительный дивизор раздутия с : X ^ Х0, Ф - гладкая семимерная
подсхема в X, определение и точное геометрическое описание которой дано в [1]. Пучки £| 8 х {х}
Н- -стабильны для всех х е X \ (В и Ф) [1, теорема].
В данном параграфе мы строим семейство E пучков на ,, Н- -стабильных в общей точке
дивизора В, совпадающее с £ вне В.
Ограничим расширение (9) на дивизор D := , х В :
о -> 0,(0-1) 0 ов 4о п 00,(0,1) 0 г1 о. (10)
Здесь £п:=£| Б, 2Т) \=1хглБ.
Рассмотрим проекцию рг2 : $ х О ^ О. Применение функтора рг2* к тройке (10) дает изоморфизм
С := рг2Ли= ®Ов{ОД) 0 Г1).
Поскольку = 2 х$хУ ($ х О) = 2 хУ О , то
/^Лх,, ,, ®О,(0Д) 0 0о) = у ®08{ОД) 0 ОД
где ц : О ^ У , р2 : $ х У ^ У - естественные проекции. Согласно формуле у/*Р2Мг,з г ®О,(0Д) 0 От) = у/*От{0,-1), а следовательно,
С = у/*Оу( 0-\)®П\ так что пучок С локально свободен ранга 1 на И . Обозначим :— О, И Л..
Пусть ОУ - исключительный дивизор раздутия сгУ: И ^ И0
(11)
(12) (5)
(13)
следующими
обозначениями:
Оа (1,0,0,0):= О™ (1)
Далее будем пользоваться Ов(0,1,0,0):= Оп /у(1),
ОО(0,0, а, Ь) := щ*ОУ (а, Ь) . В частности,
(15)
ЦБ = Ов{ 1,0,0,0), Од(£) = Од(0,-1,0,0),
£ = Ов{-1,0,0,-1), С (Б) = О, 0 0о(-1,-1,0,-1). (14)
Предложение. Существует элемент е Ех!:1 ( £ ( Э), £), определяющий нетривиальное расширение
такое, что для любой точки х е О пучок Е | $ х {х} является нетривиальным расширением
0 ^ ¡23 ^ Е | $ х{у} ^ О$ ^ 0,
где 23 - нульмерная подсхема длины 3 на $, содержащаяся в одном слое проекции р : $ ^ Р1. Доказательство. Вычислим Ех^С/ (Б),£) . Применим Нот0 (-С (Э),—) к точной тройке (9):
0 О, (0,-1) И О, (1,0,0,1) Ех^ х (£ (Б), £)
^ £< (С (Б), 4х ,^0,(0,1)0^)^0.
ЛУхХ
(16)
Обозначим через А1 пучок Ех^а (.С (Б),12 8 0 О,(0,1) ЕЗ Л 1). Применим тот же функтор к
ЛУхХ
точной последовательности
о х ® 0 Г1 0,(0,1) 0 Гх 0/д. ® О,(ОД) ЙГ^О:
0 А, О,(ОД) 0 6^(0,0,0,1)-> (С (В),О, ® 0,(ОД) 0 Г1)
$хХ
^Х
Так как пучок имеет гомологическую
/Г1 Т ^ /Л 1 \ 1Г71 г-1
00,(0,1)0^0).
размерность
(17) то
л.(£ (Б),/^., х @0,(0,1) 0Г) = 0. Обозначим А2 := Ех^ х{Ь{Ъ\02х ®0,(ОД) 0 /Г1). Пучок Су (Б) включается в точную тройку
0 ^ О, й Г1 ^ О, й (Ох (£>) ® Г1) ^ £■ (Б) ® у/О, (ОД) 0.
О конструкции многообразия модулей стабильных пучков ранга два с классами Чженя 45
С1 = 0 , С2 = 3 на поверхности Хирцебруха // (Часть II)
Применим функтор Нот0 (—, О^ 0 О, (0,1) Ь1) к этой точной последовательности:
0^Нот0в х{08 0 {0хф)®Г\0,х 0а(0,1) 0 /.')^Н<>т(1 ; (0:; 0 П\02х 00,(0,1)0
Ь— ) ^ А2 0 у/*0У (0,—1) ^ 0, или
0 ->02 00,(0,1) 0 0х(-/))^0^ 00,(О,1)00х -> А20^*0Г (0,-1)^0, азначит,
А2 = О5(О,1)0ОДО, 0,0,1)1 г0. (18)
Объединив (17) и (18), получим точную последовательность
0 А, 0,(0,1) 0 Ов(0,0,0,1) 0,(0,1) 0 0^(0,0,0,1) | 2П 0, откуда
А-1 = 00,(0,1) 0 0д(0,0,0,1).
Из (16) и (19) тогда следует, что точна последовательность
0 05 (0,-1) 0 0, (1,0 А1) Ех£ ( С (Б), £)
(19)
(20)
/zD, D 00,(0,1) 0 0D(O,O,O,1)^ 0. Из (20), (11) и (13) следует изоморфизм
P'\MJ:; х (с (D), £) = pr2. (4D D 0 0, (0,1) 0 0D (0,0,0, \ )) = (),„
где pr2: S x D ^ D - проекция.
В качестве пучка E выберем расширение (15), задаваемое элементом 1g Я0(OD) при каноническом отождествлении H"(0D) = Н°(pr21fExtl0 (С (D),£)) = Ext1 (С (D),£). Далее, ограничим точную тройку (15) на D:
0 5 -+ED ->£.(D) -Ю, (21)
где 3 := coker(7b/|i;; Л" (£, (D),0d) -^-£d) . Пусть у eD . Так как 31 S х {у} = Iz - пучок идеалов нульмерной схемы длины 3 на S и Л (D) | S х {у} = 0, , то пучок Е | S х {у} является расширением вида 0 ^ /z ^ E | S x {y} ^ OS ^ 0 и его классы Чженя С1 и С2 равны 0 и 3 соответственно.
Элемент С, е Ext1 (.С (D), D), задающий тройку (21), является образом элемента
1 е H0(OD) = Ext1 (С (D),£) при морфизме
л: Ext4C(D),£) (22)
Рассмотрим коммутативную диаграмму
Ограничим первый столбец диаграммы на О:
О £о -Не-
применим к полученной точной последовательности функтор Нот0^(£ (О),—):
Взяв прямой образ этой тройки при морфизме pX : , х X ^ X, получим изоморфизм
Поскольку
Ех11(Л(В), з) - н1 {Ното,яХ 3)) - Н°(#11х*Ното,яХ №<р>, 3}),
то
ЕйЧССЕО.Э) - лс(я® (23)
Проверим, что сечение
соответствующее элементу С, при изоморфизме (23), не обращается в нуль во всех точках у е О . Это означает, что для всех у е О точные тройки 0 ^ ^ ^ Е | $ х {у} ^ О$ ^ 0 нерасщепимы.
Из (10) и (14) следует, что пучок £ п ® .С 1 (-Б) включается в точную последовательность
о^о5(о-1)Еод(1,1,о,1)^£0(8)Л-1(-о)^/2о,0®о,(0,1)0 0^(0,1,0,1)^0,
а следовательно, ("!>)) = & РЪЛ1 ® ^С0,1) ® Оо(0,1,0,1)). Аналогично (12)
имеем:
^РГ.МО5{0,1) 0 Ов(0,1,0,1))= щЯ1р2Л12,5 у ® ^ (0,1) 0 0Г(0,1))®0Д(0,1,0,0),
где пучок р2„(1 х , г @ 0,(0,1) 0 О, (0,1)) изоморфен А',;; (см. доказательство леммы). Тогда
7?>2Д£0®£-1(-0)) =^Хя0 ®Ов(0,1Д0),
где ц : О ^ У - проекция.
Морфизм ц раскладыватся в композицию
у/= nY onD ,
где
nD : D ^ Dy.
Имеем: i//e Rlpr2*(£B®L _1(-D)) = NTIH_ 0,1,0,0) =
N™ ®я> .Oo (1,0,0) = N™ ® =20y 0 Oy (0,1) 0 OY (0,-1).
Следовательно,
Я' ч я(£ п ® £0> (-Б))) = #0 (20, 0 Ог (0,1) 0 Оу (0,-1)) =
И0(п*(2Ор1 0 Ох(1)0 01 (-1)))= И°(2<Од 0 Ох(1) 0 01 (-1)), где п : У ^ Р1 - проекция. Сечение sУ Ф 0 пучка 2ОУ 0 ОУ (0,1) 0 ОУ (0,-1) обращается в нуль в какой-либо точке У тогда и только тогда, когда соответствующее ему сечение 5^ Ф 0 пучка 2О 1 0 О 1(1) 0 О 1(-1)
обращается в нуль в какой-либо точке у е Р1. Но сечение 5 (а значит, и 5 1) по построению О-инвариантно, где О= &аЬР Р2 (х0) . Так как группа О действует на Р1 транзитивно, то обращение 5 1 в нуль в точке у противоречит О-инвариантности этой точки. Таким образом, 5 1 и 5У нигде не
обращаются в нуль. Соответственно, сечение 5^ е И°(пУЫУ/И ® О(1,0,0)) =
И°(ОО^ (1,-1,1) 0 Ощ (1,-1,0)) является G-инвариантным, где G - группа автоморфизмов расслоения
над Р1 со слоем Лшф=РОЬ([) над слоем / проекции $ ^ Р1, причем группа G действует транзитивно на слоях проекции пУ, а значит, сечение также нигде не обращается в нуль. Таким
образом, сечение * € Я® (Я1рх„(£0® С_1(-°))) = Я"(Оо(О,1,-1,1)0Оо(О,1,-1,О)),
задаваемое посредством морфизма (22) сечением 1 е И 0(ОО ), нигде не обращается в нуль. □
Пусть у е О . Пучок Е = Е | $ х {у} на $ является нетривиальным расширением вида 0 ^ ^ $ ^ Е ^ О$ ^ 0. Среди таких пучков есть нестабильные. Пучок Е имеет
дестабилизирующий подпучок 1Х, х е ,3, тогда и только тогда, когда элемент ^ е Ех^О,, I, )
является образом ненулевого элемента е Нот(0,, кх) при вложении
0 ^ Нот(0,, кх ) ^ Ех^О,, ^^). Так как Ех^О,, I, ) = к2 и Нот(0,, кх ) = к, множество
классов нестабильных пучков составляют в В гладкий дивизор У , причем У ^ g—1 (У) - тройное накрытие.
Точки схемы У соответствуют классам изоморфных расширений вида 0 ^ ^ ^ Е ^ ^ ^ 0 ,
где и х содержится в одном слое / проекции р : , ^ Р1, поэтому для [ Е] е У выполняется И°(Е(0,1)) = 2. Тогда по теореме о полунепрерывности отсюда следует, что Ус^, где ¥ := {[Е] е X | И°(Е(0,1)) > 2} - дивизор на X (геометрическое описание ¥ дано в [1]). Итак, мы получили следующий результат.
Теорема. 1) Для всех х е X \ (Ф и У) пучки Ж | , х {х} Н— -стабильны.
2) Пусть [Е] е М— и Е не является расширением вида 0 ^ I, ^ Е ^ Iу ^ 0, где
содержится в одном слое / проекции р:, ^ Р1. Тогда для некоторой точки х е X [Е | ,х{х}] = [Е].
Гипотеза. Пусть рх: X1 ^ X - раздутие многообразия X вдоль У, р2 : X2 ^ X1 - раздутие многообразия X1 вдоль р—1(Ф)ргор. Тогда существует регулярный бирациональный морфизм
X2 ^ М—,
раскладывающийся в композицию трех стягиваний вдоль гладких дивизоров.
Библиографический список
1. Тихомиров, А. С., Сорокина, М. Е. О конструкции многообразия модулей стабильных пучков ранга два с
классами Чженя С1 = 0, С2 = 3 на поверхности Хирцебруха Р1 (Часть I) [Текст] / А. С. Тихомиров, М. Е. Сорокина // Ярославский педагогический вестник. Естественные науки. - 2011. - Т. 3, № 4. - С. 7-14.
