Бирациональные свойства многообразия модулей стабильных пучков ранга 2 с классами Чжэня c1 = 0, c2 = 3 на поверхности F1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

родная и авторская сказка) // Опочининские чтения. Вып. 9-10. Мышкин, 2002. С. 198-208.

2. Здесь и далее сохранена орфография названной публикации в переводе С.Васильевой по изданию: Киз, Д. Цветы для Элджернона // Антология фантастических рассказов английских и американских писателей. М.: Мол. гвардия, 1967. С. 262- 294. (Б-ка современной фантастики в 15-ти т: Т.10.).

3. См., в данном аспекте: Рождественская, Н.В. Мышь как источник поэтического вдохновения в литературе Серебряного века // Опочининские чтения. Вып.6. Мышкин, 1998. С. 3640.

4. Лихачёв, Д.С. Воспоминания. СПб: Logos, 2000. С. 496.

5. Цит. по: Глухов, А.Г. Мудрые книжники Древней Руси (от Ярослава Мудрого до Ивана Фёдорова). М.: Э

М.Е. СОРОКИНА

Бирациональные свойства многообразия модулей стабильных пучков ранга 2 с классами

Чжэня с1 = 0 , с2 = 3 на поверхности ^

В статье для открытого подмножества многообразия Мр2 (0,3) модулей стабильных пучков ранга 2 с классами Чжэня с1 = 0 , с2 = 3 на проективной плоскости Р2 получено доказательство гипотезы А.С. Тихомирова, согласно которой многообразие М^(0, п) модулей Н -полустабильных пучков ранга 2 с классами Чжэня с1 = 0 , с2 = п на поверхности Хирцебруха ^ для малых п и надлежащим образом выбранной поляризации Н получается из многообразия М 2 (0, п) раздутием вдоль подмногообразия пучков, не локально свободных в точке х0 -

p

центре раздутия а : ^ Р . Введение

Настоящая статья посвящена изучению геометрических свойств многообразия М£ (0,3) модулей стабильных пучков ранга 2 с классами Чжэня с1 = 0 , с2 = 3 на поверхности Хирцеб-руха £ = = Р(Ор1 Ф Ор1 (1)) . Рассмотрим раздутие а : £ ^ Р2 проективной плоскости Р2 в точке х0. А.С. Тихомиров в 2002 г. сформулировал гипотезу, согласно которой для малых значений п второго класса Чжэня и надлежащим образом выбранной поляризации Н на поверхности £ многообразие М£, (0, п) модулей Н -полустабильных когерентных пучков ранга

2 с классами Чжэня с1 = 0, с2 = п на £ получается из многообразия Мр2 (0, п) модулей полустабильных когерентных пучков ранга 2 с классами Чжэня с1 = 0, с2 = п на проективной плоскости Р2 раздутием вдоль подмногообразия пучков, не локально свободных в центре х0 раздутия а. В работе [7] было получено доказательство данной гипотезы в первом нетривиальном случае с2 = 2 . В настоящей статье продолжается исследование бирациональных перестроек многообразий модулей при раздутии поверхности и рассматривается следующий случай с2 = 3. Целью работы является доказательство гипотезы А. С. Тихомирова для открытого подмножества М0 многообразия Мр2 (0,3), полученного удалением из Мр2 (0,3) точек, соответствующих классам изоморфизма пучков, имеющих двойную особенность в точке х0 или имеющих особенность в х0, но с I(Бт^) = 3 .

1. Предварительные сведения и обозначения

Всюду мы работаем над алгебраически замкнутым полем k характеристики 0.

Итак, пусть M(0,3):= Mp2(0,3) и MH (0,3) - многообразия модулей стабильных пучков ранга 2 с классами Чжэня с1 = 0 и с2 = 3 на P2 и, соответственно, стабильных относительно поляризации H пучков ранга 2 с с1 = 0 и c2 = 3 на S. Поскольку M(0,3) содержит только стабильные точки, то M (0,3) гладкое (см., например, [3, Corollary 4.5.2]). Согласно [4,

Л

Théorème 0.2] многообразие M (0,3) изоморфно Gr - грассманову многообразию Gr(2,P5) = Gr(2,P(r(0P2(2)))), раздутому вдоль образа двойственной плоскости P2 при

вложении i : P2 ^ Gr (2, P5 ), которое строится следующим образом: каждой прямой l G P2 с уравнением u = 0 ставится в соответствие связка коник с уравнениями uv = 0 для v g r(OP2 (1)) . Таким образом, многообразие M(0,3) имеет размерность 9.

Нам потребуется конструкция многообразия M (0,3) с точки зрения геометрической теории инвариантов (см. [1], [5], [6]). Любой стабильный пучок E на P2 ранга 2 с классами Чжэ-ня c1 = 0 , c2 = 3 является когомологическим пучком монады

0^K®Op2(-1)^H®Qp2(1)^L®Op2 ^0,в которой K, H и L - векторные пространства

размерностей dim K = dim H = 3 , dim L = 1 и для которой выполняются следующие требова-

ния:

г0

(i) a = H V(1)) : K ^ H ® V - вложение, b = H (в(-3)) : H ® V ^ L - сюръекция;

(ii) для любого ненулевого собственного подпространства H' в H, K' := a l(H'® V) и L' = b(H' ® V*) выполняется неравенство dimK' < 3 dimL'.

Пространство монад, для которых выполняются требования (i) и (ii), вкладывается в произведение грассмановых многообразий Gr (3, H ® V) х Gr (1, H ® V*) = GA х GB посредством отображения (a, b) a (ima, kerb). Образ данного вложения обозначим R. Тогда M (0,3) = R//SL(H) - геометрический фактор.

Пусть [E] е M(0,3). В силу стабильности пучок E е [E] может задаваться одним из двух нетривиальных расширений:

^E/(Z,)=2,(Z>=1 (11)

или

0 ^ Iz3 ^ E ^ Opi ^ 0, /(Z3) = 3, (1.2)

где IZ - пучок идеалов подсхемы Z в P2. Заметим, что в M(0,3) подмножества расширений вида (1.1) и вида (1.2) не пересекаются, при этом первое подмножество содержит классы изоморфизма пучков E, таких, что I(SingE) = 2, второе - классы изоморфизма пучков E с

I (SingE) = 3 . Обозначим через M0 открытое подмножество многообразия M (0,3), полученное удалением из M (0,3) точек, соответствующих классам изоморфизма пучков, имеющих двойную особенность в точке x0 или имеющих особенность в x0, но с I (SingE) = 3 .

Пусть M(1,0,n) - многообразие модулей пучков IZ ранга 1 с c2(IZ) = I(Z) = n на P2. Обозначим Z 'n универсальный пучок на M (1,0, n) х P2. Рассмотрим проекцию prn : (1,0n)хM(1,0m)хP2 ^M(1,0n)хP2. Обозначим Zn := pr*n Z\ . Пусть

q: (1,0,2)хМ(1,0,1)хP2 ^М(1,0,2)хM(1,0,1) - проекция. Рассмотрим пучок Extlq(Z2) . В точке q(Iz, I,, P2) = (Iz, I. ), где /(Z) = 2, имеем: ( Z2)|(^z ^ )=Ext1(Ix, ^ ) = k2.

Рассмотрим в М0 приведенную подсхему Е 0, точки которой соответствуют классам изоморфизма пучков с /(Бт^Е) = 2 , имеющих простейшую особенность в точке х0, являющейся центром раздутия а : £ ^ Р2, и таких, что в расширении 0 ^ I и ^ Е ^ I ^ 0 точка х2 не совпадает с х0. Данная подсхема имеет следующее описание: Е 0 изоморфна расслоению со слоем Р(Б*; ( Z2)) = Р1 над (£ \ /0) х (Р2 \{х0}) = (Р2 \{х0}) х (Р2\{х0}), т.е. Е 0. гладкая коразмерности 4 в М0.

Пусть р : Я ^М(0,3) - проекция. Обозначим Ж0 := р_1(М0). Тогда п := Р |Ж: Ж0 ^ М0 - геометрический фактор по действию группы £Ь(И). Пусть У := р0-1(Е0) ^ Ж0. Многообразие У неособо. Рассмотрим раздутие в : М0 ^ М0. многообразия М0 вдоль Е 0 . По построению имеем следующий расслоенный квадрат:

Ж Ж0

п - - п

~ в М 0 -> М 0.

Здесь / : Ж ^ Ж0 - раздутие многообразия Ж0 вдоль У. Обозначим Е = в_1(Е0) -исключительный дивизор на М0, П = / 1 (У) - исключительный дивизор на Ж .

2. Универсальное семейство на Ж х Р2

Ограничивая универсальную монаду на Я х Р2 на многообразие Ж0 х Р2, мы получим комплекс

0 ^ К ': О р 2 ( 1) ^ И ® Ож0 :ПР2(1) ^ Ь': 0^ ^ 0, (2.1)

в котором К ':= £А : 0Ов |Ж0 и Ь':= £в : 0^ Ж , где £л - тавтологическое расслоение на Ол ранга 3,£в = 0Р(и^*)(1) - антитавтологическое расслоение на ОВ . Когомологический пучок

Е монады (2.1) является универсальным семейством пучков на Р2, классы £ -эквивалентности которых представлены точками многообразия М0. Рассмотрим морфизм

у = / х ¡ёр2 : Ж х Р2 ^ Ж0 х Р2. Пучок у*Е - когомологический пучок монады 0 ^ К : Ор2(-1) -—^И ® 0Ж :Ор2(1) Ь : 0р2 ^ 0, где обозначено К := /* К ',

Ь := /* V.

Выполним раздутие р: Ж х £ ^ Ж х Р2 вдоль Ж х {х0}. Пусть Е':= р*у*Е . Нетрудно видеть, что ранг Е' подскакивает на Пх/0 и имеет место изоморфизм Tors(F'|ух£) = 0/ (-1)

для произвольной точки у е П .

Пусть и : 8 ^ Ж х £ - раздутие с центром в П х /0. Обозначим через О исключительный дивизор раздутия и , и пусть д := ро и : 8 ^ Ж х Р2, := д |п : Б ^ П х {х0} . Проекция рг} о и : 8 ^ Ж имеет следующее описание. Для у еЖ \ П имеем (рг1 о и)(у) = £ = £ , а для у е П - (рг1 о и)-1 (у) = £у и Е = £ и Е1, где Е1 - поверх-

ность Хирцебруха, при этом Sy n Fy = l0y - исключительная прямая на Sy, но не исключи-

тельная на Fy.

Обозначим F = дF = w*F'. Пусть Gl := д*ker^ . Это локально свободный пучок, поскольку он является ядром морфизма w* (H ® OW : cr*Q 2 (1)) —• w* ( L : Op2 ) морфизма локально свободных пучков. Тогда пучок F имеет локально свободную резольвенту

0 — w*(K : Op2(-1)) — G1 — F — 0.

Имеет место следующее утверждение.

Предложение 2.1. Пучок F имеет кручение вдоль дивизора D; при этом TorsF = OD (D) ® SDB, где B - обратимый пучок на D х {x0} = D.

Доказательство. Проводя рассуждение, аналогичное доказательству предложения 3.1 в [7], получим, что (TorsF) | F = OF (-г) для Vy е D . Рассмотрим теперь подкомплекс

У У

0 — K 2: O 2 (-1) — H 2: П 2 (1) — L : Op2 — 0 универсальной монады (2.1) на W0 х P2, ограниченной на Y х P2, такой, что в каждой точке y е Y H 2| y = Hl(Ix (-1)), K 2 | = H l(Ix ux (-2)) и, следовательно, dim H 2 | y =2, dim K 2 | y =2. Когомологический пу-

чок такой монады есть I

2y

®2 .

Y xjx0}u7

' ® (Og. (1) : O„ (-1) |r ® det H 2ш: Op2), где I

идеалов

подсхемы

Y х {x0} u Y 'c W0,

пучок

которой

Y х{ x0}uY'

Y ' = Y . Пусть

В := / (1) : 00в (-1)|г ® ёе1 Н 2 : Ор2). Имеется вложение 1Тх{х^г ® В: Ор2 ^ Р^,

откуда ТогР = 0Б (Б) ® 5*В .

Определим пучок Е точной тройкой

0 ^ ТогэР ^ Р ^ Е ^ 0. (2.2)

Предложение 2.2. Пучок Е имеет локально свободную резольвенту длины 1. Доказательство. Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму, в которой О := кег(а1 ^ Е) :

0 I

0 ТогъР

I

0 — w * ( K : Os (-г)) — G1 —

F

— 0

I || I

0 ^ О ^ О1 ^ Е ^ 0.

I I

О* ( Б) ® 5* В 0

I 0

Покажем, что пучок О локально свободен ранга 3. Действительно, по аналогии с предложением 3.3,2) [7] имеет место вложение подрасслоения

0 — B — K |2

(2.3)

в

s

Далее, расширение 0 ^ w*( К : OS (-т)) ^ G ^ OD (Б) 05БB ^ 0 задается элементом

^ е Ех^(СБ (Б) 05ББ, w*( К : С (-т))). Нетрудно видеть, что существует изоморфизм

Ех^(СБ (Б) 05ББ, w*( К : С5 (-т))) = Нот(Б, К |Г)) : sB , где sB - морфизм подрасс-

лоения из (2.3). Следовательно, ^ как сечение пучка Н omClD (Б, К |D) нигде не обращается в

нуль. Тем самым, по конструкции Серра вышерассмотренное расширение дает локально свободный пучок О .

Таким образом,

0 ^ О ^ 01 ^ Г ^ 0 (2.4)

- искомая локально свободная резольвента пучка Г . Рассмотрим последовательность

0 ^ О |Б ^ О |б ^ ^ ^ 0 (2.5) СБ -пучков, которая точна, так как особенности Г лежат вне Б и, следовательно, ГБ локально свободен на Б ранга 2. Ограничим (2.5) на компоненту ру слоя над точкой у е D

проекции рг1 о w : 8 ^ Ж : 0 ^ О | р ^ ОАр ^ Г | р ^ 0. Здесь О, | р = 5Ср ,

у у у у у

О | р = Ср (—т) Ф 2Ср . Таким образом, точна последовательность

у у у

0 ^ Ср (-т) ^ 3Ср ^ Г |р ^ 0, поэтому Г |р = сгх*Т 2 (-т) , где их : Ру ^ Р2 - стяги-

у у у у Р у

вание исключительной прямой 10у на поверхности Хирцебруха Ру .

Таким образом, пучок Г | р (-/0) включается в точную последовательность

у

0 ^ Ср ^ Г | р (-/0) ^ Ср (2И - т) ^ 0 и в произвольной точке у е D имеют место ра-

ру ру 0 ру

венства И 0(Г | р (-/□)) = 1 и И1(Г | р (-/0)) = И 2(Г | р (-/0)) = 0.

У У У

Рассмотрим в 8 дивизор Q = w х /0) = Ж х /0, пересекающийся с Б по подмногообразию w-1гор (D х /0) = D х /0. Доказано следующее утверждение.

Предложение 2.3. Пучок 5Б *ГБ (-Q) обратим, и морфизм замены базы ЬсИ : 5Б *ГБ (-Q) 0 к ^ Н0 (Гр (-/0)) - изоморфизм в каждой точке у е D.

у 0 у

Обозначим через N коядро инъективного морфизма

еЯО) : 5*5б«Г (-Q) 0 С; (Q) ^ Г;. Пусть 3 = Ш 0 С; (Q). Это локально

свободный СБ -пучок ранга 1. Тогда точна тройка 0 ^ 3 ^ ГБ ^ N ^ 0. Пучок Е определим с помощью точной последовательности

0 ^ Е(-Б) ^ Г ^ N ^ 0.

Предложение 2.4. Имеет место изоморфизм w*w*E = Е.

Доказательство. Поскольку Тог^8 (СБ,Г) = 0 (см. последовательность (2.5)), то имеется коммутативная диаграмма

0 0

0 ^ Е(-Б) J

||

0 ^ Е(-Б) ^ Е ^ Еб

N = N

1 1

0 0

которая показывает, что точна тройка

0 ^ Е ^ Е ^ J(Б) ^ 0. (2.6)

^ 0

^ 0,

Так как пучок 0Б (О) ® 5БВ - плоский над П х 10 и при ограничении на слой Р1 проекции м |Б: Б ^ П х 10 имеем 0О (Б) ® 5БВ |р1 = 0р1 (-1), то м>*ж*Е = м*мР = Р по последовательности (2.2). Далее, ^м.Е = 0, поскольку для Е имеется локально свободная резольвента (2.4). Кроме того, нетрудно видеть, что пучок J(Б) поднят с Ж х Б, поэтому, применяя последовательно функторы м и м* к тройке (2.6), получим точную последовательность

То0х3 (м/(Б)Д) ^ Р ^ мжЕ ^ J(D) ^0.

Так же, как в предложении 3.9 [7] доказывается изоморфизм Тог10жхБ (м J(Б), 08) = 0Б (Б) ® ёе1 м |Б*

® J(Б) = Го^р = 0б (Б) ® 5б*В'

Тогда точна последовательность 0 ^ Е ^ м м»Е ^ J(Б) ^ 0, и в силу существования морфизма ву : м ж*Е ^ Е по лемме о змее получаем требуемое.

Таким образом, согласно предложению 2.4 ограничение м*,Е на слой Бу проекции Ж х Б ^ Ж над точкой у е П изоморфно ограничению пучка Е на компоненту Бу слоя над

точкой у е П проекции 8 ^ Ж . Далее для семейства м*Е на Ж х Б будем использовать то же обозначение Е .

Замечание 2.5. Рассуждая так же, как в замечании 3.11 [7] , получим следующее: пучки в семействе Е |Б при ограничении на исключительную прямую 10 имеют единственное прямое

слагаемое 0, (-1).

'0

Замечание 2.6. Пользуясь методом Эллингсруда-Геттше [4], можно показать, что от выбора поляризации зависит стабильность только тех пучков Е на Б, которые являются

расширениями

вида

0 ^ 0Б (т-2И) ^ Е ^ 0Б (-т + 2И) ^ 0

или

0 ^ 05 (—т + 2И) ^ Е ^ 05 (т - 2И) ^ 0. Нетрудно проверить, в результате перестройки Маруямы пучка Р мы получаем семейство Е, такое, что Е | содержит пучки, имеющие либо одну простейшую особенность вне исключительной прямой 10, либо одну простейшую особенность на прямой 10 и одну вне ее, при этом согласно замечанию 2.2.5 при ограничении пучков из Е |на 10 будем иметь в первом случае 0,0(-1) Ф 0,0 (1) и 0,0 (-1) Ф 01 Ф кх во

втором. Пучки, являющиеся расширениями вида 0 ^ 0Б (10 - И) ^ Е ^ 0Б (-10 + И) ^ 0 или

0 ^ О£ (—10 + И) ^ Е ^ О£ (10 - И) ^ 0, локально свободны, поэтому не могут появиться в семействе Е.

Непосредственной проверкой с учетом замечания 2.6 получаем следующее утверждение.

Предложение 2.7. Для произвольной точки у е В пучок Е |£ стабилен относительно

у

любой поляризации Н на Б. 3. Многообразие М 0

Многообразие М 0 обладает следующим свойством универсальности.

Предложение 3.1. Пусть и - семейство с базой В, содержащее стабильные пучки Е на Б без кручения ранга 2 с классами ^Ч^юэня с1 = 0, с2 = 3 следующих видов:

(I) Е [= 2О1 ;

"0 '0

(п) Е |'0 = О'0 (— 1) Ф О'0 (1) и Е - пучок с простейшей особенностью вне исключительной прямой;

(т) Е |'0 = О'0 (— 1) Ф О1 Ф кг и Е - пучок с простейшей особенностью вне исключительной прямой и простейшей особенностью на исключительной прямой. Тогда семейство и определяет морфизм Ф : В ^ М0. Доказательство аналогично [7, §5].

Замечание 3.2. Из предложения 3.1 также следует, что для различных точек х и х' в М0 классы изоморфизма [Е |хх£ ] и [Е |х'х£ ] различны. Действительно, произвольному семейству и с базой В соответствует морфизм В ^ М0; с другой стороны, семейство Е опре-

деляет морфизм М0 ^ МБ (0,3) в многообразие модулей МБ (0,3) стабильных пучков на £. Все вышеизложенное дает нам следующую основную теорему настоящей работы. Теорема 3.3. Пусть М0 - открытое подмножество многообразия М^ (0,3) модулей

стабильных пучков ранга 2 на Р2 с классами ^Ч^^юэня с1 = 0 , с2 = 3 , полученное удалением из М(0,3) точек, соответствующих классам изоморфизма пучков, имеющих двойную особенность в точке х0 или имеющих особенность в х0 и удовлетворяющих условию I(SingE) = 3, и а : £ ^ Р2 - раздутие проективной плоскости Р2 в точке х0. Рассмотрим в М0 подсхему £={Е]еМ0 |0^/ ^Е^0,х ^х0, х2 Фх0}изоморфную расслоению со слоем Р1 над произведением (Р2 \{х0}) х (Р2 \{х0}).

Пусть в: М0 ^ М0 - раздутие многообразия М0 вдоль £. Тогда многообразие М0 -

открытое подмножество многообразия MS (0,3) модулей стабильных (относительно любой поляризации) пучков ранга 2 на S с классами ^Ч^^юэня c1 = 0, c2 = 3, точки которого соответствуют классам [E] пучков таких, что либо E 1^=20^, либо E |^ = 0^(-1) Ф 00(1) и E -

пучок с простейшей особенностью вне исключительной прямой, либо E = (-1) Ф 00 Ф kz

и E - пучок с простейшей особенностью вне исключительной прямой и простейшей особенностью на исключительной прямой.

Библиографический список

1. Barth W. Moduli of vector bundles on the projective plane // Invent. Math. 42 (1977), 63-91.

2. Ellingsrud G., G o ttsche L. Variation of moduli spaces and Donaldson invariants under change of polariza-tio // J. Reine Angew. Math. 467 (1995), 1-49.

3. Huybrechts D., Lehn M. The geometry of Moduli Spaces of Sheaves. Aspects of Mathematics. E 31. Braunschweig: Vieweg, 1997.

4. Hulek K., Le Potier J. Sur l'espace de modules des faisceaux semistables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur // Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 39, 2 (1989), 251-292.

5. Le Potier J. Fibres stables de rang 2 sur P2 (C) // Math. Ann. 241 (1979), 217-256.

6. Le Potier J. A propos de la construction de l'espace de modules des faisceaux semi-stables sur le plan pro-jectif // Bull. Soc. math. France, 122 (1994), 363-369.

7. Сорокина М.Е. Бирациональные свойства многообразия модулей полустабильных пучков ранга 2 с классами Чжэня ^ = 0, c2 = 2 на проективной плоскости // Математика в Ярославском университете: сборник обзорных статей к 20-летию математического факультета. Ярославль: ЯрГУ, 2006.