Замечания о неравенстве Громова-Мильмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1.Вып. 3.1999

УДК 517.987

Замечания о неравенстве Громова-Мильмана 1

С. Г. Бобков

Рассматриваются оптимальные оценки для функций концентрации и для уклонений липшицевых функций на метрических вероятностных пространствах, удовлетворяющих неравенствам типа Пуанкаре.

Пусть (М, р) - метрическое пространство, снабженное борелевской вероятностной мерой р. Для функций д на М определим обобщенный модуль "градиента"

|V,(.)| = limsupM4^M, хеМ, р(*,у)-0 Р{Х,У)

полагая = О для изолированных точек х в М. Легко видеть,

что если ограничения д на шарах в М имеют конечную липшицеву константу (будем называть такие функции локально-липшицевыми), то функция |Vg| конечна всюду и измерима по Борелю.

Говорят, что (М,р,р) удовлетворяет неравенству типа Пуанкаре, если для всех локально-липшицевых функций д на М E|V(/|2 < +оо влечет Ед2 < -f-оо, и при этом

^iVar(^) < E|V^|2. (1)

Здесь А! - положительная постоянная, не зависящая от д, а математическое ожидание Ед = f д dji и дисперсия Var(g) = Е(д — Ед)2 понимаются в смысле меры р.

Неравенства вида (1) широко распространены в римановой геометрии и теории пространств Соболева, главным образом в задачах, в

1При частичной поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований, грант №96-01-00201

©Бобков С. Г., 1999.

которых наилучшее значение Ai интерпретируется как первое нетривиальное собственное число лапласиана. Для теории вероятностей и локальной теории. банаховых пространств эти неравенства представляют интерес прежде всего ввиду их свойства аддитивности. Именно, без изменения в константе при некоторых условиях типа регулярности неравенство (1) распространяется на многомерные пространства Мп с продакт-мерой цп — ц х ... х ц и метрикой евклидового типа рп(х,у) = yfcU Р(хг, Уг)2i Х,У £ Мп. Следовательно, любое соотношение между мерой \х и метрикой р, которое можно извлечь на основе

(1) в терминах Ai, будет справедливым для меры рп и метрики рп. В частности, можно исследовать свойство концентрации продакт-мер ¿и71, например, порядок убывания при h —> оо функции концентрации

a(h) = sup sup 1 - pn(Ah), h > 0,

П ц,{А)> 1/2

где (вторая) точная верхняя грань берется по всем борелевским множествам А С Мп и

Ан = {ж £ Мп : рп(х,а) < h для некоторого а £ А}

обозначает открытую /г-окрестность А в (Мп, рп). Впервые такой подход к исследованию концентрации был предложен Громовым и Миль-маном [6], получившими неравенство

1 - v(Ah) < (1 - Р2)е~ Ь^+Р)^ р = ^(А), А С М, (2)

и вытекающую из нее оценку

a(h) < Ke~cW17 (3)

с постоянными с = log(3/2), К = |. Доказательство неравенства

(2) (которое в силу упомянутого свойства аддитивности автоматически распространяется на многомерные пространства) было основано на применении (1) к функциям вида д(х) = m'm{p(AkS, х), ¿>} и последующей итерации по к с подходящим S, зависящим от h и Ах. Позднее с теми же рассуждениями Алон и Мильман [3] получили аналог неравенств (2)-(3) для графов.

Остался, однако, открытым вопрос о том, насколько оптимально неравенство (3). Тот факт, что экспоненциальное по h убывание в правой части (3) не может быть улучшено, легко обнаружить, рассматривая на прямой М = R экспоненциальные меры р = p\t с плотностью = \/А]"ехр{—2л/А7|ж|}, х G R (здесь Ai - положительный

параметр). Известно, что мера удовлетворяет неравенству типа Пуанкаре, причем с наилучшей постоянной Лх (впервые отмечено Бо-ровковым, Утевым [5] и Клаассеном [7]). С другой стороны, так как множество А = (—оо,0] имеет /¿д^меру 1/2, заключаем, что

a(h)> =

Следовательно, в неравенстве Громова-Мильмана с необходимостью с < 2. В данной заметке мы покажем, что при подходящем выборе постоянной К в (3) это неравенство остается справедливым для максимально возможного значения с — 2. Таким образом, в смысле концентрации экспоненциальные меры играют почти экстремальную роль в неравенствах типа Пуанкаре.

Теорема. Предположим, что (М, р, ц) удовлетворяет неравенству типа Пуанкаре с постоянной Ai > 0. Тогда для всех борелевских множеств А С М и всех h > 0

1 - »(Ah) < (4)

Кроме того, для всех функций g с липщицевой константой Ц^Цыр < 1 имеем Щд\ < +оо; причем для всех h > 0

»{\g-Eg\>h}<6e-*h^. (5)

Очевидно, неравенства (4) и (5) эквивалентны друг другу с точностью до абсолютных множителей. В силу (5), для некоторых абсолютных постоянных ¿о > 0 и Со > 0

Ее2ч/АГ*оЬ-%1 < С0 (б)

в классе всех функций с липшицевой константой ||д||ыР < 1- Независимо от работы [6] такое неравенство с постоянными t0 = 1/24, Со = 2 было доказано Боровковым и Утевым в [5], рассматривавшими, правда', неравенство Пуанкаре лишь для вероятностных мер ц на прямой М = R. Используемый ими метод работает, однако, и в абстрактной ситуации и, в частности, дает (3) с худшей постоянной с в экспоненте: неравенство (1) применяется к функциям вида |g — Eg\p с условием || 51| Lip < 1 и из получаемого рекуррентного соотношения выводятся оценки для моментов

(2у/Т1ГЩд-Ед\р<(4РГ, р> 1,

откуда (6) сразу следует. Заметим, что в силу (5) имеет место правильная по порядку оценка (2\/А7)р Е|<7 — Ед|р < 6 Г(р + 1) (где Г -гамма-функция). Действительно:

(2лД'1уЕ\д-Ед\р = (2/МР / »{\д - Ед\ > к} ¿Г

Jo

/>оо

< (2 лАГ)" / бе"2^^ = 6Г(р+1). Уо

Вопрос об оптимальности неравенства Громова-Мильмаиа стал обсуждаться много позднее. Аида, Масуда и Шигекава [1], несколько модифицировав подход Громова-Мильмана, доказали конечность средних при ^ < ¿о = 2(е—Т)' Дальнейшее уточнение было сделано в работе Аиды и Струка [2], ограничившимися, правда, рассмотрением только значения £ = 1/2 при оценивании экспоненциальных моментов

«(*) = Ее2^3.

Предполагая, что Ц^Цьф < 1 и Еу = 0, применение (1) к функциям вида е*\Л1з приводит к функциональному неравенству

и после «-кратного применения этого неравенства к значениям ...,

4

рт, получаем

"(*/2"Г; (?)

Очевидно, произведение в (7) сходится при ¡¿| < 1, и так как и(е) = 1 + о(е) при £ —> 0 (в силу условия Ед = 0), приходим в пределе к

оценке

ОО

В частности, при ¡5 = 1/2 получаем неравенство

ОО

Ее^ < К0 = П (1 _ 1/4я)3п = 1.720102.... (9)

71=0

Это неравенство, влекущее (6) с ¿о = 1/2 и (3) с с = 1, и есть результат Аиды и Струка (в общем же виде неравенство (8) появилось в

[4]). Чтобы рассуждения были совсем строгими, следует все выкладки проводить в предположении об ограниченности д (с тем, чтобы не возникало проблем с экспоненциальной интегрируемостью) и затем с помощью усечений легко получить (8)-(9) уже для всех липшицевых у на М с нулевым средним.

Таким образом, согласно (9), экстремальным значением в (6) является ¿о = 1. Впервые конечность экспоненциальных моментов при < 1 (как и выше - в предположении, что ||д||ыр < 1 и Ед = 0) была доказана Шмукеншлегером [8]. Применяя (1) к функциям вида и анализируя получаемое дифференциальное неравенство относительно функции и(£), он извлек оценку и(£) < (1 — |£|)~4. Это, однако, несколько хуже, чем обобщенное неравенство Аиды и Струка (8): как показано в [4], [/(*) < (1 + |<|)/(1 - Щ) < (1 - |<|)~4. В частности,

Ее2**1» < М < 1. (10)

Заметим, что правая часть в (10) с точностью до множителя эквивалентна функции и при £ —► 1, и что с точностью до множителя это неравенство не может быть улучшено, как показывает все тот же пример экспоненциальных распределений и функции д(х) = х, х € II. Однако неравенство (10) еще не влечет (5): если на вероятностном пространстве (М, ц) есть случайная величина < со свойствами = 0, Ее'* < уз^у при Щ < 1, то по неравенству Чебышева можно получить оценки для уклонений вида > К] < Сг(1 + Ь)е~к, причем множитель 1 + к не может быть опущен. Следовательно, нельзя надеяться получить оценки типа (5) и неравенство Громова-Мильиана (3) с наилучшей постоянной, основываясь только на оценках для экспоненциальных моментов, даже если они оптимальные.

Доказательство теоремы 1. При выводе (5) можно предполагать, что функция д ограничена. Применим неравенство типа Пуанкаре (1) к функции вида дк(х) = е^гшп(э(*),л)? х <= М, к <Е II:

А1Е^<А1(Е№)2 + Е|У^,|2. (И)

Чтобы оценить первый член в правой части (11), применим неравенство Днды-Струка (9) к функции тт(д, к) — Етт(д, К):

Едк = Ее^т'т{зЛ) < Ко < К0 е^Е9.

Чтобы оценить второй член в правой части, заметим, что |У\ — 0 на -шожестве {д > К] (так как это множество открыто, а функция ду1 на

нем постоянна), и что на всем М

. < лЛ^7^ < л/АГе^9

(так как ¡[ддЦыр < 1)- Следовательно, Е|У<7а|2 < Ах Ее2^1{з<л}. Используя эти оценки в (11) и записывая

Ед\ = Ее2^1{,<м + е2^ р{д > /г},

приходим к неравенству е2^к/л{д > /? } < А'ц Так как его

правая часть непрерывно зависит от /г, строгое неравенство можно заменить на нестрогое:

»{д > }>} < А'о е"2^ не В.. (12)

Если записать это неравенство в виде ¡х{д — Ед > к} < К,2 и

сложить с аналогичным неравенством для функции —д, то при /г > О мы придем к оценке

11{\д~Ед\>И}<2К2е-2^.

Это дает (5), так как А',2 = 2.958750 ... < 3.

Чтобы вывести (4), предположим, что множество А непусто, и при меним (12) при к — 0 к (липщицевой) функции д(х) = —р(А, х), где. как обычно, р(А, х) — 1п{а£А /э(а, х) обозначает кратчайшее расстояние от х до А. Так как р{д > 0} = /л(с1оз(А)) > /¿(Л), получаем

К2

„2УАТЕр(А,х) / О

- №

Наконец, еще раз применим (12) с 1г > 0, но теперь к функции д(х) = р(А, х). С учетом предыдущей оценки получаем:

< К1е~2е2^МЕР(А,х) < о с-2УХ7/1

1 - ц(А ) = ф е М : р(А, х) > К]

М

р(А)

Остается заметить, что К о < 9. Теорема 1 доказана.

Замечание. При распространении неравенства (1) с пространства (М, /9, ц) на многомерные пространства (Мп, рп, цп) под свойствами типа "регулярности" мы понимаем следующие:

1) пространство М сепарабельно;

2) метрика рп согласована с 'топологией произведения пространства М", причем для всех локально-липшицевых функций д на Мп в смысле Ра, ДЛЯ /¿"-почти всех X = (а?!, ..., хп) € Мп

\Ъд{х)\2 = (13)

¿=1

где |У(/(х)| - модуль градиента в смысле рп, а ~ модуль градиента

по переменной Х{ € М в смысле р для функции ж,- —> <7(0:1,..., хп).

При этих условиях (Мп, рп,рп) удовлетворяет неравенству типа Пуанкаре с той же постоянной А^ Доказательство можно провести по индукции, или просто можно воспользоваться одним общим свойством дисперсии: если {М,р) - Вероятностное пространство, и (Мп,ргп) - его 1-ая степень, то для всех ¿¿"-измеримых функций д на Мп

г п

Уахд»(д) < / У^ УагХг(д) ¿р(х1) ■ ■ ■ <1р(хп). (14)

Здесь Уаг^Дд) - р-дисперсия функции Х{ —>• (/(хь ..., хп) при фиксиро-эанных переменных х^ ] ф г. Если теперь дана рп—локально-липши-девал функция д на Мп, то дисперсию Уаг^Д«?) можно оценить сверху, г-эгласно "одномерному" неравенству (1), через ^-Е^ |Ух^(ж)|2, так что для всех х — (жг,..., хп) £ Мп

п п

Зздду сепарбельности М ив силу локальной липшицевости д, правая дгстгь этого неравенства будет представлять собой борелевскую функ-дддо на Мп, и после интегрирования по мере рп, применяя (14), мы дэядем к неравенству

. п

А^агцп(д) < / У2\ЧХ!д(х)\2<1р,(х1)---(1р(хп).

лгдасно (13), мы получаем неравенство типа Пуанкаре для пространна (Мп,рп,цп).

В представляющих интерес случаях свойство (13) выполняется для ;едрики рп(х,у) = \/^Г=1 р(хп У г)2, х,У € Мп. Например, это справед-дддэ для М --■ К"' и абсолютно-непрерывных р, так как по известной Ггдземе Радемахера локально-липшицевые функции почти всюду диф-ерезцируемы.

Литература

1. Aida S., Masuda Т., Shigekawa I. Logarithmic Sobolev inequalities and exponential integrability //J. Func. Anal. 1994■ V.126. P. 83-101.

2. Aida S., Strook D. Moment estimates derived from Poincare and logarithmic Sobolev inequalities //Math. Research Letters. 1994■ V.l. P. 75-86.

3. Alon N., Milman V.D. Ai, isoperimetric inequalities for graphs, and superconcentrators // J. Comb. Theory. Ser.B. 1985, V.38. P. 73-88.

4. Bobkov S.G., Ledoux M. Poincare's inequalities and Talagrand's concentration phenomenon for the exponential distribution // Probab. Theory Rel. Fields. 1997. V.107. P. 383-400.

5. Боровков А.А., Утев С.А. Об одном неравенстве и связанном с ним характеризации нормального распределения // Теория веро-ятн. и ее применен. 1983. Т.28. С. 209-218.

6. Gromov М., Milman У. A topological application of the isoperimetric inequality ЦАтег. J. Math. 1983. V.105. P. 843-854.

7. Klaassen C.A.J. On an inequality of Chernoff //Ann. Probab. 1985. V.13. P. 966-974.

8. Schmuckenschlager M. Poincare type inequalities and deviation inequalities and deviation inequalities. // Preprint (1995), to appear in: J. Func. Anal.

Summary

Bobkov S. G. Remarks on Gromov-Milman's inequality

We consider optimal estimates for the concentartion function and for deviations of Lipschitz functions on metric probability spaces satisfying Poincare-type inequalities

Сыктывкарский государственный университет Поступила 15.09.98